分數加減運算的相關研究

九年一貫課程綱要中特別強調熟練之演算能力的重要性，認為數學運 算或計算並不只是機械式的計算操作而已。所謂能熟練數學的運算或計算，

係指在能夠理解數學概念或演算規則的情況下，所進行的純熟操作。這種透 過理解並能將觀念與計算結合的能力，才是演算能力。這種能力能讓學生對 數字的內在邏輯有較流暢的感覺，而這種流暢感覺的回饋，則更能增強學生 的自信心。相反的，沒有效率、容易造成錯誤的演算法，卻會加深學習的沮 喪感，使學生逐漸放棄學習。課程綱要指出學生對某種類型數學問題演算的 純熟，常能同時促使其新舊數學觀念的連結與落實。並認為演算亦是學生獲 得新數學經驗的方法，新的經驗將會再形成學生下一階段新主題學習所需的 具體經驗（教育部，2008）。由此可見演算能力在學生學習數學時的重要性，

而這重要性當然也包括了分數加減運算的能力，學生對於分數的加減運算是 否熟練，也會影響學生將來在分數課程的學習表現。

分數的加減可分為同分母分數的加減與異分母分數的加減兩種，在傳 統重計算技能的同分母分數的加減教學，教師通常直接教導學生將分子直接 做加減的計算，而異分母分數的加減則是需把兩個不同分母的分數分別擴分 或約分成同分母的分數，再做分子的加減，而教師在進行教學時，往往只是 不斷地告訴學生：「要先通分，再進行加減。」學生當下雖記住了算則，但 概念卻不清楚，結果導致學生將兩者視為不同的計算（一為分子加減，一為 通分後再做加減）。分數加減運算比整數的加減運算複雜，且步驟更為繁 瑣，學生在計算前必須先判斷，哪些計算規則適用於哪種分數的加減運算。

例如：同分母分數的相加，只要將分數的分子相加，分母不需要改變；異分 母分數相加，兩分數必須進行通分，分子才能相加。正因為如此，學生在學 習分數的加減運算時才會倍感困難。

早在 1831 年 Morgan 就認為分數的算則計算是學習分數的核心所在，而 Fish 更在 1874 年就將分數合成的程序分成五個步驟(Kieren, 1980)：

一、化分數為更高或更低的關係。

二、化整數或帶分數為假分數。

三、將分數化為具有共同分母的等值分數。

四、尋找分數之間的最小共同分母。

五、將分數相加。

Kieren(1976)認為，發展良好的演算技巧是必要的，並將有關分數加法 的種類分為四大類：

一、同分母分數。

二、分母之間有關聯(related)的異分母分數，也就是兩分母之間有倍數關 係。例如：1/2＋3/4。

三、分母之間沒有關聯(unrelated)且互質的異分母分數，也就是兩分母之 間無倍數關係且互質。例如：1/7＋1/11。

四、分母之間沒有關聯(unrelated)且非互質的異分母分數，也就是兩分母 之間無倍數關係且非互質。例如：1/6＋2/9。

另外，Tatsuoka(1984)則是對分數加減的過程提出詳盡的步驟，其中包 含了同分母分數的加減和異分母分數的加減：

一、同分母(like demominators)分數加減

（一）將分子(numerator)的部分相加或相減。

（二）以兩個同分母中的其中一個為共同分母。

二、異分母(unlike denominators)分數加減

（一）檢查分數之間是否有公因數(common factor)存在。

（二）以下列的方法尋找共同分母(common denominator)。

1、質因數分解(prime factoring method)。

2、相乘法(multiples method)。

4、自動化(automatic method)：將分母相乘以求得新的分母，

a/b+c/d=ad /bd＋bc/ bd 的計算策略。

（三）尋找等值分數。

（四）分母保持不變，將分子(numerators)相加。

（五）將相加的結果約分，如果是假分數則轉換成帶分數。

許孝全（2005）使用 IRS 分析六年級分數加法的概念結構，得到以下的 結論：在同分母分數的加法概念中，學生的概念發展次序為（1）分子加法概 念、（2）進位概念、（3）約分概念－分母為分子的倍數、（4）約分概念－

求最大公因數；在異分母分數的加法概念中，學生的概念發展次序為：（1）

兩分母需求最小公倍數、（2）兩分母互質、（3）兩分母為倍數關係、（4）

約分概念-求最大公因數。

陳振忠（2008）使用 IRS 分析五年級分數減法的概念結構，得到以下的 結論：在同分母分數減法概念中，學生的概念上下位關聯為（1）「分子減法 概念」→「約分＋求最大公因數」→「退位＋約分＋整數減法概念」、（2）

