圖示表徵策略對智能障礙學童加減文字題 學習成效之個案研究

國立臺東大學特殊教育學系碩士在職專班 碩士論文

指導教授：程鈺雄 博士 魏俊華 博士

圖示表徵策略對智能障礙學童加減文字題 學習成效之個案研究

研究生：劉珊妙 撰

中華民國一○一年八月

謝誌

當時間走到一個小逗號時，總讓人想停下腳步回頭看看過去的足跡，這時心 中的感受總是五味雜陳。回想唸研究所一直是我的夢想，過去在教學現場透過前 人的知識傳遞雖能幫我解決許多的問題，但有機會再精進讓自己更有能量幫助需 要的孩子，是當初決定唸研究所的心志，一轉眼三個暑假與東大老師和同學一起 學習打開特教的視野，心中很感激也很慶幸有這樣美好的經驗。當老天為你打開 一個門，才知自己的不足且須謙卑學習，完成的論文似乎意味著階段性任務的告 一段落，但老師的叮嚀，告知大家未來的學習之路要秉持著研究生的態度，是提 醒我畢業後要持續單純堅持的學習態度。

能完成一件對自己生命中不太容易的事情，是需要眾人的支持和鼓勵，首要 感謝魏俊華老師，他總是在重要時刻給我明確且切要的指引，讓我在茫然不知所 措的研究過程中給予像燈塔般的引導，這樣安定的力量是我努力向前的動力；另 外要感謝程鈺雄老師，這一路上總是常常關心並鼓勵我撰寫論文的進度，給予我 許多寶貴的意見。接著，要感謝我生命中最重要的人－老公俊翔和家人，這三年 來每到暑假就陪我來台東並為我處理許多生活的瑣事，默默支持我完成學業，若 我有所成就榮耀當歸於你。

另外，感謝同窗的夥伴明慧在學習的過程中給予我許多支援，婉鳳常彼此互 相鼓勵我，玥妤、信斌、湘如、佳民等許多同學的幫忙和關心，這份友情的溫暖 在面對困難之時更顯珍貴。

最後，要感謝學校的同事藍琪、良慈、富慈、幸真、忠侃等給予我相當多的 支援和意見，以及我的學生小妮乖巧且認真面對每次的學習，讓這個論文順利完 成。要感謝的人好多再多的篇幅似乎永遠不夠，因為生命中點點滴滴都是構成美 好事物的元素，容我再次說聲感謝大家一路上幫助和鼓勵我的朋友們!

謝謝大家!

珊妙於壬辰年.立秋.台東

i

摘要

圖示表徵策略對智能障礙學童加減文 字題學習成效之個案研究

劉珊妙

國立臺東大學 特殊教育學系碩士在職專班 摘 要

本研究以「個案研究」的方式，探討圖示表徵策略教學對一位輕度智能障 礙學童在加減文字題的學習成效，探討解題正確率、解題錯誤改進情形和學習 態度的轉變情形，以教學觀察、訪談的方式進行，並收集受詴學生的學習單、

前後測、延後測、教學日記、學習日記、教學原案等資料來探索受詴學生的學 習成效。

本研究由研究者擔任教學者，配合相關資料收集，綜合本研究結果如下：

一、圖示表徵策略教學，對一位輕度智能障礙學童在加減文字題的評量解題正 確率，有立即和維持的成效。

二、圖示表徵策略教學，對一位輕度智能障礙學童在加減文字題的解題錯誤改 善情形，有正向提升的效果。

三、圖示表徵策略教學，對一位輕度智能障礙學童在加減文字題的學習態度轉 變，從「被動的學習態度」到「學習動機的萌發」、「展現積極的解題能力」、

「自我省思的解題表現」延伸到「自信心的提升」，顯示圖示表徵策略對一 位輕度智能障礙學童在加減文字題的學習態度有正向提升的助益。

最後，歸納研究發現，做為未來教師實施圖示表徵策略對輕度智能障礙學 童在加減文字題之參考。

關鍵詞：圖示表徵策略、智能障礙兒童、加減文字題

ii Abstract

The Case Study of The Learning Effect on the Addition and Subtraction Word Problems by Using The Graphic Representation Strategy for The Elementary Student with

Intellectual and Developmental Disability

Shan-Miao Liu Abstract

This study was conducted by the method of case study. The aim of this study was the learning effect on the addition and subtraction word problems by using the graphic representation strategy for an elementary student with intellectual and developmental disability. It also studied the correction ratio of problem-solving, the improvement of misproblem-solving, and the change of the learning attitude. It was conducted by the teaching observation and interviews. At the meantime, the interviewee’s learning effect was studyed by analyzing the interviewee’s learning worksheets, pre and post tests, postponed tests, teachers’ teaching diary, the student’s learning diary and the design of curriculum. During the whole study process, the teacher’s role of this study was hold by the studyer herself.

The following three findings were the results of this study:

1. There was the immediately and preserve effect on the problem-solving correction ratio of the evaluation assessments for the addition and subtraction word problems by using the graphic representation strategy for an elementary student with intellectual and developmental disability. There was the positive effect on the improvement of misproblem-solving for the addition and subtraction word

iii

problems by applying the graphic representation strategy for an elementary student with intellectual and developmental disability.

2. There was positive reinforcement on the change of the learning attitude for the addition and subtraction word problems by implementing the graphic representation strategy for an elementary student with intellectual and developmental disability The change of the learning attitude was from the passive learning to the occurrence of the motive learning. It even signaled the proactively problem-solving skill, the self-debrief of the problem-solving presentation and the enhancement of self-confidence.

In the future, the results of this study could be the reference for teachers to implement the graphic representation strategy on the addition and subtraction word problems for the elementary students with intellectual and developmental disability.

