應用鷹架理論輔助國小分數迷思概念課程效益之探究
摘 要
從實務教學的過程中，發現學童對分數概念的認知並不健全，進一步探討相 關文獻，發現分數具有多重意義及抽象且複雜的概念，令學童在學習時產生嚴重 的分數迷思概念，造成分數學習困難。然而，分數概念是奠定學習更複雜數學觀 念的基礎，因此，本研究主要探討如何輔助學童分數迷思概念的學習。 為達成本研究之目的，經由探究建構理論及鷹架學習理論的內涵，做為學習 分數概念之理論基礎，而發展出本研究分數基本概念之「鷹架式電腦輔助教學」 軟體，以探討在數學領域之分數基本概念具有迷思概念的學童，進行補救教學後 之學習成效及學習態度的情形。本研究主要以準實驗研究法，針對剛升上四年級 而分數學習有困難的學童共 47 人進行實驗教學，實驗組以「電腦輔助教學」模 式學習，控制組則以傳統之「課堂式教學」模式學習，經分析比較其結果，獲得 以下之主要研究結論： 一、基於建構理論及鷹架學習模式設計之「鷹架式電腦輔助教學」軟體，有潛在 輔助提升分數基本概念學習困難學童之學習成就 二、學習時間、互動情形及電腦基本素養是影響本研究「鷹架式電腦輔助教學」 之學習成效潛在的主要因素 三、「鷹架式電腦輔助教學」模式學習分數之基本概念，並不會因為性別不同而 有不同的成效 四、具有電腦多媒體的特色及優點之「鷹架式電腦輔助教學」軟體，學童學習時 呈現較為正向且積極的學習態度 五、學習態度與學習成就呈現正相關，亦即學習態度高的學童其分數基本概念之 學習成就亦較高 六、「鷹架式電腦輔助教學」軟體具有潛在減輕教師之教學負擔，以及達到適性 化、個別化教育目標的可能 關鍵詞：分數概念、鷹架學習、電腦輔助教學、學習態度The research of using scaffold-based courseware to enhance student learning in
elementary mathematic misconception
Abstract
From the mathematical teaching, we find that students cannot fully understand the concept of fraction. After literature review about the concept of fraction, it is abstract and complex. But when students learn the concept of fraction, they usually memorize the answers mechanically and misunderstand the structure of the fraction. This is the main factor that students have the difficulty of learning fraction. However, the concept of fraction is the base to further study more complex math concept. Therefore, the purpose of this research is to explore the concept of fraction and tries to using constructivism courseware to help students better understanding in fraction learning..
47 students were learned in the research. There are two groups in the teaching
experiments. The experimental group uses the teaching method of computer- assist software. The other control group uses the traditional method of class teaching. Several results were found and suggestions were proposed in the research as following.
1. The scaffold-based courseware may improve the learning effect for the learning difficult students in the concept of fraction .
2. The learning time, the condition of interaction and the basic computer knowledge are the important factors that will influence the results of this research.
3. There are no learning differences between gender in using scaffold-based courseware. 4. The students have the positive and active learning attitude because of the multimedia
characteristics and advantages in the scaffold-based courseware.
5. The learning attitude and the learning effect are relatively related. The students with active learning attitude will have a better learning result.
6. Using the tool of scaffold-based courseware has the potential to reduce teacher’s teaching load effectively and achieves the goal of individualization.
Keywords: the concept of fraction、the scaffold learning、Computer Assisted Instruction
目 次
中文摘要 Ⅰ 英文摘要 Ⅱ 目次 Ⅲ 表次 Ⅴ 圖次 Ⅶ 第一章 緒論 1 第一節 研究動機 1 第二節 研究目的 4 第三節 研究問題 4 第四節 名詞界定 5 第五節 研究範圍與限制 7 第二章 文獻探討 9 第一節 兒童的認知發展與建構學習理論內涵 9 第二節 分數的意義及兒童的分數概念 25 第三節 資訊科技在學習的應用與補救教學 48 第三章 研究方法 59 第一節 研究架構 59 第二節 研究對象 60 第三節 實驗設計 60 第四節 研究假設 64 第五節 研究工具 65 第六節 資料處理與統計 82 第四章 結果與討論 85 第一節 補救教學學習成效之比較、分析與討論 85 第二節 學習態度之比較、分析與討論 98 第三節 討論版內容之分析、討論 110 第四節 研究結果與實驗過程之綜合討論 118第五章 結論與建議 125 第一節 結論 125 第二節 建議 130 參考文獻 .135 中文部份 135 英文部份 140 附錄 143 附錄一 分數概念學習態度問卷 143 附錄二 分數基本概念學習成就測驗 145 附錄三 鷹架式電腦輔助教學軟體測試及修正 148 附錄四 分數概念補救教學教學活動設計 152 附錄五 系統功能簡介 155 附錄六 專家名冊 167
表 次
