第四章 研究結果與分析
第一節 受測學生梯形面積概念的學習情形
本節要分析學生在各試題的答題狀況，針對各題的答題狀況來判斷學生是否 具有該題的概念，也針對相同概念但是有不同題目時，應當如何抉擇，務必從這 份試題中找出不同解題策略中具有概念代表性的題目，然後將不同解題策略的試 題關聯結構圖轉換成各概念的關聯結構圖，以方便和專家知識結構圖做比較。
z 概念 A：平行四邊形面積的計算
( ○２ ) 1.右下圖是一個平行四邊形，請問面積是多少平方公分？
8cm
10cm 12cm
○４120
○３96
○２80
○１40
回答1 回答2 回答3 回答4 答對率%
整體 3 15 4 2 62.5
比例(%) 12.5 62.5 16.7 8.3
高分組 0 7 0 0 100
低分組 1 2 2 1 28.6
分析：
1. 在分割、拼湊成梯形面積的專家結構中，平行四邊形面積屬於下位概念，
但是整體通過率只有 62.5%，比梯形面積的 87.5%低了許多，原因在於此 題 16.7%的同學將 12cm 的邊當成高，也有 12.5%的學生將平行四邊形的
面積公式與三角形面積公式混淆了，但是此題對高分組的學生則不會有 任何的誘答。
2. 此題在概念點的代表性仍不足，因為有高的困擾，必須和第 21 題(求分 割後的平行四邊形面積)搭配，兩題有一題答對者為代表，共有 19 位，
約 79.2%。
z 概念 B：三角形面積的計算
( ○４ ) 2.右下圖是一個三角形，請問面積是多少平方公分？
回答1 回答2 回答3 回答4 答對率%
整體 2 4 2 16 66.7
比例(%) 16.7 8.3 8.3 66.7
高分組 0 0 1 6 85.7
低分組 2 1 1 2 28.6
分析：
1. 三角形面積的計算和第 1 題類似，有 8.3%的學生忘了三角形面積要除以 2，有 16.7%受到 12cm 的干擾誤認邊為高，再加上這是側放三角形，使得 全體的答對率只有 66.7%。
2. 本研究是討論梯形的解題策略，對於分割出的三角形，並無對應的底和 高在側面的題目，因此取第 2 題當三角形的概念點太過嚴苛，不適合當 概念點，況且第 15、18、19 題皆是計算三角形面積，若選這 4 題答對兩 題以上為擁有其概念者，更接近真實。經過調整後共有 20 人，約 83.3%
的答對率。
10cm
○１80
○２60
○３48
○４40
12cm
8cm
z 概念 C：面積保留概念
( ○３ ) 3.圖Ａ為一個等腰梯形，若將右側的三角形移至左側放，可形成長 方形(如Ｂ圖)，請問Ａ圖和Ｂ圖的面積哪一個比較大？
Ａ圖 Ｂ圖
○１ Ａ比較大 ○２ Ｂ比較大 ○３ 一樣大 ○４ 無法比較 回答1 回答2 回答3 回答4 答對率%
整體 0 3 20 1 83.3
比例(%) 0 12.5 83.3 4.2
高分組 0 0 7 0 100
低分組 0 2 4 1 57.1
( ○３ ) 4.下列有兩個相同的梯形土地面積，若在上面種植５個相同大小的 矩形花圃，則兩個梯形土地剩下的面積哪一個比較大？
○１甲剩下的土地較大
○２乙剩下的土地較大
○３甲和乙的土地一樣大
○４甲、乙剩下的土地無法比較
回答1 回答2 回答3 回答4 答對率%
整體 1 4 17 2 70.8
比例(%) 4.2 16.7 70.8 8.3
高分組 0 0 7 0 100
低分組 1 2 2 2 28.6
( ○１ ) 5.下列有兩個上底、下底、高皆相同的梯形，若扣除矩形的部分，
則兩個梯形剩下的斜線面積哪一個比較大？
○１甲和乙的面積一樣大
○２甲面積較大
○３乙面積較大
○４甲、乙剩下的面積無法比較
甲 乙
甲 乙
回答1 回答2 回答3 回答4 答對率%
14
整體 2 4 4 58.3
58.3
比例(%) 8.3 16.7 16.7 6
