國立臺中教育大學教育測驗統計研究所
國小教師在職進修教學碩士班碩士論文
指導教授：
應用型教學策略在國小五年級分數乘
法單元之準實驗研究
研究生：張慧閔 撰
中華民國 一
○二 年 七 月
許天維 博士
胡豐榮 博士
摘 要
本研究係採準實驗研究法來探討「應用型教學策略」對國小五年級學生學習 「分數乘法」單元的教學成效。本研究以新北市五股區某國小之兩班五年級學生 為研究樣本，進行為期一週的「分數乘法」單元教學，其中，接受「應用型教學 策略」的為實驗組，接受「傳統講述教學法」的則為控制組，並在該單元之教學 結束後，比較兩組學生於「分數乘法」單元的學習成效。 本研究結論歸納如下： 一、 對全體學生而言，部分實驗組學生的數學學習成效優於控制組，其餘則未達 顯著差異水準。 二、 對高分群學生而言，實驗組與控制組的數學學習成效未達顯著差異水準。 三、 對中分群學生而言，實驗組的數學學習成效優於控制組。 四、 對低分群學生而言，實驗組與控制組的數學學習成效未達顯著差異水準。 五、 對未就讀數學補習班的學生而言，部分實驗組學生的數學學習成效優於控制 組，其餘則未達顯著差異水準。 關鍵字：應用型教學策略、分數乘法、準實驗研究Abstract
This study used a quasi-experimental research design to investigate the effectiveness of the “applied-type teaching strategy” for fifth-grade students when learning the unit of “fraction multiplication”. The research subjects were two fifth-grade classes in an elementary school in Wugu, New Taipei City. During the one-week instruction of fraction multiplication, the experimental group received the instruction offered using the applied-type teaching strategy, while the control group received the traditional lecture-based instruction. After the instruction, the learning effectiveness of the two groups in this unit was compared.
The conclusions of this study were as follows:
1. Overall, only a portion of the students in the experimental group showed better learning effectiveness compared to the control group, but the difference of others from the control group was not significant.
2. Among students with high math scores in both groups, the difference between the two groups was not significant.
3. Among students with intermediate math scores in both groups, students in the experimental group showed better learning effectiveness than those in the control group.
4. Among students with low math scores in both groups, the difference between the two groups was not significant.
5. Among students who did not take after-class math remedial courses outside campus, some students in the experimental group showed better learning effectiveness compared to the control group, but the difference of others from the control group was not significant.
Keywords: Applied-type teaching strategy, Fraction multiplication, Quasi-experimental research
目 次
第一章 緒論 ... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的 ... 3 第三節 待答問題 ... 3 第四節 研究範圍與限制 ... 3 第五節 名詞解釋 ... 4 第二章 文獻探討... 6 第一節 應用型教學策略之探討 ... 6 第二節 分數乘法課程之探討 ... 11 第三節 分數乘法相關教學方法之分析 ... 18 第四節 分數乘法問題情境結構之探討 ... 22 第五節 分數乘法錯誤類型之探討 ... 26 第三章 研究方法... 28 第一節 研究程序 ... 28 第二節 研究設計 ... 30 第三節 研究對象 ... 32 第四節 研究工具 ... 34 第五節 資料分析 ... 40 第四章 研究結果與討論 ... 41 第一節 不同教學策略對五年級學生學習「分數乘法」單元之成就情形的影響 ... 41 第二節 不同教學策略對不同分群學生學習「分數乘法」單元之成就情形的影響 ... 48 第三節 不同教學策略對未就讀數學補習班學生在學習「分數乘法」單元之成就 情形的影響 ... 61 第五章 結論與建議 ... 67 第一節 結論... 67 第二節 建議... 68 參考文獻 一、中文部分... 70二、外文部分... 72
附 錄
附錄一：分數乘法單元成就測驗前測卷 ... 75
附錄二：分數乘法單元成就測驗後測卷 ... 79
表 次
表 2-1-1 「分數加法」課程之教學課題表 ... 9 表 2-2-1 92 年九年一貫課程綱要數學學習領域分數教材能力指標及分年細目表 ... 12 表 2-2-2 92 年九年一貫課程綱要數學學習領域分數乘法相關內容分年細目詮釋表 .... 13 表 2-4-1 Greer 之乘法問題的分類結構及對應之問題情境表... 24 表 2-4-2 分數乘法問題類別表 ... 25 表 2-5-1 分數乘法運算之錯誤類型表 ... 26 表 3-2-1 研究設計表 ... 30 表 3-2-2 研究變項表 ... 31 表 3-3-1 實驗組三分群學生分數乘法單元成就測驗前測成績之單因子變異數分析摘 要表 ... 33 表 3-3-2 控制組三分群學生分數乘法單元成就測驗前測成績之單因子變異數分析摘 要表 ... 33 表 3-4-1 分數乘法單元之教學課題表 ... 34 表 3-4-2 分數乘法單元之教學順序表 ... 35 表 3-4-3 分數乘法單元成就測驗前測卷之雙向細目表 ... 36 表 3-4-4 分數乘法單元成就測驗預試試卷之試題分析表 ... 37 表 3-4-5 分數乘法單元成就測驗預試試題修改過程表 ... 38 表 4-1-1 全組學生在「分數乘法」單元成就測驗後測得分分佈情形統計表 ... 42 表 4-1-2 全組學生在「分數乘法」單元成就測驗後測得分情形摘要表 ... 42 表 4-1-3 實驗組與控制組全組學生在各題之答對率統計表... 43 表 4-1-4 實驗組學生於 2-7 題之錯誤類型分析表 ... 45 表 4-1-5 實驗組與控制組組內迴歸係數同質性檢定摘要表... 46 表 4-1-6 實驗組與控制組組內迴歸線相交點及差異顯著點摘要表 ... 46 表 4-1-7 實驗組與控制組前測成績分布情形統計表 ... 47 表 4-2-1 三分群學生在「分數乘法」單元成就測驗後測得分情形統計表 ... 48 表 4-2-2 三分群學生在「分數乘法」單元成就測驗後測得分情形摘要表 ... 49 表 4-2-3 實驗組與控制組高分群學生在各題之答對率統計表 ... 