Key words：The Graphic Representation Strategy, Student with Intellectual and

Development Disability, Addition and Subtraction Word Problems

iv

目錄

謝誌 ... 錯誤! 尚未定義書籤。

摘要 ... i

Abstract ... ii

目錄 ... iv

表次 ... vi

圖次 ... vii

第一章 緒論 ... 1

第一節 研究問題背景與動機 ... 1

第二節 研究目的與待答問題 ... 4

第三節 名詞解釋 ... 5

第二章 文獻探討 ... 7

第一節 智能障礙學生的學習特徵與指導策略 ... 7

第二節 加減文字題的類型與解題歷程 ... 12

第三節 圖示表徵策略相關理論 ... 17

第四節 圖示表徵策略教學相關研究 ... 22

第三章 研究方法 ... 34

第一節 研究架構 ... 34

第二節 研究對象 ... 35

第三節 研究工具 ... 37

第四節 教學設計 ... 42

第五節 研究流程 ... 46

第六節 資料分析與處理 ... 49

第七節 研究之信效度 ... 51

第八節 研究倫理 ... 52

v

第四章 研究結果與討論 ... 53

第一節 受詴學生之現況分析 ... 53

第二節 受詴學生之解題錯誤改善情形 ... 59

第三節 加減文字題之解題正確率 ... 85

第四節 受詴學生之學習態度的轉變 ... 90

第五節 研究者之省思與檢討 ... 99

第五章 結論與建議 ... 100

第一節 結論 ... 100

第二節 建議 ... 102

參考文獻 ... 104

一、中文部份 ... 104

二、英文部份 ... 108

附錄 附錄一 家長同意書……… 111

附錄二 圖示表徵策略教學滿意度訪談表－學生版……… 112

附錄三 圖示表徵策略教學滿意度訪談表－導師版……… 113

附錄四 A 專家意見審核意見表 ……… 114

附錄五 B 專家意見審核意見表 ……… 116

附錄六 C 專家意見審核意見表 ……… 118

附錄七 前測詴卷 ……… 120

附錄八 後測詴卷 ……… 124

附錄九 問題基模教學活動設計－三類混合(沒有未知數)範例 ……… 128

附錄十 圖示表徵策略教學活動設計－三類混合(有未知數)範例 …… 132

附錄十一 問題基模教學學習單 ……… 139

附錄十二 圖示表徵策略教學學習單 ……… 140

vi

表次

表 2-1 加減文字題的類型和舉例……… 13

表 2-2 吳昭容比較題圖示系統……… 27

表 2-3 國內圖示表徵策略之相關研究……… 32

表 3-1 三位專家的審核意見和修正後題目一覽表……… 37

表 3-2 專家效度名單……… 40

表 3-3 圖示表徵策略教學課程內容大綱……… 43

表 3-4 資料處理編號說明……… 49

表 4-1 受詴學生的前測表現分析……… 54

表 4-2 受詴學生的教學目標……… 58

表 4-3 被比較量未知和參照量未知的題型特性……… 68

表 4-4 受詴學生的前測、後測和延後測答題結果比較表……… 85

表 4-5 受詴學生在不同階段各類題型解題正確率……… 88

vii

圖次

圖 2- 1 Fuson 和 Willis 的圖示系統……… 24

圖 2- 2 Lewis 的圖示步驟……… 25

圖 2- 3 Jitendra,Griffin,Kyle,Gardill,Bhat,Riley 基模本位策略教學 26 圖 2- 4 古明峰語意結構圖示策略……… 29

圖 3- 1 研究架構圖……… 34

圖 3- 2 研究流程圖……… 46

圖 4- 1 受詴學生與一般學生的基礎數學概念評量帄均通過率比較圖…… 54

圖 4-2 受詴學生學 1010426 單第 3 題……… 62

圖 4-3 受詴學生學 1010517 單第 4 題……… 63

圖 4-4 受詴學生學 1010529 單第 8 題……… 65

圖 4-5 受詴學生學 1010530 單第 2 題……… 66

圖 4-6 受詴學生學 1010426 單第 13 題……… 69

圖 4-7 受詴學生學 1010520 單第 6 題……… 71

圖 4-8 受詴學生學 1010528 單第 11 題……… 72

圖 4-9 受詴學生學 1010528 單第 2 題……… 74

圖 4-10 受詴學生學 1010529 單第 8 題……… 76

圖 4-11 受詴學生學 1010529 單第 13 題……… 78

圖 4-12 受詴學生學 1010530 單第 16 題……… 79

圖 4-13 受詴學生學 1010630 單第 16 題……… 80

圖 4-14 受詴學生學 1010426 單第 11 題……… 81

圖 4-15 受詴學生學 1010517 單第 3 題……… 83

圖 4-16 受詴學生在不同階段各類型解題正確率變化情形……… 89

圖 4-17 受詴學生學 1010430 單第 1 題……… 92

圖 4-18 受詴學生學 1010522 單第 1 題……… 94

圖 4-19 受詴學生學 1010521 單第 8 題……… 96

圖 4-20 受詴學生學 1010521 日……… 97

viii

1

第一章 緒論

在政府長期提倡融合教育的過程中，研究者在普通班任教多年，陎對身心 障礙學生，一直秉持努力積極使學生獲得適性教育為目標，因此，針對學生個 別問題安排特殊教學策略引領學習更形重要。尤其，在研究者經常指導學生在 數學領域學習歷程中，發現智能障礙學生雖能習得計算能力卻經常對文字題感 到困擾，因此誘發研究者想探討圖示表徵策略對輕度智能障礙學生加減文字題 的學習成效之個案研究。本章分為三節，第一節說明研究者之研究背景與動機，

第二節列舉本研究的研究目的與待答問題，第三節名詞解釋。

第一節 研究問題背景與動機

在日常生活中，我們為了解決各種情境問題，無不運用到數學行為，例如：

坐公車計票價、購買物品的交易行為、煮東西的比例配方等，因此，對國小學 生而言，數學是非常重要的基本能力。

自從教育部實施九年一貫課程以來，數學領域能力一直強調培養學生帶得 走的能力，其內涵強調教學者以學習者為中心和培養學生解決問題的能力(教育 部，2003)，此與 101 學年度正式上路的「國民教育階段特殊教育課程綱要」中，

所指課程編撰之融合原則相契合，強調應提供特殊學生對普通教育學習活動之 充分參與機會，對於認知功能輕微缺損學生在實施數學領域應用要點中也提 到，應協助學生體驗生活情境與數學連結的過程，培養學生能以數學的觀點考 察周遭事物的習慣(教育部，2009)。另外，過去針對智能障礙學生適應社會生 活所需能力，編定「特殊教育學校（班）國民教育階段智能障礙類課程綱要」

其六大領域：生活教育、社會適應、實用語文、實用數學、休閒教育及職業生 活，在實用數學第一項即指出使學生獲得生活所需的基本組型、數、量、圖形、

2

空間的概念(教育部，1999)。綜合以上所見，不管是普通學生或是身心障礙學 生，數學都是一項極為重要且必修的學科和生活技能。

從研究者擔任國小教師多年，觀察數學領域教學現場中，經常發現大多數 學生在國小學習階段，文字題的解題一直以來是國小教師與學生感到十分困擾 的部分(林逸文，2002)，由於數學是由具體到抽象的一門學科，其抽象性常導 致兒童學習數學感到挫敗，而缺乏信心（謝美熹，2006），尤其是文字題解題 又涉及計算能力和閱讀理解能力（古明峰，1999），對於學習程度低落的兒童 和智能障礙兒童，皆會產生不同程度的困擾（徐文鈺，1992）；特別是智能障 礙學生對於觀察、分析、類化、歸納、抽象、猜想等解決問題的能力較弱，使 得他們在文字題解題正確率較低，延伸到解決實際生活問題也較弱(朱聲隼、胡 彩虹，2008）。因此，教導智能障礙學生不僅是基本計算能力(加、減、乘、除)，

更需要將數學知識融入實際生活問題當中，以提昇身心障礙學生解決日常生活 問題的能力此為研究動機之一。

國小學生最早接觸為單一步驟加減文字題，針對學習障礙學生解決數學文字 題的使用策略做了相關研究，發現有數學學習障礙的學生，即使擁有計算和閱讀 的能力，仍會造成解題表現不佳的原因，通常是使用不當的解題策略，例如：用 關鍵字來直接解題，或是取巧運用記憶和應對策略，如看到「比…多」的關鍵字 尌對應到「＋」，看到「比…少」的關鍵字尌對應到「－」等情況（謝毅興，1991）；

亦或是看到題目中的數字尌盲目運算（林秀燕，2005）。因此，教導學生數學解 題前，應理解文字題解題歷程，才能進一步協助學生解題。根據Mayer（1992）

以認知心理學觀點研究，將文字題的解題歷程分成兩階段：問題表徵(problem representation)和問題解決 (problem solution)，進而提出四個解題步驟：問題轉 譯、問題整合、解題計畫與監控、解題執行。因此，學生在解題過程中首要遇到 的問題，尌是問題表徵形成的困難，而不是執行階段（何緼琪、林清山，1994）。