表 2-1 知識實體及學習歷程分類表………..11 表 2-2 分數概念易錯類型之相關研究一覽表………..39 表 2-3 康軒版國小二、三年級「分數」教材單元內容一覽表………..46 表 3-1 研究對象分組統計表………..60 表 3-2 研究設計表………..61 表 3-3 分數基本概念學習成就測驗試題雙向細目表………..67 表 3-4 分數概念學習態度量表雙向內容細目表………...68 表 3-5 鷹架式電腦輔助教學軟體輔助分數迷思概念學習分析表………..74 表 3-6 本系統之學習理論及學習策略表………...81 表 4-1-1 實驗組與控制組前測組別描述統計量表………85 表 4-1-2 實驗組與控制組前測單因子變異數分析摘要表………86 表 4-1-3 實驗組與控制組之後測成績描述統計量表………86 表 4-1-4 實驗組與控制組之前測及後測成績獨立樣本 t 檢定摘要表………...87 表 4-1-5 實驗組與控制組分數基本概念之前測及後測成績分項描述統計量表………87 表 4-1-6 實驗組與控制組分數基本概念之前測成績獨立樣本 t 檢定摘要表………….88 表 4-1-7 實驗組與控制組分數基本概念後測成績獨立樣本 t 檢定摘要表……….88 表 4-1-8 實驗組分數基本概念之前測成績與後測成績成對樣本 t 檢定摘要表……….89 表 4-1-9 控制組分數基本概念之前測成績與後測成績成對樣本 t 檢定摘要表……….90 表 4-1-10 實驗組不同性別之前測成績、後測成績描述統計量表………..91 表 4-1-11 實驗組不同性別之分數基本概念前測成績及後測成績獨立樣本 t 檢定 摘要表………...91 表 4-1-12 實驗組不同性別之分數基本概念後測成績變異數分析摘要表………..92 表 4-1-13 實驗組不同性別之分數基本概念前、後測成績成對樣本 t 檢定摘要表…...92 表 4-1-14 控制組不同性別之前測成績、後測成績描述統計量表………..93摘要表………93 表 4-1-16 控制組不同性別之分數基本概念前、後測成績成對樣本 t 檢定摘要表….94 表 4-1-17 實驗組與控制組不同性別之分數基本概念後測成績變異數分析摘要表…94 表 4-2-1 實驗組分數概念學習態度量表-上課方式之分析……….99 表 4-2-2 實驗組分數概念學習態度量表-學習內容之分析……….99 表 4-2-3 實驗組分數概念學習態度量表-學習興趣之分析……….100 表 4-2-4 實驗組分數概念學習態度量表-學習延伸意願之分析………..101 表 4-2-5 控制組分數概念學習態度量表-上課方式之分析………..101 表 4-2-6 控制組分數概念學習態度量表-學習內容之分析………..102 表 4-2-7 控制組分數概念學習態度量表-學習興趣之分析………..103 表 4-2-8 控制組分數概念學習態度量表-學習延伸意願之分析………..103 表 4-2-9 實驗組與控制組不同性別之分數基本概念學習態度問卷描述統計量表…...104 表 4-2-10 實驗組與控制組之不同性別學習態度問卷得分獨立樣本 t 檢定摘要表…..105 表 4-2-11 實驗組與控制組之相同性別學習態度問卷得分獨立樣本 t 檢定摘要表…..105 表 4-2-12 實驗組與控制組學習態度問卷得分之獨立樣本 t 檢定摘要表………..106 表 4-2-13 實驗組與控制組之高分組、低分組學習態度及後測成績描述統計量表….106 表 4-2-14 實驗組與控制組不同學習態度之後測成績獨立樣本 t 檢定摘要表………..107 表 4-2-15 全體不同學習態度之後測成績描述統計量表………...107 表 4-2-16 全體不同學習態度之後測成績獨立樣本 t 檢定摘要表………..107
圖 次
圖 2-1 鷹架學習模式架構圖(Jeffrey & Tanya & Julie, 2001)...20
圖 2-2 Doolittle 的可能發展區動態發展圖………21 圖 2-3 Cazden(1988)之鷹架概念的基本架構………22 圖 2-4 Markle＆Tiemann(1970)概念學習的三種錯誤類型………...30 圖 2-5 Pines(1980)圓錐形的概念模型………31 圖 2-6 補救教學之部份與整體的關係………52 圖 3-1 研究架構圖………...59 圖 3-2 研究流程圖………...63 圖 3-3 分數基本概念學習概念圖………...71 圖 3-4 本研究電腦輔助教學軟體開發設計流程圖………...78
第一章 緒論
第一節 研究動機
數學一向被認為是科學、技術及思想發展的基石，文明演進的指標與推手， 使得數學教育向來就備受重視。然而，在研究者實際的教學中，發現學童對學習 數學普遍存在恐懼、排斥的情形，無形之中，數學的學習動機變得低落，直接影 響數學的學習成就。為了提振數學教育，我國政府自八十二年起實施數學新課程 的變革，數學課程開始有了重大的轉變，教學的重心由以教師為中心改為以學生 為中心，並且強調學生藉由互動、討論、辯證的歷程學習數學的概念，應用、解 決日常生活中的問題；九十年實施的九年一貫課程之數學領域，則延續了八十二 年新課程的精神內涵，並且更強調運用於實際的問題，似乎宣示了數學教育是未 來生活的基礎。 現行的九年一貫課程中將數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計 與機率」、「連結」等五大主題。在國小階段，「數與量」的學習內容量豐富，分 數概念與小數、乘除法、百分率、單位量等皆為「數與量」中必須學習的重要概 念。Kieren (1976)認為分數具有許多子概念及一些特殊性質，這些特殊性質指分 數是整數系的擴展、具稠密性及無窮可數的數系、數線的某一點或用以代表測量 出來的量等，更重要的是具有兩個量的相對比較關係，是學生學習數學歷程中第 一次的接觸(引自詹婉華，2003)。不但如此，分數因使用情境、方式不同其意義 也有所差異，Dickson, Brown & Gibson (1984)指出五種不同的分數意義：1.整個區 域的子區域，2.子集合和全體集合的比較，3.數線上的一點，4.兩數相除的結果， 5.兩個度量或集合的比較，由此不難看出分數多重的意義，學生在學習分數概念 時，必須要能確實掌握情境融入分數學習中，如此才能有效且系統地學習。然而，分數概念的學習成效不彰並令學生感到學習困難，卻是存在且不爭的 事實。呂玉琴認為就是因為分數概念的意義豐富，在不同的情境有不同的解釋， 不同的解釋也須使用不同的認知結構，使得學生在發展分數概念時需要一段漫長 的歲月，而且整個發展過程是相當艱辛的(引自詹婉華，2003)。國內有許多研究 指出我國國小學生對分數的意義及表徵符號不了解、分數的計算只是機械式的記 憶、分數的概念薄弱且模糊及不理解分數算則的意義等(呂玉琴，1991a；林福來、 黃敏晃、呂玉琴，1996；陳靜姿，1997；吳相儒，2001；龐嘉芬，2002)；美國國 家教育發展評估(The National Assessment of Educational Progress, 簡稱 NAEP, 1989)的調查研究報告，也同樣的指出兒童分數概念的不完備，像兒童對分數缺乏 數感(number sense)，不知道分數也是數，不了解分數的意義，以及記憶式的計算 原則等，因而造成分數學習的成就降低。在探究兒童分數概念的學習狀況，不難 發現國內外兒童對分數概念的學習皆有困難，同時也彰顯國內外對兒童分數學習 的重視，要如何引導這些具有學習困難的學童把分數學好，則成為本研究最主要 的動機。 二十一世紀是一個科技發達、社會快速變遷、資訊蓬勃發展的年代，隨著資 訊科技一日千里與電腦網路普及，在日常生活中，正如比爾蓋茲(Bill Gates)所言 「資訊就在你的指尖上」(Information is at your finger tips)，因此，教學與資訊科 技的結合，似乎成為現代資訊社會中學校教育必然的趨勢。不僅九年一貫課程強 調資訊融入教學的重要，林奇賢(2004)也從教育的角度，認為資訊科技可以提供 學生適性化、個別化的教材，讓學生主動學習，並提出唯有透過網路的四A： Anytime、Anyplace、Anyway、Anyone 的特性，學習才能達到「自然、自由、自 在」。因此，應用資訊科技的特性融入分數概念的學習，對於分數學習困難的學 童之學習的成效，就九年一貫課程而言，似乎是必要且符合社會潮流的學習方式。 建構理論提出學生的認知不是被動的，而是主動的被建構，教師應是一名協
