第二章 文獻回顧
第四節 分析階層程序法
層級分析程序法（analytic hierarchy process；簡稱 AHP）為 1971 年匹茲堡大學教 授薩蒂（Thomas L. Saaty）所發展出來，是一種具有整體性分析觀念，可將複雜的計畫 建立起層次分明的層級系統的評估方式，主要應用在不確定性情況下及具有多數個評估 準則的決策問題上。最早 Saaty 是替美國國防部從事應變計劃問題（Contingency Planning Problem）的研究；並於 1972 年在美國國家科學基金會（National Science Foundation）的資助下，進行各產業電力合理分配的研究。1972 年 7 月 Saaty 在開羅替 埃及政府從事「無和平、無戰爭」（No Peace, No War）對埃及經濟、政治及軍事狀況的 影響研究時，開始將有關的判斷尺度化。1973 年 Saaty 將 AHP 法應用在蘇丹運輸問 題的研究後，整個理論才趨成熟。1974 至 1978 年間，經過不斷應用、修正及證明後，
整個理論更臻於完備。1980 年，Saaty 遂將此一理論整理成書【Saaty，1980】。AHP 法有其系統性（System）、有效性（Validity）、可靠性（Reliability）、及數量性（Quantity）
是一種結合定性與定量的決策分析方法；由於現代社會的問題往往是一個複合體，受許 多有形、無形、質的、量的因素所影響，故傳統的單目標或單準則評估方式已不敷使用。
AHP 法可以將這些問題的複合體結合起來，建立成一個具相互影響關係的階層結構
（hierarchical structure），並在這個結構下進行影響因素重要性的比較，以及替選方案的 評 估。大 致說 來，AH P 法具 備有以 下的 基 本假 設【鄧 振源 、曾國 雄， 198 9】：
（一）一個系統可以被分解成許多種類（classes）或成分（components），並形成 有向網路的層級結構。
（二）層級結構中，每一層級內的要素假設具有獨立性（independence）。
（三）每一層級的要素，可作為評估更高一層級要素的準則。
（四）比較評估時，可將數值化作比例尺度（ratio scale）。
（ 五 ） 要 素 間 採 成 對 比 較 （ p a i r w i s e ） 後 ， 可 使 用 正 倒 值 矩 陣 （ p o s i t i v e reciprocal matrix）處理。
（六）偏好關係滿足遞移性（transitivity）；且不僅優劣關係滿足遞移性（例如：A 優於 B，B 優於 C，則 A 優於 C），其強度關係也滿足遞移性（例如：A 優 於 B 二倍，B 優於 C 三倍，則 A 優於 C 六倍）。
（七）因完全的遞移性在實際判斷時並不容易，故容許些許判斷不具遞移性的存 在，但必須測試其一致性（consistency）的程度。
（八）要素的重要性程度，經由加權法則求得。
（九）任何要素只要出現在階層結構中，不論其重要性是如何小，均被認為與整 個評估結構有關。
一、AHP 的評估尺度
（Equal Importance）
兩比較方案的貢獻程度具同等重要性
＊等強（Equally）
3 稍重要
（Weak Importance）
經驗與判斷稍微傾向喜好某一方案
＊稍強（Moderately）
5 頗重要
（Essential Importance）
經驗與判斷強烈傾向喜好某一方案
＊頗強（Strongly）
7 極重要
（Very Strong Importance）
實際顯示非常強烈傾向喜好某一方案
＊極強（Very Strong）
9 絕對重要
（Absolute Importance）
有足夠證據肯定絕對喜好某一方案
＊絕強（Extremely）
2,4,6,8 相鄰尺度之中間值
（Intermediate values） 需要折衷值時。
資料來源：鄧振源、曾國雄（1989），層級分析法（AHP）的內涵特性與應用（上），中國統計學報，第 27 卷，第 6 期。
依 Saaty 提出選擇 1-9 評估尺度的理由，經分析後規納成以下八點：
（一）Gustay Theodor Fechner（1801-1887）在 1860 年從事心理反應的研究，發現 人類對間斷的算術序列，能夠注意到當中不同的地方。
（二）Weber 與 Fechner 在隨後的研究中發現，人類的反應與所使用的尺度，呈自 然對數（Logarithm）的線性函數，這就是 Weber-Fechner 精神物理法則