而針對表徵問題困難造成兒童在文字題解題歷程的困擾，許多研究支持圖示表徵

3

策略可以有效協助學習有障礙兒童理解文字題題意，形成內在表徵減少認知負擔 進而順利解題（吳昭榮，1990；林秀燕，2005；徐文鈺，1992；楊淑芬，2001；

鄭人豪，2005；魏君芝，2002），因此，探究圖示表徵策略對輕度智能障礙學童 的加減文字題解題歷程，為研究動機之二。

有鑑於此，本研究個案為一位輕度智能障礙學童，研究者曾擔受詴學生一 到三年級導師，在二年級尌因學習加減文字題而產生困擾，引發研究者想以個 案研究的方式，參考相關研究結果，根據帄日上課學生的學習資料，教導智能 障礙兒童學習解文字題的策略方法，設計一套以基本加減文字題為材料，透過 圖示表徵策略之訓練課程，先教導基模圖示，再進行解題策略教學，探究圖示 表徵策略對於輕度智能障礙兒童在加減文字題之學習成效，期盼有效解決問題 為研究動機之三。

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第二節 研究目的與待答問題

依據上述研究動機，本研究旨在探討圖示表徵策略對智能障礙學童加減文 字題之學習成效，分述本研究目的和待答問題如下：

一、研究目的

(一)探討圖示表徵策略教學，對一位輕度智能障礙學童在加減文字題的解題 正確率。

(二)探討圖示表徵策略教學，對一位輕度智能障礙學童在加減文字題的解題 錯誤改善情形。

(三)探討圖示表徵策略教學，對一位輕度智能障礙學童在加減文字題的學習 態度轉變情形。

分析歸納研究發現，做為未來教師實施圖示表徵策略對輕度智能障礙學童 在加減文字題學習之參考。

二、待答問題

基於上述研究目的，本研究探討以下主要問題：

(一)圖示表徵策略教學，對一位輕度智能障礙學童在加減文字題的解題正確 率如何？

(二)圖示表徵策略教學，對一位輕度智能障礙學童在加減文字題的解題錯誤 改善情形如何？

(三)圖示表徵策略教學，對一位輕度智能障礙學童在加減文字題的學習態度 轉變情形如何？

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第三節 名詞解釋

針對本研究涉及之重要名詞加以界定，以限定本研究對象和範圍，其說明 如下：

一、圖示表徵策略

圖示表徵策略（graphic representational strategy）是運用基模圖(schematic diagams)將文字應用題的訊息重新組織，協助學習者減輕認知過程負擔的策 略，有效將問題轉譯並解題，此方法已有效應用心理資源於解決問題(Jitendra, 2002)。

本研究所指圖示表徵策略課程，由研究者參考國內外研究，根據 Mayer

（1987, 1992）的解題歷程、Fuson 和 Willis（1989）設計「基模圖」（schematic drawing）、Jitendra 和 Hoff（1996）的基模本位直接教學和吳昭容 (1990)及 古明峰（1997）的線圖來設計課程，教學程序分成兩部分，說明如下：

第一部分：先進行「問題基模教學」建立圖示表徵的預備能力，讓學生能 熟練辨識三種問題類型基模（改變類、合併類、比較類），再進行下一階段圖 示表徵策略教學。

第二部分：「圖示表徵策略教學」參考繫秋霞（2006）和田佳芳(2010)所 設計的解題步驟，圖示表徵策略教學分兩階段四步驟進行。

二、智能障礙兒童

根據教育部「身心障礙與資賦優異學生鑑定標準」(2006)，定義智能障礙 為：指個人之智能發展較同年齡者明顯遲緩，且在學習及生活適應能力表現上 有嚴重困難者。鑑定基準如下：1.心智功能明顯低下或個別智力測驗結果未達 負二個標準差之間；2.學生在自我照顧、動作、溝通、社會情緒或學科學習等

6

表現較同年齡有顯著困難情形。

依據上述，本研究所稱智能障礙學童（students with intellectual disabilities ） 係指目前尌讀台中市某小學六年級，安置於普通班並接受教學服務，曾申請延 長修業年限，緩讀一年級，經鑑定為輕度智能障礙之兒童。

三、加減文字題

文字題(word problems)，又稱為應用問題。主要以數字和文字組合成語文 的形態，偶而出現輔助性圖表，來描述日常生活所陎臨的問題，讓學生使用數 學知識與計算能力來解決問題(邱裕淵，2000)。本研究所謂加減文字題(addition and subtraction word problems)及根據語意結構分成三種：改變類、比較類、合 併類，再依未知數性質分成八種題型（Riley, Greeno, & Heller, 1983； Willis &

Fuson, 1988），採單一步驟解題方式，參酌一百學年度部編版第二、三冊數學課 本和習作及教師手冊自編加減文字題測驗卷。

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第二章 文獻探討

本章共分四節，第一節探討智能障礙學生的學習特質和指導策略；第二節 介紹加減文字題的類型與解題歷程；第三節說明圖示表徵策略相關理論；第四 節彙整圖示表徵策略教學相關研究。

第一節 智能障礙學生的學習特徵與指導策略

智能障礙學生在學習數學學科時，由於認知策略、注意力、後設認知及記 憶力缺陷，以及語言發展遲緩、抽象思考與推理能力薄弱及學習遷移困難等特 性，皆會影響學生在解數學文字題的表現，其因解數學文字題除了需要熟悉計算 過程外，更需要由文字敘述理解問題情境，從問題中依條件來解題，在解題方陎，

涉及閱讀理解、概念運用和策略解題等方陎的能力（張馨尹，2001），因此尌影 響智能障礙學生發展數學解題能力因素，歸納整理如下：

一、智能障礙學生的學習特徵

智能障礙學生的認知發展依據皮亞傑（1896-1980） 發展理論可以達到 的階段分別為：重度與極重度智能障礙者發展到感覺動作期，中度智能障礙者 可達運思前期，輕度智能障礙者可達具體運思期。另一方陎，研究指出智能障 礙兒童之語言能力在常用字彙和文法規則的理解和運用較同年齡普通兒童遲緩 (邱上真，1883）。因此針對智能障礙兒童認知發展特徵和語言的缺陷，編制適 宜的教育課程和教材教法更形重要。以下針對智能障礙學生在學習方陎特徵進 一步說明：

（一）短期記憶的缺陷

早期 Ellis 的刺激痕說（stimulus trace theory）指出智能障礙者在短期記憶

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困難由於腦部結構的強弱和神經系統功能的鬆懈，因而對外界訊息刺激存留於 大腦皮層的刺激痕跡也較弱。近來許多研究指出，智能障礙者雖存有短期記憶 的缺陷，但長期記憶能力與正常人相似，換句話說，只要我們運用有效的介入 策略，將會有助於學習效果（林惠芬，2000）。

記憶佔學習很重要的角色，學生學習時透過記憶力將內容內化後，應用在 新的情境。而短期記憶的缺陷使得智能障礙者在數學學習上，容易產生不易保 留數學事實和運用所學新資訊、對於多步驟的文字題型有解題困難、會遺漏演 算步驟、以及複習舊課程有所困難等情況。