助者或「修正」(corrected)者，鼓勵學生發展自己的理論和個人建構的精緻化(張 世忠，2001)。兒童的認知發展在布魯納理論架構的主題下，認為是學習者在以舊 有知識建構新的想法或概念時，一個互動的過程(Mark K. Smith, 2002)。但不論是 在日常的生活行為中，或是在學習的推理或嘗試錯誤中，一個人是不可能分秒都 對每一件事或每一個概念深入思維的。所以在真實的世界裡，我們實際必須仰賴 將某些觀念和某些符號以理所當然的、主觀的、自發的、一致的、和完全且直接 可接受的認知機制，這個具有普遍性，自然且經常不自覺的存在於人們的生活與 學習中的認知機制，就是直觀(intuition)。在學生的學習過程中， 直觀自然地扮 演著重要的角色，然而也很不幸的， 它也常常是學生學習上遭遇障礙的主因之 一(詹婉華，2003)。建構式的學習是隱含對先前知識的一種取代、補充或修正(張 世忠，2001)，學生以直觀的學習方式造成分數學習困難，或產生迷思概念 (misconception)。所以，基於建構理論的鷹架學習模式就是要藉由學生的主動建 構，教師或能力較高者的協助修正，以導引出學生的正確認知，這對學童建構分 數的知識結構的成效，在目前似乎是一種可考量且具有潛在價值的學習模式。 分數的學習對學童而言常是困難的，從研究者多年的實際教學歷程發現亦是 如此，甚至有學生明白地對我說：「數學各單元中最不喜歡『分數』了，因為『分 數』我都考不好」，所以在一般的教學活動後，分數概念學習困難的學童，對於 其分數迷思概念及學習時易錯類型的部分，如何補救以建立正確的概念，提升其 學習成就，進而激發其對分數的學習意願，是研究者亟欲了解的部份。因此，本 研究主要探討對分數基本概念具有迷思概念之學習困難學童，在以「鷹架式電腦 輔助教學」軟體進行補救教學後，其分數基本概念的學習成效及學習態度的表現 情形。
第二節 研究目的
根據研究動機，本研究主要針對剛升上國小四年級，其分數具有模糊、錯誤 及迷思概念的學童施以電腦補救教學，以了解實施補救教學後，學童的分數基本 概念表現的情形。因此本研究的目的有下列四項： 一、探討「課堂式教學」與「鷹架式電腦輔助教學」對學童實施分數基本概念補 救教學後其分數基本概念學習成就的表現情形。 二、探討不同性別的學童接受「課堂式教學」與「鷹架式電腦輔助教學」方式之 補救教學後，其分數基本概念學習成就的表現情形。 三、探討學童在接受「課堂式教學」與「鷹架式電腦輔助教學」不同學習方式後， 分數概念學習態度的表現情形。 四、發展分數基本概念之「鷹架式電腦輔助教學」軟體為研究工具，並提供國小 在此課程教學之參考。第三節 研究問題
根據研究動機及研究目的，延伸出本研究之待答問題，敍述如下： 一-1、使用「鷹架式電腦輔助教學」方式，對分數學習困難學童進行補救教學， 其分數基本概念學習成效如何？ 一-2、使用「課堂式教學」方式，對分數學習困難學童進行補救教學，其分數基 本概念學習成效如何？ 一-3、使用「課堂式教學」與「鷹架式電腦輔助教學」不同方式，對分數學習困 難學童進行補救教學，其分數基本概念學習成效之差異如何？ 二-1、不同性別學童使用「鷹架式電腦輔助教學」方式學習，其分數基本概念學 習成效如何？ 二-2、不同性別學童接受「課堂式教學」方式學習，其分數基本概念學習成效如何？ 二-3、不同性別學童接受「課堂式教學」與「鷹架式電腦輔助教學」不同學習方 式後，其分數基本概念學習成效之差異如何？ 三-1、接受「鷹架式電腦輔助教學」方式學習的學童，其分數概念學習態度如何？ 三-2、接受「課堂式教學」方式學習的學童，其分數概念學習態度如何？ 三-3、接受「課堂式教學」與「鷹架式電腦輔助教學」不同學習方式的學童，其 分數概念學習態度之差異如何？ 三-4、接受「課堂式教學」與「鷹架式電腦輔助教學」學習方式後，不同學習態 度的學童，其分數概念學習成效之差異如何？
第四節 名詞界定
本研究涉及之重要名詞，界定如下： 一、分數基本概念 分數概念的開始發展，是為了表示出現不滿一個單位量的量。將原單位量「等 分割」成數個分量，其中的一個分量就是單位分量。重複數個單位分量來得到和 被測量等價的量，以分割的份數(分母)和單位分量的重複次數(分子)並置，作為被 測量的指標(國立編譯館，1998)。 本研究主要探討的分基本數概念，以分析分數意義在國小一到三年級數學分 數教材呈現的分數主要之子概念為對象，即等分概念、簡單分數概念、分數單位 量概念三項。 二、簡單分數概念 分數的類型可分為真分數、假分數與帶分數三種，本研究所指的簡單分數為 以分數符號呈現的真分數，如 5 2 、 4 3 等；及分子為「1」的單位分數，如 2 1 、 4 1 等， 且分母不大於20 的分數。三、等分概念 等分是指將一連續量(如一條繩子、一顆蘋果)或離散量(如 6 枝鉛筆、8 塊橡 皮擦)細分成數個部份，每一個部份都要樣大或一樣多。本研究所指的等分概念即 在學童能依分數符號，將物品分成相等的數個部份，也就是平分，如 5 2 的分母為 5，必須將某一物品分成 5 個相等的部份量。 四、單位量概念
本研究所謂的單位量概念又稱整體量概念(the concept of a whole)，是分數概 念之下的一個子概念，也叫單位-整體量(unit-whole)概念(Behr,Wachsmuth, Post, 1988)。當提及 4 3 個比薩時，一個比薩就是單位量；但如果是說 3 2 箱的汽水，則 24 瓶( 1 箱)汽水才是單位量。 五、學習成就 一般而言，學習成就是指在某一學科達到某種成功的水準或程度，所獲得的 成就或學習結果，可由成就測驗得知。本研究所指學習成就，是指學童在研究者 自編之「分數概念學習成就」測驗之得分。 六、分數學習困難學童 在某一學科學習困難的學童，其學習成就表現明顯低於學習能力所表現者， 或稱之為低成就學童。在本研究所探討的三個分數子概念中，其學習成就測驗得 分在全體樣本中低於平均分數的學童，並排除身心障礙者之後，即為本研究所指 之分數學習困難學童。 七、補救教學 補救教學是一種權宜的教學型態，主要是對中低成就學生，在某科目的學習 依其個別需求，施予適當的課業輔導，提供更多的學習機會，以彌補正規教學之 不足(李咏吟，2001)。本研究所稱之補救教學，係指應用鷹架學習模式設計的電
腦學習軟體，以電腦輔助教學的方式，對分數學習困難的學童，施予適當的課業 輔導。 八、課堂式教學 指教師透過口頭語言的方式，向學生描繪情境，敘述事實、解釋概念、論證 原理和闡明規律的教學方法(姜文閔、韓宗禮，1994)。本研究中對照於電腦輔助 教學組，基於九年一貫課程數學領域知識建構的精神，是經由傳統之課堂式以分 組討論、教師導引及講述的教學方法，進行分數的補救教學活動，此即所指之課 堂式教學。
第五節 研究範圍與限制
壹、研究範圍
本研究採實驗研究法之準實驗研究設計進行實證研究，實證研究旨在比較不 同教學方式的學習成效，茲就研究對象、研究課程內容及研究工具三者探討本研 究之範圍。 一、研究對象：係以研究者服務學校(台中縣)九十三學年度之四年級學生共四 班為取樣對象，在施以自編之「分數概念學習成就」測驗之得分低於全體 樣本平均數的學童為實驗對象，然後依班別隨機分為兩組，一組為實驗 組，另一組為控制組。 二、課程內容：依研究目的，本研究旨在探討剛升上四年級學童分數概念偏差 者之補救教學，故補救教學課程以一至三年級分數教材呈現之分數概念： 簡單分數概念、等分概念及分數單位量概念為主要研究內容。並以研究對 象上課教學之康軒版本為主，參酌南一、翰林、仁林等九年一貫數學教材 版本設計教學計畫及編製成就測驗。 三、研究工具：本研究教學方式分為電腦輔助教學及課堂式教學，電腦輔助教學使用之教學軟體係研究者以建構理論為基礎，採鷹架式學習模式自行設 計之分數基本概念「鷹架式電腦輔助教學」學習軟體，包含課程學習內容 及討論版之主要功能。
貳、研究限制
基於時間、人力及客觀條件無法完全配合的考量下，茲將本研究之限制分述 如下： 一、由於人力及行政考量，研究對象僅限於台中縣某國小四年級學童的限制， 因此實驗結果較無法廣泛推論。 二、本研究之教學實驗，受限於時間，僅對國小數學教材之分數概念施以補救 教學，不對其他科目做實驗。 三、鷹架式電腦輔助教學軟體係由研究者自行設計，受限時間及人力，僅能針 對本研究課程內容實施。第二章 文獻探討
第一節 兒童的認知發展及建構學習理論內涵
教育的目的在於開啟學習者認知的大門，進入浩翰無垠的知識宇宙之中。知 識的本體、獲得的歷程及運用的方式等，從哲學的探討到心理學以科學的方法研 究，產生諸多主張，本節即以探討知識的本質、認知學習的意義、發展的特徵， 配合學習者的學習階段，進而從學習者建構知識的觀點，探究整個鷹架學習理論 的基本原則及學習模式，以作為本研究之理論依據。壹、知識的本質