50 表 4-2-4 實驗組高分群學生於 1-4、1-7 題之錯誤類型分析表 ... 52 表 4-2-5 實驗組與控制組中分群學生在各題之答對率統計表 ... 53 表 4-2-6 實驗組與控制組低分群學生在各題之答對率統計表 ... 55 表 4-2-7 實驗組低分群學生於 1-1、1-3 題之錯誤類型分析表 ... 57 表 4-2-8 高分群組內迴歸係數同質性檢定摘要表 ... 58 表 4-2-9 高分群共變數分析檢定摘要表 ... 58 表 4-2-10 中分群組內迴歸係數同質性檢定摘要表 ... 59 表 4-2-11 中分群共變數分析檢定摘要表 ... 59表 4-2-12 中分群事後比較結果摘要表 ... 60 表 4-2-13 低分群組內迴歸係數同質性檢定摘要表 ... 60 表 4-2-14 低分群共變數分析檢定摘要表 ... 61 表 4-3-1 未就讀數學補習班之學生在「分數乘法」單元成就測驗後測得分情形統計 表 ... 62 表 4-3-2 未就讀數學補習班之學生在「分數乘法」單元成就測驗後測得分情形摘要 表 ... 62 表 4-3-3 實驗組與控制組在各題之答對率統計表 ... 63 表 4-3-4 未就讀數學補習班之學生組內迴歸係數同質性檢定摘要表 ... 65 表 4-3-5 未就讀數學補習班之學生組內迴歸線相交點及差異顯著點摘要表 ... 65 表 4-3-6 實驗組與控制組未就讀數學補習班學生前測成績分布情形統計表 ... 66
圖 次
圖 2-1-1 「分數加法」課程之教學結構圖 ... 10 圖 2-2-1 五年級分數乘法單元之教材地位分析圖 ... 18 圖 2-3-1 面積表徵圖 ... 21 圖 2-3-2 線段表徵(1) ... 21 圖 2-3-3 線段表徵(2) ... 21 圖 3-1-1 研究流程圖 ... 29 圖 3-4-1 分數乘法單元之教學結構圖 ... 34 圖 4-1-1 實驗組與控制組全組學生在各題之答對率統計圖... 44 圖 4-1-2 實驗組與控制組前後測得分之組內迴歸線顯示圖... 47 圖 4-2-1 實驗組與控制組高分群學生在各題之答對率統計圖 ... 51 圖 4-2-2 實驗組與控制組中分群學生在各題之答對率統計圖 ... 54 圖 4-2-3 實驗組與控制組低分群學生在各題之答對率統計圖 ... 56 圖 4-3-1 實驗組與控制組在各題之答對率統計圖 ... 64 圖 4-3-2 未就讀數學補習班之學生前後測得分之組內迴歸線顯示圖 ... 66第一章 緒論
本章旨在探討應用型教學策略在國小五年級分數乘法單元之準實驗研究。全 章共分為五小節，首先闡述本研究之動機，其次說明研究目的，接著列舉研究問 題及假設，再針對本研究之範圍與限制做逐一描述，最後將明確的界定本研究中 所提及之專有名詞。第一節
研究動機
在不算長的教學生涯中，每每觸及分數相關單元時總是有很深的感慨，同樣 的題目，若將題目中的整數替換成分數，則後者之表現往往大不如前者，學生對 分數似乎潛在著一股莫名的恐懼感，而對數學表現本來就不佳的學生而言更是如 此！研究者認為會造成如此詭譎的教學問題，或許和分數乘法課程的教學流程及 順序編排有關。 放眼國內外，有許多學者針對學生在分數領域的表現進行了研究，並得到以 下結論︰國小學生在進入分數的學習領域後，往往將面臨到很大的挑戰（劉祥 通，2004）。多年來在不同的調查結果都再再顯示了，學生的分數相關概念及能 力是差強人意的（鄭振初，2006）。分數文字題一直以來便是學生心中的痛，其 對於學生而言，不像整數問題那麼的有感覺，所以學生在處理時，常會出現一些 迷思概念，導致學習成效不盡理想（呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009）。 而國外學者 Behr, Harel, Post and Lesh (1992)更是直接點出：「學習分數概念是兒 童在數學發展上的一個嚴重障礙。」由各學者的研究結論不難看出，分數概念對 於學生而言確實困難重重。儘管分數在孩子的世界裡或許困難無比，甚至可能成為其後數學學習道路上 的一顆絆腳石，但在學生學習數學知識的過程中卻扮演著非常重要的角色。國內 學者劉秋木（1996）就曾指出，在小學階段，分數是數學領域最高的概念，不僅 如此，其也是往後學習數學課程的基石。而國外學者 Behr, Lesh, Post and Silver
(1983)不僅強調了分數概念在數學學習領域的重要性，還分別從三個面向加以論 述：從實際層面來看，一旦學生建立好分數概念，便可以解決日常生活中的問題； 從心理層面來看，透過分數問題能使學生發展其心智結構，進而延續智慧的發 展；從數學層面來看，分數概念的理解奠定了學生未來在學習代數時的基礎（引 自劉祥通，2004，頁 14）。既然分數是一門如此艱難卻又極其重要的概念，身為 教學者的我們該如何將其以最淺顯易懂的方式教給學生，便成為最最關鍵性的任 務了。 想要完成有效能的教學，必須具備各方面的條件，其中，好的教材便是不可 或缺的一項。在教學現場，最常使用的教材便是教科書了，而教科書中每個單元 內容的編排順序雖為眾專家學者的辛苦結晶，但若能依照教師的教學目標及學生 的能力，適時的調整各各概念的教學順序，學生是否能更容易理解或吸收？研究 者在教學的旅程中，不斷思索著這個問題，甚至總喜歡在數學課時，以課本為基 礎，用自己的方式將概念教授給學生，以達成教學目標，由幾次的教學經驗中不 難發現，如此不照本宣科的教學方式似乎較能引起學生的注意。鍾靜（2005）也 曾在研究中指出，即使是不同年代的課程，其在實施時都會產生三種不同面向的 課程，即專家所設計的課程、教師所教授的課程、學生所學習到的課程，而課程 改革時的重要關鍵之ㄧ即是在縮小這三種課程之間的落差，因此，是否能有效的 成為教科書與學生之間的媒介，便是教師最重要的工作了！ 數學概念是日積月累的，學生在學習上遇到困難的原因有一部分是因為先備 知識的不足。國內學者劉湘川（2004）主張，在數學學習的過程中，前一項知識 或能力的學習往往會左右後一種知識或能力的學習之好壞。也正因如此，在教學 現場常常可以碰見許多學生因為在中、低年級階段分數相關概念沒有學好，導致 其升上高年級後，在學習分數的乘、除法概念時，倍感吃力。如何才能讓學生在 先備概念不是這麼齊全的狀態下，也能較輕鬆的吸收新知識，便成為了本研究者 最想探討的議題，因此決定採用比起先備知識，更著重目標課題之連貫性及其解
決應用題能力的應用型教學策略來進行五年級的分數乘法單元之教學。
第二節
研究目的
依據上述之研究動機可知，研究者欲使用應用型教學策略進行國小五年級分 數乘法單元之教學，並將其結果與採傳統講述教學方法之班級進行比較，以利觀 察兩者間教學成效差異情形。以下歸納出本研究之具體研究目的︰ 壹、 分析兩種教學方法對國小五年級學生在學習「分數乘法」單元之成效差異。 貳、 分析兩種教學方法對不同分群的國小五年級學生在學習「分數乘法」單元之 成效差異。 參、 分析兩種教學方法對沒有就讀數學補習班的國小五年級學生在學習「分數乘 法」單元之成效差異。 肆、 提供國小教師在教授分數乘法單元及使用應用型教學策略時之參考。第三節
待答問題
根據上述研究目的，本研究待答問題如下： 壹、 兩種教學方法對國小五年級學生在學習「分數乘法」單元之成效差異情形為 何？是否達到顯著差異？ 貳、 兩種教學方法對不同分群的國小五年級學生在學習「分數乘法」單元之成效 差異情形為何？是否達到顯著差異？ 參、 兩種教學方法對沒有就讀數學補習班的國小五年級學生在學習「分數乘法」 單元之成效差異情形為何？是否達到顯著差異？第四節
研究範圍與限制
壹、 研究範圍 本研究係以新北市五股區某國民小學五年級的兩個班級共 52 位學生為研究 樣本，進行「國小五年級學生分數乘法成就測驗」，並根據學生的答題表現來進 行分析。貳、 研究限制 本研究在研究過程中之主要限制如下： 一、 研究對象 以新北市五股區某國小一百零一學年度之五年級兩個班級共 52 位學生為 取樣樣本，正式施測時，僅實驗組由研究者親自進行施測，而控制組部份則委 由該班導師協助進行。 二、 研究時間 以研究對象學習「分數乘法」單元內容為主，現行國民小學一節課為 40 分鐘，本研究教學時間共 5 節課，合計 200 分鐘。 三、 研究內容 以康軒版國小五年級數學科「分數乘法」單元為實驗教學單元。 四、 研究方法 以紙筆測驗的結果為數據，用 SPSS 軟體進行學生分數乘法概念的學習成 效分析。 因本研究有上述研究對象、研究時間及研究內容等種種限制，故此份研究結 果不宜作過度或衍伸之推論。
第五節
名詞解釋
