註 註
註：試卷有 4 個試題，每題都要寫出 3 個公倍數。答對 3 個表示全對，答對 0 個表示全錯。
第三節 公倍數與通分
本節的研究目的為本研究第三階段探討國小高年級學生求兩個整數的最小 公倍數所使用之公倍數解題工具與以公倍數解題工具進行分數通分之學習成 效。有四個待答的研究問題：國小高年級學生求兩個整數的最小公倍數所使用之 解題工具為何？國小高年級學生在異分母加法計算情境下進行通分之學習成效 為何？國小高年級學生在進行通分時將分母化為兩個異分母的最小公倍數或其 他公倍數？國小高年級學生使用哪一項公倍數解題工具進行通分？
上述前二個待答的研究問題，研究對象為五、六年級常態編班學生共 144 位，其中有 86 位五年級學生，有 58 位六年級學生。上述後二個待答的研究問題，
研究對象從原有的 144 位高年級學生縮減成 123 位，其中五年級學生有 73 位，
六年級學生有 50 位。
本節研究工具為紙筆測驗試卷(5)、(6)，於五、六年級學生學習公倍數相關 課程(南一版五上數學教科書的公倍數、通分、異分母分數加法計算課程，南一 版六上數學教科書的最大公倍數課程)大約半年、ㄧ年半後施測。
以上四個待答的研究問題，依據學生紙筆測驗試卷(5)、(6)的作答結果，分 別說明研究結果與討論如下：
一 一 一
一、 、 、探討 、 探討 探討 探討國小高年級學生求 國小高年級學生求 國小高年級學生求兩個整數的最小公倍數 國小高年級學生求 兩個整數的最小公倍數 兩個整數的最小公倍數 兩個整數的最小公倍數所使用之解題工具 所使用之解題工具 所使用之解題工具 所使用之解題工具
本小節研究工具為紙筆測驗試卷(5)，目的在於檢核學生是否學會以列表的 方式、短除法或其他方法求兩個整數的最小公倍數。統計 144 位高年級學生的作 答記錄，探討國小高年級學生求兩個整數的最小公倍數所使用之解題工具，研究 結果與討論如下：
(一) 統計學生紙筆測驗試卷(5)的作答記錄，高年級學生在指定以列表法、短除 法、其他方法求兩個整數的最小公倍數的測驗中，不論學生僅使用一項解 題工具或是能同時使用數項解題工具求兩個整數的最小公倍數，大多數學 生能正確求出兩個整數的最小公倍數。高年級學生求出兩個整數的最小公 倍數統計表，如表 4-3-1：
表 4-3-1
(三) 因為本研究目的在探討高年級學生求兩個整數的最小公倍數所使用之解題 工具，所以學生錯誤類型暫時不予以分析，因此當學生有下列作答狀況一 併列入「沒有作答或錯誤作答」統計：(1)空白試卷；(2)誤以為求最大公 因數；(3)無法分辨學生使用之解題工具且解答錯誤。
(四) 統計學生紙筆測驗試卷(5)的作答記錄，發現大多數的高年級學生能同時以 多種解題工具正確求出兩個整數的最小公倍數，尤其是能同時以列表法、
短除法這兩種解題工具的比率最高。只有 15.1％的五年級與 13.8％的六年 級學生沒有作答或錯誤作答。高年級學生以公倍數解題工具正確求出最小 公倍數統計表，如表 4-3-3：
表 4-3-3 高高
高高年級學生年級學生年級學生年級學生以公倍數解題工具正確求出最小以公倍數解題工具正確求出最小以公倍數解題工具正確求出最小公倍數以公倍數解題工具正確求出最小公倍數公倍數統計表公倍數統計表統計表 統計表
以解題工具正確求出兩個整數的最小公倍數 五年級 六年級 同時以列表法、短除法、質因數分解法 1.1％ 0％
同時以列表法、短除法、輾轉相除法 0％ 3.4％
同時以列表法、短除法 50.1％ 77.6％
只以列表法 32.6％ 0％
只以短除法 1.1％ 5.2％
沒有作答或錯誤作答 15.1％ 13.8％
註 註 註
註：年級使用解題工具的比率＝年級使用人數÷年級學生總數×100％
二 二