所有的社會縱然在文化上有所差異，但是對教育的根本目的，在於知識的傳 授與培養的看法是一致的，顯示教育的主要任務不外乎是知識的發展與傳播(葉學 志，1989)。從教育的目的可發現，知識在教育的地位，是教學過程的產物。教學 過程所追求的知識，其本質最初由柏拉圖(Plato)從哲學的觀點提出知識是一實體 (reality)，這實體只包括存在於心中之「純粹」觀念，也就是與生俱來的觀念。亞 里斯多德(Aristotle)體認到心的角色與外在世界的感官經驗，提出知識實體存於物 理世界，並非如柏拉圖與生俱來的主張(盧雪梅，1991)。 笛卡兒(Rene’ Descartes)延續柏拉圖對知識與生俱來的主張，強調知識是經由 個體把一些基本概念，透過演繹推理的過程發展而來的，所以知識的發展有賴理 性思考的歷程。洛克(John Locke)則認為人出生時心靈好像空白的紙，觀念是來自 感覺的印象，也就是說知識或觀念自經驗產生，靠感覺與反省來獲得。懷德海 (Alfred North Whitehead)更進一步說明知識的對象就是事物本身，然而實體應是 過程，人們在過程中所經歷的是真實存在的事物或對象，而「領會」其所經驗的人與被經驗的事物間的關係，所以知識實體本身是以擴充時間的連續使得機緣遭 遇與領會結合在一起的一個有機體(葉學志，1989)。 杜威(John Dewey)認為知識的本質是認知的觀念與被認知實體相符合的才是 真知識，而不應只是「觀念」與「事物本身」。人們觀念所知符合的，不是既然 的事實(認知作用以前的事實)，而是根據觀念而行動以後所產生的結果，唯有透 過證驗後的觀念或理論產生的行動，得到的觀念才是真的。因此，認為知識是人 與環境交互作用的結果，知識在經驗中發生，知識的結果在經驗裡表現，也就是 說知識是改造經驗的成就，所以知識具有實用性、行動性、創造性三項特質(葉學 志，1989)。 皮亞傑(Jean Piaget,1980)則從分析某些有機體之生物的發展，認為有機體並 不是被動的產生發展，亦即產生的改變並非在環境控制的選擇歷程下偶然發生 的，而是生物適應的結果，因此維持生存是有機體和環境間互動的歷程，有機體 為因應環境條件產生的變化，建構所需要的特定的生物結構。知識是個體與環境 間的不斷的互動的結果，也就是說，知識是一個歷程，而不是一件「物體」(thing)， 主體(學習者)和客體間的關係並不是預先決定好的，這種關係也不是固定的，因 此為了解知識，需確認並敍述個體與環境互動的各種方式(盧雪梅，1991)。 綜合上述，可瞭解對知識實體的主張可大致區分為二類，一為知識存在於個 體中，透過個體演繹推理的思考過程而得；另一為存在物理世界，即個體所處的 環璄中，個體在適應環境並與其產生交互作用的結果，所以知識是由感覺及經驗 發展而來的。茲就知識實體與其學習知識歷程差異，依知識實體的分類整理如表 2-1。
表 2-1 知識實體及學習歷程分類表(整理自盧雪梅，1991) 類別 主張 學習歷程 柏拉圖 (理想主義) 強調研讀數學和古典名著來啟發心 靈 知識是與生俱來 之觀念的發展 笛卡兒 (理性主義) 知識是由一些與生俱來的觀念加以 演繹推理而來的，包括神、自我和 數學概念的知識 亞里斯多德 (現實主義) 知識是透過感覺而來，心的角色是 組織和建構感官的經驗 知識是與物理世 界接觸發展而來 的 洛克、杜威等 (經驗主義) 觀念係經由兩種經驗發展而來的， 這兩種經驗分別是感覺和內省 雖然，因為學術取向的不同，對知識本質的闡釋而有所差異，但總括而言， 學校各學科的領域，其知識的本質基本上可分為「陳述性知識」(declarative knowledge)和「程序性知識」(procedural knowledge)兩類，陳述性知識指的是有關 內容和事實的知識；程序性知識指的是知道如何做的技能性知識(鄭麗玉，2000)。 E. Gagne (1993)同樣認為人類表徵知識的方式也分為兩種，一為概念性知識，一 為程序性知識(盧雪梅，1991)。概念性知識所表徵的是一般事實性的知識、理論 和事物，以及這些知識的功能和含義，所以概念性知識通常是屬於語文方面的知 識，也是比較靜態的；而程序性知識通常是比較動態的，它是指一個人在特殊情 境下所使用的計算規則或一系列的步驟，因此，程序性知識比較不容易學習，但 是一旦達到自動化就不容易修正，這意味著人類的行為主要受到程序性知識的引 導。但皮亞傑從知識建構的歷程歸類知識的本質，將知識分為外生的知識，即經 驗抽象化的結果；以及內生的知識，就是內省抽象化的結果。 歸結以上對知識本質的探討，應可將知識區分為兩大類型，即基礎型知識及 應用型知識二種。基礎型知識是一事實、理論、外在現象或存在之 事物的表徵，
也就是個體的所知，與陳述性知識、概念性知識或外生性知識相似，做為推理、 思考等活動的基礎；應用型知識指的是演算、推理或思考等具有合邏輯的歷程， 也就是個體能知所以，與程序性知識、內生知識相似。推理、思考的結果，不僅 獲得更高層次的基礎型知識，同時也提升應用型知識的內涵。雖然知識實體的探 討區分為個體與生俱來及與環境互動二者，但從學習所獲得的知識性質而言，可 發現知識的本質並非能單純地畫分。為讓學習者能確實獲得知識，展現學習成 效，進行教學活動時必須兼顧個體的內省及與環境的互動，以瞭解不同階段的學 習歷程對個體學習的重要性。
貳、認知的歷程與發展階段
隨著知識本質不同的形式及意義，獲得知識方式的主張也各不相同，但最終 的教育目的是一樣的，就是知識的獲得。托爾曼(Tolman)認為在古典制約和工具 制約中，學到了各種知識，就是認知(cogntitions)，他以為除了學習行為外，也學 到了內在的表徵，就是理解事物與事物之間的一種關係(李咏吟，1998)。因此教 育活動的進行就是認知的過程，在二十世紀開始，認知心理學派逐漸開始發展， 投入對學習者的認知探討，以期發展出適切的學習理論，應用於教育現場。綜合 對知識本質的闡釋及心理學的研究，「認知」一詞至少包含下列四種不同的解釋(張 春興，1988)： 一、認知是接受訊息及運用訊息的歷程，包括輸入、轉換、儲存、檢索、運用 等資訊處理的心理活動。 二、認知是符號表徵的歷程，包括聲音符號與形象符號的抽象化、意義化、規 則化的歷程。. 三、認知是思考與解決問題的歷程，依完形心理學主張要先有領悟才可能有學 習的解釋，認知的歷程包遭遇困難、認識問題、形成假設以及假設驗證等 心智活動。四、認知是心智活動與心理狀態綜合運作的一個複雜歷程。 由認知的解釋可知，認知活動是一複雜心理運作，學習者從環境中接收資 訊，然後透過思考，並以符號表徵運思的結果，進而內化為個體的知識結構，所 以認知行為是個體處理資訊和特有的思考模式、記憶或解決問題時所採取的方 法。 皮亞傑(Piaget)進一步指出認知發展是不斷變化的連續歷程，發展的過程中， 學習者透過同化(assimilation)、調適(accommodation)、平衡(equilibration)和環境互 動，以建構出學習特有的知識結構，並且在同化的歷程中強化了知識的基礎，而 能藉以認識環境的結構，在透過失衡(disequilibrium)的情境下，導致學習者思考 的重組及平衡個體內在的穩定，提升認知層次，並擴展認知的範疇，而完成個體 知識的建構活動。但不同年齡的認知發展，各有其不同發展的特徵，皮亞傑就根 據認知發展的基本歷程，將兒童的認知發展分為四個階段：階段一為感覺動作期 (sensorimotor stage)，階段二為前運思期(preoperational stage)，階段三為具體運思 期(concrete operations stage)，階段四是形式運思期(formal operations stage)。
從皮亞傑(Piaget)對認知歷程的觀點，可發現個體知識的產生，雖然與環境互 動有關，但是終究卻是由個體自己建構而來的。因此，晚近的Von Glasersfeld (1990) 即從知識建構的角度提出關於認知發展的兩個重要概念：1.認知活動的發生必須 是基於個人的目標；2.知識的建構的完成是基於是否成功達到這個目標。所以認 知活動是有目標性的，認知學習的歷程，只有在達到這個目標，才可能有認知的 發生，個體此時獲得的知識才有意義。也就是說，認知發展必須是學習在自主及 有興趣的情境下產生，而且在學習者獲得成就感時完成，因此，在教學進行時， 學習者的學習意願及學習成就感是值得注意的。
綜合上述之探討，認知從心理學的角度界定就是指個體經由意識活動對事物 認識與理解的心理歷程，歷程雖然複雜，但是從皮亞傑等人的研究，依然可以發 現兒童的認知發展是循序漸進的，起先都是以感覺知能認識環境，建立動作基 模，慢慢地心智發展漸趨成熟，基模也隨之調整及擴展，因而發展出抽象的符號 運思，各時期的先後次序是不變的，所以教學的課程設計及活動進行，應強調與 兒童的認知發展階段特徵配合。除此，在學習的歷程中，應激發學習的主動性， 由學習者主動建構個體的認知，這樣的學習才是有意義的學習。
參、建構理論的內涵與教學
