兒童數學概念與分數學習

在數學教育中，數學概念學習一直是大家所關心的重要議題，並認為 數學概念是學習數學的基礎。在眾多數學概念中，分數概念學習一直是學 生們最感困難的部份之一，因為分數對學童而言是一種非常抽象的概念。

許多國內外的學者研究指出，學童在學習分數概念時困難且成效不彰（楊 壬孝，1989；林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996）。等值分數概念為分數概 念中一項重要概念，彭海燕（1998）指出等值分數概念是一個綜合許多分 數子概念後的表現，欲探討等值分數，必先從分數相關文獻討論著手。故 本節就數學概念、分數的意義、兒童分數概念發展等三部份進行討論，建 立分數概念基礎，進而導入等值分數相關概念之探討。

壹、數學概念

「概念」可以說是進行某種學習後成果，是一種心理的學習歷程，學 童的概念通常是在處理日常生活上的問題後而獲得的，當學童遇到新的情 境、領域、關係或數值資料時，都會利用舊有的經驗、概念來處理，並產 生新的概念（呂玉琴，1991）。行為主義者認為概念是學習者對相似的刺 激物產生共同反應的表現，概念的獲得是學習者經過多次刺激與反應後所

發生的。認知學派則認為概念的形成與概念的同化是概念獲得的兩種基本 形式（喻平、馬再鳴，2002）。Skemp 認為概念的形成過程，必須先有實 際經驗，而這些經驗又有某些相似性、共通性，而導致概念形成的例子也 是隨時不規則出現。通常愈常接觸的事物也就愈快形成概念（林義雄、陳 澤民 譯，1985）。

概念是指「一組物件」、「一組事件」、「一組相互關係」或「一組特性」, 雖然這些事物本身之間具有一些差異性，然而它們具有某些共同的屬性，

而被結合在一起具有共同的『名稱』（楊瑞智，2000）。例如：所有能被數 字 2 整除的數，都稱之為『偶數』。概念的產生是隨時隨地都會發生的，

當概念實例經常出現或是此概念與環境中其他事務形成強烈差異時，此概 念的形成就愈容易。故要真正了解某一個概念必須同時達成兩件事情；第 一為因類化而成新的例子；第二為因區別而產生的反例。概念的學習，其 可 能 產 生 的 錯 誤 類 型 有 三 種 （ 見 圖 2-2-3 ）：（ 一 ） 類 化 不 足 (undergeneralization)；（二）過度類化(overgeneralization)；（三）迷思概念 (misconception)，如圖 2-2-1 所示（楊瑞智，2000）。

圖 2-2-3 概念學習結果的三種錯誤類型

概念學習是各科教學研究中相當受到重視的主題，數學概念是學習數 學的基礎，這個是無庸置疑的。劉好（1980）指出，了解一件事物必然有 些預備性的先前概念。如果學習者還沒有準備好先前概念，那麼老師教給 他的東西只能算是一種規則，而非真正理解。數學概念不但是抽象的，而

且還有前後連貫的特性，某些概念是學習其他數學概念的基礎，所以如果 有一種概念無法形成，將會對往後的數學概念學習產生障礙。Skemp 指出 學習數學有二個重要原則；一、超過個人已有概念階級的高階概念不能用 定義方式來溝通，只能蒐集有關的例子供其經驗，再靠自己抽象以形成概 念；二、在數學概念中，有關的例子多少含有其他概念，我們在提供例子 時必須確定學生已經形成這些預先概念（林義雄、陳澤民 譯，1985）。因 此數學教學中，抽象概念的數學教材，需要在學童既有的數學概念中，舉 例導引至新的概念的形成。

早期學者們對於概念的看法，認為它是一個固定不變的實體，此種看 法只能說明學生是否學習到某種概念，對於學生概念的形成、演化及其發 展的過程，則完全給予忽視，所以當學生學習時的表現，如果與教材認定 的概念不同時，就稱學生產生了錯誤概念(error conception)。近年來教學觀 念愈來愈重視兒童的本位學習，認為兒童有自己的見解與思考模式，數學 概念的學習是由學生依自己的經驗建構而成，而不是將成人世界的認知，

強行灌輸而得的。故當學生學習表現，與教材認定的概念不同時，即稱學 生產生了迷思概念(misconception)。此觀念的改變，使得教學者之教學模 式，已由過去重視教授數學的學科結構與組織，轉變成重視學童表徵與建 構的數學意義。

數學概念是一種關係、一種邏輯的觀念，以二分之一概念為例，是指 半個項目，是一種關係的呈現，可以說是二分之一個蛋糕；二分之一公尺；

或者是全校二分之一的學生，二分之一只是一種比較關係，不瞭解「一」

就無法想像「二分之一」。利用物體、圖片或者是畫圖來表示概念，或是 其關係，稱為「數學概念模型」，任何一個具有二分之一個物體的群體都 可能是「二分之一」概念的一個模型。在教學上，利用具體材料來作為教 學工具已是愈來愈廣泛，但此種具體的「模型」來說明一個概念，是否能 幫助學童理解數學概念，也就是說當學童看到教師所呈現的模型時，是否