二 二、 、 、探討 、 探討 探討 探討國小高年級學生 國小高年級學生 國小高年級學生在 國小高年級學生 在 在 在異分母加法計算情境下進行 異分母加法計算情境下進行 異分母加法計算情境下進行 異分母加法計算情境下進行通分 通分 通分 通分之學習成 之學習成 之學習成 之學習成 效 效
效 效
本小節研究工具為紙筆測驗試卷(6)，目的在於檢核學生在異分母加法計算 的情境下使用哪一項公倍數解題工具進行通分，以及通分之學習成效。統計 144 位高年級學生的作答記錄，針對高年級學生是否能正確求出兩個整數的最小公倍 數，探討國小高年級學生在異分母加法計算情境下進行通分之學習成效。研究結 果與討論如下：
(一) 在上述紙筆測驗試卷(5)能正確求出兩個整數的最小公倍數的 84.9％的五 年級與 86.2％的六年級學生，統計學生紙筆測驗試卷(6)的作答記錄，不論 是使用一項或同時能使用數項解題工具，100％都能在異分母加法計算的情 境下，正確的進行通分。
(二) 在上述紙筆測驗試卷(5)錯誤或沒有求出兩個整數的最小公倍數的 15.1％
的五年級與 13.8％的六年級學生，統計學生紙筆測驗試卷(6)的作答記錄，
五、六年級分別只有 1 位學生，在異分母加法計算的情境下，使用將兩個 不同的分母直接相乘的方法進行通分，至於其他的五、六年級學生，100％
都繳交空白卷(沒有做答)。
三 三 三
三、 、 、探討 、 探討 探討 探討國小高年級學生 國小高年級學生 國小高年級學生在進行通分時將分母化為兩個異分母的最小 國小高年級學生 在進行通分時將分母化為兩個異分母的最小 在進行通分時將分母化為兩個異分母的最小 在進行通分時將分母化為兩個異分母的最小 公倍數或其他公倍數
公倍數或其他公倍數 公倍數或其他公倍數 公倍數或其他公倍數
因為由上述第二小節的研究結果發現，能正確求出兩個整數的最小公倍數的 五、六年級學生，100％都能在異分母加法計算的情境下正確的進行通分。錯誤 或沒有求出兩個整數的最小公倍數的五、六年級學生，極大多數都無法正確的進 行通分。
所以本小節將以能正確求出兩個整數的最小公倍數且能在異分母加法計算 的情境下正確的進行通分的五、六年級學生為研究對象，因此本小節的研究對象 從原有的 144 位高年級學生縮減成 123 位，其中五年級學生有 73 位(學生數占原 有研究對象 86 位五年級學生的 84.9％)，六年級學生有 50 位(學生數占原有研究 對象 58 位六年級學生的 86.2％)。
本小節研究工具為紙筆測驗試卷(6)。統計 123 位高年級學生的作答記錄，
針對高年級學生能正確求出兩個整數的最小公倍數且能在異分母加法計算情境 下正確的進行通分，探討高年級學生在進行通分時將分母化為兩個異分母的最小 公倍數或其他公倍數。研究結果與討論如下：
(一) 統計學生紙筆測驗試卷(6)的作答記錄，約有八成多的五、六學生在通分時 將分母化成最小公倍數。但是到六年級時沒有化為最小公倍數的比例較 高，這個結果似乎與成人在求異分母相加時的方式一致，然而此結論須要 進一步的證明。高年級學生在通分時將分母化為公倍數統計表(ㄧ)，如表 4-3-4：
表 4-3-4 高高
高高年級學生年級學生年級學生年級學生在通分時將分母化為公倍數在通分時將分母化為公倍數在通分時將分母化為公倍數統計表在通分時將分母化為公倍數統計表統計表(統計表(((ㄧㄧㄧ)ㄧ)))
通分後的分母 五年級 六年級
最小公倍數 88.8％ 82.0％
其他公倍數 11.2％ 18.0％
註 註 註
註：年級最小公倍數比率＝年級最小公倍數人數÷年級學生總數×100％
年級其他公倍數比率＝年級其他公倍數人數÷年級學生總數×100％