主張知識是建構而來的建構主義在近一、二十年來，影響課程的編排、教學 方法的改良等，在現代的教育改革聲浪中帶來極大的衝擊(陳文森，2003)。近半 世紀以來，由於認知心理學的興起，教育研究的主流即在對於學生的學習、知識 的獲得，乃至於人類的行為，設法找出一些一般性的規律做為改進教學的依據， 但不同人格特質、學習經驗、學習動機的學生，對於不同性質的教材和不同方式 的教法，在認知，技能或情意等方面不同的學習成果，也會隨著不同的教學環境 而有截然不同的成效。建構主義論者從科學、哲學、心理學等角度對知識的本質 及獲得的方式提出不同的見解，這讓長久以來，沉思在教育重「教」的策略，而 忽視兒童知識結構的觀念，得以重新省思，適逢全世界在一片以教育改革提升教 育品質的聲浪中，得以實踐其理念。 建構主義論者(constructivism)所謂的「建構(construct)」，主要是對知識的內涵 及知識的形成有其特別的主張。Bodner(1989)認為建構主義本身是一種知識的理 論，von Glasersfeld(1989)認為它也是一種認知學習的理論(引自張世忠，2003)。 對於探討知識的本質，知識二元論的理性主義(rationalism)相對於經驗主義 (empiricism)，其對知識的主張並不相同，經驗主義的基本主張認為經由人類客觀的感覺經驗、事實證據及實驗等為基礎，以獲得知識的體系；而理性主義則認為 人類知識的獲得，乃源於天賦理性，一種自明的領悟力，許多經由觀察而得來的 訊息具有不確實性(李咏吟，1998)。由於對知識內涵有不同的看法，對於知識的 獲得途徑也有不同的解釋，建構論主張的知識體系可由推理或演繹等內在的直觀 活動而建立，因此個體思考的主體性，因人而異，在教育上所指的建構主義可說 是近代理性主義的新詮釋。 建構主義提出學習者要去認知一個知識實體，而這個實體是獨立存在於認知 個體本身，在建構個人知識時，必須與此一實體接觸。然而在個人知識可能與這 個實體不一致時，依進化論的主張是可適應的，在提供有具體經驗的學習環境 中，學生容易建構他們的知識。因此，站在建構主義立場，教學應以學習者為中 心、重視學習者主動的探討、及重視同儕之間互動的教學理論(張世忠，2003)。 建構主義論因探討知識本質與獲得知識的取向不同，李咏吟(1998)認為在教育上 可概觀劃分為個人的建構觀(personal construct)和社會的建構觀(social construct)。
一、個人的建構觀 個人的建構觀的理論基礎源自於皮亞傑的認知發展觀點。皮亞傑認為認知 是一種「可適應」(adaptive)的功能，藉由可生存或有能力去處理和「平衡」的 概念互相連接。個體感覺並知覺到外在刺激，與既有的認知結構，兩者透過同 化與調適的歷程，藉由平衡作用，促使個體的認知思考能力擴大與精進，這便 是主動建構的動力(張春興，2000)。所以，個人的建構觀強調知識是個人主觀 的建構，反映個人經驗的現實，存在於每一個人的腦中，對個人自己才有意義。 亦即建構知識是由內部對外在的人、事、物所建立的一種構成或領悟，不是由 外而內的傳輸，內在與外在環境的互動過程中，個體會根據自己具有的知識來 理解周遭的環境(張世忠，2003)。
以個人的建構觀之角度而言，學習者應積極參與各項的認知活動，憑著個 人的經驗，不斷去同化和調適先前備有的知識與經驗，並剌激先備知識的架 構，進一步去建構新知識的架構，成功地達到原來設定的目標，即是對先前知 識的一種取代、補充或修正，如此個人才能獲得特定的知識建構。
二、社會的建構觀
Berger & Luckmann(1966)提出知識源於個體在與他周圍的重要他人分享共 同生活世界的意義和社會觀點(引自李咏吟，1998)，即知識是個人與別人互動 與磋商而形成的共識(張世忠，2003)。個人在社會文化環境下建構知識，因此 所建構的知識與社會文化脫不了關係，雖然知識建構的意義相當主觀，但也不 是任意的建構，而是需要與別人磋商和互動來不斷地加以調整和修正，就在磋 商與互動的過程中，聚集了許多心思的運作，因而產生想法，增進個體的知識 發展。所以個體是主動建構知識體系，但強調「互為主體(Intersubjectivity)」的 建構過程，在藉由共同的思考、問題的解決和作決定的過程中，個體因而得到 新的知識。 社會的建構觀認為個體的認知活動必然在一定的社會文化環境中實現，因 此社會文化的環境規範了個體的認知活動。維高斯基(L. Vygotsky)就認為個人 高層次心理能力的發生是根源於社會，它的發展也是受到社會文化的影響(引自 賴淑媛，2003)。不過維高斯基(L. Vygotsky)認為學習是先於發展，因此提出了 可能發展區(the zone of proximal development，ZPD)的觀念，來說明學習與發展 之間並非直線的關係，而是動態的關係。維高斯基(L. Vygotsky)的「可能發展 區(ZPD)」指的是在個體真正的發展水準與潛在發展水準之間的能力範圍。
因此，不難發現社會的建構觀對學習者的認知發展強調與他人或社會的接 觸，學習者進行學習活動時，透過成人的指導或是更有能力的同儕合作之下，
是有助於提升學習者思考及解決問題的能力，進而建立、鞏固或澄清其認知結 構，這對於教與學的情境設計，提供一個更為周密的思考方向。 三、建構主義對教學的啟示 建構主義主張教學過程的核心由知識傳授者轉移到知識學習本身。由理論 內涵可窺見它強調以下三個意義(李咏吟，1998)：1. 知識是學習者主動建構的， 不是被動的接受或吸收；2. 知識是學習者經驗的合理化或實用化，不是單純記 憶事實或真理；3. 知識是學習者與別人互動與討論而形成共識。因此在教學過 程中，強調學生與學生、學生與老師、學生與情境的互動關係，以學生為中心 的教學活動，讓學生主動學習並參與學習，藉著學習的歷程獲得新事物的經 驗，並透過同化和調適獲得新知識的建構。 由此可知，學生的認知不是被動的，而是主動的被建構，教師的角色應是 一名協助者、「修正(corrected)者」或「激思(provocateur)者」，去鼓勵學生發展 自己的理論和個人建構的精緻化。學習內容中的文字或代號，本身並無任何意 義，必須透過教師的講解或經由學習者憑著個人的經驗去領悟，才能顯現其意 義，然而在教師和學生不具有相同的知識或經驗之下，雖然使用相同的符號， 他們的認知和解釋也很難完全一樣，所以教師不該是將觀念加諸於學生的腦海 中，強迫學生記憶，而應是讓學生去建構他們自己的意義，也就是說意義不是 被傳達的，而是被激發的。教師則是提供機會給學生表達他們的觀點，講述他 們的經驗，然後重新組織他們的概念，這種表達觀念的方法會提供一種反射並 作適當的修正。換言之，學生是透過了積極建構的思考歷程發展新知識。 架構在建構理論下的教學，乃在營造一個符合建構主義教學特色的學習環 境，Taylor, Fisher & White(1993)指出此一取向的教學本質應具有以下的特色(引 自李咏吟，1998)：
(一)知識本身具有不確定性(knowledge uncertain)。 (二)新知識要能建立在個體原有的知識體系上，或能與日常生活經驗對照的 基礎上。 (三)學生要兼具有其學習的自主性及與他人分擔對學習的控制。 (四)知識並非單向的由課本或教師傳輸，整個學習應包括同學之間的社會性 主動，如討論、參與、磋商的過程。 (五)教學應以學生為中心。 綜合建構主義論者的觀點而言，知識應是會不斷演化發展的，並隨著經驗 而改變，學習者為了求知，就要去行動，而形成認知。因此，認知與知識二者 的主體是有別的，前者為建構觀，後者為接受觀。在多元文化的社會中，知識 不斷變遷，形成了更新的認知，正如Belenky 的主張，他認為知識不是絕對的 真理，它是跟前後經驗有相對的關係(張世忠，2003)，建構教學便是提供了我 們由知識演化至認知的重要工具。基於建構主義的教學理念，強調讓學生能主 動的去發展且適應知識。再者，提供教師可以思考改變的方向，重新審視學生 本身的發展，不再只重視灌輸，畢竟教學不等於灌輸，教學要能產生加乘的效 果，透過教師與學生兩方面積極互動應是較為可行的方式。
肆、鷹架式學習模式及應用