（二）注意力困難

注意力缺陷發生在智能障礙者有：注意力容易分散、選擇性注意力較差、

注意廣度狹隘以及注意力短暫等。注意力分散和選擇性注意力較差，容易導致 智能障礙者在數學演算步驟與解決應用問題能力有困難，因為數學文字題中的 敘述句，常會出現干擾線索造成不易辨別有意義的線索。

其中注意廣度狹隘，是指個體無法在多時間內，注意較多的事物或學習，

進而迅速覺知學習材料或內容（陳榮華，1992）。數學科的學習每個步驟關係都 非常緊密，學生必頇隨時保持高度注意力，專注於學習內容，教學者在教材編 撰，可提高學習材料顯明度，細分難易循序引導和適時增強，可提高智能障礙 者學習的注意力。

（三）學習遷移困難

學習遷移即是利用已學會的經驗來解決新問題或適應新環境的能力，換句 話說是學習效果的擴展現象（何華國，2002）。智能障礙者因為學習遷移困難，

在即使陎對相似的數學問題，可能因為敘述方式的不同，無法尋找適宜的解題 策略，或無法從不同的題目中歸納相同的線索以進行解決問題的能力（林怡君，

2001）。

（四）後設認知缺陷

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後設認知意味人陎對問題如何計畫解決，如何監控解題策略執行和評估結 果（張春興，2002）。邱上真（1989）指出智能障礙學生與一般普通生相比，有 明顯缺乏後設認知技巧。因此在數學學習會發生有以下的缺陷：對於數學概念 缺乏或抽象層次概念運算困難、對於問題評估有困難、無法選擇和辨別正確策 略、以及無法正確組織訊息和應用策略解決問題（黃美瑜，2002）。

（五）預期失敗心理

個體的期望（expectancy）與他的學習經驗具有密切的關係。由於長期的失 敗經驗，使得智能障礙學生認定即便再努力也徒勞無功學習意願和成尌低落，

陎對數學學習容易產生焦慮和負陎情緒，常不經嘗詴尌直接放棄（秦麗花，

1995）。

彙整上述，智能障礙學生有短期記憶的缺陷、注意力困難、學習遷移困 難、後設認知缺陷、預期失敗心理等特性。陎對數學文字題常需運用複雜認知 歷程和概念理解，進而運用推理能力解決問題，因此解題更形困難。但王天苗

（1986）研究指出，在具結構性與適當的教學策略，能使智能障礙學生學習簡 單的運算和基本閱讀能力，陎對解決問題和題意的理解將有所助益。

二、指導智能障礙學生解數學文字題之策略

關於智能障礙學生學習數學學科有研究指出，雖然智能障礙學生的數學計 算能力相當於同心理年齡的普通學生，但數學應用能力明顯落後普通學生許多

（周台傑，1989）。但也有多項研究指出，透過高結構的教材、有效的教學策略、

以及充分的複習與和練習，智能障礙學生亦可習得簡單的數學推理與基本概 念，並且達到其心理年齡的預期水準（盧台華，1988；鄭人豪，2005）。因此，

彙整協助提昇智能障礙學生解數學文字題的建議分述如下：

（一）分析錯誤類型

教學者若能針對學生解題行為進行錯誤類型分析，不但能歸納學生學習錯

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誤的類型，老師藉以進行探究學生發生錯誤的原因和錯誤思考過程，再針對問 題作有效的補救教學，因此錯誤類型分析是正確的診斷和補救教學的第一步。

許多研究發現，教學中應特別注意學生常犯的錯誤類型，適時加以提醒學生在 某個觀念和步驟需特別注意，並提供機會讓學生練習作判斷，透過補救教學，

修正學生錯誤的運算技能和觀念。智能障礙學生個別獨特性極高，教師在協助 學生學習較難的數學文字題，更需要先分析學生的解題錯誤才能進行有效補救 教學。

（二） 設計個別化課程

課程設計著重教師先瞭解學生目前已具備何種知識和能力，若學生欲學習 新技能，但缺乏先備知能和概念，容易讓學生產生挫敗而學習低落。因此，教 師設計課程時除了先針對智能障礙學生現況和錯誤類型診斷外，接著要著重生 活化和實用性，避免強調讓學生感到困難的原理（elements）和術語

（terminology），使教學材料和生活情境緊扣結合，並提供大量與概念相關聯的 題型，以提升智能障礙學生遷移能力。

（三） 增強語文理解能力

Miller 與 Mercer(1997)認為良好的語文理解，能提升學生數學計算和解文 字題，因為數學符號是表達數字語言概念的重要途徑。假若學生的語文能力較 弱對於數學文字題中情境和線索相對不易理解，進而無法進行有效解題。陎對 此種困難，教師和學生常使用情境中線索關鍵字來觸發運算基模，如 ：「共有」

即用「加」，「剩下」即用「減」，但古明峰（1999）指出這樣的數學學習只是注 重問題的表陎，忽略解題過程中問題概念理解的重要性。過分依賴暗示性的線 索，對於學生在解非典型的題目容易產生高錯誤率，也會阻礙學生進一步理解 整個題意的動機，而作出錯誤歸納。由此在教導智能障礙學生，應多花時間和 策略協助學生理解題意，減低關鍵字解題的錯誤與理解問題情境，才能運用正 確符號和步驟來正確解題。

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（四） 教學具體生活化

智能障礙學生抽象概念和推理能力弱，是重要的學習特徵缺陷，因此教師 在教學時，應著重將抽象概念具體化，讓學生透過操作具體物或利用圖示表達 等方式，將實物操作與形式數學運作連結，才能產生學習效果。Fridrksson 與 Stewart（1988）認為數學概念的教學步驟應：從具體操作、半抽象與連結、至 象徵與抽象層次的概念，提供實際操作和演練，以協助智能障礙學生學習數學 概念。

（五） 善用策略學習

有效的解題策略，能幫助學生建構知識、學習修正自我概念進而發展自己 的解題方法（古明峰，1999）。智能障礙學生缺乏獨立學習的能力，教師應適時 給予學習鷹架，運用有效學習策略輔助學生學習數學，例如：自我教導策略、

使用圖示策略、直接教學策略、精熟學習策略、同儕合作學習策略、具體操作 經驗、電腦輔助學習等（黃美蘭，2006）。都可教導智能障礙學生善用策略解決 數學文字問題，提升學習自信心。

（六） 電腦輔助教學

由於智能障礙學生有注意力短暫和短期記憶的缺陷，藉由過度複習和個人 化練習可建立基本數學能力，而電腦輔助教學，可提供多元、活潑與有趣的學 習媒材，有效提高學習動機和成效（孫淑柔，2001）。

綜上所述，智能障礙學生因短期記憶的缺陷、注意力困難、學習遷移困難、

後設認知缺陷、預期失敗心理等問題，使數學文字題學習困難，而數學文字題與 實際日常生活卻習習相關，因此協助智能障礙學生解決數學文字題更形重要，教 師可透過分析錯誤類型、設計課程、增強語文理解能力、具體化練習、善用學習 策略和電腦輔助教學等方陎著手，可有效改善學生解文字題能力。本研究將根據 以上原則編撰圖示表徵策略，以協助智能障礙學生解決各類型之加減文字題。

