2.2 函數概念
2.2.2 函數的表徵
函數概念的發展是用來描述所觀察到的現象與表示變數間的關係，函數概念 應該隨不同情境採用不同的定義。函數有許多種不同的呈現方式(稱之為多重表 徵)，教師宜提供許多不同的函數讓學生逐漸建立函數概念(吳玫瑤，2001)。在認 知心理學上，表徵是指將外在現實世界的事物以另外一種較為抽象或符號化的形 式來代表的歷程；而在認知心理學訊息處理取向上，則是指訊息處理過程中，將 訊息經譯碼 (coding) 而轉換成另一種形式，以便儲存或表達的歷程 (張春興，
1989)。若一個概念能被許多種不同的方式表現出來，稱之為「多重表徵」。
美國數學教育協會(NCTM)(2000)在「學校數學的原則與標準」中指出數學課 程必須強調數學表徵以幫助學生學習數學，重視多重表徵之教學可以協助學生：
(1) 創造並使用表徵去組織、紀錄與溝通數學想法；(2) 發展一套能有意義地、靈 活地、適當地使用的數學表徵；(3) 使用表徵去模型與解釋物理的、社會的、數學 的現象。多位學者(Vinner, 1983；Janvier, 1987；Schwarz, 1996)皆認為教師連結多 重表徵間的教學方式，對幫助學生在瞭解概念上是有幫助的。
Markovits, Eylon, and Bruckheimer (1988)指出函數的表徵有：情境、表列、圖 形、代數式等四種；David Tall(1996)從微積分學習的觀點將函數表徵分為：視覺 (visuospatial)表徵、數值(numeric)表徵、符號(symbolic)表徵、圖形(graphic)表徵、
定義(Formal)表徵；呂永聰(1994)針對「函數表徵」的名詞釋義為表達一個函數的 形式，如: 定義敘述(formula)、語文敘述(verbal description)、代數式(algebraic expression)、表列式(table)、圖形(graph)、映射圖(arrow diagram)、機器比喻圖 (machine analogy)、數對集合表示式(the set of ordered pairs)等，大致來說，可將函 數的表徵分類為四種：圖形、表列式、文字敘述、代數式。
Even(1998)曾對美國 162 名主修數學的學院生進行「影響函數表徵之間的連 結能力的原因」探討，所得研究結果中表示，彈性地在各種函數表徵之間做連結
與轉換對他們而言是困難的，他們尚未能完全通曉在各種表徵之間參數所代表的 意義，即使是十分常見的函數，如:二次函數，同時，Even 從統計資料中發現，採 用巨觀點來分析圖形變化的學生，在圖形與符號表徵之間的連結能力明顯優於以 觀察圖形局部特徵為主的學生；陳盈言(1991)分析國內教材與研究學生函數概念的 研究中發現：(1) 課程中的函數例子大多以代數表徵來呈現，無形中造成學生對於 關係式與函數概念作過多的連結、(2) 課程中有關於函數概念與表列式表徵間的連 結相當薄弱，使得學生在表列式表徵與函數概念間的連結上有困難。因此在函數 概念教學上應該多利用各種表徵(如:圖形、表列式、文字敘述、代數式)的例子來 說明，並提供夠多的正反例讓學生做比較與思考，而不是僅以教師提供的範例作 為判斷準則，以協助學生建立正確的函數概念，此外，應避免呈現過多程序性的 練習，David Tall(1997)指出過多程序性的練習，將導致學生囫圇吞棗的學習。
近幾年來的研究不僅著重於如何教數學，更著重於學生在學習的心理過程，
而學生對於連結表徵之間的關係有困難，即大多數的學生無法在表徵之間自由隨 意地來回連結，原因是學生對於自己符號運算能力深具信心，通常只有當他無法 用符號運算解決問題時，他才會使用其他的表徵，同時，大多數的學生在其學習 背景中，通常沒有電腦繪圖這類的工具，因此，很自然地不會選擇圖象表徵去思 考問題(David Tall ,1997)。因為沒有一個表徵可以適合於說明所有的概念，Even
（1998）指出用不同表徵方式表徵相同事物，與彈性地從一種表徵轉變成另一種，
有助於發展更完善的概念架構，對理解程度加廣、加深。
綜上所述，函數的多重表徵是學習函數概念的重要關鍵，因此，強化學生在 各種函數表徵之間的連結能力將會是本教材發展的重點之一。
2.2.3 函數的迷思概念與學習困難
函數概念是數學領域當中一個相當複雜的概念，它含有許多子概念，如：變 數、定義域、值域與極值等，且可以用不同的表徵表示函數概念(Dreyfus and Eisenberg, 1982)。在函數概念的發展過程中，學生不僅要學習函數概念，還必須 能做到將函數表徵之間的連結，因此，許多學生在學習函數概念會遇到相當多的 困難，國內外學者都曾針對學生在函數概念上的迷失與學習困難做了大量的研 究，例如：
(1) Markovits, Eylon 與 Bruckcheimer(1986)研究發現中學生對於函數相關術語 感到困惑，包含定義域、值域、對應域等，學生常無法迅速了解書面意義(定 義域、值域、對應規則)與圖形表徵各部分的聯結，關於常數函數、不連續 圖形所表徵的函數以及分段定義的函數也並常混淆不清。
(2) Janvier(1987)認為函數迷思概念常會造成微積分學的障礙，當學生能正確陳述 函數定義時，我們很難確定學生是否真正了解函數的概念，同時，他指出學 生無法對函數的不同表徵做適當的聯結，常造成函數學習的障礙。