社會建構觀之知識建構原則，維高斯基(L. Vygotsky)所提出「可能發展區」 的概念，指的是在學習過程中，兒童實際解決問題的能力(真實發展區)與在成人 協助之下能夠解決問題能力之間的差距(賴淑媛，2003)。也就是說，以兩位實際 年齡都是八歲的兒童為例，他們的心理年齡在標準化的心理測驗上都呈現只有六 歲，這就是他們實際解決問題的能力所在。然而，在他人以各種方法提示如何解 決問題，經過一段時間的互動後，再加以測驗，結果發現一位兒童能處理十歲兒童所能處理的問題，另一位只能處理七歲兒童所能處理的問題，顯示這兩位兒童 的心理發展能力並不相同，但十歲與六歲或七歲與六歲的差距，就是這兩位兒童 個人的可能發展區。由此，可以了解到兒童的心智發展與實際年齡沒有絕對的關 係，而是與成人或社會互動有關，這對教育而言，提供了一個很重要的教學依據， 也就是可能發展區所強調的重點，並不是已經完成的發展水準，而在於兒童未來 可能會發展的空間，所以教學應致力於兒童可能發展區的開發，使其由潛在發展 水準，在人與人的互動或同儕間的合作下，透過內化的歷程，完成可能發展區的 發展，達到實際發展的水準。 由於維高斯基(L. Vygotsky)認為人類高層次的心理活動在社會互動的過程 中，首先是由他人的協助調整(社會協商)，然後內化，因此在教學上主張教師採 取一個暫時性的支持架構，以協助學習者學習能力的發展，此種協助之導引即為 「鷹架」(徐椿樑，2001)。在教學上布魯納就維高斯基(L. Vygotsky)的可能發展區 的觀點，將鷹架(scaffolding)的概念加以說明和應用。布魯納所謂的鷹架是指兒童 內在的心理能力的成長有賴於成人的協助，而這種協助應該建立在兒童當時認知 組織的特質上。當兒童停留在某一認知層次時，此時，成人能以有系統的引導或 給予關鍵性的指點，則兒童較易超越原來的認知層次(李咏吟，1998)。簡單的說， 鷹架就是在學習者的可能發展區中，成人或能力較高者所給予的協助，使學習者 能在所獲得協助下進行學習活動，建構個體的知識體系，而這協助即為鷹架。那 麼，在教與學的活動進行中，要如何利用鷹架協助學習呢？Jeffrey & Tanya & Julie(2001)即根據鷹架學習理論提出一可行的學習模式，做為教師設計教學活動 架構之參考(如圖 2-1)。
圖 2-1 鷹架學習模式架構圖(Jeffrey & Tanya & Julie, 2001) 由此可知，「鷹架」概念是依循著維高斯基(L. Vygotsky)可能發展區的理論， 強調學習者的社會互動及反思歷程，以及著重教學的動態評量方面(曾明勤， 2002)。Moll(1990)在探討可能發展區之後，認為可能發展區須包含三個重要特 色：1.在完整且真實的活動中進行，2.藉由社會性的活動來促成，3.處於一個不斷 改變的狀態。所以，Doolittle(1998)即根據 Moll 的看法，提出可能發展區的動態 發展圖(圖 2-2)(引自徐椿樑，2001)。他認為在學習的歷程中，教師與同儕的協助 提供了鷹架的作用，激發學生在可能發展區的學習，此時的可能發展區在師生的 互動中，處於不斷發展前進的歷程，到了末期的學習，學生的可能發展區可以超 越任務所要求的水準，不再需要教師或同儕的協助，也就是說個人已具備獨立完 成任務的能力。
圖2-2 Doolittle 的可能發展區動態發展圖(引自徐椿樑，2001) Hodson & Hodson(1998)針對 Vygotsky 的社會建構理論，也提出「鷹架」應 是一個教師對學習者動態的支持，經由這樣的支持，學生得以朝向個人的最高的 可能發展區邁進。這樣的支持，可以透過「有經驗的專家」指導下，達成學習的 目標。然而，絕大部分在剛開始學習某一單元時，才需要提供鷹架的功能，等到 學生能獨立完成特定的任務時，這個鷹架就可以慢慢的撤除。因此，鷹架有一個 重要的觀念，就是指定給學生執行的工作或作業，不能因為要適應學生的能力而 有所變更；而是在給予支持後讓學生能讓自己的認知基模能容納更多的資訊，進 而達到自己能獨立完成工作為原則。
Rogoff & Gardner (1984)認為可能發展區在學習過程中可被看作是一種「責任 遷移」(transfer of responsibility)。Cazden(1988)就維高斯基(L. Vygotsky)的鷹架概 念提出教學活動時，教師及學生對學習工作責任分配之基本架構圖(圖 2-3)。維高 斯基(L. Vygotsky,1978)的學習鷹架，是指在通過可能發展區時，由教師提供暫時 性的支持為導引，來協助學生能力的發展，這暫時性的支持可能是一種教學策略 或教學工具，在個人的可能發展區不斷發展的歷程中，教師應隨時監控學生的學
習，提供適當的協助，並隨著學生能力的提昇，逐漸將學習責任轉移至學生身上， 最後讓學生能主導學習，並經由學習建構出屬於自己的知識，因此，隨著鷹架的 撤除，學習的責任也由教師遷移到學生身上。
圖 2-3 Cazden 之鷹架概念學習責任分配的基本架構(引自李長燦，2003)
Gee, Michael , & O’Connor(1992)則是把鷹架視為一種「橋樑」，教師負有支 持、導引和擴展的任務，給予學習者協助和澄清所需要的訊息。因此，鷹架在教 學上的意義，Dyson(1990)認為應該包含「垂直」與「水平」兩個層次，「垂直鷹 架」，就是將學習內容配合學習者的需求加以結構化處理，並在教學互動中鼓勵 學習者認知的複雜化，以培養其應用能力，亦即教師在教學前須先了解學習者的 真實發展區之所在，規畫課程及設計學習內容，並在學習活動進行中根據教師教 材的內涵提供協助；而「水平鷹架」，則是強調學習的內容，應配合學習者的社 會背景和經驗，而不是孤立的教學支持，其中最主要的就是來自於同儕之間的對 話，透過溝通進一步審視個體自身的認知概念，進而強化或澄清其知識結構。由 此可知，水平和垂直學習鷹架理論是基於尊重學習者的意圖，並藉由教師及同儕 的支持，擴大和延伸學習者的學習及思考，而能促進學習者可能發展區的發展。 Judithann(1993)亦指出教師在學習上提供學生支持，協助他們達到可能發展區的
最高限制，這種支持配合教學內容，在學習過程中協助學生達成學習意圖，所以 在教學的歷程中，學習鷹架可說是一種動態性的協助過程。 從上述可發現，維高斯基(L. Vygotsky)所提的鷹架包含了兩個重要議題--「溝 通」與「認知」，也就是說藉由語言的社會認知化功能，將有助於促進學習者對 問題的解決和反省思考的能力，以達成學習遷移的效果，並促進學生的自我導向 學習能力之培養(張菀珍，1997)。從分析學習鷹架的概念，可以發現不同的學習 支撐支架應該根據學習者的能力發展與學習進程來建構，也就是要具有個別化的 考量。曾明勤(2002)基於上述觀點，認為教學者在教學設計時應該先行瞭解學習 者的先備知識，審慎考量教學事件所提供的情境是否能使學習者產生同化的作 用，或是造成學習者認知的衝突，透過認知衝突所產生的失衡現象，讓學習者重 新尋求新的平衡，進而建構出新的知識。張菀珍(1997)進而提出學習鷹架應具有 的三個重要概念： 一、在可能發展區裡，鷹架提供者(教師)和接受者(學生)之間的關係是互惠的， 亦即教師所要提供的學習支持和學習者的互動回饋，應該是經由彼此協商 所決定。 二、學習責任應在過程中視學習的實際狀況逐漸由教師轉移至學習者。 三、在教師與學生間溝通語言是促進學習者反思與認知的橋樑。 鷹架的概念提供教學一個新的省思，教學工作並非單一的由教師主導，學生 學習的歷程才是教學工作的核心。杜威(Dewey)認為教育是一個不斷成長的過 程，求知即是知識的不斷重組和改造。這不斷重組和改造的歷程，即是學習個體 的心智運作，它隨著個體原有的認知，週遭環境的刺激，社會的脈動而不斷的調 整，學習鷹架的作用，即在提供學習者邁向學習的目標，在與他人互動中，更有 效率完成學習內容，而不致陷入盲目地、漫無章法地摸索。然而，在設計學習鷹 架時，一個完善的學習鷹架基於Wood、Bruner&Ross(1976)的看法，應具有下列
六項功能(引自李咏吟，1998)：
一、引起參與(Recruitment)，活動開始時，必須引發學習者參與的興趣並繼續 學習的意願。
二、減輕學習的負擔(Reduction in degree of freedom)，將教材簡化並切割成數個 較小的次單位(chunk)，如此學習者較能專注於他可做的事物，其他不能做 的再由他人協助。
三、活動方針的管理(Direction Maintenance)，引導學習者針對目標行事，不分 心於其他事物上。
四、提出關鍵特徵(Marking critical feature)，對於事物的持徵，必須應用各種方 式引導學習者注意、察覺。 五、挫折的控制(Frustration control)，學習者遇到瓶頸或發生錯誤，協助渡過。 六、示範(Demonstration)，在學習的指導設法引用學習者的語言或行為，如此 學習者較能瞭解並模仿。 教與學是密不可分的，教與學是一體的兩面。就歷程而言，學習是個體心理 的活動；就結果而言，學習是個體內在的結構知識，教學活動的進行就是要有意 義地促進學習的活動。因此，注重以教師為主的教學活動，在忽略學習者認知結 構的因素下，是無法讓學習者真正瞭解學習的價值，知識的意義。基於認知心理 學發展的建構理論，強調以學生為主體、由學生自行建構知識，提升學在教學活 動中的地位，讓教與學二者並重並行，教學的過程中結合學生的先備知識，形成 個體的認知結構，如此才能創造有意義的學習。本研究即考量以鷹架理論的學習 模式為基礎，透過「垂直鷹架」及「水平鷹架」的學習學輔助設計，應用於電腦 多媒體的環境中模擬實際的學習情境，以激發學習者的思考與解決問題的能力， 而進行分數概念個別化的補救教學，探討學生分數概念的學習成效。