（Psychophysical Law of Weber-Fechner）。
（三）G..A.Miller 在 1956 年的研究中發現，人類無法同時對 7 種以上的事物進行
二、層級分析程序法的步驟
在處理層級分析程序時，大致分為六個步驟，分別為 1.列舉評估因素；2.層級的建 立；3.問卷設計與調查；4.計算層級要素的權重；5.一致性檢驗及 6.評估替選方案。以 下的針對各步驟說明之：
（一）列舉評估因素
對於所欲分析的問題，必須對其內涵、範圍與影響因素有一程度的瞭解，利 用群集腦力激盪法（Group Brainstorming）或德爾菲法（Delphi Method），將影 響評估之因素逐一列出，再以其獨立及相互關係，劃分層級。
（二）層級的建立
此步驟便是將複雜的問題化作明確的層級。層級的劃分必須瞭解問題的結構 及可選擇的替選方案，這些步驟即可依本章在第一節中〝設立目標與準則〞與〝提 出各種對策〞兩小節所述的方法進行。
在分析層級時應注意下列各點：
1.最高層級代表評估的最終目標。
2.儘量將重要性相近的因素放在同一層級。
3. G. A. Miller 的研究指出：人類同時對七種以上的事物進行比對，容易發生混 亂，故層級內的要素不宜過多，九個是極限【Miller，1956】。依 Saaty 的建議 最好不要超過七個；超過者最好合併或分層解決，以免影響層級判斷的一致性。
4.層級內的各要素，應力求獨立性。
總括來說，以 AHP 法建立層級有以下的優點：
1.易於分析工作的達成。
2.有助於描述上下層級間的影響度與貢獻度。
3.對整個系統的結構面與功能面，能有詳細的描述。
4.層級具有穩定性（stability）與彈性（flexibility）；亦即微量的改變能形成微量 的影響；而新成及的加入，對一個結構良好的層級系統而言，並不會影響整個 系統的有效性。
（三）問卷設計與調查
在層級劃分之後，就是要將其轉化為問卷並實施調查，以求得層級要素的權 重，並以此對替選方案進行評估。要素權重的求得，最常使用的方法是以成偶比
對（pairwise comparison）的方式進行，亦即將某一層級內的任兩個要素，以上 一層級的要素為評估標的，分別評估該兩個要素對上一層級要素的相對貢獻度或 重要性【Jensen，1984】。
在重要性的評估尺度上，Saaty 是建議以 1-9 的數字代表：1 為同等重要、3 為稍重要、5 為頗重要、7 為極重要、9 則為絕對重要；2、4、6、8 則代表相鄰 尺度的中間值。若 A 與 B 相比為頗重要，則給予 5；若為絕對重要，則給 9。雖 然在問卷設計上是給予數字名目的意義，但實際在 AHP 處理程序上，這些數值 具有比例尺度（ratio scale）的特性。因此，承續上例，當 A 與 B 相比為頗重要，
故給予 5；即相對表示，B 與 A 相比為頗不重要，應給予 1/5。
決定評估尺度後，我們可以將施測所得的資料以矩陣來處理。最終目標（以
“F”字母代替）之下有三的評估準則，分別為 A、B、C，為求得 A、B、C 對 F 的重要性權重，在成偶比對後，可以得到表 2-2。
表 2-2 成偶比對矩陣
F A B C
A （A,A） （A,B） （A,C）
B （B,A） （B,B） （B,C）
C （C,A） （C,B） （C,C）
表 2-2 是指在 F 之下，第一欄要素與第一列要素相比 ，例如（A,B）是指
〝A 比 B〞，若評估數值為 5，則表示〝A 與 B 相較，頗為重要〞。此外我們還 可以進一步解釋：〝B 與 A 相較，頗不重要〞，其數值應為 1/5，亦即（B,A）＝
1/（A,B）。此外，負斜率的對角線上，為自己與自己相比，當然為同等重要，故
（A,A）＝（B,B）＝（C,C）＝1。總和上述，表 2-2 的矩陣可以改為表 2-3。故 實際評估時，只需要針對對角線右上方的部分進行成偶比對，左下角部分只須求 倒數即可。
表 2-3 修正後的成偶比對矩陣
F A B C
A 1 （A,B） （A,C）
B 1/（A,B） 1 （B,C）
C 1/（A,C） 1/（B,C） 1
（四）計算層級要素的權重
有了表 2-3 的矩陣，我們就可以來計算 A、B、C 相對於 F 的權重；事實上 就是求得該矩陣的「優先向量」（priority vector）或稱「特徵向量」（eigenvector），
各向量的值就是代表權重。其簡單的求法步驟如下，並以表 2-4 的數值為例說明
【吳金城，1992】：