本研究之主要目的為探究使用「應用型教學策略」及「傳統講述教學法」， 對國小五年級學生進行「分數乘法」單元教學之成效差異，為避免認知上的混淆， 茲將本研究內所使用到的重要名詞解釋敘述如下： 壹、 應用型教學策略 本研究所指的應用型教學策略係由日本學者竹谷誠、船橋芳雄、中內臣哉三 人，於2007年透過竹谷誠教授的「策略性教學課題系列化法」(Strategic Task Sequencing Method，簡稱STS法)並以理論的觀點來建構系列化順序，所提出四種不同的教學策略其中之ㄧ種，是選擇著重目標課題之連貫性及學生解決應用題能 力的一種教學策略。 貳、 傳統講述教學法 本研究所指的傳統講述教學法，為教師在教授分數乘法單元時，完全依照康 軒版第十冊第一單元課本編排之教學順序進行，並單純的透過黑板及教具將訊息 以講授方式直接傳遞給學生，進而達成教學目標。 參、 國小五年級學生 本研究所指的五年級學生，為一百零一學年度就讀於台灣國小五年級，並已 修習完國小四年級數學課程之學生。 肆、 「分數乘法」單元 本研究所指的分數乘法單元，其內容僅包含「整數×分數」、「分數×整數」 及「分數×分數」三大類。 伍、 數學補習班 本研究所指的數學補習班，為坊間私設的校外補習班，於非學校上課時間專 為學生預習或複習該學期所應學習之數學科內容，其上課教材和學校所使用的均 一致。
第二章 文獻探討
本研究之主要目的為探究使用「應用型教學策略」及「傳統講述教學法」， 對國小五年級學童進行「分數乘法」單元教學之成效差異。全章將分為五小節， 針對本研究之相關理論及研究來進行探討。第一節探討應用型教學策略，第二節 探討分數乘法課程，第三節分析分數乘法之教學方法，第四節探討分數乘法之問 題情境結構，第五節則探討分數乘法之錯誤類型。其中，第一節用以尋求本研究 之實驗組教學順序，其餘四節均用以當作研究者教學及發展施測工具時之參考。第一節 應用型教學策略之探討
壹、 教學策略 在 Oliva (2009)原著之課程發展一書中提及，廣泛的教學策略包括了教師為 獲得預期之結果，將教材呈現給學生的方法、歷程或是技巧，並強調策略的選擇 須依教學目標的不同而有所改變。亦即，教師在設定好教學目標後，決定使用的 教學方法、教學順序及其所使用之教學媒體等，都可稱之為教學策略。 既然教學策略是依據教學目標而訂定的，那麼其勢必將影響到學生的學習成 效。張俊紳（2004）教授就曾指出，教師並不是只要了解學科之原則、概念或理 論的科學家，還必須考量到學科以外的種種因素，例如︰學生的先備知識及錯誤 概念等，並針對學生的狀況調整、運用適當的教學策略，以使學科內容能轉換成 為學生所能理解的知識。Magnusson, Borko, Krajcik and Layman (1992)也曾以數位 學生及教師為研究對象，發現，即便教師擁有豐富的教學知識，卻未能適當的使 用教學策略，對於學生在知識的吸收與理解是無益處的；但若教師既擁有良好的 知識架構，又能適當的使用教學策略，那麼，對學生知識的增長將有莫大的幫助 （引自張俊紳，2004）。由此可知，教學策略是否合適，將是影響教學成效的關 鍵。 而國內也有許多研究者，針對不同的教學策略對學生數學學習成效的影響進行探究，其結論如下︰ 一、 鄭郁婷（2011）以國小六年級學生為研究對象，探討「問題解釋多媒體教 學策略」對學生學習「雞兔同籠」問題的成效，發現該策略對學生的解題 能力有提升的效果，且將學生對數學課程的學習態度趨於正向。 二、 藍家嘉（2010）以高中三年級學生為研究對象，探討運用「解題導向教學 策略」對學生在總複習時的影響，發現該策略能有效提升學生成功解決數 學問題的機會，更能提高學生對數學學習的興趣。 三、 黃兆光（2006）以國中一年級學生為研究對象，探討運用「問題解決教學 策略」對學生學習「一元一次方程式」單元的成效，發現該策略能提升學 生在研究單元的學習成效。 四、 蘇麗美（2005）以國中二年級學生為研究對象，探討運用「問題為中心的 教學策略」對學生在數學學習成效的影響，發現該策略能提升學生的數學 學業成就及學習態度。 由上述可知，適當的教學策略不僅能提升學生的學習成效，還能讓學生在學 習數學知識時抱持更正面積極的態度。 基於教學策略之描述及前述之研究動機，本研究擬將重點放置於教學策略中 的教學順序這一部份，且為使先備知識不完備的學生也能擁有解決分數乘法相關 問題的能力，故以選擇著重目標課題之連貫性及學生解決應用題能力的「應用型 教學策略」來進行「分數乘法」單元之教學。 貳、 應用型教學策略 應用型教學策略係由日本學者竹谷誠、船橋芳雄、中內臣哉三人，於 2007 年透過竹谷誠教授的「策略性教學課題系列化法」(Strategic Task Sequencing Method，簡稱 STS 法)並以理論的觀點來建構系列化順序，所提出四種不同的教 學策略其中之ㄧ種，是選擇著重目標課題之連貫性及學生解決應用題能力的一種 教學策略（李柏儒、郭輝煌、李仲瑜、王瑀、許天維、胡豐榮，2012）。
應用型教學策略係依據 STS 法之算則，以前提課題及目標課題為已知條件， 計算出教學流程中任一課題之下一個課題，進而得知該策略之完整的教學順序。 在詳讀李柏儒、郭輝煌等於 2012 年所發表之期刊後，將其用以推導之數學公式 及範例整理如下︰ 在 STS 法的算則中，若課題νi可到達 (reachability) 課題νj時，則νi為νj之 前提課題，而νj為νi之目標課題。但當一個課題沒有前提課題時，我們將其稱為 初期前提課題；同樣地，沒有目標課題時，我們則稱其為最終目標課題。其中， 全部的初期前提課題均要設置一個共通的假想前提課題為ν0（山口忠、加地郁 夫，1992）。設νi與νj之共前提性指數為 fij，共目標性指數為gij，則 ij f ＝ ) ( )) ( ) ( ( V n v S v S n p i ∩ p j 且 ij g ＝ ) ( )) ( ) ( ( V n v S v S n o i ∩ o j 其中， 一、 V＝
{
v0,v1,v2...,vn}
，表示由假想前提課題ν0及該教學內容課題所形成之集 合，而n(V)為該集合之元素個數。 二、 Sp(vi)為νi的前題課題之集合，而Sp(vj)則為νj的前題課題之集合，且兩 集合均包含假想前提課題ν0。 三、 (Sp(vi)∩Sp(vj))為νi與νj前題課題集合之交集，亦即兩課題之共前題課題 集合，而n(Sp(vi)∩Sp(vj))為該集合之元素個數。 四、 So(vi)為νi的目標課題之集合，而So(vj)則為νj的目標課題之集合。五、 (So(vi)∩So(vj))為νi與νj目標課題集合之交集，亦即兩課題之共目標課題 集合，而n(So(vi)∩So(vj))為該集合之元素個數。 計算出兩課題之共前提性指數與共目標性指數後，便可進一步推算兩課題之 系列化指數θij，即 ij θ ＝α fij+β gij 其中α + β ＝1，且 一、 α 為前題指向性因子，其值越大，則表示該教學策略越重視前題課題。 二、 β 為目標指向性因子，其值越大，則表示該教學策略越重視目標課題。 （竹谷誠，1992） 而本研究之應用型教學策略為 ﹣1≤α ≤0，0≤ β ≤1 時之系列化，其較著重目標 課題並輕視前題課題。 以下將以實際例子來說明應用型教學策略所對應之演算法，其推論教學順序 之歷程： 表 2-1-1 「分數加法」課程之教學課題表 課題編號 內 容 課題編號 內 容 課題 1 同分母分數加法（不進位、不約分） 課題 7 公因數 課題 2 同分母分數加法的進位（不約分） 課題 8 公倍數 課題 3 同分母分數加法的約分（不進位） 課題 9 真分數 課題 4 同分母分數加法的進位與約分 課題 10 假分數 課題 5 異分母分數加法的通分 課題 11 帶分數 課題 6 異分母分數加法（含帶分數） 課題 12 假分數化為帶分數 資料來源：引自李柏儒、郭輝煌等，2012，頁 93。
根據表 2-1-1 並利用詮釋結構分析法(Takeya, 1999)，便可得知該課程的教學 結構圖，如圖 2-1-1 所示。 圖 2-1-1 「分數加法」課程之教學結構圖 資料來源：引自李柏儒、郭輝煌等，2012，頁 93。 若設定應用型教學略之(α , β )為(-0.5 ,0.5)，且v1，v7，v10，v11已完成時，現 在需決定下一個要教授的課題為何？首先，須決定候選課題集合，亦即除去已完 成之四個課題後，剩於課程中之最底層課題集合，得V3＝
{
v3,v8,v9}
，接著，便可 分別計算出共前提性指數及共目標性指數，其計算過程如下： ) 3 , 11 ( f ＝ ) ( )) ( ) ( ( 11 3 V n v S v S n p ∩ p g(11,3)＝ ) ( )) ( ) ( ( 11 3 V n v S v S n o ∩ o 其中， 一、 V＝{
