第二章 文獻探討
第二節 分數的意義及兒童的分數概念
劉世能(2002)指出學童在他們最主要接受教育的歲月中，數學概念的學習是 必要的，其中分數是他們接觸的數學概念中最複雜及最重要的，同時Hunting (1983)認為它也是更複雜數學觀念的苗床(seedbed)。本節即從探討分數的意義、
兒童分數概念的發展及其對學習分數的迷思概念著手，並且分析以往有關分數概 念的研究，瞭解兒童分數學習時主要的錯誤類型，在分數的教學活動中，能避免 造成兒童分數認知發展的迷思概念及錯誤。
壹、分數的意義
張平東(1995)探討數字的誕生，認為早在八千年前的人類，即會在骨頭上刻 出條紋來記「數」，可見「數」的概念很早便萌芽了。雖然數字的價值是人類附 加上去，本身更是抽象化的符號，但是卻與人們的生活息息相關，周遭的事物也 幾乎都有數字，並隨著生活的複雜化，計算的情況也跟著增加，具有精密及複雜 的特性。教育部(2004)將數學定位為人類最重要的資產之一，認為是人與人對話 時具有理性與精鍊的一種語言，所以數學教育在世界各國，一直以來，都是基礎 教育不可或缺的領域。分數雖是數系的一環，但李曉莉(1998)認為分數更是兒童 未來要學習許多的數學概念和技能時，必備的基礎和關鍵，所以分數的啟蒙，攸 關著兒童未來的數學發展，因此，分數概念的認知活動著實重要，林碧珍(1988) 進一步解釋，分數是一種既複雜又重要的概念，如果學童無法理解分數，國小以 後的數學發展將會受到阻礙，正是因為數學概念具有抽象且前後連貫的性質，以 及一連串的概念抽象化後的認知結果(引自湯錦雲，2002)。
分數既然是數的一類，跟數一樣也是為了滿足人們在日常生活中，無法以「1」
為集聚單位，來描述事物的部份或組成的分子而產生的數字型態。從分數的英文
是”Fraction”來看，它是源自於拉丁字”frangere”，具有小部份、片段、破碎的意 義，但通常是指將全部分解為部分的意思(張平東，1995)。所以，分數也就是基 於日常生活的實際需要，所建立的一套處理分割後的部份或小的度量的數學模 式，通常用來表示一個被分開的全體的各個部份。
然而就數學而言，分數是因幾何學的測量，以及自然數中的算數運算而生(陳 靜姿，1997)，例如在測量一線段長時，無法用度量單位恰好量完，必須將度量單 位等分成適當的小單位，使得剩餘的長度恰是等分後的小單位的整數倍。數學家 從數學的角度說明分數(或有理數)是一種關係，Russell 將分數
n
m
定義為當xn＝ym 時存在於 x 與 y 之間的關係，在 m 與 n 不為 0 的情況下，
n
m
是一對一的關係 (劉秋木，1996)。由此可知，分數依然是一個數，不過需要用兩個整數的關係來 呈現。雖然分數的基本理念是「分」，但因為情境不同其意義也不同，因而造就了 分數豐富且多樣的內涵。彭海燕(1998)提出分數的意義分為下列數種：部分/全體 的意義、子集/集合的意義、數線上的一點、兩數相除的結果、比值(引自張日齊，
2003)；李長燦(1999)也指出 kieren(1980)將分數分成五個構念(subconstructs)來探 討，就是部分/整體、比率、商、度量和運算，這五個構念不但彼此互相關連，而 且還可以從不同的觀點來解釋分數的意義，其中「部分/整體」是分數發展的基礎。
Dickson, Brown & Gibson (1984)對分數的研究，亦有相同的看法，茲將分數的意 義分成五個部份來說明：
一、全部區域的子區域(sub-area of whole region)
相當於部分/整體的關係，通常是以圖形的面積來表徵，用以表示連續的整 體(連續量情境)等分後的幾個部分，這個意義對兒童來說，是較易學習的，所 以在分數的教學中，常被用來建立兒童的分數概念。例如： 圖形中灰色部分
是全圖的
2
1
(二分之一)。二、子集合與母集合間的比較(a comparison between a subset of discrete objects and the whole set)
三、在數線上的兩個全數間的一點(a point in number line which line at intermediate point between two whole numbers)
在數線上，任何兩個標示為1 的區間，位於區間的一點，其意義與部分/
全體相近。例如： 圖形中位於0、1 間等分成 3 等分的一等分為 3
1(三分之一)。
四、除法運算的結果(the result of a division operation)
在除法的計算中，無法以整數整除而必須除盡時，除了用小數表示其商，
也可以分數表示之。例如：2 個蘋果平分給 5 個人，可以用 2÷5=( )的算式，算 出每個人得到的蘋果，2÷5 的結果用分數表示即為
5 2
。五、二組集合或二個度量的比較的結果(a way of comparing the sizes of two sets of the objects or two measurements)
這是指兩個量的比較，在離散量或連續量的情境下，二量比較的結果，亦
Behr 等人(1988)由不同的應用情境的判斷對分數歸納出多種意義，其中五項 與Dickson, Brown & Gibson 等人之定義相符，下列二項為意義不同的之處(引自
陳建安，2002)，敍述如下：
一、分數是一種運作的過程，強調分數是一種轉換。例如：
5
2