1.將矩陣的每行加起來得到每行總數（表 2-4）。
2.每個數除以每行總數，得到一個正規矩陣（表 2-5）。
3.將正規矩陣每列加起來得到列總數，在除以所有列總數之和，即可得到特 徵向量（表 2-6）。
表 2-4 成偶比對矩陣與每行總數
F A B C
A 1 1/2 1/4 B 2 1 1/3
C 4 3 1
毎行總數 7 9/2 19/12
表 2-5 正規矩陣
F A B C
A 1/7 1/9 3/19 B 2/7 2/9 4/19 C 4/7 6/9 12/19
表 2-6 特徵向量
F A B C 毎列
總數
特徵 向量 A 1/7 1/9 3/19 0.41 0.14 B 2/7 2/9 4/19 0.72 0.24 C 4/7 6/9 12/19 1.87 0.62
表 2-5 的特徵向量即說明了：在 F 之下，A、B、C 三要素的重要權重為 14%、24%與 62%。在藉由各個評估準則矩陣成偶比對，計算出各層級準則的權 重後，本研究會將不同層級間的權重相乘，得到一個總權重值。此總權重值就是
最底層的評估準則，直接對最上層評估目標的權重。
（五）一致性檢驗
對於問題的判斷，一致性是很重要的。若 A 比 B 重要，B 又比 C 重要，
而 A 與 C 相比時，卻發現 C 比 A 重要，則顯然在判斷時不一致。為求判斷的 結果之一致性在合理的範圍之內，AHP 利用一致性比率（consistency ratio；CR）
來衡量成偶比對矩陣的整體一致性。Saaty 認為當 CR＜0.1 時，其一致性可接 受，否則須重新建立一比對矩陣；若 CR 值一直居高不下，則可能須從新設定層 級結構。而求得 CR 的步驟如下：
1.求成偶比對矩陣之最大特徵值 λmax（maximum eigenvalue）。近似的求法為：
成偶比對矩陣乘以特徵向量矩陣，會得到一個新的向量；這個向量的第一個數 除以特徵向量的第一個數，第二個數除以特徵向量的第二個數…餘類推，將結 果相加取算數平均數，即可得到λmax。
2.計算一致性指標（consistency index；CI）： CI＝（λmax-n）/（n-1）
註：n 為矩陣中因素的個數，即矩陣的階數（order）。
3.查表找尋隨機指標（random index；RI）。根據 Dak Ridge National Laboratory 與 Wharton School 進行的研究，評估尺度 1-9 所產生的正倒值矩陣，在不同的階 數下，產生不同的 CI 值，稱為隨機指標（RI），如表 2-7 所示。其中階數 1~11 的 RI，係以 500 個樣本所求得的平均值；階數 12~15 的 RI，則用 100 個樣本 求得。
表 2-7 隨機指標表 階
數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 RI 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56 1.57 1.58 資料來源：鄧振源、曾國雄（1988），層級分析法（AHP）的內涵特性與應用（上），中國統計學報，27
（6），5-22。
4.計算一致性比率（Consistency Radio；CR），並檢驗接受度。CR＝CI/RI，當 CR＜0.1 時，一致性程度始被接受。今以表 2-6 的數值說明：首先將成偶比對 矩陣，與表 2-6 中求得的特徵向量矩陣相乘，會得到一個新的矩陣向量。
1 1 2 1 4 0.14
0.42 0.14 0.73 0.24 1.90 0.62
CR＝0.015
0.58 ＝0.03＜0.1
此外，也需檢驗層級間的一致性。其步驟為【吳金城，1992】：
1.計算 CIH（consistency index of the hierarchy）＝各該層級的 CI 值＋各該層級 特徵向量×各該層級下比對矩陣的 CI 值所構成的向量。
2.計算 RIH（random index of the hierarchy）＝各該層級的 RI 值＋各該層級特 徵向量×各該層級下比對矩陣的 RI 值所構成的向量。
3.計算 CRH（consistency ratio of the hierarchy）＝CIH/RIH。當 CRH＜0.1，則 通過層級間的一致性檢驗。
三、AHP 法在本研究之設計
本研究的整個架構都是依照 AHP 法的程序在進行的。本研究採用管理決策的過程
本研究的整個架構都是依照 AHP 法的程序在進行的。本研究採用管理決策的過程