高分組 0 0 1 85.7
3
低分組 0 2 2 42.9
分析：
1. 第 3 題單純考學生的面積保留概念，有 83%的同學具有基本面積保留 概念。
2. 第 4 題是互補面積保留概念，學生的答對率到此下降至 70.8 %，高 分組的同學依然全部通過，但是低分組的同學就只剩 28.6%了。
3. 第 5 題這是根據基本面積保留概念和互補面積保留概念所變化而成 的題目，必須兼具這兩種概念，才可完全了解，因此難度高，答對 率僅有 58.3%。
4. 學生在面積保留概念的學習上平均通過率為 83.3%，也就是 3 題中對 2 題以上的通過率，可見五年級學生在面積保留概念的學習符合九年 一貫 80%的基本要求。
z 概念 D：認識梯形的高
(
○
３ ) 6.下圖中的哪一條線段，是梯形的高？ 甲○ １
甲○
２乙○
３丙○
４丁 戊回答1 回答2 回答3 回答4 答對率%
整體 1 1 20 2 83.3
比例(%) 4.2 4.2 83.3 8.3
高分組 0 0 7 0 100
低分組 1 0 4 2 57.1
乙 丁 丙
戊
的通過率，可見梯形高的辨別，學生比較不會答錯。
回答1 回答2 回答3 回答4 答對率%
z 概念 H：以點數方式求得側放梯形面積
( ○２ ) 11.如果每一方格的面積都是 1 平方公分，請問Ｂ圖的面積是多少 平方公分？
○１12
○２14
○３16
○４17
Ｂ圖
回答1 回答2 回答3 回答4 答對率%
21 87.5
整體 2 1 0
87.5
比例(%) 8.3 4.2 0 7
高分組 0 0 0 100
6
低分組 1 0 0 85.7
分析：第 10、11 題這兩題是整份試卷中，和第 8 題並列答對率最高的三題，
可見學生在點數梯形面積的操作上，學生會使用梯形面積公式求得。
z 概念 I：以點數方式求得斜放梯形面積
( ○２ ) 12. 如果每一方格的長度都是 1 公分，請問Ｃ圖的面積是多少平方 公分？
○１7
○２14
○３10.5
○４13
Ｃ圖
回答1 回答2 回答3 回答4 答對率%
z 概念 K：能了解兩個全等梯形可組合成平行四邊形
z 概念 L：能了解梯形面積是平行四邊形面積的一半，並從平行四邊 形的面積求得梯形面積
( ○４ ) 17. 承第 16 題，求平分後的梯形的面積是多少cm2？
○１126
○２98
○３63
○４49
回答1 回答2 回答3 回答4 答對率%
14 58.3
整體 5 4 1
58.3 比例(%) 20.8 16.7 4.2
7
高分組 0 0 0 100
1
低分組 4 2 0 14.3
分析：
1. 16 題要對，此題才有意義，因此 16 題若錯，此題不管對錯，皆將學 生歸類為沒有此概念者。
2. 20.8%的學生以為是要求平行四邊形的面積，而誤答選項 1。
3. 16.7%的學生不但犯了選項 1 的錯誤，更犯了平行四邊形的邊是高的 錯誤，但是觀看原始作答的資料，這四名學生在平行四邊形面積計 算，卻有 3 名答對，因此不該犯了將邊誤為高的錯誤，唯一可以解 釋的是學生無法分割平分，因此亂填。
z 概念 M：將梯形分割成平行四邊形和三角形，並求得平行四邊形面 積
21~23 題，請根據Ｆ圖回答問題： 10cm
8cm Ｆ圖
( ○３ ) 21.若將Ｆ圖的梯形分割成一個三角形和一個平行四邊形，則平行
2. 答對 22 題者，21 題也幾乎都對，只有一例外。
3. 第 23 題用來檢驗學生是否能將三角形和平行四邊形拼湊成梯形 面積，但是發現有六位學生在 21、22 題至少錯一題，但是 23 題依然答對，可見學生不會直接利用三角形和平行四邊形面積 的結果來相加，而是另外選擇梯形面積公式來求解，以致於 23 題的答對率高於第 22 題。
4. 三角形和平行四邊形拼湊成梯形面積的概念點，為求精準，必 須捨棄第 23 題，以 21、22 題全對者 11 人約 45.8%來代表。
