加減文字題的類型與解題歷程

近年來數學教育強調學生帶得走的能力，其中培養解決問題的能力更是未 來關鍵的指標，因此在九年一貫課程教學總目標中明確列出「學習應用問題的 解題方法」（教育部，2003）。許多國內研究針對文字題解題都以此為主題（古 明峰，1997；徐文鈺，1992；林淑玲，1999；楊淑芬，2001；鄭人豪，2005），

而加減文字題是解題歷程研究的重心，因題目型式單純並容易釐清題目間的差 異，另外，題目多樣化易發現解題策略和錯誤類型的變化。而韓淑儀(2004)的 研究更發現文字題題型是影響學生列式正確率的重要因素，數字的大小反而影 響不大。因此本節依二部分探討加減文字題的類型和解題歷程，分述如下:

一、加減文字題類型

加減文字題有許多不同的分類方法，有依情境、運算、語意結構等方式來 分類，加減文字題基本結構包含兩個數量，以及兩者之間的關係描述，引鄭人 豪（2005）整理各家學者將加減文字題類型，主要依問題句型結構和語意關係 結構兩種類說明之。

（一）依問題句型結構為分類

以 Lewis 與 Mayer（1987）將問題句型依功能分三部分，以文字題為例「題 目：哥哥有 10 元，給了妹妹 3 元，請問哥哥現在有幾元？」

1.指定句（assignment）：係指人事物和數量間的關係，如：「哥哥有 10 元」，直接說明哥哥與金額的關係。

2.關係句（relation）：係指問題中表達兩個變項的數量間對應、互動或比 較關係，如：「給了妹妹 3 元」，說明哥哥和妹妹錢之間互動的關係。

3.問題句（question）：係指問題中需要解題的目標，如：「請問哥哥現在 有幾元？」，提出解題目標或求未知數的數值。

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相關研究指出，在文字題中關係句是解題的關鍵，因為它說明問題中兩個 變項的關係，因此學生若瞭解問題句型的結構，將有助於選擇正確的運算策略。

(Lewis & Mayer,1987；Marshall,1995)。因此，本研究將針對指導受詴學生瞭解 加減文字題問題句型來設計課程。

（二）依語意關係結構為分類

Riley(1983)和 Willis 與 Fuson（1988）依據語意關係結構將加減文字題分 成「改變」、「合併」與「比較」三類，每個類別再依「未知數的性質」（the role of unknown set）和「語意關係」（semantic relation）細分十四種類型，如表 2-1：

1.改變（change）類型問題：指一個數量經過增減後，形成另一個數量的 問題，針對數量的增減行為作動態的描述，包括增加、減少兩種，再細 分為「結果量未知」、「改變量未知」、「起始量未知」三類。

2.合併（combine）類型問題：探討一個大集合和兩個互補子集合之間的關 係，針對問題中兩個數量作靜態描述。分為兩種類型「總數未知」即先 給兩個子集合的個數，再求總數；「子集合未知」即先給一個總數和一個 子集合個數，求另一個子集合的個數。

3.比較（compare）類型問題：比較兩個數量大小或多寡的問題，針對問題 中兩個數量作靜態的描述，包括比多、比少兩種類型，再細分為「差異 量未知」、「被比較量未知」、「參照量未知」三類。

表 2-1

加減文字題的類型和舉例

類型 未知數性質 舉 例

改 變

結果量未知－

增加

小明有5顆糖，小華又給小明 3 顆，問小明現在有幾顆糖？

結果量未知－

減少

小明有8顆糖，小明給小華 3 顆糖後，問小明現在有幾顆糖？

(續下頁)

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1999；黃湘婷，2007；蔣治邦、鍾思嘉，1991），黃湘婷(2007)依 Fuson 的四種 加減法分類研究中，發現解題正確率由高到低為合併、改變、等化、比較類，