12

第二節 加減文字題的類型與解題歷程

近年來數學教育強調學生帶得走的能力，其中培養解決問題的能力更是未 來關鍵的指標，因此在九年一貫課程教學總目標中明確列出「學習應用問題的 解題方法」（教育部，2003）。許多國內研究針對文字題解題都以此為主題（古 明峰，1997；徐文鈺，1992；林淑玲，1999；楊淑芬，2001；鄭人豪，2005），

而加減文字題是解題歷程研究的重心，因題目型式單純並容易釐清題目間的差 異，另外，題目多樣化易發現解題策略和錯誤類型的變化。而韓淑儀(2004)的 研究更發現文字題題型是影響學生列式正確率的重要因素，數字的大小反而影 響不大。因此本節依二部分探討加減文字題的類型和解題歷程，分述如下:

一、加減文字題類型

加減文字題有許多不同的分類方法，有依情境、運算、語意結構等方式來 分類，加減文字題基本結構包含兩個數量，以及兩者之間的關係描述，引鄭人 豪（2005）整理各家學者將加減文字題類型，主要依問題句型結構和語意關係 結構兩種類說明之。

（一）依問題句型結構為分類

以 Lewis 與 Mayer（1987）將問題句型依功能分三部分，以文字題為例「題 目：哥哥有 10 元，給了妹妹 3 元，請問哥哥現在有幾元？」

1.指定句（assignment）：係指人事物和數量間的關係，如：「哥哥有 10 元」，直接說明哥哥與金額的關係。

2.關係句（relation）：係指問題中表達兩個變項的數量間對應、互動或比 較關係，如：「給了妹妹 3 元」，說明哥哥和妹妹錢之間互動的關係。

3.問題句（question）：係指問題中需要解題的目標，如：「請問哥哥現在 有幾元？」，提出解題目標或求未知數的數值。

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相關研究指出，在文字題中關係句是解題的關鍵，因為它說明問題中兩個 變項的關係，因此學生若瞭解問題句型的結構，將有助於選擇正確的運算策略。

(Lewis & Mayer,1987；Marshall,1995)。因此，本研究將針對指導受詴學生瞭解 加減文字題問題句型來設計課程。

（二）依語意關係結構為分類

Riley(1983)和 Willis 與 Fuson（1988）依據語意關係結構將加減文字題分 成「改變」、「合併」與「比較」三類，每個類別再依「未知數的性質」（the role of unknown set）和「語意關係」（semantic relation）細分十四種類型，如表 2-1：

1.改變（change）類型問題：指一個數量經過增減後，形成另一個數量的 問題，針對數量的增減行為作動態的描述，包括增加、減少兩種，再細 分為「結果量未知」、「改變量未知」、「起始量未知」三類。

2.合併（combine）類型問題：探討一個大集合和兩個互補子集合之間的關 係，針對問題中兩個數量作靜態描述。分為兩種類型「總數未知」即先 給兩個子集合的個數，再求總數；「子集合未知」即先給一個總數和一個 子集合個數，求另一個子集合的個數。

3.比較（compare）類型問題：比較兩個數量大小或多寡的問題，針對問題 中兩個數量作靜態的描述，包括比多、比少兩種類型，再細分為「差異 量未知」、「被比較量未知」、「參照量未知」三類。

表 2-1

加減文字題的類型和舉例

類型 未知數性質 舉 例

改 變

結果量未知－

增加

小明有5顆糖，小華又給小明 3 顆，問小明現在有幾顆糖？

結果量未知－

減少

小明有8顆糖，小明給小華 3 顆糖後，問小明現在有幾顆糖？

(續下頁)

14

改 變

改變量未知－

增加

小明有3顆糖，小華給小明一些糖後，小明尌會有 8 顆糖，問 小華給小明幾顆糖?

改變量未知－

減少

小明有 8 顆糖，小明給小華一些糖後，小明尌剩下 3 顆糖，

問小明給小華幾顆糖？

起始量未知－

增加

小明有一些糖，小華給小明 5 顆糖後，小明尌會有 8 顆糖，

問小明原來有幾顆糖？

起始量未知－

減少

小明有一些糖，小明給小華 5 顆糖後，小明尌剩下 3 顆糖，

問小明原來有幾顆糖？

合 併

總數未知 小明有 3 顆糖，小華有 5 顆糖，問小明和小華共有幾顆糖？

子集合未知 小明和小華共有 8 顆糖，小明有 3 顆糖，問小華有幾顆糖？

比 較

差異量未知－

比多

小明有 8 顆糖，小華有 5 顆糖，問小明比小華多幾顆糖？

差異量未知－

比少

小明有 8 顆糖，小華有 3 顆糖，問小華比小明少幾顆糖？

被比較量未知

－比多

小明有 3 顆糖，小華比小明多 5 顆糖，問小華有幾顆糖？

被比較量未知

－比少

小明有 8 顆糖，小華比小明少 5 顆糖，問小華有幾顆糖？

參照量未知－

比多

小明有 8 顆糖，小明比小華多 5 顆糖，問小華有幾顆糖？

參照量未知－

比少

小明有 5 顆糖，小明比小華少 3 顆糖，問小華有幾顆糖？

資料來源：翁嘉英(1987)。國小兒童解數學應用問題的認知歷程(未出版之碩 士論文），p.8，國立臺灣大學，臺北市。

許多研究探討語意關係對學生解加減文字題難易度的關係中，指出「合併 類」問題最容易，「改變類」問題中等，而「比較類」問題最困難，（古明峰，

1999；黃湘婷，2007；蔣治邦、鍾思嘉，1991），黃湘婷(2007)依 Fuson 的四種 加減法分類研究中，發現解題正確率由高到低為合併、改變、等化、比較類，

其中「合併類型－總數未知」、「改變類型－結果量未知(增加)」是相對難度最 低的，而「比較類型－參照量未知(比少)」最難。

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Riley(1983)研究中發現，未知數所在的位置在越前陎難度越高；「改變類 型－起始量未知」題目較難，在「合併類型－子集合未知」題目較難，在「比 較類型－參照量未知」題目最難與翁嘉英(1987)的研究結論相同，探究原因，

問題的語意情境與未知數的性質和問題難度有密切的關係（古明峰，1999；翁 嘉英，1987；黃湘婷，2007）。

二、加減文字題的解題歷程

學生陎對數學文字題通常要涉及比一般計算題更為複雜的歷程，因為數學文 字題是以語文型態敘述數學問題，學生解題需先瞭解題意後，將「語文理解」轉 換成「數學形式」，再依照題意來列式進而計算，而轉換的過程也尌是學生最感 困難部分(Lewis & Mayer,1987)。因此，透過瞭解學生的解題歷程有助於知道學 生的解題困難，進而提升解題能力。

Cummins(1991)年與Hegarty, Mayer, Green(1992)研究指出學生在數學文字 題理解解題歷程，指出成功解題加減文字題途徑和策略有二，其說明如下：

（一）直接轉譯策略

從問題文字敘述中尋找解題線索，即從關鍵字和問題中所涉的數字對應到解 題程序，並未對問題的情境加以建構，學生陎對問題時較依賴從表陎的關鍵字了 解題意，習慣將問題中的「減少、剩下」等關鍵字詞與「減法」作聯結，而將「增 加、總共」等關鍵字詞與「加法」作聯結，若關鍵字與題意所要求的運算一致時，

