文獻分析結果

本研究已在第二章文獻探討裡敘述課程的需求性，故此段不再詳述，整理出 來的文獻摘要如表3-1-1。文獻分析結果顯示，函數概念在數學學習的重要性甚 大，然而從國內外研究結果指出，中學生與大專生皆對函數存有程度不一的迷思 概念與學習困難，這將導致學生在學習微積分等高等數學產生負面影響，且線上 學習已成為政府政策之未來趨勢，因此，本研究所發展的函數單元課程確實有其 需求與必要。

表3-1-1 課程需求之相關文獻摘要

對課程需求之敘述 文獻來源

1. 培養學生的函數概念是中學與大學課程的主要目的 Eisenberg(1992) 2. 函數概念在數學中扮演一個中心的角色，是數學教育

領域中所不可缺少的。

Harel、Dubinsky(1992)

3. 函數迷思概念常會造成微積分學的障礙 Janvier(1987) 4. 許多學生在學習函數概念會遇到相當多的困難，國內

外學者都曾針對學生在函數概念上的迷失與學習困 難做了大量的研究。

Markovits et al (1986)；

Janvier(1987)；

Vinner (1983)；

(張幼賢，2003)；

葉明達(2000)。

4. 電腦能發揮其多媒體的優勢，透過動畫、繪圖軟體，

提供學生對於函數的多種表徵方式，有助於學生在多 種表徵轉換的聯結能力與幫助他們解決在函數學習 上所遭遇的困難。

Ayers et al (1988)；

Schwarz et al (1990)；

Confrey et al (1991)

5. 挑戰 2008 六年國發計畫，也將數位學習國家型計畫 列入「數位台灣計畫」中 e 化生活的第一個重點計畫。

教育部（2005）

3.1.2 專家訪談分析結果

本研究為進ㄧ步暸解當前高中數學實際教學情況與線上微積分預備課程-函 數單元的課程需求，以半結構方式，與三位現任高中數學教師(T01、T02)以及兩 位數學專家-現任交通大學應用數學系教授們(E01、E02、E03)進行個別訪談。訪 談教師的主要目的在於瞭解目前台灣高中的數學教育現況，而訪談專家的主要目 的為了解線上微積分預備課程-函數單元的必要性及其可行性，同時，也請教師與 專家針對教學內容提出建議。

訪談專家大綱如下：

(1) 在您的教學經驗中，學生對函數概念會有哪些迷思概念呢?

(2) 您認為函數概念與學習微積分之間的關聯性如何，可否請您描述一下。

(3) 你認為函數的哪些概念需要特別的強調，或是可以舉哪些特定的例子。

(4) 對於設計函數課程的內容，希望老師您能給予一些內容上的建議與看法。

而訪談教師之訪談大綱如下：

(1) 就您的經驗與觀察，學生在學習數學時，最常遇到哪些學習上的困難呢?

造成這些學習困難的主要原因為何? 請問您通常都是如何協助她們解決 這個學習問題?

(2) 您認為目前課程內容關於介紹函數的部分有何不足？有何改善之建議？

(3) 學生在數學課程中，尤其對於函數單元，會容易有哪些迷思概念？

A. 函數概念 (學生對函數定義域的了解程度與圖形式子間的轉換能 力)，學生通常慣用哪種表徵方式來理解函數呢?(圖形? 式子? 集合?

B. 關於指對數函數互為反函數的概念，請問您是如何利用指對數的關 係來教導學生反函數的概念呢? 請問您在教學時，學生對於反函數 有哪些迷思概念呢?

C. 請問您如何教導學生三角函數的概念，同時，學生常見的迷思概念

有哪些呢? 請問您有教反三角函數的內容嗎?

D. 請問高中數學課程如何來呈現合成函數的概念呢？

(4) 目前交大有計畫發展一套線上微積分課程，以下為第零章 函數 的學習目 標與章節細目，希望能透過您豐富的教學經驗給予我們寶貴的建議。

依據訪談結果，本研究者歸納出下列幾點，於下段文字中詳述。

教師T01 在訪談過程中，提到他察覺目前一般高中生對於學習數學，最大的 學習困難發生在看不懂數學符號表徵，其認為目前高中生普遍語言能力低弱造成 他們看不懂數學符號，無法解讀代數式所表示的數學情境：

我覺得學生最大的學習困難就是看不懂符號，學生的符號表徵是有學習困難，就我的認知 上，數學是一個符號語言，在一些量化或是逼近的問題時，我們需要用到數學語言來解決，

曾經有學生跟我說：老師，數學好像是用文言文寫的喔! 都看不懂! 後來我去思考，發現 數學符號其實就像是文言文一樣，我常跟學生強調數學是個工具，但是雖然是個工具，但 是會不會這個工具，對他們的未來非常的重要! 現在是個資訊爆炸的時代，懂得使用數學 語言的人在社會上非常的吃香。(T01)