能看到概念的例子。事實上，學童用眼睛看到的是一個有形的物體；此物 體與數學關係是由教師所予賦的，在把概念和模型結合之前，學童應該先 理解其概念與模型之間的關係，如此才能幫助學童掌握概念。

在學童學習歷程中，正在建立中的概念，不同於成人世界已定型的概 念，是需要時間一點一滴累積而成的，學童透過不斷的反思與嘗試錯誤，

來 深 化 概 念 的 形 成 。 有 學 者 曾 提 出 數學 概 念 的 五 種 表 徵 方 式 （ 如 圖 2-2-4）。圖中五種表徵方式，其中有二種是操作模型和圖像，另外三種分 別為書面符號、口述語言及現實生活情境，學童能採用愈多種表徵方式，

代表其概念愈穩固（黃馨緯，1994）。

圖 2-2-4 數學概念的五種表徵方式

長久以來我國國民中小學各科的教學上，數學科一直是學童最感困難 的科目，也是最容易引起焦慮的。詹志禹（1997）指出數學號稱是「科學 之母」，是最精確的科學，是訓練邏輯思考的利器，是主科中的主科；但 是，數學也是「焦慮之源」，是學生最感挫折與困難的科目之一。其主因 在於數學教學上，有些學學教學改革者認為，數學的重點在於邏輯推理的 發展，如此造成學童只學到數學的結論與技巧，而忽略了學童對於數學的

了解與思考（林義雄譯，1985），教師們常常只注重數學公式的講述及題 目的計算，學生學習的目標是快速且正確地求得答案，造成數學課只是重 覆的計算，甚至是死背答案，而忽略數學概念的培養，這種只注重數學題 目的規則和解題方式的教學法，學童只學到無義的機械式計算，而未能真 正地理解數學概念（陳淑娟、劉祥通，2001）。張新仁（1992）也認為，

數學能力除了「計算能力」(computational skill)外，主要還包括「概念理解」

(conceptual understanding)的部份；因此在教學活動中，教師除了教導學童 數學「算」的能力之外，最重要的是要讓學童能理解與教材相關的數學概 念。黃幸美（1997）認為長期以來身為教師者大都未能充分瞭解兒童概念 基礎與認知的程度，將成人社會約定成俗的、有效率的解題策略，傳輸給 學生，並要求學童接受與模仿其解題方式，對於學習成果的評量，都只是 注重學生的模仿程度。至於學童對於教材內的數學概念是如何學習、理解 與思考的，以及學習過程中所產生的迷思概念等等問題，都被忽視而任其 發展。學童在這樣的教學環境下學習，一味地被要求模仿與機械式地運算 解題策略，造成學童思考僵化，此情形對於中下程度之學童尤其嚴重，其 對於概念的學習不求理解，只能囫圇吞棗地接受，因此在許多數理科學領 域的學習評量結果報告中，常發現學童對於程序性的計算技能表現優良，

但是在數學相關概念的說明與推理思考方面的表現則相當低落（簡茂發、

陳昭地、林保平、王淑貞 1995）。

貳、分數概念的意義

在國小數學課程中，分數是相當重要的概念，其與小數、百分率、比、

除法等概念關係密切，而這些概念都是國小學童必學的重要概念，因此對 分數不能理解，會阻礙學生在國小之後數學發展。分數對兒童而言是一種 非常抽象的概念；研究指出學生對於分數的學習，常止於記憶算則，而未

能真正深入思考理解而建立起分數相關的概念。李曉莉（1998）也指出，

分數概念的發展，是兒童未來學習許多概念和技能的基礎及關鍵。在日常 生活中，或者在數學及自然科學教材中，都可發現分數是很常用的重要概 念（教育部，1993）。分數的重要性可以從以下幾個不同層面觀之；(1)從 實際層面，有效地處理分數概念，可廣泛增進了解與掌握真實世界問題的 能力。(2)從心理層面，分數提供豐富的領域發展兒童智力及擴展心智結 構。(3)從數學層面，分數的了解提供爾後學習小數、比、機率及基本代數 運算等的基礎(楊瑞智，2000)。

分數一詞”Fraction”，是源自於拉丁文之”frangere”，是小部份、片段、

破碎的意思（林義雄、陳澤民 譯，1985）。林義雄認為，在日常生活情境 中，利用自然數來計算個數通常不會有問題，但是應用在測量時，會產生 單位度量不能剛好量完的困擾，此時就必須使用比單位度量更小的單位來 測量，因此有必要建立一套數學模型來處理分割後的小度量，這套數學模 型就是「分數」。由此可知分數的起源是基於日常生活中「分」的需要。

以數學的定義來看，分數是屬於有理數系的，是在 p 和 q 皆為整數的情況 下，及 q 不等於 0 的條件下，以 p/q 的形式所出現的數。分數具有多種意

以數學的定義來看，分數是屬於有理數系的，是在 p 和 q 皆為整數的情況 下，及 q 不等於 0 的條件下，以 p/q 的形式所出現的數。分數具有多種意