「退位概念」→「約分＋求最大公因數」→「退位＋約分＋整數減法概念」、

（3）「約分概念＋分母為分子的倍數概念」→「退位＋約分＋整數減法概念」；

在異分母分數減法概念中，學生的概念上下位關聯為「兩分母互質概念」→

「兩分母為倍數關係概念」→「兩分母要求最小公倍數概念」。

由以上所述我們發現，在分數的加減運算中，異分母分數加減的解題 步驟比同分母分數加減還要複雜，因為同分母分數加減的解題只須將分子相 加減，分母不需改變，但異分母分數加減的解題則需要考慮分母之間的關 係，必須設法先將分數進行通分，才能作分數的加減。相對的，在解題上異 分母分數加減就可能會較同分母分數加減複雜。Tatsuoka(1984) 採用計算規 則研究取向，在其研究中詳細描述異分母相加的步驟，透過量化分析發現，

學生的分數計算表現並不好，其中有許多學生會重複使用錯誤的規則，甚至 缺乏某些分數概念。

黃瓊瑩（2002）針對國小高年級學生的分數加法診斷研究發現，分數加

法運算中「找出公倍數」的能力是非常重要的，並且發現當分母的數值擴展 到 10 以上，學生答題錯誤率會偏高。

王瑞慶（2003）探討國小六年級學生在分數加減法問題的解題歷程，研 究發現，學生對通分的概念如果不夠清楚，可能會在處理同分母分數加減法 問題時，受到異分母加減法問題解題策略知識的影響，而使用分數通分的解 題策略。此外，也發現學生在解題時也會受到分數通分後分母大小的影響，

如果分數通分後的分母比較大，計算上出現錯誤的機會也比較大。

紀順雄（2006）在針對高年級學生的異分母分數加法概念之研究中也指 出，分母的通分是影響分數加法運算解題表現的關鍵。

王銘彥（2008）探討國小六年級學生解決異分母分數加減問題發現在計 算題方面，高成就學生可利用最小公倍數策略，先將分數通分，再進行加減 法運算。低成就學生無論分母呈現何種關係，其解題大部分直接將兩分母直 接相乘做為通分後的公分母，造成通分後之分母過大，容易造成擴分錯誤。

部分學生則是利用直接將分子加分子，分母加分母的策略答題。

另外，從一些相關的研究可以發現，運算的類型也是學生在解分數加減 運算的關鍵。

劉韋成（2009）在探討學生分數加減解題能力之研究中發現，學生學習 分數加減計算時，「假分數計算」是屬於較為簡單之計算類型，因此也較容 易被學生所接受、學習，並指出學生熟不熟練「帶分數與假分數互換」或「帶 分數拆解」，對於學習分數加減概念是具有關鍵性的影響。在運算類型方 面，「假分數＋假分數」的運算是屬於比較簡單之運算類型，而「假分數＋

帶分數、帶分數－假分數」則是屬於較為困難的運算類型。

許正泰（2009）在針對高年級學生的異分母分數加減運算學習表現與錯 誤類型之研究中得到以下的結論：

1. 學生在異分母分數加減運算的整體表現並不理想，全體答對率只達六成 八，且年級愈高，學生內部差異性愈大。

佳，牽涉到「帶分數」的題型表現較不理想；而在減法是以「真分數－

真分數」的題型表現最佳，「不需借位」的題型表現比「需借位」的題 型較好。

3. 學生在「兩分母間的關聯」題目的表現中，以「兩分母間有倍數關係」

表現最佳，「兩分母間無倍數關係且互質」次之，「兩分母間無倍數關 係且非互質」最差。

綜合以上相關於分數加減法的研究結果，我們發現學生在分數加減運 算的學習表現會因為運算類型的不同，而有不同的答題表現，其中以運算牽 涉到「帶分數」或「需借位」時的表現較不理想。此外，在進行異分母分數 的加減運算時，學生能否找到分母的公倍數，並順利的將兩個異分母分數通 分是解題的關鍵。

本研究欲探討屏東縣國小六年級學生在分數加減運算的答題表現，考量 不同的分數運算類型與兩分數分母之間的關係，可能會造成學生在分數加減 運算時的不同表現，因此在測驗試題的編製上，有關分數的運算類型包括了 帶分數、非帶分數（真分數、假分數）與整數等三種形式之間的加減運算；

而兩分數分母之間的關係則分為 1.同分母分數的分數加減運算，例如：

1/4+2/4；2.異分母分數但分母間有倍數關係的分數加減運算，例如：1/3+4/9；

3.異分母分數但分母間沒有倍數關係的分數加減運算，例如：3/8+5/12。