學生解題策略結構圖與專家結構圖的比較

念，最大的原因是題目過於簡單，而數字也較小，使得兩題難度相同，沒 有鑑別度。

2. 點數正放、側放梯形面積和面積公式沒有關聯，最大的原因是中高分組學 生在面積公式的使用相當熟練，但是低分組的學生則是在點數面積時較為 熟練，導致答對率差不多，卻沒有相關聯。

3. 點數斜放梯形和複合圖形面積難度雖然較正放、側放梯形難許多，但是並 非其上位概念，翻閱原始資料發現正放、側放梯形 4 個答錯者中有兩位(低 分組)猜對了斜放、複合圖形，剛好班上的 25 號學生斜放梯形、複合圖形 面積皆答對，但是正放、側放梯形皆錯，這三位學生的答題影響了關聯性。

4. 斜放梯形面積、複合圖形面積兩者之間沒有直接關聯，而是間接關聯，但 是上、下位不符合專家結構，複合圖形面積的答對率 70.8%，而斜放梯形面 積答對率卻只有 50%，若以點數策略來看，其實難度頂多差不多，但是有如 此的差異，最大原因是學生解題時優先以面積公式求解，學生會試著去分 割出已知底和高的三角形、平行四邊形、梯形等，再合成面積，斜放梯形 就是一例，若是太難或無法分割成功，那學生會採取點數策略。

5. 學生在點數的技巧上，高分組沒有差別，但是低分組的學生就較面積公式 來得純熟，但是整體而言點數這項解題技巧，並不是學生的主要解題策略，

而且應用性不高。

二、以梯形面積公式求得梯形面積

何圖形各元件的認識。

2. 將三角形拼湊成梯形面積雖然只是將兩個三角形面積相加而成，但是學

z 學生概念結構圖分析並與專家做比較：

1. 保留概念是這整個解題策略的最下位概念。

2. 將梯形分解之後，求得的平行四邊形面積是保留概念的上位，但卻是其 他概念的下位概念，可見分解後的平行四邊形面積，學生大多能主動求 得。

3. 對於分解後的三角形面積，則受到剛才求的平行四邊形面積公式的干 擾，使得答對率大幅下降至 50%，而三角形面積答對者，平行四邊形也幾 乎都答對，因此兩題都答對者(概念 O)，和通過三角形概念者(概念 N)兩 者之間等價。

4. 梯形面積與其他圖形面積的合成分解應用，只是分割後平行四邊形面積 的上位概念，和分割後的三角形面積、再度組合後的梯形面積無關聯。

因此，若選此種解題策略當作梯形面積教學，學生未必能進行梯形面積 的應用。

五、由平行四邊形面積分割出梯形面積

等梯形面積，固然可以了解梯形面積公式，但是這解題策略對學生而言 難度偏高，原因出在學生比較沒有全等概念，更難理解全等梯形的上下 底和平行四邊形的底相等。況且以一個相同難度的解題策略來進行梯形 面積的應用也不甚合適。

貳、學生五大解題策略與梯形解題應用結構圖

將五大解題策略與梯形解題應用合併，一起以 IRS 分析，會產生學生梯形解 題策略概念結構圖如圖 4-19。從中，我們可以了解學生學習梯形面積的概念學習，

更可以去分析學生解題策略的程序學習。

分割成三角形 和平行四邊形

梯形解題應用 多重分割線

梯形解題應用 單一分割線

梯形面積公式 分割成三角形 點數梯形面積

由平行四邊形 求出梯形面積

圖 4- 19 學生梯形解題策略概念結構圖

由以上的學生梯形解題策略概念結構圖，可以將五大解題策略與梯形解 題應用的分析如下：

一、會發生梯形面積公式的解題略與分割成三角形的解題策略兩者等價，而且同 為最下位概念，代表兩者同為學生最容易接受的解題策略。

二、點數正立、側放梯形、複合面積雖是梯形解題應用的下位概念，但卻是面積 公式的上位概念。

三、由平行四邊形求出兩個全等梯形面積的解題策略、分割成平行四邊形和三角 形求出梯形面積的解題策略是梯形解題應用的上位概念，這兩種不適合當作 梯形解題應用的解題策略。

三、學生解題策略的學習，根據概念圖所示，學生學習程序最好是先有平行四邊 形和三角形面積計算的能力，再來介紹面積公式，公式的由來有兩種方式：

一是平行四邊形分割出兩個全等梯形，二是分割成三角形。其中分割成三角 形除了可以了解面積公式的由來，更可以當作是梯形解題應用的基礎。再來 學生可以學習點數面積策略，幫助低成就的學生學習，最後是梯形面積的解 題應用，先求單一分割線，再學多重分割線。