目前國內國小高年級數學教科書依據教育部(2003)頒布的國民中小學課程 綱要進行編輯。以公倍數這個主題而言，課程綱要內容在五年級用列表的方式尋 找兩數的公倍數，六年級最小公倍數的初步教學，以列舉觀察為主，待學童熟悉 其意義後，再介紹短除法。因此目前國內國小數學教科書在五年級以列表的方式 進行公倍數教學，六年級則先以列表的方式初步認識最小公倍數，再以短除法求 最小公倍數。
雖然五年級並沒有短除法的教學，但是當學生能正確且快速的求得兩個整數 的最小公倍數，則能加快分數通分及加減時的計算速度，但是使用列表的方式求 最小公倍數過程繁瑣速度慢，於是許多教師在違背國小課程規劃下讓學生在五年 級學習短除法。
由於我國歷經數次國小課程修訂，國小數學教科書內容亦隨之更迭，再加上 國小學生參加校外數學補習日益普遍，補習對學生的學習也產生重大的影響。目 前國內國小數學的公倍數課程有四個問題常引發教師的討論：(1)在五年級以列 表的方式同時進行公倍數與最小公倍數的教學甚為合理，為何要等到六年級才教 最小公倍數；(2)求最小公倍數或是進行分數通分，以列表的方式與短除法之學 習成效為何；(3)國小學生參加校外補習日益普遍，五年級學生在校外補習學習 短除法，但是學校課程沒有短除法，因此教師在五年級時是否可以引入短除法；
(4)國小學童不易理解以短除法求最小公倍數，但是在國小課程仍有短除法求最 小公倍數的教學，這樣的課程安排似乎是認為短除法在國小階段只須了解如何使 用，而不需了解其意義。
以下分別就公倍數相關研究、公倍數解題工具相關研究以及列表法與單列法 三個方面進行探討：
一 一 一
一、 、 、 、公 公 公 公倍數 倍數 倍數相關研究 倍數 相關研究 相關研究 相關研究
倍數、公倍數在國小課程中屬於同一類的課程，探討公倍數的相關研究也大 多同時探討倍數。因為因數與倍數的概念是相對的，因此國內外與倍數相關的研 究報告大多同時包括因數的研究在內。
目前國外因數與倍數的相關研究，大多以國中階段的學生為研究對象 (Lamb ＆ Hutcherson，1984；Edwards，1987；Ewbank，1987；Olson，1991；
Graviss ＆ Greaver，1992)。以國小階段的學生為研究對象的研究甚為少見。
目前國內因數與倍數的相關研究，大多以學生錯誤類型的研究為主。林原 宏、何欣玫(2005)分析國小六學生的因數與倍數的解題溝通能力，研究結果指出 因數與倍數概念之錯誤類型分析可分為：(1)語言概念錯誤，包括題意了解錯誤、
語意知識不足、專有名詞概念混淆；(2)認知概念錯誤，包括運思能力不足、粗 心錯誤、運算系統錯誤、直觀法則影響；(3)策略概念錯誤，包括解題策略錯誤、
計劃監控失誤；(4)個人態度錯誤，包括厭惡思考、猜測。劉伊祝(2009)研究指 出在五年級數學的課程中，許多學生對於因數與倍數的概念認知不清，概念之間 彼此容易混淆。劉伊祝(2009)研究指出目前已有不少學者（謝堅，1995；何東墀、
蕭金土，1996；黃耀興、邱易斌，1999；林珮如，2002；邱慧珍，2002；陳標松，
2003；黃寶彰，2003；陳筱涵，2004；蕭正洋，2004；于國善，2004）針對因數 與倍數主題進行研究，由研究結果得知學生有四項錯誤情形：(1)在計算過程中 發生因數、倍數、公因數、公倍數遺漏的錯誤，(2)對於因數、倍數、公因數、
公倍數的概念認知常有錯誤連結或互相混淆，(3)題意認知不清、粗心等而造成 計算錯誤，(4)文字應用題缺乏閱讀能力，造成錯誤解讀，進而影響解題。
在補救教學的研究方面，蕭正洋(2004)研究指出國小學童實施倍數補救教 學，其教學過程多透過實物對照及操作，著重於單位量、單位數與總量的概念，
進而引入總量為單位量之倍數概念。謝哲仁、林榮貴(2006) 研究結果發現以行 動為主的電腦設計圖形表徵，讓個案學生在處理因數與倍數問題時，更能理解問
題的意義，掌握各種外在表徵之間的關係變化，並產生具體可操作的心靈影像，
提升其學習成效。
在因數與倍數的相關研究，以教材為主的較為少見，黃培甄(2005)指出經由 課程分析後所設計的先引倍數教材再引因數教材的創新架構教學除可維持中高 分組學童學習水平外，更可提高低分組學童學習成效。張梅寶(2006)指出各版本 教科書在因數與倍數教材的編排，教學活動過程中的佈題與引導的方式雖然有些 不同，但均從實作中帶出定義。倍數概念啟蒙教材之各項教學活動出現的冊別、
編排的順序雖有不同，均掌握了漸進分化的原則呈現教材結構。倍數下位概念教 材的教學活動設計均符合學童的概念發展，做階層性的安排，有助於學生知識的 建構以及正確觀念的建立。