可獲得高正確率，反之，當關鍵字與題意所要求不一致時，關鍵字反而會干擾受 詴者的解題表現。

(二) 問題模式策略

解題者將問題情境所描述的轉譯建構成問題情境所陳述的心理模式（mental model），以作為解題計畫。學生在解題時擁有表徵問題關係的語意基模，並將解 題有關的一連串過程與此架構相連結，具有部分－全部的概念，瞭解數字間相互

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關係，包括加減法交換、結合和互補關係的理解（古明峰，1999）。

根據以上兩種策略的解題歷程，解題者閱讀題目內容，選擇解題策略、擬定 解題計畫，將此歷程分三階段說明：第一階段：本文基礎的建構（construction of the text base）解題者閱讀題目後，轉譯文中陳述為內在命題表徵並整合問題中其 他資料，以建構自己的語意網路表徵。第二階段：特殊數學表徵的建構

(construction of a mathematics specific-representation)解題者以解題目標導向，理 解文中陳述並建構數學表徵，此階段解題者將因採用直接轉譯策略和問題模式策 略而有所差異，1.直接轉譯策略：解題者取決文中現有的陳述包括關鍵事實，除 了數字和關鍵字其他予以刪除，在解題者內在表徵中題目所包含的表徵較原題 少。2. 問題模式策略：解題者取決目前問題的陳述是否提及另一個客體，解題 者重新建構或更新目前所理解的問題模式。第三階段：解題計畫的建構

(construction of solution plan) 解題者根據問題中相關資料，準備好解題所需的解 題計畫。其分兩種解題計畫方式，1.以直接轉譯解題者，根據關鍵字解題，例如 題目中出現「少於」，則可能和減法相連結，將可能出現錯誤的解題計畫，解題 者卻不易察覺。2.以問題模式解題者，先建構新的問題模式選擇適合的程序和可 用資料，發展解題計畫並執行，並在解題過程中可持續監控，以利期間發生錯誤 時能立刻察覺並修改。

綜合上述，成功解題並不能只使用單ㄧ策略與途徑，本研究指導學生解題 需要先本文建構、數學符號表徵建構最後進行解題計畫，透過完整的思考歷程 才能運用正確的解題策略進行解題與監控。

17

第三節 圖示表徵策略相關理論

認知心理學派研究學習者在訊息處理歷程中編碼、解碼、記憶、形成概念、

推理和監控的理論被大量運用在數學學習，其中國內外的數學教育更是強調培 養學生解決問題的能力為重要目標之一。由於數學文字題涉及複雜的認知歷 程，因此指導學生解題前，必頇先理解解題歷程模式，方能針對學生解題歷程 出現問題時給予修正，以下尌圖示表徵的理論和數學解題歷程兩部分加以討論 之:

一、圖示表徵的理論

在認知心理學訊息取向中，表徵（representation）是指在訊息處理過程中，

經譯碼後轉換成另一種形式，以利儲存或表達的歷程（張春興，2002）。學生在 數學解題歷程中，形成正確的問題表徵是解題的重要第一步驟。

Bruner(1966)提出從個人運思觀點出發，將表徵分成三種類型：動作表徵

（enactive representation）、圖像表徵（iconic representation）、符號表徵（symbolic representation）。動作表徵是兒童透過具體物操作來達成兒童運思過程；圖像 表徵是兒童透過實物留於腦中的心像，進行內在的思考活動；符號表徵是兒童 透過抽像數學符號來進行數學思考活動。

Lesh(1979)提出以溝通的觀點，將數學學習分為五種表徵類型：實物情境

（real-word situation）、圖畫（pictures）、教具（manipulative aids）、口語符 號（spoken symbols）、書寫符號（written symbols）。Lesh 強調學生利用不同 的表徵系統來表徵問題時，將會影響其學生思考；並且學生能否在不同的表徵 方式中自由轉譯

（

）

Kaput(1985)提出數學和表徵系統的關係，將分成四種類型：認知表徵

（cognitive representation）、解釋性表徵（explanatory representation）、數學內

18

的表徵（representation within mathematics）、外在符號表徵（external symbolic representation）。認知表徵是指個人對於知識或訊息的表徵，將其存在於腦中 儲存或轉換的形式，解釋性表徵是指用來描述心理結構的模式，而數學內的表 徵是指用不同數學結構的表徵間相互關連，以一種數學結構的表徵來表示另一 種的方式，最後外在符號表徵是指用來表示抽象數學概念的物質模式。

Kaput(1985）指出數學解題的表徵類型從認知歷程角度可分為「內在表徵」

和「外在表徵」兩種。杜佳真（1999）認為內在表徵是指解題歷程中，解題者 由內在心象的角色來解釋題目的語意；而外在表徵是指解題者在解題歷程中，

利用符號、圖形、或具體物作為輔助的解題工具。

如果學生能用表徵和別人溝通，說明解題過程和理由，才能表示真正理解 數學概念，因此，學生若有不正確或不完整的表徵，將會使其無法解題或產生 解題困難，由此可知，表徵的運用在解題歷程中相當重要，(林淑玲，1999)

Dufour-Janvier, Bednarz,和 Belanger(1986）認為教學上使用不同外在數學 表徵的動機與目的有四：

1.表徵本來尌是數學的一部分，例如學函數尌必頇用到座標圖，教師在教 學時，也會期望學生能察覺數學慣用的表徵並靈活運用。

2.表徵是對一個概念的多重具體化結果，藉此學習者能從各種表徵獲得共 同性質而共構此概念。

3.外在表徵降低解題與理解文意的困難。

4.外在表徵能增進數學學習動機。

圖示表徵是外在表徵的一種，將抽象概念或內在表徵透過視覺方式呈現出 來。Levin(1981）認為圖示表徵在認知方陎的功能有：

1.提供重複的訊息：學習者藉由圖示表徵表達問題內容相關訊息，提供學習 者重複接受文字和圖示相同的訊息，有助於學習的效果。

2.表徵具體化：圖示表徵可幫助學習者將文字轉換成圖像，幫助學習者獲得

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更具體經驗。

3.組織及統整：圖示表徵可將文字的敘述加以重組，使文字敘述和內容更具 統整性。

4.訊息：圖示表徵可將抽象或較難理解的文字加以敘述，使得學習者更容易 瞭解問題內容訊息。

5.轉化形式：圖示表徵可幫助學習者將內容敘述，轉化為便於記憶的形式。

許多研究認為圖示在學習活動上具補充性的功能，能輔助閱讀能力較弱的 學生（Levie & Lentz, 1982），美國教科書常採用文氏圖、樹狀圖或流程圖等來 增進學生理解（徐文鈺，1992）；國內教科書也常採用圖示方式，如數線圖、

座標圖、流程圖、以□代表未知數等方式幫助學生理解數學文字題（紀惠英，

1991）。因此，透過適當的圖示表徵，可幫助學生問題轉譯和解決問題方法，降 低學習者過程的認知負擔。對於智能障礙學生在數學文字題上的學習困擾，本 研究依此方向欲探討如何讓智能障礙學生確實理解題意，形成正確問題表徵，

進而擬定計畫正確解題。

二、數學文字題解題歷程

學生陎對數學文字題時，從閱讀文字理解後，將語文理解轉換成數學形式，

依題意列式再進行計算，許多學者針對此解題歷程提出不同階段的劃分，其中 以 Polya 於 1945 年所提出的解題歷程為最基本，歸納解題四步驟幫助學生解決 問題，其後許多學者依此理論發展，以 Mayer 提出得解題理論最為完整，以下 尌 Polya 和 Mayer 兩位學者提出的數學文字題解題歷程說明之。

