等值分數

在國小的數學教材的規劃上，有關分數概念的學習，是主要的課程編 排重點之一，因為分數概念具有多重意義且抽象的特性，學童在學習過程 中較不容易理解，在眾多的分數概念中，等值分數是一個重要的子概念，

因為等值分數是學童由整數系延伸學習到有理數系的關鍵所在，而且等值 分數也是學童在日後學習分數的大小比較、分數四則運算、比值及比例等 學習活動時，所必需要具備的數學概念之一。黃志敘（2005）指出欲發展 兒童穩固的分數概念，首先須藉由強化兒童等值分數概念及分數數感，以 連結相關分數的概念並應用於日常生活情境中。由此可知等值分數的學習 在國小數學教育上是相當重要的，但是根據研究指出學童在學習等值分數 概念時，常遭遇到瓶頸，往往學童不了解其等值分數的概念意義，而只是 機械式地記憶公式；只知要將分子、分母同乘或同除一個數的公式記憶，

而不知其中之等值分數概念（謝哲仁，2005）。王淵智、張獻中（2004）

在研究中也指出，許多學童的等值分數概念只是利用所記憶的擴分或約分 公式來進行計算，而未能真正了解等值分數的概念。以下就等值分數的意 義、等值分數的迷思概念與易錯類型及等值分數的教學注意事項，分別加 以探討。

壹、等值分數的意義

何謂等值分數？在分數和小數的概念系統中，存在著無限種的命名方 式，且這些命名都可以表示同一個數的數值，這就是「等值」的意義，如

15....

6 10

4 5

2 = = ，而這些分數都可以代表 5

2這個分數數值（林芳玉，2003）。

甯自強（1997）談到兩個不同分數是否等值的比較方法時指出，等值分數 的意義是去比較分數值所指的內容物是否相等，指的是當兩個分數選取相 同單位量的情境時，雖然它們等分割的份數與合成份數不同，以致於表示 它們的分數數值表面上看起不同，但事實上兩分數所代表的量卻是一樣多 的。另甯自強也提出第二種等值分數的意義，是指去比較兩分數的分子與 分母的比值是否相等以決定兩分數的等值。等值分數的判斷，要涉及「乘 法性的思考」，學生要能用兩分數分子間與分母間的「比例」概念去決定 兩分數的等值關係，也就是說若兩分數等值，則分母間的比例變化和分子 間的比例變化必須相等（林芳玉，2003）。

綜合以上所述，等值分數的意義除了是以不同的分數來代表同一個分 數數值外，也可以用乘法性的思考去比較分母分子間以及分母間和分子間 乘法性關係如果是相等的，則兩分數為等值分數。

貳、影響兒童學習等值分數概念的因素

影響學童等值分數概念的學習因素很多，以下就幾位學者的研究結果 敘述如下：

(一) 單位形成的能力：Saenz-Ludlow(1994,1995)研究指出，兒童如能在 圖形中找到適當的單位，將指定度量的物件量分盡，再利用這個單 位重組成全部或集合，這個能力即為「單位形成能力」，具備此能 力之兒童較能學習並解決等值分數的概念及問題。

(二) 組合能力：在處理等值分數的過程中，兒童具備組合能力，將有 助兒童在等值分數概念上的學習，而所謂的組合能力即，兒童將單 位量分成數部分，每部分都正確處理後，能否再將處理後的各部分 合併成單位量的指定分數的能力。

(三) 彈性思考能力：依據 Larson(1980)利用數線來研究兒童等值分數概 念的研究指出，當單位等分割線段等於分母時，兒童可以很容易地 進行解題；但當單位等分割線不等於分母時，兒童的解題表現就變 差了，其將此現象解釋為學童對於等值分數缺乏彈性思考的能力。

(四) 運作思考能力：根據 Piaget 對知識的區別分為兩部份，一部份為 圖形面知識，另一部份為運作面知識。圖形面知識是基於知識的「形 狀」，是可觀察的；運作面的知識是基於知識的「關係」，是觀察不 到的。有學者依 Piaget 的理論提出兒童等值分數的概念與思考的運 作有關，兒童的知識思考運作是以圖形面知識為主時，很容易因為 圖形的改變而影響兒童等值分數的學習，相反地，如果兒童的運作 思考能力是以運作面為主時，則較不會受到圖形改變的影響（林芳 玉，2003）。

(五) 分數概念的殘缺不全：兒童對於先前基本的分數概念，如單位量 概念、等分概念、缺乏部分/全部的保留概念、不能掌握分數的分 子和分母是兩個「量」相對比較關係的意義、無法將分數的圖形表 徵以部分/全部兩量並置的方式呈現、無法依指定分數值取出適量 的花片等，都會影響等值分數的學習（彭海燕，1998）。

(六) 兒童的思考過於僵化，無法在表徵之間進行轉換，兒童常只學習 機械式的數學運算，而不求其中概念的含意，常見的問題是兒童在 學習完等值分數概念後，對於使用約、擴分規則來進行解題時，顯 得非常熟練，但其無法在圖形上以想像分割線或忽視分割線的方式 說明約、擴分的意義，造成其等值分數概念不穩固。

參、等值分數的教學注意事項

劉秋木（1996）指出，教師在進行等值分數教學時，應使用日常生活 中常見的實例來導入說明，引起學童學習的動機，作為類化的範例。也有 學者對教師提出分數概念教學上的建議：利用幾何圖形、數線及操作電算 器等具體物進行輔助學習，可以增加學童對於等值分數觀念的理解（江秉 叡，2005）。

另外根據 Empson(2001)所進行的研究指出，在課堂上讓學童自行討 論、探討，學童會出現更多的解題策略，而進一步地理解等值分數的意義，

故建議教學者在佈題後，能提供充足的時間，讓學生操弄物件，自行發展、

研究，以了解等值分數的意義。

其次 Ward(1999)利用骨牌來研究學童對等量的想法指出，學童在接觸 分數時，與其先前的整數概念相衝突，未把分數視為一個數，而是把分數 的分子及分母視為兩個獨立的自然數，無法同整數一般，對分數的數值產 生數感，故在進行分數大小比較時，便產生了四個迷失概念：(1)根據分母 的大小來比較；(2)根據分子的大小來比較；(3)將分子、分母同加一數來比 較；(4)分別比較二個分數的分子、分母。如上述的四個錯誤策略，劉世能

（2002）在其高年級學童在等值分數概念研究中，也出現相同的類型。這 些都是教學者在進行教學時應加以留心、注意。

肆、本節文獻對於本研究的啟示

等值分數是國小教材一個重要的單元，在九年一貫課程數學領域網要 中，分別在四年級及五年級加入此一數學概念的學習，其重要性可見一 般。由上述的文獻可知，學童在發展等值分數概念時，除了必須具備分數 的基本概念（單元量概念、等分概念、簡單分數概念）外，單位形成的能

力、組合能力、彈性思考能力、運作思考能力，也都是必備的，並且需要 有保留概念及乘法與除法的倍數概念，才能順利進行學習。以上這些必備 的能力都將成為本研究在設設教學媒體時之參考依據，期能透過教學媒體 的介面設計，讓學童能順利建立起相關的概念與能力。