而訪談教師皆認為目前高中學生的函數概念薄弱，尤其學生不清楚定義域與 值域兩者所代表的意義為何，也不懂得如何利用集合來表示定義域與值域，同時 他們在函數圖形與數學式之間的轉換有困難等：

學生只要看到式子就會覺得是函數式，不管他到底是不是函數式，把式子一概視為函數，舉 例來說：學生會把任何有符號的代數式都視為函數。(T01)

學生在解題時，通常只是代數運算去解題，但他的大腦裡未必會有圖形的存在，集合可能 對學生來說，就更難理解了。(T02)

學生通常在定義域與值域上是有學習困難的。學生對於函數的整個概念其實是很薄弱的。

(T02)

訪談教師們(T01、T02)提到目前高中數學課程並沒有針對函數概念做一個 完整的介紹，僅將函數概念流散於各章節之中，欲將函數概念融入於課程教材之 中，實際上卻因為考試領導教學，很多教師都粗略提過，導致當前一般高中學生 函數概念薄弱，因此，確實需要一個以函數為主的課程來幫助學生重新建立正確 的函數概念：

函數概念的介紹非常不足，幾乎沒有介紹，常說要不知不覺把函數的概念融入教學裡，我覺 得倒不如就直接拿出一套完整的函數課程，現在我們的教材，用什麼融入式的教材，要講不 講的，模模糊湖的，造成學生完全都沒有函數的概念。(T01)

基本上課本根本沒有講到合成函數。雖然我還是會講到合成函數與反函數的概念，但是我 不會去強調這就是合成函數、這就是反函數，只是略為提過，點到為止。(T02)

而從專家的角度也提及到函數概念對於微積分學習的影響，對本研究所發展 的「線上微積分課程-函數單元」皆抱著正向支持的態度，同時也提出實用的建議：

微積分從它的歷史背景來看，他是因為有物理、數學幾何的問題的產生，由於這些問題必 須要運用到函數的概念來描述它，例如： 要去計算一段曲線的長度有多長或是某一個不規 則圖形的面積為何，所以，函數在微積分裡是個非常重要的構成要素。因為函數這概念對 於學生學習微積分是重要的，因此我會在碰到函數的時候，特別會去作強調與提醒學生函 數概念的重要性，所以應該說，函數的概念我認為是自然而然地融入於微積分教學中，當 然，如果學習對象是高中生、準大一生，我會建議將函數設立一個獨立的單元，特別去談 它，讓他們對函數有更深入的了解。(E01)

我認為學習chain rule、隱微分與合成函數之間有很大的關連性，很多同學做沒有合成狀況

的微分是沒有問題的，但是若做有合成函數的微分就會出現問題。(E02)

圖形也是很重要的，我會建議你可以利用配合題，一邊是好幾個數學式，一邊是很多個圖形，

讓學生去比較並選出正確的組合，通常你只有出單個圖形或是單個數學式的選擇題時，學生 的問題不大，但如果同時出現很多的圖形與式子時，我想這對學生而言的確是有難度的。(E02) 我想如何去求給定函數的反函數對學生來說是個困擾，可能是中學的課程中並沒有建立到反 函數的整體概念，學生可能只知道大概要怎麼算，但可能不是真的知道反函數是什麼。我會 比較建議先利用例題提供一套求出反函數的流程，我記得微積分課本中就有寫了，同時佐以 一些學生常發生的錯誤做法，讓學習者去做兩者之間的比較，這樣可能對她們建立反函數的 概念會比較有效。(E02)

學生在判斷值域與定義域的概念也有需要在加強，我建議可以同時加強學生集合的概念，利 用集合的觀點來說明定義域與值域的概念。(E03)

專家與教師也由本身的教學經驗中，認同線上教學的功效，藉由網路教學可 重複觀看的特性、自由選取課程內容的優點，學習者更能夠掌握自己的學習步調，

獲得更多思考學習的機會，強調電腦多媒體能幫助學生加強在圖形表徵與式子的 連結能力，但是也指出如何引起學習動機將是設計教材時需要考量的重點之ㄧ：

由於線上教學，強調學習者的主動性，因此，如何引發學習者的學習動機很重要，這是需要 花時間去設計及發展課程，建議你可以利用電腦的多媒體與互動性來幫助學生圖形與數學式 之間做連結。(E01)

我在今年教導微積分課時，有一位學生成績非常的優秀，後來我把他叫來問他的學習情況，

他告訴我，其實他自己在還沒有上大學的暑假期間就先利用交大校內提供的線上微積分教材 作自習，等到開學後，上課等於是複習，所以學習成效就更高了，因此，我很建議學生可以 利用線上的課程來自我學習。(E01)

不同學院的學生，在學習能力上確實有很大的差距，往往無法顧及各別的學習需求，所以網 路教學可重覆觀看的特性，對學生的學習確實有幫助。(E03)

不同學院的學生，在學習能力上確實有很大的差距，往往無法顧及各別的學習需求，所以網 路教學可重覆觀看的特性，對學生的學習確實有幫助。(E03)