第二節 分數的意義及兒童的分數概念
劉世能(2002)指出學童在他們最主要接受教育的歲月中，數學概念的學習是 必要的，其中分數是他們接觸的數學概念中最複雜及最重要的，同時Hunting (1983)認為它也是更複雜數學觀念的苗床(seedbed)。本節即從探討分數的意義、 兒童分數概念的發展及其對學習分數的迷思概念著手，並且分析以往有關分數概 念的研究，瞭解兒童分數學習時主要的錯誤類型，在分數的教學活動中，能避免 造成兒童分數認知發展的迷思概念及錯誤。壹、分數的意義
張平東(1995)探討數字的誕生，認為早在八千年前的人類，即會在骨頭上刻 出條紋來記「數」，可見「數」的概念很早便萌芽了。雖然數字的價值是人類附 加上去，本身更是抽象化的符號，但是卻與人們的生活息息相關，周遭的事物也 幾乎都有數字，並隨著生活的複雜化，計算的情況也跟著增加，具有精密及複雜 的特性。教育部(2004)將數學定位為人類最重要的資產之一，認為是人與人對話 時具有理性與精鍊的一種語言，所以數學教育在世界各國，一直以來，都是基礎 教育不可或缺的領域。分數雖是數系的一環，但李曉莉(1998)認為分數更是兒童 未來要學習許多的數學概念和技能時，必備的基礎和關鍵，所以分數的啟蒙，攸 關著兒童未來的數學發展，因此，分數概念的認知活動著實重要，林碧珍(1988) 進一步解釋，分數是一種既複雜又重要的概念，如果學童無法理解分數，國小以 後的數學發展將會受到阻礙，正是因為數學概念具有抽象且前後連貫的性質，以 及一連串的概念抽象化後的認知結果(引自湯錦雲，2002)。 分數既然是數的一類，跟數一樣也是為了滿足人們在日常生活中，無法以「1」 為集聚單位，來描述事物的部份或組成的分子而產生的數字型態。從分數的英文是”Fraction”來看，它是源自於拉丁字”frangere”，具有小部份、片段、破碎的意 義，但通常是指將全部分解為部分的意思(張平東，1995)。所以，分數也就是基 於日常生活的實際需要，所建立的一套處理分割後的部份或小的度量的數學模 式，通常用來表示一個被分開的全體的各個部份。 然而就數學而言，分數是因幾何學的測量，以及自然數中的算數運算而生(陳 靜姿，1997)，例如在測量一線段長時，無法用度量單位恰好量完，必須將度量單 位等分成適當的小單位，使得剩餘的長度恰是等分後的小單位的整數倍。數學家 從數學的角度說明分數(或有理數)是一種關係，Russell 將分數 n m 定義為當xn＝ ym 時存在於 x 與 y 之間的關係，在 m 與 n 不為 0 的情況下， n m 是一對一的關係 (劉秋木，1996)。由此可知，分數依然是一個數，不過需要用兩個整數的關係來 呈現。 雖然分數的基本理念是「分」，但因為情境不同其意義也不同，因而造就了 分數豐富且多樣的內涵。彭海燕(1998)提出分數的意義分為下列數種：部分/全體 的意義、子集/集合的意義、數線上的一點、兩數相除的結果、比值(引自張日齊， 2003)；李長燦(1999)也指出 kieren(1980)將分數分成五個構念(subconstructs)來探 討，就是部分/整體、比率、商、度量和運算，這五個構念不但彼此互相關連，而 且還可以從不同的觀點來解釋分數的意義，其中「部分/整體」是分數發展的基礎。 Dickson, Brown & Gibson (1984)對分數的研究，亦有相同的看法，茲將分數的意 義分成五個部份來說明：
一、全部區域的子區域(sub-area of whole region)
相當於部分/整體的關係，通常是以圖形的面積來表徵，用以表示連續的整 體(連續量情境)等分後的幾個部分，這個意義對兒童來說，是較易學習的，所
是全圖的 2 1
(二分之一)。
二、子集合與母集合間的比較(a comparison between a subset of discrete objects and the whole set)
把一集合(離散量情境)等分為若干組，用以表徵其中的幾組，即子集/集合 的意義，這種表徵方式也是兒童容易理解的方式。例如： 圖形中 黑珠子是全部珠子的 2 1 (二分之一)。
三、在數線上的兩個全數間的一點(a point in number line which line at intermediate point between two whole numbers)
在數線上，任何兩個標示為1 的區間，位於區間的一點，其意義與部分/
全體相近。例如： 圖形中位於0、1 間等分成 3 等分的一等分為
3 1
(三分之一)。
四、除法運算的結果(the result of a division operation)
在除法的計算中，無法以整數整除而必須除盡時，除了用小數表示其商， 也可以分數表示之。例如：2 個蘋果平分給 5 個人，可以用 2÷5=( )的算式，算 出每個人得到的蘋果，2÷5 的結果用分數表示即為 5 2 。
五、二組集合或二個度量的比較的結果(a way of comparing the sizes of two sets of the objects or two measurements)
這是指兩個量的比較，在離散量或連續量的情境下，二量比較的結果，亦 可稱為比值。例如：小玉有3 元，小偉有 5 元，小玉的錢是小偉的幾倍?即可表 示成3:5= 5 3 來得出小玉的錢是小偉的 5 3 倍。 Behr 等人(1988)由不同的應用情境的判斷對分數歸納出多種意義，其中五項 與Dickson, Brown & Gibson 等人之定義相符，下列二項為意義不同的之處(引自
陳建安，2002)，敍述如下： 一、分數是一種運作的過程，強調分數是一種轉換。例如： 5 2 表示放大2 倍(× 2)後再分成 5 份(÷5)的歷程，同時也可以視為 2 個 5 1 。 二、分數是實數系的子集合，由集合論觀點來看，實數系集合的子集有自然數 的集合、整數的集合、有理數的集合、無理數的集合與代數數的集合等， 其中，有理數的集合就是所有分數的集合。 甯自強(1992)則從不同的角度分析兒童的分數概念發展中分數所具有的意 義，不以分數在應用上的意義來分類，而由觀察兒童解釋與處理「分數詞」的方 式，在不同階段及對部份與全體之間的運思程度，歸納出五種分數詞的意義(張日 齊，2003)：(一)分數的前置概念，此時分數詞的意義只是兩個整數並置、並無任 何部分與全體的關係。(二)起始單位分數及「多個在多個之中」的型式(initial unit fractions and many-in-many patterns)，對於部分在全體之中的意義已能明瞭，如 4+6=10，知 4 與 6 都內嵌於 10 之中，是 10 的一部分。(三)加法性分數(additive fractions)，指的是非單位分數詞是由單位分數詞組合而成，也就是單位分數詞被 為是可相加的單位。(四)巢狀分數(nested fractions)，其分數單位是可再分割的單 位，所以一個分數能成為另一個分數的部分，所以單位分數的內容物不限於只有 1 個。(五)有理數(rational numbers)，以分數的形式來表示兩數值間的比值關係， 這層關係即是數學的有理數的意義，此時分數詞不須藉由不同的分割活動，去比 較單位所發現的結果。 我國的數學教材在分數的定義方面，與前述的研究可說是大同小異。八十二 年實施的數學課程改革，課程中對分數定義如下：(一)部分與全體的比較：全體 是3 時，2 是 3 的部分。(二)除法的活動：2 除以 3 活動的另一種記法。(三)算子： 對於物件1 進行一個運作，將 1 等分割成 3 份，再取出其中 2 份。(四)小數的另