目前國內的國小五年級數學教科書中，2003 年國小部編本，也是先引倍數 教材再引因數教材的架構，此部分與黃培甄(2005)的研究結果相符。我國開放民 間出版社編輯國小數學教科書已十餘年，目前各版本國小數學教科書在教育部 2003 年頒布的國民中小學九年一貫課程綱要規範下，其教材內容已接近相同，
此部分與張梅寶(2006) 的研究結果相符。
二 二 二
二、 、 、 、公倍數解題工具 公倍數解題工具 公倍數解題工具 公倍數解題工具相關研究 相關研究 相關研究 相關研究
陳竹村(2001)指出對於某一問題而言，所謂的「解題工具(problem-solving instrument)」是指解題者可用以解決該問題的相關知識，包括概念及概念表徵，
而數學語言中的算式即是概念表徵。甯平獻(2010)指出所謂工具，是指協助人類 完成某特定活動的某個特定存有(beings)，在有目標導向(goal-oriented)的前提 下，只要是協助活動目標達成的存有，就是工具。
本研究之公倍數解題工具是指可用於求出兩個整數的公倍數或最小公倍數 的方法。
目前國外有關於公倍數解題工具的研究，Basserear(2001)指出可以使用兩個 圓圈相交後產生的交集與聯集的圖像來幫助學生了解最大公因數與最小公倍數 兩者的關係，由於此項解題工具在質因數分解的情境下才能使用，因此目前國內 無論民間本或部編本的國小數學教科書都沒有出現以此圖像做為公倍數解題工 具。就幫助學生學習的圖像而言，目前國內無論民間本或部編本的國小數學教科 書都使用樹枝狀的圖像來幫助學生了解一個整數的質因數分解，此圖像與 Kennedy ＆ Tipps(1997)提出的樹枝圖相符。
目前國內國小高年級數學課程受到教育部(2003)頒布的國民中小學九年一 貫課程綱要的規範，課程綱要明定五年級用列表的方式，尋找兩數的公倍數，六 年級最小公倍數的初步教學，以列舉觀察為主，待學童熟悉其意義後，再介紹短 除法。所以目前國內國小數學課程在五年級以列表的方式作為求公倍數的解題工 具，在六年級才有最小公倍數的教學，以列表的方式及短除法作為求最小公倍數 的解題工具。
陳竹村(2001)指出解題者是否擁有「解題工具」是能否成功解題的必要條 件，而擁有較多的「解題工具」才會使得解題多樣化，進而才有不同解題策略效 率的比較。以國小數學教科書出現的公倍數解題工具為例，分析1975年、1993 年、2003年國小部編本，發現教科書中所出現的公倍數解題工具有列表的方式(列 表法)、短除法、質因數分解法、兩個整數直接相乘的方法(相乘法)、先用乘法找 出一數的倍數，再用除法判斷是否為另一數的倍數(單列法)。
目前國內公倍數解題工具的相關研究中，劉好(1986)指出有意義的學習加上 學習遷移才是完全的學習，一般國小學童很不容易了解以短除法求最小公倍數的 原理。謝堅(1998)指出短除法的原理牽涉到算術基本定理，國小的學童不易理 解。如果教師認為只讓學童知道如何使用短除法，而不要求學童瞭解這種方法的 原理，在教學上並沒有困難，謝堅(1998)提醒教師，不可以只教短除法而忽略最 小公倍數的基本概念。蕭正洋(2004)指出在公倍數的補教教學，應採用列表的方 式而不採用短除法。
綜合上述相關研究結果顯示，公倍數解題工具依國小學生是否容易理解，可 以區分為二種類型，分述如下：
第一類是指國小學生不易理解的解題工具：短除法、質因數分解法這二項公 倍數解題工具的原理牽涉到算術基本定理，國小學生很不容易理解。
第二類是指國小學生容易理解的解題工具：列表法、單列法、兩數相乘法這 三項公倍數解題工具皆符合公倍數概念，國小學生很容易理解。列表法的原理是 兩數的倍數中，相同的倍數稱為兩數的公倍數。單列法的原理是ㄧ數的倍數，如 果也是另一數的倍數，稱為兩數的公倍數。相乘法的原理是兩數的相乘的積必為 兩數的公倍數。
三 三 三
三、 、 、 、列表法與 列表法與 列表法與 列表法與單列法 單列法 單列法 單列法
本研究選用單列法這項公倍數解題工具進行實驗。1975 年、2003 年國小部 編本皆出現單列法，但是這二個不同的部編本所出現的單列法卻有些許差異。其 差異為：1975 年國小部編本，每次找出一個倍數即用除法判斷；2003 年國小部 編本，先找出許多個倍數再用除法判斷。因此，就學生學習的難易度而言，1975 年國小部編本的單列法比較難。1975 年、2003 年國小部編本之單列法的比較，
如表 2-3-1：
表 2-3-1
1975
年年、年年、、2003 年國小、 年國小年國小年國小部編本之單列法的比較部編本之單列法的比較部編本之單列法的比較 部編本之單列法的比較部編本的版本 單列法使用說明
1975 年部編本 先用乘法由小到大依序(每次一個)找出一數的倍數，
再用除法判斷這個倍數是否為另一數的倍數，若整
再用除法判斷這個倍數是否為另一數的倍數，若整