第三章 研究方法
第三節 研究工具
本研究之主要研究工具為「國小六年級學生拼湊梯形面積概念測驗」，以及相 關的統計軟體等，茲說明如下：
壹、國小六年級學生梯形面積概念測驗的編製過程
一、編製梯形教材架構圖
本試題的編製是由研究者參考現行國民小學六年級數學領域梯形教材以及教 師手冊內容，編製梯形教材架構圖，如圖3-2。
二、建立梯形面積概念結構圖
然後，參酌梯形概念的相關研究文獻，配合學生的認知發展，依據研究目的—
探討梯形面積的解題策略來選擇所需要的概念，架構出梯形面積概念圖，如圖 3-3，在此不探討梯形的性質、面積的估測、面積單位的換算，甚至是解題策略之 一的分割並重組成長方形，因為涉及國中全等概念，基於學習程序，也予以刪除，
縮小研究範圍，以求深入。
三、編製梯形面積概念試題
再依據此概念圖編製梯形面積概念之試題(如附錄一)。
由圖形的外觀辨認出梯形
梯形面積的解題策略 認識梯形各部位名稱
透過實測察覺梯形的性質
面積單位的認識與換算（化聚）
保留概念與遞移律
點數單位面積
梯形面積的解題應用 梯形面積公式化 長方形面積公式 (2)將梯形分割成兩個
三角形，再求梯形面 積
(3)分割並重組成長方 形，再求梯形面積 (1)利用兩個全等梯形
拼湊成平行四邊 形，再求梯形面積 平行四邊形面積公式
三角形面積公式
(4)將梯形分割成三角 形和平行四邊形，再 求梯形面積
圖 3- 2 梯形面積教材架構圖
兩 個 不 同 三
貳、試題編製之依據
本研究使用的研究工具「國小六年級學生梯形面積概念測驗」的編製設計是依 據布魯姆認知領域教育目標分類製作「知識向度之梯形面積概念命題之雙向細目 表」（如表3-1）以及九年一貫課程綱要數學學習領域（教育部，2003），以瞭解兒 童在梯形面積概念的學習表現與學習結構。
一、擬定雙向細目表
表 3- 1 依據知識向度命題的梯形面積雙向細目表 認知歷程向度
知識向度
記憶 了解 應用 分析 評鑑 創作
事實知識 6.7
概念知識 3.4.14.16.23.
15.20.24.25
5.12.13.17.18.19.
21.22. 26.27 程序知識 1.2.8.9.10.11.
後設認知 知識
就知識向度而言，六年級在第三階段中，數與量領域的能力指標主要著重於
「事實知識」、「概念知識」及「程序知識」；幾何領域在第三階段中完全要著 重於「概念知識」；兩者皆缺乏「後設認知知識」的指標（鄭蕙如、林世華，2005），
故上表所對應的知識向度，皆不考慮「後設認知知識」之範疇。
就認知歷程向度而言，數與量領域和幾何領域皆重視了解與應用，在第四階 段出現分析，且首次出現評鑑（鄭蕙如、林世華，2005）；本研究之研究對象為 國小六年級學生，在數學領域階段劃分應屬於第三階段，兩領域截至第三階段，
僅有「記憶」、「了解」、「應用」有相對應之能力指標，故在此不考慮「分析」、
「評鑑」及「創造」等三個認知歷程。
本研究內容在探計梯形面積的解題策略，因此在程序知識上較為著墨，尤其 是了解、應用的認知歷程。
二、試題編製與命題原則
本研究於編製試題時，其測驗乃依據梯形面積概念相關文獻及國小現行梯形面 積教材所歸納出之子概念，再編製梯形面積概念命題之雙向細目表來進行命題。
試題內容是參考康軒出版社95 年出版之數學領域教科書中，以有關梯形面積概念 的單元為主。為顧及已正式接受過梯形面積教學的兒童對於梯形面積概念的認 知，以及本研究的目的，所以試題的編擬，充分掌握以下原則：
1.符合九年一貫數學學習領域課程綱要。
2.配合教材內容的教學單元。
3.依據測驗編製的原則擬題及選題，以提升測驗的信、效度。
選擇題命題應符合下列原則（吳裕益，1998；余民寧，2002；Haladyna，1999；
Osterlind，1998）：
1.內容要項
(1) 每題應有確定目的：試題的編製，應落在確定的內容範圍向度與確定的心 智活動向度，如記憶、理解、批判思考或問題解決等。
(2) 在確定的內容向度上，題與題間要互為獨立，尤其題組易發生相互依賴的 內容。
(3) 試題中的內容取材，避免使用過度特定或過度一般性的材料。
(4) 在心智活動向度上，凝聚在單一心智活動，而不是一連串的心智活動。
(5) 避免以眾人意見為基礎的答案，來形成的試題。
(6) 避免佈設陷阱於試題之中，包括刻意的陷阱與無心的陷阱。
2.題幹要項
(1) 使用有問題的題幹或是未完句。
(2) 確定題幹的指示是非常清楚的。
(3) 試題的中心概念出現在題幹，而不是在選項。