一種記法。(五)比的意義：表示兩數量的相對關係(2：3)。(六)測量：用來測量一 個不滿一個單位量的量的數值問題，或是對兩量的對等關係進行數值化(比值) (國 立編譯館，民89)。九十年開始實施的九年一貫新課程，數學課程雖然延伸八十 二年版的精神，但在分數教材部份，更明白指出以「除」為其最核心的意涵，而 將分數的意義歸結為四種，即平分的意涵、測量的意涵、比例的意涵及部分/全體 的意涵(教育部，2004)。 從分數意義的探討，發現分數在許多情境上的應用，可見分數的學習對促進 兒童數學概念的重要性。雖然分數是基於兒童在學習分數之前就已具有的「分」 的基模，但在正式學習分數時，必須擴展「分」的基模到「等分」基模，並加入 「除」的意涵，以兩個整數的形式來呈現分數，這對初學分數的兒童而言，不僅 是重要的基礎階段而且或許是困惑的開始。再加上分數因各種應用情境而具有的 豐富意義，如部分/全體的關係、比值、除法的商或數線上的一點等，還可區分為 離散量及連續量不同呈現的模式，更是兒童學習分數造成困難的可能因素。因 此，綜合上述對分數意義的分析研究，歸納出分數多重的意義，在兒童分數的教 學，將有助於對不同情境下，分數教材所要呈現的意義能有更深一層的認識，進 而指導兒童正確分數概念的認知。
貳、兒童分數的概念發展
兒童在進行學習時，概念(concept)就是他帶進學習歷程中最重要的元素。認 知發展心理學倡導兒童是認知的主動學習者，應用個人的先備知識及經驗解決問 題，而產生新的聯結。所以學習是將新概念或新訊息，與原有認知結構中的概念 相聯結，如此不斷地整合，融合為更精緻的認知結構，學習才具有意義。因此， 了解概念的形成因子、分數的概念及兒童分數概念的發展，將有助於兒童有意義 的分數學習，建構其分數的知識。「概念」在早期被視為是一個固定不變的實體，通常指的是對某一種學習的 結果。但Skemp(1976)認為概念是人們過去的生活經驗，具有共通性及不變性的 智慧表現。而概念形成的過程，一般稱為抽象化(abstracting)。很多的數學概念都 是由實際生活經驗所抽象化形成初級概念(primary concept)，然後再繼續抽象化成 次級概念(secondary concept)，例如：紅的、藍的、綠的、白的等初級概念組成「顏 色」這個次級概念。 張春興(1991)對概念的定義分為廣義和狹義兩種意義，廣義的概念是指個體 對其同類屬性事物，獲得概括性的單一經驗；狹義的概念則是以單一概括性的名 稱或符號，用以代表具有共同屬性的一類事物的全體時，此名稱或符號所代表者 為概念。 Markle＆Tiemann(1970)也提出概念具有「一組物件」、「一組事件」、「一組 相互關係」或「一組特性」不同的意涵，從它們的屬性分析，將某些共同的屬性 結合在一起而給予共同的「名稱」；好比能讓人拿在手上寫出字的工具，稱為 「筆」；能測量長度的物品，叫做「尺」；可以用來表徵比1 小的數字型態，就 是「分數」或「小數」。概念的形成則是在每天的生活經驗，發生的實例或與環 境中其他的事物形成強烈的對比，此時，概念自然產生，但是要真正了解某一概 念必須包含兩個成因，一為因類化而成新的例子，二為因區別而產生的反例。因 此，概念學習的結果常會產生以下三種錯誤類型(如圖 2-4)：(一)類化不足 (undergeneralization)；(二)過度類化(overgeneralization)；(三)迷思概念 (misconception) (湯錦雲，2002)。所以，在教學活動進行的過程中，當學生某種 概念有類化不足的現象時，教學者需要多舉些有關這種概念的實例告訴學生，加 強學生的類化。反之學生對某些概念有類化過度時，教學者就需告訴學生哪些實 例並不屬於這個概念的。
圖2-4 Markle＆Tiemann(1970)概念學習的三種錯誤類型(引自湯錦雲，2002) (黑色部分是學習概念的結果) Pines(1980)進一步指明人類概念的形成就像一個圓錐型的結構(圖 2-5)，圓錐 的頂部是一種「內涵」，也就是萃取這種概念的特質、共同性；底部是「延伸」 的部分，所有屬於這種概念的事例都包含在內。在學習時，由底部的延伸部分推 到上端(bottom-up)，這是「概念化」的歷程。反之，由上端的內涵推至底部(top-down) 就是所謂的「應用」。由下往上的概念化過程中有可能獲得不正確的內涵，如 Markle＆Tiemann 所說的三種錯誤類型；若是對於內涵特質不清楚的話，由上往 下應用到事例時，就會產生錯誤，對於基於此一概念而發展的其他認知，亦將無 法正確而迅速的達成(引自湯錦雲，2002)。 圖 2-5 Pines(1980)圓錐形的概念模型(引自湯錦雲，2002) 數學概念具有抽象化、精密性及複雜性的特質，使得學生在學習數學時必須 由已抽象化初級概念(primary concept)，經過一次又一次抽象化的過程，形成較精 緻的次級概念(secondary concept)，然而在抽象化過程中無法完全了解數學內涵，
便會偏離所要形成的次級概念，或根本無法形成，這些經過多次抽象化的數學概 念有高度的濃縮性，往往造成學生在學習數學時的困擾，影響學習成效，導致失 去學習興趣，因此學生在各領域的學習上，數學常常帶給學生是困難的、不喜愛 的科目。分數概念是具有比整數概念更複雜的運思過程，不同於整數的表徵方 式，從諸多研究中發現，分數概念的學習結果是令人感到沮喪的。 劉世能(2002)分析國小數學課程，將數學教材中各單元的分數概念區分為簡 單分數概念、等分概念、分數單位量概念、等量概念和等值分數概念五種。林福 來、黃敏晃、呂玉琴(1996)認為分數概念是一個過程概念(Process concept)，在處 理分數問題時是一連串的處理歷程，必須經過一個分的活動才能獲得分量，也才 能進一步去討論分量與單位量的關係，然而兒童在分數概念的發展初期，其認知 常停留在的活動上。Pothier & Sawada(1983)研究幼稚園到小學三年級的兒童，發 現兒童「分」的概念可分為五個階段，階段一的兒童僅能了解分享的意義；階段 二的兒童能將蛋糕分割成數塊，但做不到等分：階段三的兒童已能使用計算，將 東西等分成偶數塊，不過依然無法做到奇數塊的等分；階段四的兒童較不受偶 數、奇數塊的影響，皆能將東西在經過計算後力求完美地等分；階段五的兒童就 會利用不同的方法將東西等分割。
Piaget, Inhelder & Szeminska(1960)觀察兒童對於分數概念的操作，提出兒童 等分概念的發展階段如下(引自陳瑞發，2003)： 一、四歲到四歲半的兒童，對於要把一個物品分為二半都感到非常困難，顯示 在分割之前沒有預想的計劃或基模。關於不同形狀的分割，長方形比較容 易，圓形次之，正方形最難。也就表示這個階段的兒童不會注意到他所接 觸的部分，是全體之中所含的元素，缺少部分與全體之間任何的關係。 二、四歲到六歲的兒童對於較小範圍或有規律的物品，具有分半的能力，但如 果原來的整體的大小變大了，其分成一半將會延緩，同時將物體分成相等
的三部分的能力也尚未表現出來，在分割的圖形仍以長方形比較容易。 三、六歲到七歲的兒童已能成功將物體三等分，不須使用試誤的方法，不過對 操作的瞭解還是停留在具體的操作層次。在這個階段的兒童具有整體性的 保留概念，兒童了解到各個塊數的總量與整體是一樣的。 四、十歲左右的兒童能實施六等分的分法，他們先用三等分去分一個餅，然後 將所得的3 塊餅再用一半的分法平分。
Piaget, Inhelder & Szeminska 的研究也發現，兒童簡單分數概念發展的順序 (引自劉世能，2002)。指出兒童在處理與長度、面積有關的分數問題時，先會處 理 2 1 的分數問題，其次依序是 4 1 → 3 1 → 5 1 → 6 1
。Hiebert & Tonnessen (1978)探討五 歲四個月至八歲的兒童，在連續量及離散量的分數概念發展，也發現兒童在處理 面積的分數問題時，其結果與Piaget 等人的發現相同。但在處理長度的分數問題 時，學童先會處理 2 1 ，其次卻是 3 1 → 4 1 → 5 1
→ …. 。Pothier & Sawada (1983)則發 現，孩童在等分長方形或圓形區域時，其能力依序為 2 1 → n 2 1 → 3 1 、 5 1 → 9 1 、 15 1 。
Nik Pa(1987)延續 Hiebert & Tonnessen 的研究，觀察九位十、十一歲的兒童， 以分數基模的模式來說明其分數概念發展的過程，發現下列四種類型： 一、撕裂基模(splitting scheme)：兒童可以將任何物品撕斷成二部份，但是撕得 的部份不一定會與撕剩餘的部份相等，表示兒童未能將任一物品公平的分 成二半；不過兒童仍可以繼續撕裂撕開的部份，進行子分割的活動。 二、碎裂基模(fragmenting scheme)：此時的兒童能同時將一量製成數個部份， 與撕裂基模活動不同的是子分割的量可以被窮盡，然而子分割的單位彼此 之間未必相等，也就是不一定能等分。 三、分割基模(partitioning scheme)：具有此基模的兒童已能將一定的面積分割 成大小相等的部份，而且能使用計算的數概念來分割所需的集聚單位。