v0,v1,v2,v3...,v12}
，則n(V)＝13。 二、 Sp(v11) ＝{ }
v0 ， Sp(v3) ＝{
v0,v1,v7}
， 則 (Sp(v11)∩Sp(v3)) ＝{ }
v0 ， 因 此 )) ( ) ( (S v11 S v3 n p ∩ p ＝1 三、 So(v11)＝{
v2,v4,v6,v12}
，So(v3)＝{
v4, v6}
，則(So(v11)∩So(v3))＝{
v4, v6}
，因此 )) ( ) ( (S v11 S v3 n o ∩ o ＝2 6 4 5 2 3 8 12 1 7 9 10 11故 ) 3 , 11 ( f ＝ 13 1 ，g(11,3)＝ 13 2 依此類推，可得知 ) 3 , 11 ( f ＝ 13 1 ， ) 8 , 11 ( f ＝ 13 1 ， ) 9 , 11 ( f ＝ 13 1 ) 3 , 11 ( g ＝ 13 2 ， ) 8 , 11 ( g ＝ 13 1 ， ) 9 , 11 ( g ＝ 13 4 最後，便可進一步推算兩課題之系列化指數，即 ) 3 , 11 ( θ ＝-0.5× 13 1 +0.5× 13 2 ＝0 ) 8 , 11 ( θ ＝-0.5× 13 1 +0.5× 13 1 ＝0 ) 9 , 11 ( θ ＝-0.5× 13 1 +0.5× 13 4 ≒0.115 在此三個系列化指數中，最大值為θ(11,9)，故課題 11 的下一個教學課題應選擇課 題 9。依此算則進行計算，便可得知其餘課題之教學順序。
第二節 分數乘法課程之探討
本節將針對分數乘法相關概念在九年一貫課程數學學習領域國小階段中的 分布情況，及五年級分數乘法單元在國小教授之分數相關概念中的教材地位進行 探討，以做為研究者教學時之參考。 壹、 九年一貫課程數學學習領域分數乘法相關課程綱要 本研究之研究對象為一百零一學年度上學期之國小五年級學生，其所使用之 數學課程內容均為依據九十二年起推行之九年一貫課程中的數學學習領域綱要 所編製而成。由於本研究係針對五大主題中「數與量」的分數部份進行探討，故 以下僅羅列出九十二年起實施的九年一貫課程綱要中關於分數教材的各階段能 力指標及分年細目，如表 2-2-1 所示。表 2-2-1 92 年九年一貫課程綱要數學學習領域分數教材能力指標及分年細目表 階段 年級 分年細目 內 容 能力指標 一 階 段 二 2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單 位分數，並比較不同單位分數的大小。 N-1-09 三 3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分 母分數的比較與加減問題。 N-1-09 二 階 段 四 4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的 意涵。 N-2-06 4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數 與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、 加、減與非帶分數的整數倍的計算。 N-1-01 N-1-03 4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比 較，並用來做簡單分數與小數的互換。 N-2-08 N-2-13 五 5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。 N-2-08 5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。 N-2-09 5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的 意涵。 N-2-06 5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決 生活中的問題。 N-2-11 5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。 N-2-06 N-2-13 5-n-12 能認識比率及其應用（含「百分率」、「折」）。 N-2-14 三 階 段 六 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數 互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的 計算方式，並能將分數約成最簡分數。 N-3-02 6-n-03 能理解除數為分數的意義及其計算方法，並解 決生活中的問題。 N-3-03 6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算。 N-3-11 A-3-01 6-n-07 能認識比和比值，並解決生活中的問題。 N-3-05 6-n-09 能理解正比的現象，並發展正比的概念，解決 生活中的問題。 N-3-05
資料來源：引自教育部 92 年國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要，頁 25-26。 由表 2-2-1 可知，在 92 年九年一貫課程中，學生從國小二年級開始接觸分 數，且至三年級學習分數的加、減法問題，直至四年級才踏進分數乘法的世界， 但也僅限於非帶分數乘以整數的部分，最後在五年級階段才對分數乘法概念與運 算方式有較完整的學習，而升上六年級後，則更近一步解決分數除法的問題，最 後擁有處理分數四則運算問題之能力。因此，五年級階段可說是學生分數乘法基 本概念及運算能力養成的重要關鍵，故本研究選擇將研究對象設定為國小五年級 之學生。 而本研究係探討國小五年級學生之分數乘法單元學習成就情形，故將與其相 關的分年細目詮釋摘錄如表 2-2-2 所示。 表 2-2-2 92 年九年一貫課程綱要數學學習領域分數乘法相關內容分年細目詮釋表 分年細目 內 容 及 詮 釋 能力指標 4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分 數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶 分數的整數倍的計算。 N-1-01 N-1-03 說明 ★ 由本細目開始發展分數的計算課題，建議分母小 於 20，且用較常出現的數，如 2、3、4、5、8、 10、12、15、16、20 等。為與小數做連結，應做 分母為 100、1000 等的分數。 ★ 由於分數本質上是一種乘除關係，一般其加減計 算其實比乘除計算複雜，但是在同分母的情形， 可以利用單位分數的點數，與整數的計算完全連 結，這就是本細目所處理的所有情形。建議教師 先在一固定情境中（如平分披薩），將課題說明清 楚並做計算練習後，才開始做其他應用問題（如 平分緞帶）。 ★ 本細目應處理︰ （續下頁）
分年細目 內 容 及 詮 釋 能力指標 說明 ＊ 將整數點數與分數記號連結起來（例如 9 個14 就是9 4 ）。 ＊ 說明真分數、假分數、帶分數的意義。 ＊ 說明假分數與帶分數的轉換，並理解這與分子 除以分母的商與餘數的關係。 ＊ 說明整數的比較與計算如何與同分母的比較 與計算連結。 ★ 由於同分母分數的比較與加減，與學童的整數經 驗完全相同，所以較容易。因此，此細目可作假 （真）分數的整數倍，但不作帶分數的整數倍。 在說明分數的整數倍時，先確定學童已能接受 4-n-06 中「若每個小朋友有2 3個披薩，所以 3 個小 朋友（3 倍）共有23個披薩×3＝2 個披薩」的說明。 教師可以採用整數乘法的經驗，建立整數倍的計 算，也可與「整數相除」的概念連結。簡單整數 除數的情況也類似。 ★ 透過分解合成，理解加減互逆也可用於分數加減。 ★ 理解作帶分數減法時，可能要從整數借 1 的計算 原理。並在以 10 為分母時，理解這與小數相減借 位的原理相通。 ★ 本細目處理完後，學童應能理解或計算︰ 16 30＜1＜ 45 30， 16 30是真分數， 45 30是假分數。 17 25＋ 34 25＝ 51 25＝2 1 25， 220 42 － 121 42 ＝ 99 42＝2 15 42。 2 3×3＝2， 9 8×3＝ 27 8。 21÷33＝21 33。（教師指定要寫成分數時）。 表 2-2-2（續）