(4) 題幹中避免無關的修飾語與冗長的贅語。
(5) 使用肯定句，避免否定用語或除此以外的用語。
本研究採用Cronbach’s α 係數來代表其測驗之內部一致性，經 SPSS/PC 分析 得測驗整體之α係數為0.908，即表示測驗之信度很好，其信度分析情形如表 3-2 所示：
表 3- 2 測驗之Cronbach’s α 信度分析 N=24，I=27
測驗整體Cronbach’s α係數＝.908 題號 刪除此題後的
α值 題號 刪除此題後的
α值 題號 刪除此題後的 α值 1 .904 10 .910 19 .897 2 .904 11 .907 20 .901 3 .904 12 .904 21 .906 4 .910 13 .907 22 .899 5 .906 14 .907 23 .902 6 .907 15 .904 24 .904 7 .905 16 .903 25 .901 8 .900 17 .904 26 .907 9 .910 18 .905 27 .900
二、試題的效度
效度（validity）亦即正確性，是指一個測驗能夠準確的測量到它所要測量之 能力或潛在特質的程度，或測驗能夠達到其編製目的的程度而言。本研究採內容 效度及專家效度。
內容效度旨在有系統的檢查測驗內容的適切性，考量測驗內容是否包括足夠 的行為樣本或取樣的適切性，一般是利用雙向細目表以判斷測驗的內容效度。而 將試題初稿完成後先交由測驗專家及學科專家審查其試題是否適合，使試題內容 具有專家效度。
所歸納出之子概念，施測對象為國小六年級梯形面積概念命題之雙向細目表（如 表3-1），作為考驗內容效度之依據。
至於專家效度方面，在測驗專家部分，與臺中教育大學二位數學教育教授進 行討論與修正；此外，在學科專家部分，則在本測驗編製之初先請八位擔任國小 五、六年級已長達六年以上之資深的級任老師先校閱，修改試題中不適合國小學 生的詞句（審查表格請參閱附錄三），以作為專家效度之依據。
三、難易度與鑑別度分析
本研究根據古典測驗理論的觀點，就量的研究方面而言，必須對試題的難易 度及鑑別度進行分析。
在難易度方面，本研究採內部一致性（internal consistency）的方式，分別將 受試者之總分依高低排序，由最高分數向下取全體受試人數的27%為高分組，再 從最低部分向上取27%為低分組，再分別求出高分組及低分組在每個試題的答對 率；最後將高分組之答對率PH和低分組之答對率PL，求其平均即可得該試題之難 易度指數（item difficulty index）。
而在鑑別度方面，則以高分組之答對率PH減掉低分組之答對率PL，即得該試 題之鑑別指數（item discrimination index）。另外，試題鑑別力的分析，亦可用每個 試題得分反應與測驗總分的關聯性來表示（簡茂發，1987）。若試題得分與總分的 相關程度愈高，表示試題的得分高低與總分高低愈一致，亦即該試題鑑別度就愈 高。本研究經SPSS/PC套裝軟體進行分析，其結果如表 3-3 所示。
表 3- 3 試題之難易度及鑑別度
四、試題關聯順序性係數之分析
由受試的答題原始資料，可以計算出兩測驗題目之間的順序性係數，然後利 用此順序性係數建立試題關聯結構圖。
假設Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ分別表示如下的意義：
Ａ：試題甲與試題乙均答對的人數 Ｂ：試題甲答對而試題乙答錯的人數 Ｃ：試題甲答錯而試題乙答對的人數 Ｄ：試題甲與試題乙均答錯的人數
又設Ｎ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ，按照下表的試題關聯順序性係數公式，即可求得 甲題到乙題的r*值。
r*＝1－
) )(
(
C D A C CN
+ +
其中，試題甲與試題乙之間的關係如下表所示：
試 題 乙
對 錯 合計
對 Ａ Ｂ Ａ＋Ｂ
錯 Ｃ Ｄ Ｃ＋Ｄ
試題甲
合計 Ａ＋Ｃ Ｂ＋Ｄ Ｎ
研究者根據筆測資料中受試者答題反應的原始資料，利用IRSP軟體求出 試題與試題之間的試題關聯順序性係數r*值，並將其整理如表3-4（注意：
下表是從縱座標的題號到橫座標題號的順序性係數一覽表）。
表 3- 4 試題關聯順序性係數一覽表