z 概念 P：能將梯形分割成兩個已知底和高的三角形，並求得三角形 面積
( ○２ ) 15.將一個梯形分割成甲、乙兩個三角形，如果原本梯形的上下底為 分割後三角形的兩個底，有關這兩個三角形的敘述，何者
錯誤
？回答1 回答2 回答3 回答4 答對率%
○１甲、乙有相同的高
甲 乙
=
＋
○２甲、乙的面積一樣大
○３甲、乙的底不一樣長
○４甲、乙至少有一個邊一樣長
17 70.8
整體 3 0 4
70.8
比例(%) 12.5 0 16.7 6
高分組 0 0 1 85.7
3
低分組 2 0 2 42.9
18~20 題，請根據Ｅ圖回答問題：
4cm
4cm 5cm
Ｅ圖
( ○３ ) 18.若將Ｅ圖的梯形任意分割成兩個三角形，則比較大的三角形面積
包括底、高、面積，此題最能觀察學生在梯形分割後，是否能掌握這 兩個三角形的性質。
2. 第 18、19 題皆是求分割後的三角形面積，結果卻是不同，兩者的答對 率相差 16.7%，深入學生的作答資料有個大發現，18 題回答選項 2 者，
19 題皆答對。也就是說小三角形的答對率之所以比較高，是因為它的 高就是它的邊，而大三角形的由於邊和高的混淆，使得答對率大幅下 降。
3. 概念 P 主要是觀察學生是否能正確分割梯形為兩個三角形，由於 18、
19 題來看，答對 19 題者皆有這項能力，因此取 19 題為代表。
4. 第 20 題是要將 18、19 題的兩個三角形相加而求得的，但是 18 、19 題至少錯 1 題者，20 題仍答對者有四位，可見學生在答 20 題時，一 部分的學生不會利用 18、19 題的成果，而是另外使用梯形面積公式，
在概念點的取得，就以 18、19 題全對者 16 人約 66.7%為代表。
z 概念 R：梯形面積與其他圖形面積的合成分解應用。24、25 題題 目有給予分割線，26 題則必須自行畫分割線。
( ○４ ) 24.求Ｇ圖中塗色部分的面積是多少平方公尺？
○１28
○２35
○３42
○４100
回答1 回答2 回答3 回答4 答對率%
整體 5 3 0 16 66.7
比例(%) 20.8 12.5 0 66.7
高分組 0 0 0 7 100
低分組 2 2 0 1 14.3
3m 8m
Ｇ圖 10m
15m
(
○
３ ) 25.Ｈ圖中塗色部分的面積是多少平方公分？學生答對率卻只有 14.3%遠低於猜測值 25%，這兩題的鑑別度高達
2. 這題高分組的表現大幅受影響，可見能力較強的學生對於此題會有困 惑，而最大的困惑是要自行判斷底 2 公分，高是多少，然後大梯形扣掉 2 個小三角形才能得到。
3. 低分組的表現則有一位學生答對，經過試卷分析後，這位由於三角形、
平行四邊形、梯形面積全部答錯，可見這題是猜對的。
由以上的分析可以將 27 題的梯形面積測驗整理成 5 個解題策略群，共 19 個 概念點，如表 4-1，以便做試題關聯結構分析。
表 4- 1 各概念點的代表試題及標準
代表的 取概念點的 標準 概念
試題題號
概念 A：平行四邊形面積的計算 1.21 2 題對 1 題 概念 B：三角形面積的計算 2.(15.18.19) 4 題對 2 題
概念 C：面積保留概念 3.4.5 3 題對 2 題
概念 D：認識梯形的高 6 該題答對
概念 E：認識梯形的底 7 該題答對
概念 F：應用梯形面積公式求得梯形面積 8.9 兩題全對 該題答對 概念 G：以點數方式求得倒立梯形面積 10
該題答對 概念 H：以點數方式求得側放梯形面積 11
該題答對 概念 I：以點數方式求得斜放梯形面積 12
該題答對 概念 J：以點數方式求得複合圖形面積 13
概念 K：能了解兩個全等梯形可組合成平行四 邊形
該題答對 14
(續)表 4- 1
代表的 取概念點的