分年細目 內 容 及 詮 釋 能力指標 5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。 N-2-08 說明 ★ 在 4-n-08 的前置經驗中，僅強調等值分數概念的 認識。在本細目教學時，可由具體情境，解釋約 分與擴分的意義，然後即應運用因數與倍數來理 解約分與擴分，並做等值分數的換算。 5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中 的問題。 N-2-11 說明 ★ 分數計算的課題，不管是從形式練習面著手，還 是從情境說明著手，學童都需要經常練習，兩者 俱進，才會熟練。本細目在教學上應先處理帶分 數乘以整數的問題，再處理整數乘以分數的情 況，最後處理被乘數為一般分數的情形。理解「分 數乘以分數」的方式很多，底下只是一些方法的 範例，並不表示教師必須全部教完。 ★ 在乘數為分數的教學中，最要注意的錯誤類型， 是學童認為「乘積一定比被乘數大」，對於這個基 於整數計算經驗的錯誤類推，教師需細心處理。 最好在最容易理解的「乘數為單位分數」的情況 下，就要開始處理。 ★ 乘數為分數的教學宜先從單位分數開始。3-n-09 中談一數的「幾分之一」是本細目的前置經驗， 但不完全相同。「分數倍」的理解比較抽象，可讓 學童從已經熟練的直覺與運算上，認識其合理性。 ★ 例：1 個披薩 300 元，2 個披薩 600 元等，將幾個 轉成幾倍來列式，再問「如果兩個人平分 1 個披 薩（即各吃1 2個披薩），應該各付多少錢？如果三 個人各吃1 3個披薩呢？如果五個人各吃 1 5個披薩 呢？」讓學童理解×12、×13、×15，其實就是二等分 （除以 2、「的二分之一」、「的一半」）、三等分（除 以 3、「的三分之一」）、五等分（除以 5，「的五分 之一」）。在此例要小心「元」這個單位不能再分， （續下頁） 表 2-2-2（續）
分年細目 內 容 及 詮 釋 能力指標 說明 因此被乘數必須能被整除。 ★ 與上例類似的連續量例子：從測量情境的分數「整 數相除」意涵入手，假設作為測量單位的木條長 5 公分，那麼測量結果，1 段就是 5 公分，2 段就 是 10 公分，因此「段」也可以作為倍數來理解， 這時問1 2段應該是多長，顯然就應該是 5÷2＝ 5 2公 分。如此也可以得到一樣的結果。 ★ 例：由長方形的面積公式入手（只處理乘數是單 位分數，參見 4-n-15）。由於邊長是連續量，很適 合用在分數與小數的教學，但要注意 4-n-15 的面 積公式邊長都是整數。先固定面積公式中的 「長」，例如 10 公分，看出當「寬」為 1 與 13的 差別是，後者的總面積是前者總面積（10×1＝10） 的三等分，因此應該是 10×31＝10 3，以此類推。 ★ 以上處理單位分數倍的方式，可以建立×12就是 ÷2，×1 3就是÷3 的概念。接著，討論乘數分子不為 1 的情況，如3 2倍的情況，先在上述類似具體情境 中（面積中可能要用到等積異形），理解這其實就 是÷2×3 或×3÷2；或者用測量模型，則×23相當於×112 （亦即 1 段加半段）。並可由此得到一般分數倍的 計算方式： 5×3 2＝5×3÷2＝ 5×3 2 ＝ 15 2。 接著，再說明 5 4× 3 2＝ 5 4×3÷2＝ 5×3 4 ÷2＝ 5×3 4×2＝ 15 8。 ★ 如果要一次完成分數乘以分數，也可以深入探討 表 2-2-2（續）
分年細目 內 容 及 詮 釋 能力指標 說明 長方形面積公式。例如要處理長為3 2公分，寬為 5 4公 分的長方形，則可將長方形分割成 15 個長為12公 分，寬為1 4公分的小長方形，再將小長方形與邊長 1 公分的正方形比較，知道其面積是1 8平方公分， 因此總面積為1 8×15＝ 15 8平方公分。 資料來源：引自教育部 92 年國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要，頁 112、 124-126。 貳、 五年級分數乘法單元在國小教授的分數相關概念中之教材地位 由於本研究實驗學校之五年級數學課本採用康軒版，故此謹以康軒版為參 考，整理出五年級分數乘法單元之教材地位分析圖，如圖 2-2-1 所示。其中，過 去係指國小一年級至四年級階段，現在係指國小五年級階段，而未來則是指國小 六年級階段。 過 去 第四冊 第八單元 ‧ 在連續量的情境中，認識單位分數的 意義。 ‧ 單位分數的說、讀、聽、寫、做。 ‧ 在離散量的情境中，認識單位分數的 意義。 ‧ 在具體的情境中，比較單位分數的大 小。 第五冊 第十單元 ‧ 認識真分數的意義（分母為 20 以 內）。 ‧ 能解決全體量的幾分之幾的問題。 ‧ 認識分數、分子、分母等名詞。 ‧ 真分數的說、讀、聽、寫、做。 ‧ 同分母分數的大小比較。 ‧ 透過具體活動，解決同分母分數的合 成與分解。 ‧ 用算式記錄同分母分數的加、減問題 （和≦1）。 表 2-2-2（續） （續下頁）
第七冊 第九單元 ‧ 認識真分數、假分數、帶分數的意 義。 ‧ 能做假分數和帶分數的互換。 ‧ 分數加減分數的計算。 ‧ 真（假）分數的整數倍。 第六冊 第七單元 ‧ 解決同分母分數的加減應用問題（兩 步驟、被加數減未知、加減數未知）。 ‧ 從平分的活動中，初步體驗等值分數 （連續量)。 ‧ 透過平分（離散量）的活動，理解內 容物為多個個物的分數。 現 在 第十冊 第一單元 （本研究單元） ‧ 能理解帶分數×整數的意義及計算方法，並解決生活中的相關問題。 ‧ 能理解整數×分數的意義及計算方法，並解決生活中的相關問題。 ‧ 能理解分數×分數的意義及計算方法，並解決生活中的相關問題。 未 來 第十一冊 第二單元 ‧ 能解決分數除以整數的問題。 ‧ 能解決同分母分數除以分數的問題。 ‧ 能解決異分母分數除以分數的問題。 ‧ 能根據除數和 1 的關係，判斷商和被 除數的大小。 第十二冊 第一單元 ‧ 解決分數除法的應用問題。 ‧ 解決分數乘除混合的問題。 ‧ 解決分數加、減、乘、除混合的四 則 問題。 圖 2-2-1 五年級分數乘法單元之教材地位分析圖 資料來源：引自康軒版數學科教師手冊第十冊，頁 12。 由圖 2-2-1 可知，學生在學習本研究單元之前應已具備假分數和代分數互 換、解決真（假）分數的整數倍問題、了解約分及擴分之概念等能力，並以本單 元之學習內容為基礎，進行分數除法概念之學習，亦即若學生在此單元之學習成 效不彰，將影響到其在分數除法學習上之表現。
第三節 分數乘法相關教學方法之分析
Jecks (1981)認為不到 10%的學生具有分數的基本概念，而大部分的學生並 不是真的了解分數的意義，只是盲目的追求記憶中的規則並加以使用，且其往往無法判斷哪些規則適用於哪些題目（引自黃立期，2010，頁 36）。Kerslake (1986) 也發現，英國青少年是依靠背誦公式或方法來解決分數問題。Dickson, Brown and Gibson (1984)則表示在整數情境的四種運算中，乘法是最難去獲得具體意義的， 然而在分數情境中，這個問題可能更大（引自黃立期，2012，頁 37）。 教學現場常會看到，當學生無法理解教師教的概念時，若教師能換一種方式 講解，學生也就多一個聽得懂的機會，對學習成就較低的孩子尤其是如此。因此， 教師在進行分數乘法的教學前，首先須對該教材之教授方法有更多元的認識，方 能使學生多一個對分數乘法概念有更清楚認知的機會，並在了解概念的情況下， 解決其相關問題。而國內外有部分學者（Kennedy and Tipps, 2000；Post, 1988； 呂玉琴等，2009；林碧珍、陳姿靜，2006；陳竹村、林淑君、陳俊瑜，2001）針 對分數乘法教材之教學方法做出了不同的見解，研究者將其內容整理如下： 壹、 分數×整數 一、 真（假）分數×整數 教師在教授此類型概念時，若能從累加的概念做切入，讓學生透過整數乘 法之意義，由分數的加法連結至乘法，學生將更容易理解。如：「每條毛線長 1 4 公尺，3 條毛線長幾公尺？」此式題傳達的意義為 3 個 1 4 公尺，也就是 1 4 公 尺的 3 倍，所以列式時應記為 14 ×3，此時教師便可帶入累加的概念，14 ×3 ＝ 1 4 + 1 4 + 1 4 ＝ 1×3 4 ＝ 3 4 的教學方式，推導出分數×整數的概念，必要時教師 也可透過數線圖解、幾何模型板、積木模型等教學工具，以幫助學生對概念有 更具體、深刻的了解。 二、 帶分數×整數 教師在教授此類型概念時，可以兩種方式進行教學，第一種為先將帶分數 轉換為假分數，再使用前述之真（假）分數×整數的方式進行教學。如：「313 ×