題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 - .50 .20 .37 .05 .20 .07 .11 .30 .11 .11 .11 .22 .16 .06 .24 .05 .33 .07 .30 .37 .33 .33 .17 .47 .62 .52 2 .60 - .10 .29 .14 .40 .10 .14 .37 .29 .14 .25 .29 .21 .12 .36 .14 .25 .10 .37 .29 .25 .44 .25 .40 .36 -.09 3 .60 .25 - 1.00 1.00 .10 -.20 .14 .37 .14 .14 .50 .65 .37 .29 .57 .57 .25 .10 .68 .65 .50 .63 .25 .20 .57 .46 4 .54 .36 .49 - .27 .14 .31 .18 .46 .02 .02 .43 .40 .10 .19 .76 .51 .36 .31 .64 .60 .71 .57 .57 .31 .51 .69 5 .04 .10 .28 .15 - .16 -.08 .09 .12 .09 .09 .40 .15 .12 .01 -.03 .14 -.05 .04 .12 .01 .00 .25 .10 .04 .14 .13 6 .60 1.00 .10 .29 .57 - .10 .43 .37 .14 -.14 .50 .29 .37 -.06 .57 .14 .25 .10 .37 .29 .00 .63 .63 .20 .57 .46 7 .20 .25 -.20 .65 -.29 .10 - .14 .37 -.14 -.14 .50 -.06 -.26 -.06 .57 .57 .25 .40 .37 .29 .50 .25 .63 .60 .57 1.00 8 .47 .50 .20 .53 .43 .60 .20 - 1.00 -.14 -.14 -.33 .06 .16 .53 .43 .43 .50 .20 .58 .53 1.00 1.00 1.00 -.07 .43 1.00 9 .68 .70 .28 .72 .31 .28 .28 .54 - .09 .09 .20 .44 .24 .72 .66 .66 .40 .28 .75 .72 1.00 1.00 .70 .36 .66 .56 10 .47 1.00 .20 .06 .43 .20 -.20 -.14 .16 - .62 .33 .06 .16 .06 .43 -.14 .00 -.20 .16 .06 .33 0.00 -.50 .47 -.14 -.18 11 .47 .50 .20 .06 .43 -.20 -.20 -.14 .16 .62 - .33 .06 .16 .06 -.14 .43 .50 .20 .16 .06 .33 0.00 -.50 .47 -.14 -1.18 12 .07 .13 .10 .18 .29 .10 .10 -.05 .05 .05 .05 - .18 .16 .06 .29 .57 .13 .20 .16 .06 -.17 .13 .13 .33 .29 .09 13 .31 .36 .31 .40 .27 .14 -.03 .02 .28 .02 .02 .43 - .46 .60 .51 .51 .14 .14 .46 .40 .14 .57 .36 .31 .51 .07 14 .36 .40 .28 .15 .31 .28 -.20 .09 .24 .09 .09 .60 .72 - .44 .66 .66 -.20 -.20 .24 .15 .20 .40 .10 .04 .31 -.31 15 .09 .14 .14 .19 .02 -.03 -.03 .18 .46 .02 .02 .14 .60 .28 - 027 .51 .14 -.03 .28 .19 .14 .36 .36 .09 .27 .07 16 .20 .25 .16 .44 -.03 .16 .16 .09 .24 .09 -.03 .40 .29 .24 .15 - .49 .10 .16 .37 .44 .40 .25 .25 .04 .31 .13 17 .04 .10 .16 .29 .14 .04 .16 .09 .24 -.03 .09 .80 .29 .24 .29 .49 - .40 .28 .37 .29 .20 .25 .25 .36 .49 .13 18 .40 .25 .10 .29 -.07 .10 .10 .14 .21 .00 .14 .25 .12 -.11 .12 .14 .57 - .40 .37 .29 .50 .25 .44 .60 .57 .46 19 .20 .25 .10 .65 .14 .10 .40 .14 .37 -.14 .14 1.00 .29 -.26 -.06 .57 1.00 1.00 - .68 0.65 .50 .63 .63 .60 .57 .46 20 .68 .70 .52 1.00 .31 .28 .28 .31 .75 .09 .09 .60 .72 .24 .44 1.00 1.00 .70 .52 - 1.00 1.00 1.00 .70 .68 1.00 .56 21 .54 .36 .31 .60 .02 .14 .14 .18 .46 .02 .02 .14 .40 .10 .19 .76 .51 .36 .31 .64 - .71 .79 .36 .31 .76 .69 22 .20 .13 .10 .29 .00 .00 .10 .14 .26 .05 .05 -.17 .06 .05 .06 .29 .14 .25 .10 .26 .29 - .38 .25 .20 .14 .27 23 .40 .44 .25 .47 .36 .25 .10 .29 .53 .00 .00 .25 .47 .21 .29 .36 .36 .25 .25 .53 .65 .75 - .63 .40 .57 .73 24 .20 .25 .10 .47 .14 .25 .25 .29 .37 -.14 -.14 .25 .29 .05 .29 .36 .36 .44 .25 .37 .29 .50 .63 - .40 .57 1.00 25 .47 .33 .07 .22 .05 .07 .20 -.02 .16 .11 .11 .56 .22 .02 .06 .05 .43 .50 .20 .30 .22 .33 .33 .33 - .81 .52 26 .52 .25 .16 .29 .14 .16 .16 .09 .24 -.03 0.03 .40 .29 .12 .15 .31 .49 .40 .16 .37 .44 .20 .40 .40 .68 - .78 27 .26 -.04 .08 .24 .08 .08 .17 .12 .13 -.14 -.14 .08 .02 -.07 .02 .08 .08 .19 .08 .13 .24 .23 .31 .42 .26 .47 -
其次，假設Ｈp表示為J. Loevinger所提出的所有試題之等質性係數（Homog- eneity index），又設順序性係數的閥值為μ*，則依照竹谷誠的研究，全部試題間順 序指向的煩雜程度是以Ｈp值為尺度，而且當全部試題間均具全順序指向構造，即 上下位關聯弱推移性時，表示Ｈp接近μ*；當全部試題間均呈現彼此獨立而無任何 順序指向時，表示Ｈp＜2μ*－1；當全部試題間有半數具順序指向現象時，表示Ｈ
p接近μ*。因此當選擇順序性係數閥值為μ*＝0.5 時，則可整理出：（引自許天維，
1995）
（１）若全部試題間無順序指向，即全部試題間呈現彼此獨立，則表示Ｈp接 近0。
（２）若全部試題間有半數具順序指向，則表示Ｈp接近μ*＝0.5。
（３）若全部試題間均具順序指向，則表示Ｈp接近1。
另一方面，因全部試題間具順序指向的個數佔總試題間兩兩成對的個數比值 是閥值μ*的線函數，所以本研究為使試題間具有順序指向個數不過半，以免造成 順序指向過於煩雜，而先選擇最常用的順序性係數閥值以進行分析，亦即將其閥 值設為μ*＝0.5。值得注意的是若順序指向過少，可以減小閥值；若順序指向過多，
可以加大閥值；一般所取閥值是介於0.4 與 0.6 之間。根據第二章第四節所示，當 r*jk≧μ*＝0.5 時，就會有第ｊ試題到第ｋ試題的順序存在，在此情況下，以 1 來 表示此種順序的指向存在；反之，則以0 來表示無第ｊ試題到第ｋ試題的順序性 指向存在。於是在此方式的處理原則下，把前頁表3-4 順序性係數一覽表中之大於 0.5 的係數改寫為 1，而小於 0.5 的係數改寫為 0，因此可修改表 3-4 的順序性係數 表成為簡便的0-1 表，此表亦稱為 0-1 矩陣表，非常有益於畫出指出指向結構圖，
其結果呈現如表3-5 所示：
表 3- 5 順序性係數之 0-1 矩陣表