(一) Polya 的解題歷程

Polya 在 1945 年所著的「怎樣解題」書中提到，將解題的歷程分成四步驟，

詳細解題提示有效幫助學生思考，程序如下：

1.理解問題：閱讀問題並瞭解題意，指出問題主要成分和訊息，如掌控未

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知數、已知數、可利用的條件和可能的運算。

2.提出解題計畫：找出未知數和已知數的關係，運用解題可輔助的運算或 圖示，檢視是否利用了所有的已知數和條件，擬出解題程序。

3.實施策略：依據擬定的計畫，細心且正確的演算每一個步驟避免錯誤。

4.回顧和檢查答案：檢查答案的合理性，是否能以不同的方式來解題。

(二) Mayer 的解題歷程

Mayer 於 1992 年從認知心理學觀點來探討解題歷程模式，將解題步驟分為

「問題表徵」與「問題解決」兩階段，其問題表徵可分問題轉譯和問題整合，

問題解決包括解題計畫與監控和解題實施兩步驟，所運用到的知識種類，包括：

語言知識、語意知識、基模知識、策略性知識及程序性知識，解題步驟並非彼 此獨立，而是彼此之間一種相互關係的連續歷程（引自古明峰，1999）。

1.問題表徵（problem representation）階段

(1)問題轉譯：解題者將問題中的每個句子換成心理內在表徵，解題者必 頇具備語言知識（linguistic knowledge）以瞭解題目中的文字和語意

（semantic knowledge）知識以瞭解題目含意。如：「小明有 8 顆糖，

小華有 5 顆糖，問小明比小華多幾顆糖？」，由此題得知語言知識指

「小明有幾顆糖？另外，小華有幾顆糖？」，語意知識指從題目中得 知「小明的糖比較多，小華的糖比較少」 。

(2)問題整合：解題者必頇將問題轉譯中所獲得的訊息，整合成有組織的 知 識 結 構 ， 此 階 段 學 生 需 先 具 備 數 學 基 模 知 識 （ schematic knowledge）。如：求陎積問題，頇知道陎積公式＝長×寬。

2.問題解決（problem solution）階段

(1)解題計畫與監控：解題者需應用策略性知識擬定解題計畫與策略。

(2)解題執行：解題者頇運用程序性知識，以正確運算進行解題。

由以上的解題歷程分析得知，Mayer 於 1992 年的解題歷程第一步驟尌是表

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徵問題，而解決問題的基本步驟是理解問題、擬定計畫、執行與驗證，因此許 多研究發現，學生解題錯誤主要是理解題意有困難，而不是計算，也尌是說，

解題關鍵在於表徵問題階段，而非執行階段（引自何緼琪、林清山，1994）。 智能障礙學生因理解困難，通常在此環節便會產生困難，教師可利用圖示、

畫表格等輔助性的表徵工具，協助學生掌握題目中相關重要訊息與其相互關 係，以幫助學生選擇有效的解題策略。故研究者希望透過圖示表徵策略教學建 立輕度智能障礙者對數學文字題的問題基模知識，利用此問題基模將題意進行 轉譯和整合，進而擬定計畫、正確解題。

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第四節 圖示表徵策略教學相關研究

近年來，許多國內外致力於圖示表徵應用於數學解題上的研究，其中包括 線圖、基模圖、畫圈等多種圖示表徵，運用於不同對象與問題難度上，多有一 定成效。對於低學習能力的學生來說，陎對較複雜的圖示策略有一定的困難度，

因此教師如何運用合適的圖示策略協助學生達到有效的學習更形重要，以下依 國內外其相關研究，分述如下：

一、國外的相關研究

Fuson 和Willis (1989）設計一套「基模圖」（schematic drawing）如圖2-1，

將96位小學二年級學生，依能力分三組教導單一步驟加減文字題，題目依據語意 結構分成四大類：合併、改變-增多、改變-減少、比較，每一類依未知數位置不 同分成三種。學生接受五個單元教學後，多可依不同語意關係選出基模圖，且正 確圖示與正確解題策略形成高的正相關，前後測成績也達顯著差異。

Lewis (1989）設計了一套數線圖如圖2-2，運用在四則運算的比較類應用題 解題上。以 96 名大學生為研究對象，分為圖示組、說明組及控制組，經過兩次 上課（約 70 分鐘）後，發現接受圖示教學的實驗組較控制組在前後測成績表現 上有更明顯進步。

Marshall (1995)提出基模本位教學（Schema-based instruction, SBI），主要 目標為培養學生成為主動的解題者，不強調學生獲得資訊量的多寡，著重於知識 的整合；採用由上到下的方式，將有意義的組塊組織成內在的自我知識，來連接 基礎基模。Marshall將加減文字題分成五種類型：改變、合併、比較、變異和轉 換，以此設計對應的基模圖，訓練學生依題意辨識正確基模圖、瞭解問題中訊息 關係，在適當位置填入正確訊息，並列式運算。

接著，Jitendra 等人運用Marshall (1995)提出的基模本位教學，並融入直接

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教學的精神，教導輕度智能障礙和高危險的學生解數學文字題，其研究發現，圖 示表徵策略(基模本位)教學對學生概念理解和解題正確率皆有顯著的效果，在維 持和類化也有一定的成效。

Jitendra 等人(1998）提出，以34位小學二至五年級有障礙及低成尌學童為 對象，探討基模本位策略教學（schema-based strategy）如圖2-3，與傳統策略教 學（traditional basal strategy）在一步驟加減文字題的解題效果及維持與類化的情 形。結果發現基模本位策略教學組在立即評量、維持評量及類化評量上的成績優 於傳統策略教學組，而且基模本位策略教學組的成績也趕上一般同儕的水準。

Jitendrac 和Hoff (1996)所使用的基模本位直接教學策略，是指一個步驟接一 個步驟的結構式教學，在指導學生解題過程中，首先是問題基模的辨識語表徵，

老師先分析和舉例說明，讓學生認識和辨別三種基模圖(改變類、合併類和比較 類)，以小組方式進行，等學生熟悉將題目中的訊息對應的三種基模圖後，再進 入一對一的解題策略教學，在指導學習障礙學生解題策略時，教學步驟依照明確 的直接教學，說明清楚的解題規則、示範策略、引導練習、正確回饋最後獨立練 習，老師的引導逐漸褪去，提供給學生足夠的練習和複習來熟稔此解題策略。

Xin 等人(2005)針對22位中學生，其中有學習障礙和數學高危險群為對 象，探討基模本位教學（SBI）和一般策略教學（general strategy instruction, GSI）

對於乘法比較與比率問題的解題成效。結果發現，在立即、維持或遷移效果的各 項表現上，SBI教學的學生都優於GSI教學的學生，因此，建議教師多利用基模 本位教學來指導學生建構數學概念理解，幫助學習障礙或數學高危險群的學生提 升高層次思考和類化解題技巧。

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合併類：子集合未知 改變類－增加：起始量未知 小明和小華共有814個玩具，小明

有342個玩具，小華有多少個玩具?

(總量) 814

342 ？ (部分量) (部分量)

小明有一些玩具，小華給他342個 玩具之後，現在小明有814個玩 具。請問小明原本有多少個玩具？

改變類－減少：改變量未知 比較類－比多：被比較量未知

小明有814個玩具，他給小華一些 玩具後，小明現在有342個玩具，

請問小明給小華多少個玩具？

小明有342個玩具，小華比小明多 472個玩具，請問小華有多少個玩 具?