5 ＝ 10 3 × 5 ＝ 10×5 3 ＝ 50 3 ＝ 16 2 3」；第二種則是使用分配率的概念進行教 學，亦即先將帶分數的部份寫為整數加分數，再使用分配率，可得整數×整數+ 真分數×整數之模式。如：「313 × 5 ＝ 3 × 5 + 13 × 5 ＝ 15 + 53 ＝ 15 + 1 + 23 ＝ 1623」 貳、 整數×分數 教師在教授此類型概念時，應強調基準量（誰代表 1）之意義，且問題情境 盡量以離散量為主。如：「一箱汽水有 24 罐，媽媽買了 14 箱汽水，是買了幾罐？」 此時的基準量便是題目中的 24 罐汽水，必要時教師也可透過具體物（一箱汽水） 或圖形表徵等方式，幫助學生對概念有更具體、深刻的了解。 參、 分數×分數 教師在教授此類型概念時，問題情境盡量以連續量為主，教學方式可從圖形 的分解來強調再分割概念，並與原基準量做比較，如面積表徵、線段表徵，另外 也可直接由文字表徵的方式來進行講解。以下分別就此三種表徵方式進行說明︰ 一、 面積表徵 「1 公升的糖水含有 23 公斤的糖，4 5 公升的糖水含有幾公斤的糖？」教 師可先向學生說明 45 公升為 1 公升的 4 5 倍，因此所含的糖量也為 1 公升的 4 5 倍，所以列式時應記為 23 × 4 5，並於黑板上畫出一塊矩形面積以表示一公斤的 糖，再以橫線將其平分成 3 份，並取其中的 2 份為 23 公斤（如圖 2-3-1 左邊圖 斜線部份），接者，4 5 倍就是將 2 3 公斤以直線平分成 5 份，並取其中的 4 份（如 圖 2-3-1 中間圖較深色部份），最後因為要和原基準量也就是一公斤的糖做比 較，所以要把直線部份延長（如圖 2-3-1 右邊圖較虛線部份），就會得到它是 3 ×
5 ＝15 等份中的 2 × 4 ＝8 等份，也就是 2 3 × 4 5 ＝ 2×4 3×5 ＝ 8 15 。 圖 2-3-1 面積表徵圖 二、 線段表徵 「媽媽買了一條棉線，他剪下 23 條棉線的 4 5 倍包粽子，共是剪下多少條 棉線？」教師可先於黑板上畫出一塊矩形面積以表示一條棉線，再以直線將其 平分成 3 份，並取其中的 2 份為 32 條棉線（如圖 2-3-2 上圖斜線部份），接者， 將每一份都再以直線平均細分為 5 份，並分別取其中的 4 等份為 45 倍（如圖 2-3-2 中圖較深色部份），最後因為要和原基準量也就是一條棉線做比較，所以 要把剩下的 13 部份也以直線平均細分為 5 份（如圖 2-3-2 下圖），就會得到它 是 3 × 5 ＝15 等份中的 2 × 4 ＝8 等份，也就是 23 × 4 5 ＝ 2×4 3×5 ＝ 8 15 ，另外 教師也可將其顏色一樣的排在一起（如圖 2-3-3），讓學生由數算的方式發現 158。 圖 2-3-2 線段表徵(1) 圖 2-3-3 線段表徵(2) 三、 文字表徵 教師可先透過情境讓學生理解 × 14 就是四等分（除以 4、「的四分之
一」）、× 17 就是七等分（除以 7、「的七分之一」)，以建立學生 × 14 就是÷ 4、 × 1 7 就是÷7 的概念，接著將其推廣到非單位分數的情況，如︰× 3 4 就是÷ 4×3 或×3÷ 4、× 57 就是÷7×5 或×5÷ 7。最後可推論出 3 5 × 3 4 ＝ 3 5 × 3 ÷ 4 ＝ 3×3 5 ÷ 4 ＝ 3×3 5×4 ＝ 9 20 。 綜觀以上各學者對分數乘法教法之分析，大致可將其內容分為分數×整數、 整數×分數、分數×分數三部份，且每一個部份均有許多不同的教學方法與技巧， 而活用這些資訊，將其以應用型教學策略之教學順序串聯起來，讓學生不再只是 死記、硬背公式，便成為本研究的目的之ㄧ了。
第四節 分數乘法問題情境結構之探討
數學教學應以日常生活中的真實情境為題材(Gutstein, 2003)，NCTM(2000) 也指出，教師在教授分數乘法的概念時，不僅要讓學生熟練其運算技巧，更應讓 學生在面臨問題情境時，也能夠大膽猜想並小心探索，進而求得解決辦法。也就 是說，若能讓學生在問題情境中尋求分數乘法的概念，對學生而言是較有利的。 因此，如何佈題？在整個分數乘法的教學過程中便顯得格外重要，當然，編製試 題時亦然!如同國內學者林碧珍、蔡文煥、蔡寶桂、楊 媖媖、劉婉君、蘇泱因(2004) 所言，分數的乘法應可以多重情境的方式來進行佈題，因此，教師在編製試題前 必須對分數乘法的問題結構先有一定程度的了解，方能使試題內容更多元化。 分數乘法屬乘法概念中之ㄧ環，因此其問題結構也將包含於乘法之中。而許 多學者曾以各各觀點對乘法的問題結構提出不同的見解 (Vergnaud, 1983; Schwartz, 1988; Greer, 1992)以下針對各學者之見解進行探討。（修改自江淑怡， 2009；林碧珍，1991，2003；林碧珍、蔡寶桂、楊媖媖，2009；南慧卿，2012； 黃毓棻，2009；劉秋木，1998） 壹、 Vergnaud 模式Vergnaud (1983)從向量空間及向度的觀點將乘法的問題結構分為︰ 一、 量數同構型 (isomorphism of measures)︰兩個量數空間的直接比例。 例如︰小乖每天刷牙 3 次，6 天共刷牙幾次？ 二、 量數乘積型 (product of measures)︰由兩種量數結合而成第三量數。 例如︰一個長方形的長為 8 公分，寬為 10 公分，面積為多少平方公分？ 三、 多重比例型 (multiple proportions)︰由兩種量數與第三種量數間成比例。 例如︰一隻牛一天可擠 5 公升的牛奶，則 7 隻牛 9 天可擠多少公升的牛 奶？ 貳、 Schwartz 模式
Schwartz (1988)把題目中涉及的量以內涵量 (intensive quantity,I )或外延量 (extensive quantity,E)為分類，將乘法的問題結構分為︰ 一、 I ×E＝E′ 將一個內涵量和一個外延量相乘，產生另一個外延量。 例如︰每個人有 3 塊蛋糕，5 個人一共有幾塊蛋糕？ 二、 E×E′＝E ′′ 將一個外延量和另一個外延量相乘，產生第三個外延量（相 當於 Vergnaud 的量數乘積型）。 例如︰媽媽有 3 件襯衫及 4 條褲子，共有幾種不同的搭配方式？ 三、 I ×I ′＝I ′′ 將一個內涵量和另一個內涵量相乘，產生第三個內涵量。 例如︰爸爸以每小時 100 公里的速度在高速公路上開車，今天一天下來爸 爸共開了 5 小時，請問爸爸今天開了多遠的距離？ 四、 S×E＝E′ 此結構為倍數問題，S代表任一常量（也可以將常量假想為內 涵量）。 例如︰小花有 6 張紙牌，美美的紙牌數量是小花的 2 倍，請問美美有幾張 紙牌？ 參、 Greer 模式 Greer(1992)以對稱和不對稱的觀點，將乘法的問題結構分為︰
一、 STS︰最初量(S)接受到一種變換(T)而形成另一個量(S)。 二、 SSS︰由兩個量結合而產生第三個量，屬於對稱型（相當於 Vergnaud 的量 數乘積型及 Schwartz 的E×E′＝E ′′結構）。 三、 SRS︰R是兩個量之間的關係。（相當於 Schwartz 的S×E＝E′結構）。 Greer (1992)更進一步將三種結構應用在不同的情境，如表 2-4-1 所示。 表 2-4-1 Greer 之乘法問題的分類結構及對應之問題情境表 類 型 對 應 之 問 題 情 境 等組 (equal groups) 每個人有 3 顆蘋果，7 個人共有幾顆蘋果？ 等量 (equal measures) 每把尺長 15 公分，5 把尺的長度共幾公分？ 速率 (rate) 一艘船每秒可走 7 公尺，9 秒共可走幾公尺？ 單位的換算 (measure conversion) 若 1 歐元可兌換 40 元台幣，則 8 歐元共可兌換成 台幣多少錢？ 倍數比較 (multiplicative comparison) 媽媽的年齡是妹妹的 3 倍，妹妹今年 12 歲，請問 媽媽今年幾歲？ 部分-整體 (part-whole) 五年級男生佔全年級人數的 37，若五年級共有 140 人，請問其中男生有幾人？ 倍數改變 (multiplicative change) 一條橡皮筋最多可拉長至原長度的 3 倍，請問 2 公 分的橡皮筋最多可拉長至幾公分？ 長方形面積 (rectangular area) 一張長方形色紙的寬為 5 公分，長為 8 公分，請問 這張色紙的面積是多少平方公分？ 叉積 (Cartesian product) 從甲地到乙地有 5 條路，從乙地到丙地有 3 條路， 若要從甲地經過乙地到丙地，共有幾種不同的走 法？ 量的積 (product of measures) 一台電視每小時耗電量為 150 瓦，3 小時的耗電量 是多少瓦？ 資料來源︰修改自林碧珍等，2009；劉秋木，1996。