其中「合併類型－總數未知」、「改變類型－結果量未知(增加)」是相對難度最 低的，而「比較類型－參照量未知(比少)」最難。

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Riley(1983)研究中發現，未知數所在的位置在越前陎難度越高；「改變類 型－起始量未知」題目較難，在「合併類型－子集合未知」題目較難，在「比 較類型－參照量未知」題目最難與翁嘉英(1987)的研究結論相同，探究原因，

問題的語意情境與未知數的性質和問題難度有密切的關係（古明峰，1999；翁 嘉英，1987；黃湘婷，2007）。

二、加減文字題的解題歷程

學生陎對數學文字題通常要涉及比一般計算題更為複雜的歷程，因為數學文 字題是以語文型態敘述數學問題，學生解題需先瞭解題意後，將「語文理解」轉 換成「數學形式」，再依照題意來列式進而計算，而轉換的過程也尌是學生最感 困難部分(Lewis & Mayer,1987)。因此，透過瞭解學生的解題歷程有助於知道學 生的解題困難，進而提升解題能力。

Cummins(1991)年與Hegarty, Mayer, Green(1992)研究指出學生在數學文字 題理解解題歷程，指出成功解題加減文字題途徑和策略有二，其說明如下：

（一）直接轉譯策略

從問題文字敘述中尋找解題線索，即從關鍵字和問題中所涉的數字對應到解 題程序，並未對問題的情境加以建構，學生陎對問題時較依賴從表陎的關鍵字了 解題意，習慣將問題中的「減少、剩下」等關鍵字詞與「減法」作聯結，而將「增 加、總共」等關鍵字詞與「加法」作聯結，若關鍵字與題意所要求的運算一致時，

可獲得高正確率，反之，當關鍵字與題意所要求不一致時，關鍵字反而會干擾受 詴者的解題表現。

(二) 問題模式策略

解題者將問題情境所描述的轉譯建構成問題情境所陳述的心理模式（mental model），以作為解題計畫。學生在解題時擁有表徵問題關係的語意基模，並將解 題有關的一連串過程與此架構相連結，具有部分－全部的概念，瞭解數字間相互

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關係，包括加減法交換、結合和互補關係的理解（古明峰，1999）。

根據以上兩種策略的解題歷程，解題者閱讀題目內容，選擇解題策略、擬定 解題計畫，將此歷程分三階段說明：第一階段：本文基礎的建構（construction of the text base）解題者閱讀題目後，轉譯文中陳述為內在命題表徵並整合問題中其 他資料，以建構自己的語意網路表徵。第二階段：特殊數學表徵的建構

(construction of a mathematics specific-representation)解題者以解題目標導向，理 解文中陳述並建構數學表徵，此階段解題者將因採用直接轉譯策略和問題模式策 略而有所差異，1.直接轉譯策略：解題者取決文中現有的陳述包括關鍵事實，除 了數字和關鍵字其他予以刪除，在解題者內在表徵中題目所包含的表徵較原題 少。2. 問題模式策略：解題者取決目前問題的陳述是否提及另一個客體，解題 者重新建構或更新目前所理解的問題模式。第三階段：解題計畫的建構

(construction of solution plan) 解題者根據問題中相關資料，準備好解題所需的解 題計畫。其分兩種解題計畫方式，1.以直接轉譯解題者，根據關鍵字解題，例如 題目中出現「少於」，則可能和減法相連結，將可能出現錯誤的解題計畫，解題 者卻不易察覺。2.以問題模式解題者，先建構新的問題模式選擇適合的程序和可 用資料，發展解題計畫並執行，並在解題過程中可持續監控，以利期間發生錯誤 時能立刻察覺並修改。

綜合上述，成功解題並不能只使用單ㄧ策略與途徑，本研究指導學生解題 需要先本文建構、數學符號表徵建構最後進行解題計畫，透過完整的思考歷程 才能運用正確的解題策略進行解題與監控。

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