分數乘法問題情境結構之探討

7 就是÷7 的概念，接著將其推廣到非單位分數的情況，如︰× 3

4 就是÷ 4×3 或×3÷ 4、× 5

7 就是÷7×5 或×5÷ 7。最後可推論出 3 5 × 3

4 ＝ 3

5 × 3 ÷ 4 ＝ 3×3 5 ÷ 4 ＝ 3×3

5×4 ＝ 9 20 。

綜觀以上各學者對分數乘法教法之分析，大致可將其內容分為分數×整數、

整數×分數、分數×分數三部份，且每一個部份均有許多不同的教學方法與技巧，

而活用這些資訊，將其以應用型教學策略之教學順序串聯起來，讓學生不再只是 死記、硬背公式，便成為本研究的目的之ㄧ了。

第四節 分數乘法問題情境結構之探討

數學教學應以日常生活中的真實情境為題材(Gutstein, 2003)，NCTM(2000) 也指出，教師在教授分數乘法的概念時，不僅要讓學生熟練其運算技巧，更應讓 學生在面臨問題情境時，也能夠大膽猜想並小心探索，進而求得解決辦法。也就 是說，若能讓學生在問題情境中尋求分數乘法的概念，對學生而言是較有利的。

因此，如何佈題？在整個分數乘法的教學過程中便顯得格外重要，當然，編製試 題時亦然!如同國內學者林碧珍、蔡文煥、蔡寶桂、楊 媖媖、劉婉君、蘇泱因(2004) 所言，分數的乘法應可以多重情境的方式來進行佈題，因此，教師在編製試題前 必須對分數乘法的問題結構先有一定程度的了解，方能使試題內容更多元化。

分數乘法屬乘法概念中之ㄧ環，因此其問題結構也將包含於乘法之中。而許 多學者曾以各各觀點對乘法的問題結構提出不同的見解 (Vergnaud, 1983;

Schwartz, 1988; Greer, 1992)以下針對各學者之見解進行探討。（修改自江淑怡，

2009；林碧珍，1991，2003；林碧珍、蔡寶桂、楊媖媖，2009；南慧卿，2012；

黃毓棻，2009；劉秋木，1998）

壹、 Vergnaud 模式

Vergnaud (1983)從向量空間及向度的觀點將乘法的問題結構分為︰

一、 量數同構型 (isomorphism of measures)︰兩個量數空間的直接比例。

例如︰小乖每天刷牙 3 次，6 天共刷牙幾次？

二、 量數乘積型 (product of measures)︰由兩種量數結合而成第三量數。

例如︰一個長方形的長為 8 公分，寬為 10 公分，面積為多少平方公分？

三、 多重比例型 (multiple proportions)︰由兩種量數與第三種量數間成比例。

例如︰一隻牛一天可擠 5 公升的牛奶，則 7 隻牛 9 天可擠多少公升的牛 奶？

貳、 Schwartz 模式

Schwartz (1988)把題目中涉及的量以內涵量 (intensive quantity,I )或外延量 (extensive quantity,E)為分類，將乘法的問題結構分為︰

一、 I ×E＝E′ 將一個內涵量和一個外延量相乘，產生另一個外延量。

例如︰每個人有 3 塊蛋糕，5 個人一共有幾塊蛋糕？

二、 E×E′＝E ′′ 將一個外延量和另一個外延量相乘，產生第三個外延量（相 當於 Vergnaud 的量數乘積型）。

例如︰媽媽有 3 件襯衫及 4 條褲子，共有幾種不同的搭配方式？

三、 I ×I ′＝I ′′ 將一個內涵量和另一個內涵量相乘，產生第三個內涵量。

例如︰爸爸以每小時 100 公里的速度在高速公路上開車，今天一天下來爸 爸共開了 5 小時，請問爸爸今天開了多遠的距離？

四、 S×E＝E′ 此結構為倍數問題，S代表任一常量（也可以將常量假想為內 涵量）。

例如︰小花有 6 張紙牌，美美的紙牌數量是小花的 2 倍，請問美美有幾張 紙牌？

參、 Greer 模式

Greer(1992)以對稱和不對稱的觀點，將乘法的問題結構分為︰

一、 STS︰最初量(S)接受到一種變換(T)而形成另一個量(S)。

(measure conversion)

若 1 歐元可兌換 40 元台幣，則 8 歐元共可兌換成 台幣多少錢？

倍數比較

(multiplicative comparison)

媽媽的年齡是妹妹的 3 倍，妹妹今年 12 歲，請問

(multiplicative change)

一條橡皮筋最多可拉長至原長度的 3 倍，請問 2 公 分的橡皮筋最多可拉長至幾公分？

長方形面積 (rectangular area)

一張長方形色紙的寬為 5 公分，長為 8 公分，請問 這張色紙的面積是多少平方公分？

叉積

(Cartesian product)

從甲地到乙地有 5 條路，從乙地到丙地有 3 條路，

若要從甲地經過乙地到丙地，共有幾種不同的走 法？

量的積

(product of measures)

一台電視每小時耗電量為 150 瓦，3 小時的耗電量 是多少瓦？

資料來源︰修改自林碧珍等，2009；劉秋木，1996。

雖然前述之三位學者均以不同的角度，針對乘法的問題結構提出了三種類型 不同的見解，但若分別將其為基礎，應用於各種情境上時，大致仍均可發展出由 Greer 所提出的十種乘法問題結構。但在考量真實情況後，研究者發現，這十種 乘法問題結構並非每一項都適用於分數乘法，因此，本研究將以「等量」、「速率」、

「倍數比較」、「部分-整體」、「長方形面積」五種問題結構為基礎，發展施測工具。

根據研究對象所使用之康軒版第十冊第一單元所教授之內容，可將五年級分 數乘法單元之問題類型分為十一種類別，如表 2-4-2 所示。

表 2-4-2

分數乘法問題類別表

教 材 內 容 分 數 乘 法 問 題 類 別

分數×整數 帶分數×整數

整數×分數

整數×單位分數 整數×真分數 整數×帶分數

分數×分數

單位分數×單位分數 單位分數×真分數 真分數×真分數 假分數×真分數 假分數×假分數 帶分數×真分數 帶分數×帶分數

研究者將乘法之問題情境與分數乘法問題類別互做搭配合後，便可衍生出分 數乘法之問題情境，進而編製施測工具裡的應用題部分（第二部份）。如：「速率

類型」搭配「帶分數×整數」便可獲得「一艘船每秒可走 2 5 將國內外學者（Ashlock, 1990; Edwards,1983; Lankford,1972; Painter,1989；林榮 煌，2006；湯錦雲，2002；劉天民，1993）針對學生在分數乘法運算方面較易出