雖然前述之三位學者均以不同的角度，針對乘法的問題結構提出了三種類型 不同的見解，但若分別將其為基礎，應用於各種情境上時，大致仍均可發展出由 Greer 所提出的十種乘法問題結構。但在考量真實情況後，研究者發現，這十種 乘法問題結構並非每一項都適用於分數乘法，因此，本研究將以「等量」、「速率」、 「倍數比較」、「部分-整體」、「長方形面積」五種問題結構為基礎，發展施測工具。 根據研究對象所使用之康軒版第十冊第一單元所教授之內容，可將五年級分 數乘法單元之問題類型分為十一種類別，如表 2-4-2 所示。 表 2-4-2 分數乘法問題類別表 教 材 內 容 分 數 乘 法 問 題 類 別 分數×整數 帶分數×整數 整數×分數 整數×單位分數 整數×真分數 整數×帶分數 分數×分數 單位分數×單位分數 單位分數×真分數 真分數×真分數 假分數×真分數 假分數×假分數 帶分數×真分數 帶分數×帶分數 研究者將乘法之問題情境與分數乘法問題類別互做搭配合後，便可衍生出分 數乘法之問題情境，進而編製施測工具裡的應用題部分（第二部份）。如：「速率
類型」搭配「帶分數×整數」便可獲得「一艘船每秒可走 2 59 公尺，30 秒共可走 幾公尺？」
第五節 分數乘法錯誤類型之探討
Gagne (1985)認為使用了錯誤的規則或先備知識的不足都可能是導致學生計 算錯誤的原因。因此，教師若能在教學時，適時的在易出錯部份進行加強教學， 以導正學生的觀念，必能使其在學習的道路上更加順遂。基於上述原因，研究者 將國內外學者（Ashlock, 1990; Edwards,1983; Lankford,1972; Painter,1989；林榮 煌，2006；湯錦雲，2002；劉天民，1993）針對學生在分數乘法運算方面較易出 現的錯誤類型進行研究後之結論整理如下表 2-5-1。 表 2-5-1 分數乘法運算之錯誤類型表 錯 誤 類 型 舉 例 說 明 整 數 和 分 數 相 乘時 分子和分母均乘上整數。 7× 5 6＝ 7×5 7×6＝ 35 42 分 數 和 分 數 相 乘時 分母相乘，分子卻相加。 5 6× 3 4＝ 5+3 6×4＝ 8 24 此兩分數為同分母時，只有分子 相乘，分母不變。 5 9× 7 9＝ 5×7 9 ＝ 35 9 先通分，再相乘。（雖然答案無 誤，但此舉卻無意義） 5 6× 3 4＝ 10 12× 9 12＝ 90 144 分子與分母交叉相乘。 5 6× 3 4＝ 5×4 6×3＝ 20 18 5 6× 3 4＝ 6×3 5×4＝ 18 20 整 數 和 帶 分 數 相乘時 整數只與帶分數的整數部分相 乘。 7×2 5 6＝(7×2)+ 5 6＝14 5 6 整數只與帶分數的分數部分相 乘。 7×2 5 6＝2+ 7×5 6 ＝2 35 6 帶 分 數 和 真 分 數相乘時 整數不變，僅分數相乘。 2 5 6× 7 9＝2+ 5 6× 7 9＝2+ 5×7 6×9＝2 35 54錯 誤 類 型 舉 例 說 明 帶 分 數 和 帶 分 數相乘時 整數乘以整數，分數乘以分數。 25 6×3 3 4＝(2×3)+( 5 6× 3 4)＝6 15 24 只有分數相乘，整數卻相加。 256×334＝(2+3)+(56×34)＝52415 帶 分 數 化 為 假 分數的錯誤 將整數部份直接和分子相加成 新的分子，分母則不變。 2 5 6＝ 2+5 6 ＝ 7 6 約分的錯誤 在帶分數的狀態下，取其分數部 分互相做約分。 2 5 6×3 3 4＝2 5 2×3 1 4 上述種種錯誤類型不僅可供研究者在教學時適時的向學生特別強調，以釐清 其相關概念，達到防患於未然的目的，更可運用在發展施測工具時，若能將其當 作參考來編製試題，並於施測後進行分析，必定能更有效的瞭解學生學習分數乘 法之情形。 表 2-5-1（續）
第三章 研究方法
本研究之主要目的為探究使用「應用型教學策略」及「傳統講述教學法」， 對國小五年級學生進行「分數乘法」單元教學之成效差異。全章共分為五小節， 首先介紹本研究之整體研究流程，接著分別針對本研究之研究設計、研究對象、 研究工具及資料分析方法四個部份進行詳細的說明。第一節 研究程序
本節主要就本研究之整體研究流程及步驟加以說明。依據本研究目的，將研 究步驟說明如下： 壹、 前置作業 一、 研究者蒐集國內外有關分數乘法研究的相關文獻並了解各種教學方法，最 終選定使用應用型教學策略來進行五年級分數乘法單元的教學。 二、 研究者依照應用型教學策略所對應之演算法推論出實驗組之教學順序，並 依據該順序撰寫教案（如附錄三），且為降低研究誤差，教案內容之活動 部份的問題情境及數字安排，均與康軒版第十冊第一單元課本內容一致。 三、 依據研究目的及蒐集之文獻，並與有豐富數學教學經驗之教師討論後，編 製施測工具。 貳、 預試 以施測工具進行預試，對象為實驗學校六年級的 58 位學生。並於預試後以 信度、難度、鑑別度為依據，再與指導教授討論後，進行題目的修審，以發展出 正式試卷。 參、 正式施測-前測 本研究正式施測前測對象為實驗學校五年級的 52 位學生。使用修審後的正 式試卷進行測驗，並於施測後進行資料登錄以及分析。 肆、 實驗教學 分數乘法單元的五節課中，實驗組依照研究者所撰寫之教案進行應用型教學 策略教學，而控制組則以傳統講述教學法按課本進度進行教學。伍、 正式施測-後測 本研究正式施測後測對象與前測均相同。使用正式施測前測之複本測驗（如 附錄二）進行，並於施測後登錄資料以及分析。 陸、 論文之撰寫 將前、後測之量化資料進行綜合分析、比較與結果解釋，並撰寫成研究論文。 研究者將研究流程繪製成圖，如圖 3-1-1 所示。 圖 3-1-1 研究流程圖 推算實驗組教學順序並撰寫分數乘法單元之教案 訂 定 研 究 主 題 編 製 施 測 工 具 預 試 對預試結果進行分析並修審題目，進而產生正式試卷 對正式施測結果進行分析、比較 將研究結果整理並撰寫成論文 實驗組以應用型教學策略進行教學，控制組則以傳統講 述教學法進行教學 正 式 施 測 - 前 測 正 式 施 測 – 後 測 對前測結果進行分析，以確認兩組分群方式是否恰當。 研 究 國 內 外 相 關 資 料 與 文 獻 探 討
第二節 研究設計
因受限於學校編班制度，無法將受試者以隨機編排的方式安置於各個研究班 級，故本研究決定採用「準實驗研究設計」。其設計模式如表3-2-1所示。 表 3-2-1 研究設計表 組別 前測 實驗處理方式 後測 實驗組 O1 X1 O2 控制組 O1 X2 O2 註：O1：分數乘法單元成就測驗前測。 O2：分數乘法單元成就測驗後測。 1 X ：應用型教學策略。 X2：傳統講述教學法。 研究流程說明如下： 壹、 研究者由任教的國小裡，採非隨機方式，選定任教班級為實驗組，再由同學 年的班級中挑選該班級教師與研究者教學理念、方式、班級教學氛圍相近的 另一班做為控制組。 貳、 在實施教學活動之前，實驗組與控制組均分別於開學第一週就先接受「分數 乘法單元成就測驗前測」(O1)。 參、 在前測結束之後，實驗組採「應用型教學策略」(X1)進行教學，而控制組則 以「傳統講述教學法」(X2)進行。 肆、 在實施教學活動之後，兩組均進行「分數乘法單元成就測驗後測」(O2)。 本研究設計中之各變項如表3-2-2所示。表 3-2-2 研究變項表 控制變項 自變項（教學方法） 依變項（學習結果） 1. 授課時數 2. 教材內容 3. 任課教師 實驗組 （應用型教學策略） 分數乘法單元學習成就 控制組 （傳統講述教學法） 研究變項說明如下： 壹、 控制變項 一、 授課時數 兩組皆為五節課（一周），共200分鐘。 二、 教材內容 康軒版國小數學第十冊第一單元分數乘法。 三、 任課教師 兩組之任課教師分別由台北市立教育大學及台南教育大學畢業，均為領有 教師證書之合格教師，並在同一所小學服務。實驗組之任課教師即本研究之研 究者，對於嘗試運用不同之教學順序、方式，以求提升學生的學習成效，有相 當高的意願。而控制組之任課教師，其營造教學氛圍的方式、教學理念、態度 均與研究者相似。 貳、 自變項 一、 實驗組 實驗組在分數乘法單元的五節課中，依照應用型教學策略所對應的演算法 推論出之教學順序進行教學，並於教學後立即實施分數乘法單元成就測驗後 測。
二、 控制組 控制組在分數乘法單元的五節課中，均以傳統講述教學法按課本進度進行 教學，並於教學後立即實施分數乘法單元成就測驗後測。 參、 依變項 分數乘法單元學習成就係指實驗組與控制組分別在「分數乘法單元成就測驗 後測」的分數。
第三節 研究對象