最常使用的公倍數解題工具為列表法與短除法。為了進一步瞭解高年級學生 使用列表法與短除法與在進行通分時將分母化為兩個異分母的最小公倍數或其 他公倍數的關係，以下將高年級學生分為兩個不同樣本進行統計分析：(1)樣本 一，只能以列表法正確求出兩個整數的最小公倍數且能在異分母加法計算情境下 正確的進行通分的學生(五年級學生 28 位與六年級學生 0 位)；(2)樣本二，能同 時以列表法與短除法正確求出兩個整數的最小公倍數且能在異分母加法計算情 境下正確的進行通分的學生(五年級學生 44 位與六年級學生 47 位)。研究結果與 討論如下：
(二) 統計學生紙筆測驗試卷(6)的作答記錄，分析比較兩個不同樣本的五年級學 生，能同時以列表法與短除法的五年級學生(樣本二)在通分時將分母化成最 小公倍數的比率較高。高年級學生在通分時將分母化為公倍數統計表 (二)，如表 4-3-5：
表 4-3-5 高高
高高年級學生年級學生年級學生年級學生在通分時將分母化為公倍數在通分時將分母化為公倍數在通分時將分母化為公倍數統計表在通分時將分母化為公倍數統計表統計表(統計表(((二二二)二)))
通分後的分母 學生 五年級 六年級
最小公倍數
樣本一 80.4％ ---- 樣本二 93.9％ 81.9％
其他公倍數
樣本一 19.6％ ---- 樣本二 6.1％ 18.1％
註 註 註
註：年級樣本的比率＝年級樣本的公倍數人數÷年級樣本的學生總數×100％
樣本一的六年級學生 0 位，以 ---- 表示。
四 四 四
四、 、 、 、探討 探討 探討 探討國小高年級 國小高年級 國小高年級學生 國小高年級 學生 學生使用哪一項公倍數解題工具進行通分 學生 使用哪一項公倍數解題工具進行通分 使用哪一項公倍數解題工具進行通分 使用哪一項公倍數解題工具進行通分
本小節與上述第三小節的研究對象相同，以能正確求出兩個整數的最小公倍 數且能在異分母加法計算的情境下正確的進行通分的五、六年級學生為研究對 象。有 123 位高年級學生，其中五年級學生有 73 位，六年級學生有 50 位。
本小節研究工具為紙筆測驗試卷(6)。統計 123 位高年級學生的作答記錄，
針對高年級學生能正確求出兩個整數的最小公倍數且能在異分母加法計算情境 下正確的進行通分，探討高年級學生使用哪一項公倍數解題工具進行通分。研究 結果與討論如下：
(一) 統計學生紙筆測驗試卷(6)的作答記錄，學生進行通分所使用之解題工具有 四項：(1)使用乘法或直接觀察將分母化成公倍數；(2)使用列表法；(3)使 用短除法；(4)使用將兩個不同的分母直接相乘。
(二) 約有五~六成的學生在通分時只使用乘法或直接觀察就能將分母化成公倍 數，約有二~三成的學生使用短除法進行通分。高年級學生以哪一項公倍數 解題工具進行通分統計表(一)，如表 4-3-6：
表 4-3-6 高高
高高年級年級年級年級學生學生學生學生以哪一項公倍數解題工具進行通分統計表以哪一項公倍數解題工具進行通分統計表以哪一項公倍數解題工具進行通分統計表(以哪一項公倍數解題工具進行通分統計表(((一一一一))))
解題工具 五年級 六年級
使用乘法或直接觀察化成公倍數 65.0％ 49.3％
使用列表法 7.8％ 0％
使用短除法 19.9％ 35.7％
使用將兩個不同的分母直接相乘 7.3％ 15.0％
註 註 註
註：年級使用解題工具比率＝年級使用解題工具人數÷年級學生總數×100％
為了進一步瞭解高年級學生使用列表法與短除法與以哪一項公倍數解題工 具進行通分的關係，本小節與上述第三小節相同，以下將高年級學生分為兩個不 同樣本進行統計分析：(1)樣本一，只能以列表法正確求出兩個整數的最小公倍 數且能在異分母加法計算情境下正確的進行通分的學生(五年級學生 28 位與六
為了進一步瞭解高年級學生使用列表法與短除法與以哪一項公倍數解題工 具進行通分的關係，本小節與上述第三小節相同，以下將高年級學生分為兩個不 同樣本進行統計分析：(1)樣本一，只能以列表法正確求出兩個整數的最小公倍 數且能在異分母加法計算情境下正確的進行通分的學生(五年級學生 28 位與六