表示放大2 倍(×2)後再分成 5 份(÷5)的歷程，同時也可以視為 2 個
5 1
。二、分數是實數系的子集合，由集合論觀點來看，實數系集合的子集有自然數 的集合、整數的集合、有理數的集合、無理數的集合與代數數的集合等，
其中，有理數的集合就是所有分數的集合。
甯自強(1992)則從不同的角度分析兒童的分數概念發展中分數所具有的意 義，不以分數在應用上的意義來分類，而由觀察兒童解釋與處理「分數詞」的方 式，在不同階段及對部份與全體之間的運思程度，歸納出五種分數詞的意義(張日 齊，2003)：(一)分數的前置概念，此時分數詞的意義只是兩個整數並置、並無任 何部分與全體的關係。(二)起始單位分數及「多個在多個之中」的型式(initial unit fractions and many-in-many patterns)，對於部分在全體之中的意義已能明瞭，如 4+6=10，知 4 與 6 都內嵌於 10 之中，是 10 的一部分。(三)加法性分數(additive fractions)，指的是非單位分數詞是由單位分數詞組合而成，也就是單位分數詞被 為是可相加的單位。(四)巢狀分數(nested fractions)，其分數單位是可再分割的單 位，所以一個分數能成為另一個分數的部分，所以單位分數的內容物不限於只有 1 個。(五)有理數(rational numbers)，以分數的形式來表示兩數值間的比值關係，
這層關係即是數學的有理數的意義，此時分數詞不須藉由不同的分割活動，去比 較單位所發現的結果。
我國的數學教材在分數的定義方面，與前述的研究可說是大同小異。八十二 年實施的數學課程改革，課程中對分數定義如下：(一)部分與全體的比較：全體 是3 時，2 是 3 的部分。(二)除法的活動：2 除以 3 活動的另一種記法。(三)算子：
對於物件1 進行一個運作，將 1 等分割成 3 份，再取出其中 2 份。(四)小數的另
一種記法。(五)比的意義：表示兩數量的相對關係(2：3)。(六)測量：用來測量一 個不滿一個單位量的量的數值問題，或是對兩量的對等關係進行數值化(比值) (國 立編譯館，民89)。九十年開始實施的九年一貫新課程，數學課程雖然延伸八十 二年版的精神，但在分數教材部份，更明白指出以「除」為其最核心的意涵，而 將分數的意義歸結為四種，即平分的意涵、測量的意涵、比例的意涵及部分/全體 的意涵(教育部，2004)。
從分數意義的探討，發現分數在許多情境上的應用，可見分數的學習對促進 兒童數學概念的重要性。雖然分數是基於兒童在學習分數之前就已具有的「分」
的基模，但在正式學習分數時，必須擴展「分」的基模到「等分」基模，並加入
「除」的意涵，以兩個整數的形式來呈現分數，這對初學分數的兒童而言，不僅 是重要的基礎階段而且或許是困惑的開始。再加上分數因各種應用情境而具有的 豐富意義，如部分/全體的關係、比值、除法的商或數線上的一點等，還可區分為 離散量及連續量不同呈現的模式，更是兒童學習分數造成困難的可能因素。因 此，綜合上述對分數意義的分析研究，歸納出分數多重的意義，在兒童分數的教 學，將有助於對不同情境下，分數教材所要呈現的意義能有更深一層的認識，進 而指導兒童正確分數概念的認知。
貳、兒童分數的概念發展
兒童在進行學習時，概念(concept)就是他帶進學習歷程中最重要的元素。認 知發展心理學倡導兒童是認知的主動學習者，應用個人的先備知識及經驗解決問 題，而產生新的聯結。所以學習是將新概念或新訊息，與原有認知結構中的概念 相聯結，如此不斷地整合，融合為更精緻的認知結構，學習才具有意義。因此，
了解概念的形成因子、分數的概念及兒童分數概念的發展，將有助於兒童有意義 的分數學習，建構其分數的知識。
「概念」在早期被視為是一個固定不變的實體，通常指的是對某一種學習的 結果。但Skemp(1976)認為概念是人們過去的生活經驗，具有共通性及不變性的 智慧表現。而概念形成的過程，一般稱為抽象化(abstracting)。很多的數學概念都 是由實際生活經驗所抽象化形成初級概念(primary concept)，然後再繼續抽象化成 次級概念(secondary concept)，例如：紅的、藍的、綠的、白的等初級概念組成「顏 色」這個次級概念。
張春興(1991)對概念的定義分為廣義和狹義兩種意義，廣義的概念是指個體 對其同類屬性事物，獲得概括性的單一經驗；狹義的概念則是以單一概括性的名 稱或符號，用以代表具有共同屬性的一類事物的全體時，此名稱或符號所代表者 為概念。
Markle＆Tiemann(1970)也提出概念具有「一組物件」、「一組事件」、「一組 相互關係」或「一組特性」不同的意涵，從它們的屬性分析，將某些共同的屬性 結合在一起而給予共同的「名稱」；好比能讓人拿在手上寫出字的工具，稱為
「筆」；能測量長度的物品，叫做「尺」；可以用來表徵比1 小的數字型態，就 是「分數」或「小數」。概念的形成則是在每天的生活經驗，發生的實例或與環 境中其他的事物形成強烈的對比，此時，概念自然產生，但是要真正了解某一概 念必須包含兩個成因，一為因類化而成新的例子，二為因區別而產生的反例。因
「筆」；能測量長度的物品，叫做「尺」；可以用來表徵比1 小的數字型態，就 是「分數」或「小數」。概念的形成則是在每天的生活經驗，發生的實例或與環 境中其他的事物形成強烈的對比，此時，概念自然產生，但是要真正了解某一概 念必須包含兩個成因，一為因類化而成新的例子，二為因區別而產生的反例。因