本研究以新北市五股區某國小兩個五年級班級學生為研究對象，關於研究對 象之敘述如下： 壹、 「分數乘法單元成就測驗前測」之預試樣本 為降低地區性差異，故本研究選取實驗學校的六年級兩個班級做為預試樣 本，並依據預試之信度、難度及鑑別度來修審題目，再以修審後的題目作為正式 施測工具。 貳、 正式研究樣本 本研究之樣本選取採便利抽樣 (convenience sampling)，即以研究者所任教的 國小五年級班級為實驗組，接受「應用型教學策略」進行教學，扣除資源班 2 位 學生後，共有 26 位學生（男生 14 人，女生 12 人）。再挑選另一班級作為控制組， 接受「傳統講述教學法」進行教學，扣除資源班 2 位學生後，共有 26 位學生（男 生 13 人，女生 13 人）。 為了進一步觀察「應用型教學策略」與「傳統講述教學法」對不同分群學生 的學習成效所產生的影響，研究者採用兩組學生國小五年級上學期之數學總平均 分數，分別將兩組學生各自區分為高分群（7人）、中分群（12人）及低分群（7 人）三個群組（高、低分群組學生各占總學生人數之27%，其餘則為中分群組學 生）。並以分數乘法單元成就測驗前測成績為數據，進行單因子變異數分析，分別檢視兩組之分群方式是否恰當，分析結果如表3-3-1及表3-3-2所示。 表 3-3-1 實驗組三分群學生分數乘法單元成就測驗前測成績之單因子變異數分析摘要表 變異來源 平方和 df 均方和 F P 組間 11343.734 2 5671.867 8.281 .002 組內 15753.381 23 684.930 總和 27097.115 25 由表3-3-1可知，實驗組高、中、低分群學生分數乘法單元成就測驗前測成 績之單因子變異數分析結果為F＝8.281，p＝ .002＜ .01，達顯著差異水準，亦即 此三分群學生的分數乘法單元成就有所差異，因此，實驗組的分群方式是合宜的。 表 3-3-2 控制組三分群學生分數乘法單元成就測驗前測成績之單因子變異數分析摘要表 變異來源 平方和 df 平均平方和 F P 組間 6694.943 2 3347.472 4.852 .017 組內 15869.095 23 689.961 總和 22564.038 25 由表3-3-2可知，控制組高、中、低分群學生分數乘法單元成就測驗前測成 績之單因子變異數分析結果為F＝4.852，p＝ .017＜ .01，達顯著差異水準，亦即 此三分群學生的分數乘法單元成就有所差異，因此，控制組的分群方式是合宜的。 另外，根據方仕育 (2012)針對國小高年級學生所進行的校外補習與學業成 就之研究結論顯示，學生是否參加校外補習，對其在數學科的學習表現會有所影 響。因此研究者將更進一步篩選出實驗組及控制組中未就讀數學補習班的學生來 進行研究（實驗組16人，控制組16人），以求獲得更精準的研究結果。
第四節 研究工具
本研究用以達成研究目的之工具分別為教學策略及施測工具，以下就此兩部 份分別進行說明： 壹、 教學策略 本研究之教學策略為應用型教學策略，研究者先由康軒版數學科第十冊課本 中整理歸納出「分數乘法」單元的教學課題，如表 3-4-1 所示。 表 3-4-1 分數乘法單元之教學課題表 課題編號 內 容 課題編號 內 容 課題 1 帶分數乘整數 課題 6 真分數乘真分數 課題 2 整數乘真分數 課題 7 能約分的真分數乘真分數 課題 3 整數乘帶分數 課題 8 帶分數乘真分數 課題 4 單位分數乘單位分數 課題 9 帶分數乘帶分數 課題 5 單位分數乘真分數 研究者以表 3-4-1 中的課題 1-9 為基礎，與指導教授及數位資深教師討論後， 畫出教學結構圖，如圖 3-4-1 所示。 圖 3-4-1 分數乘法單元之教學結構圖 8 9 7 6 5 4 3 2 1最後，研究者以圖 3-4-1 為基礎，並由應用型教學策略所對應之演算法推論 出實驗組的教學順序，而控制組之教學順序則為康軒版數學科第十冊課本中所安 排之教學順序，如表 3-4-2 所示。 表 3-4-2 分數乘法單元之教學順序表 來 源 教 學 順 序 （ 課 題 ) 應用型教學策略 2 4 5 6 1 3 7 8 9 康軒版課本 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由表 3-4-2 可知，兩組在教學順序上，除了 7、8、9 三個課題的順序一致， 其餘之課題的順序都不相同，在課題 1 至 6 之中，實驗組之教學順序以帶分數為 分水嶺，先教整數×真分數，再教真分數×真分數，最後才處理有帶分數的乘法； 而控制組之教學順序則是以乘數及被乘數之屬性做區別，先教分數×整數（包含 帶分數），再教整數×分數（包含帶分數），最後處理分數×分數的部份。 貳、 施測工具 本研究用以蒐集資料的施測工具包括：分數乘法單元成就測驗前測卷及後測 卷（重組卷）。且為了解學生的解題歷程，試卷內容均以建構反應題來呈現。 一、 試卷之效度 (一) 專家效度 研究者參考康軒版第十冊第一單元之課本與習作、教育部於民國九十二 年所公佈之國民中小學九年一貫課程綱要、蒐集之文獻及數位校內外資深數學 教師之意見，進行試題之編製與修改，在完成初步試題後，請指導教授協助審 核修正，以完成分數乘法單元成就測驗預試試題。 (二) 內容效度 分數乘法單元成就測驗預試試題完成後，研究者依據台灣基測中心所採 用之認知層次，將單元教學目標以「概念理解」、「程序執行」及「解題思考」 三層次做分類，制定試題之雙向細目表，以作為審核教材、試題與教學目標間
關係之依據，其雙向細目表如表 3-4-1 所示。 表 3-4-3 分數乘法單元成就測驗前測卷之雙向細目表 教材內容 教學目標 合計題數 概念理解 程序執行 解題思考 帶分數乘整數 1-1 2-1 2 整數成真分數 1-6 2-3 2 整數成帶分數 1-7 1 單位分數乘單位分數 1-5 2-5 2 單位分數乘真分數 2-2 1 真分數乘真分數 1-3 2-7 2 能約分的真分數乘真分數 1-2 2-8 2 帶分數乘真分數 1-8 2-9 2 帶分數乘帶分數 1-4 2-4 2-6 3 合計題數 1 7 9 17 二、 試題分析 研究者以預試樣本在分數乘法單元成就測驗預試中的表現為依據，分析該 試卷中各試題之信度、效度、鑑別度，進而修改部分試題以形成正式試卷，各 試題分析結果如表 3-4-2 所示。 分數乘法單元成就測驗預試試題共有 2 種題型，其中，第一大題為須寫出 解題過程的計算題，共有 8 小題；第二大題為應用題，學生必須先理解題意後 再列出式子，並計算出答案，共有 9 小題，整份試卷合計共有 17 小題。 ⊙ ◎ ◎
表 3-4-4 分數乘法單元成就測驗預試試卷之試題分析表 題號 刪除後信度 難度 鑑別度 整份試卷之信度 1-1 .899 .78 .33 .900 1-2 .898 .83 .33 1-3 .894 .75 .49 1-4 .893 .65 .49 1-5 .889 .75 .53 1-6 .891 .65 .69 1-7 .891 .69 .61 1-8 .892 .73 .53 2-1 .897 .77 .47 2-2 .891 .77 .46 2-3 .893 .80 .40 2-4 .891 .72 .56 2-5 .888 .73 .54 2-6 .893 .74 .51 2-7 .902 .77 .43 2-8 .889 .73 .51 2-9 .907 .14 .24 註： ：刪除後信度較高（＞ .900）。 ⊙：難度值太高或太低（＞ .8 或＜ .6）。 ◎：鑑別度太低（＜ .4）。 ⊙ ◎ ◎ ● ⊙ ◎ ● ●
由表 3-4-2 可知： (一) 整份試卷的 Cronbach’s α 值為 .900，故此份試卷具有良好之內部一致 性。其中，大部分試題的刪除後信度均小於原試卷信度，唯 2-7 與 2-9 二題的刪除後信度高於原試卷信度，故修改。 (二) 本成就測驗之目的在測量學生是否已學會課程所教的基本能力，因此試 卷偏易，故整份試卷多數試題的難度值均介於 .6 至 .8 之間。唯 2-9 難 度值為 .14，太低，予以修改；而 1-2 難度值為 .83，太高，也予以修改。 (三) 大部分試題的鑑別度為 .4 以上，屬優良試題 (Ebel and Frisbie,1979)，唯
1-1、1-2 與 2-9 三題的鑑別度小於 .4。其中，1-1 與 1-2 的鑑別度均為 .33， 但因此兩題均為測驗學生關於分數乘法概念的基本計算題，且在總得分 為前 27%（高分群）的學生中，於 1-1 未得滿分的兩位同學均為計算錯 誤，因此導致本題之鑑別度低於期望值，故與專家討論後決定此題保留 且不予修改，但 1-2 則需修改，而 2-9 之鑑別度為 .24，偏低，也需修改。 綜合上述各項因素，需修改之題目為 1-2、2-7 與 2-9，共計 3 題，均與專 家討論後修改至正式試卷中，其修正方式如表 3-4-5 所示。 表 3-4-5 分數乘法單元成就測驗預試試題修改過程表 預試試卷試題 修改原因 處理方式 正式試卷試題 1-2 5 6 × 4 5 鑑別度稍低 (＜ .4)且難度值 太高(＞ .8)。 將除數的分母與被 除數的分子，修改 為非互為一倍之關 係，以提高其試題 難度。 5 6 × 4 15 (先約分，再計算) (先約分，再計算)