(3) Vinener (1983) 指出學生建立的函數概念心像與其概念定義有相當大的出 入，例如：學生認為函數是一種規則的表示法，若不規則的對應就不被認為 是函數。
(4) 國科會的「青少年的數學概念學習研究」之子計畫八：青少年的函數概念發 展研究，曾針對國內國中生之函數概念做全國性的隨機抽測，樣本約3000 多 人，從抽測結果發現我國國中學生常見之函數概念錯誤(或困難)類型，摘要說 明如下(張幼賢，2003)：
○
1 對函數的定義模糊(自變數與應變數之間的關係倒置)。○
2 表示函數的數學式中必須要有 x 和 y。○
3 認為可寫出關係式者就是函數。○
4 對鉛直線判別法與水平線判別法認識不清。
○
5 對不熟悉的圖形不會判斷是否為函數。
○
6 知道函數定義域範圍的意義，但答題時無法應用。
○
7 對受測學生而言，將表列式轉化成關係式比將圖形轉化成關係式來得困 難(就線性函數來說)。
○
8 對離散型函數及其圖形表示法不清楚。(5) 葉明達(2000) 從探討高中生的函數迷思概念與表徵轉換能力之研究結果發現 高中生主要的迷思概念為：
○
1 函數關係是一種一定可以列成方程式的對應關係。○
2 函數一定要有規律。○
3 對應域是值域的一部份。○
4 函數圖形是平滑的、連續的，有缺口的圖形不是函數圖形。○
5 高中生對合成函數中之函數值因誤認自變數一定是 x，或因代表變數符 號混淆不清而發生錯誤。綜上所述，函數概念的抽象化及相關術語的定義混淆不清成為學生的學習障 礙，常造成學生對於函數概念的錯誤了解，因此，教學時不應侷限於單一表徵的 介紹，對於特定名詞如:定義域、值域、對應域等宜搭配各種表徵說明而非僅是文 字上的說明，例如:利用圖形去找出函數的定義域、值域等，讓學生對函數的多重 表徵有整體性的了解。
另外，將針對函數的迷思概念與學習困難作分類整理如下表2-2-1，本研究將 會依據這些函數的迷思概念與學習困難來設計本函數單元教材內容，以期能幫助 學習者建立正確的函數概念。
表2-2-1 函數迷思概念與學習困難整理
Markovits et al.
(1986)
Markovits et al.
(1986)
Markovits et al.
(1986) 葉明達(2000)
2.3 學習理論
2.3.1 行為主義學習理論
行為學習論(Behaviorism)主張將學習歷程解釋為制約作用，認為「學習」是 個體處於某些引起反應的刺激情境下所產生的行為反應，即將個體學習到的行為 視為「刺激」與「反應」之間的關係的連結，強調此種連結受到增強作用、練習 等因素影響。然而，行為學習論試圖以刺激與反應之間的連結作用說明各種複雜 的學習理論，忽略學習者的自主性，受到強烈的質疑與批評。雖然如此，行為學 習理論對於某些低層次的認知與技能目標，仍是有實質上的幫助，只要教師給予 適當的課程設計與教材，毫無疑問地，反覆練習、立即回饋與鼓勵等都是影響學 習效果的重要因素 (Woolfolk, 2001)。
根據Skinner 操作制約與增強作用理念，有效的學習發生在合宜地安排刺激、
反應與增強作用的情境上，因此教學者在教學過程中，將教學活動細分成各個小 單元，預先設訂學習者的預期行為，增強策略的選擇與增強頻率的安排，並分析 學習者的反應，以達到學習效果。後來的電腦輔助教學與系統化教學設計皆受到 Skinner 學習理論的影響。
綜上所述，行為學習理論在教學上之啟示與應用如下(沈中偉，1995)：
(1) 在設計前，應先確定學習目標、學習者的特性與學習某一特定內容前學 習者應具備之先備知識。
(2) 從事工作分析，將每個大單元細分為數個小單元，每次只教導一個小單 元，以利學習。
(3) 學習內容安排由易到難。
(4) 回饋或增強之呈現方式應適合學習者的年齡、程度與需求。
(5) 對於正確的回答應給予正增強；對於錯誤的回答應給予訊息性的回饋或改 正性的回饋，提示為何回答是錯誤的，鼓勵學習者更深入地思考。
(6) 配合教材與學習者的特性，給予適當的練習，使學習者精熟教學內容與促 進學後保留。
2.3.2 認知取向學習理論
認知學習理論主要在探討知識的習得與使用，主張個體在面對學習情境時，
學習的產生有賴於 (1) 新情境與舊經驗相符合的程度；(2) 新舊經驗的結合並重 組。學習並非是零碎經驗的增加，而是舊經驗為基礎在學習情境中吸收新經驗。(張 春興，1992)
Piaget 的認知發展理論認為：人類具有「組織」 (organization) 和「適應」
(adaptation) 二種天生的傾向。將不同的歷程組合成一個和諧的整體是為組織的傾 向；對環境的順應或調整即為適應的傾向。適應的傾向具有二個互補的過程，即
「調適」 (accommodation) 和「同化」(assimilation)。調適是修正已有的基模來順 應新情境，而同化則是將新體驗或新事物融入已有基模的過程。當個體接受到外 界的刺激時，會主動以本身的認知結構為基礎，經同化、調適等過程，內化成個 體認知結構的一部份，使得個體的認知結構達到新平衡。
「調適」 (accommodation) 和「同化」(assimilation)。調適是修正已有的基模來順 應新情境，而同化則是將新體驗或新事物融入已有基模的過程。當個體接受到外 界的刺激時，會主動以本身的認知結構為基礎，經同化、調適等過程，內化成個 體認知結構的一部份，使得個體的認知結構達到新平衡。