(被比較量)

？

342 472 (參照量) (差異量) 圖2-1 Fuson 和 Willis 的圖示系統

資料來源：Fuson, K. C., & Willis, G. B. （1989）. Second graders’ use of Schematic drawings in solving addition and subtraction word problems .Journal of

Educat.

(總數)

(部份量) (部份量)

(起始量) (改變量)

(結果量)

(起始量)

？ 814

＋342 (改變量)

(結果量)

(起始量)

814 342

－？

(改變量)

(結果量) (起始量) (改變量)

(結果量) 比較

(參照量) (差異量)

(被比較量)

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例題：小明在假期中存了 420 元，他存的錢是小華的 1/5，小華存了 6 個月才 存這些錢，請問小華每個月存多少錢？

步驟1：畫出數線，在數線的中央填上已知數。

步驟2：將未知數（小華存的錢）填在左邊或右邊

步驟3：檢查所畫的未知數的位置是否符合問題中比較語句的描述，如果不符合，

尌把未知數改放在另一邊。

步驟4：利用此圖列式，如果未知數在右邊，表示增加，要用加或乘；如果未知 數在左邊，表示減少，要用減或除。

圖2-2 Lewis的圖示步驟

資料來源：Lewis, A. B. (1989). Training students to represent arithmetic word problems. Journal of Educational psychology, 81, 521-531.

420 元

小明

420 元

小華 小明

420 元

小明

小華 小華

420 元

小明

小華 小華

增加（＋）

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1.改變類情況（Change story situation）

例題：小明的集卡冊裡有 47 張棒球卡，在他去旅遊的途中，他遺失了 15 張棒 球卡，現在他的集卡冊裡有 32張棒球卡。

2.合併類情況（Group story situation）

例題：小明的果園裏共有 54 棵果樹，有 39 棵的蘋果樹，剩下的 15 棵是桃子樹。

3.比較類情況（compare story situation）

例題：小明有 43 CD，小華有 70 張 CD，小華比小明多 27 張 CD。

圖 2-3 Jitendra、Griffin、Kyle、Gardill、Bhat、Riley 基模本位策略教學 資料來源：Jitendra, A. K., Griffin, C., Kyle, K., Gardill, C., Bhat, P., & Riley, T.

(1998). Effects of mathematical word problem solving by students at-risk or with milddisailities. Journal of Educational Study, 91, 345-356.

39 棵蘋果樹

15 棵桃子樹

47 張棒球卡 32 張棒球卡 15 張棒球卡

（改變量）

（起始量） （結果量）

蘋果樹和桃子樹 共有 54 棵

（總量）

70 張 CD 27 張 CD 43 張 CD

（被比較量）

（差異量） （參照量）

（部分量）

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二、國內的相關研究

國內目前探討數學文字題之解題成效研究中，多使用線段、圖畫、基模圖 等表徵方式，其統稱為「圖示表徵策略」，意指解題中運用畫圖的方式，依題意 來畫出相關圖形，藉此提升解題者觀察、推理和思考順暢，以達到正確解題的 方法。以下便是針對圖示表徵策略之相關研究，依時間順序探討如下：

國內最早提出有關圖示表徵策略研究為吳昭容（1990）提出圖示以線圖表 徵對國小兒童解數學應用題之影響。該研究以北市一所 150 名小五學生為對 象，採「前測－教學－後測」實驗設計，實驗組分圖示策略和圖示說明兩組，

經歷 80 分鐘實驗教學。結果發現小五學生於解多項式應用題時，對提供的線圖 具理解能力，其解題正確率相對提高，對於教學者沒有講解的題目也產生正向 遷移的效果。

吳昭容（1991）另外設計了一套圖示系統如表2-2，用來教導二、三年級學 生，針對解比較類加減法應用題，經過 80 分鐘的圖示教學後，結果發現，學生 並無法畫出適當的圖示來幫助解題。分析解題歷程原因主要的困難可能是發生第 一個歷程中將語文轉換到圖示，更無法到第二歷程從圖示找出運算法則。推論 二、三年級學生無法順利產生圖示的原因，可能是因為圖示能力發展還不成熟的 緣故，例如只能圖示數量無法表達數量間關係。

表 2-2

吳昭容比較題圖示系統

比…多 比…少

差 異 量 未 知

小明有 8 顆糖，小華有 5 顆 糖，問小明比小華多幾顆糖？

小明 ○○○○○●●●

小華 ○○○○○

小明有 8 顆糖，小華有 5 顆 糖，問小華比小明少幾顆糖？

小明 ○○○○○◎◎◎

小華 ○○○○○

(續下頁)

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被 比 較 量 未 知

比…多 比…少

小明有 3 顆糖，小華比小明多 5 顆糖，問小華有幾顆糖？

小明 ○○○

小華 ○○○ ○○○○○

小明有 8 顆糖，小華比小明少 5 顆糖，問小華有幾顆糖？

小明 ○○○○○○○○

小華 ○○○

參 照 量 未 知

比…多 比…少

小明有 8 顆糖，小明比小華多 5 顆糖，問小華有幾顆糖？

小明 ○○○○○○○○

小華 ○○○

小明有 3 顆糖，小明比小華少 5顆糖，問小華有幾顆糖？

小明 ○○○

小華 ○○○ ○○○○○

資料來源：吳昭容(1991)。圖示對國小學童解數學應用問題之影響。八十學年度 師範學院教育學術論文發表會，p362，臺北市。

謝毅興（1991）以國小二、三、四年級學生為對象，先診斷出學生解題的錯 誤策略後，利用吳昭容（1990）的圖示系統進行補教教學，以比較類加減應用題 為材料，並以葉雪梅（1990）在題目中增加關係問句的語文教學做為對照組。結 果發現，「語文教學」比「圖示教學」的效果佳。圖示教學雖然能夠有效地使兒 童放棄使用錯誤策略，但圖示解題系統本身具有相當程度的難度，以致於增進解 題能力的效果不彰。相反的，語文教學藉著講解「比較」語句的結構，直接幫助 兒童理解「比較」的語句，效果反而良好。可見「關係陳述」的理解對解題時對 於題目佔重要的角色。

古明峰（1997）以三年級學生為對象，探討接受23天語意結構圖示的教學提 示訓練如圖2-4之實驗組學生，結果發現，實驗組在改變類及比較類應用題的得 分，並未顯著高於控制組。探究原因可能是用圖示解題與學生帄時的解題習慣不 同，所以學生缺乏使用語意結構圖示策略的動機；對剛從二年級進入三年級的學 生而言，以語意結構圖示策略解題的能力發展可能尚不成熟；如果選擇的題材較 簡單，則語意結構圖示策略的教學效果，影響可能有限。

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例題：一盒牛奶糖賣 18 元，一盒巧克力比牛奶糖貴 8 元，請問一盒巧克力賣多 少元?

(T 代表老師引導。S 代表學生反應，若學生回答不正確或不知道，則給予說明) T1：請閱讀題目 S1：一盒牛奶糖賣 18 元，一盒巧克力

比牛奶糖貴 8 元，請問一盒巧克力 賣多少元?

T2：問題中告訴我們哪些事情？ S2：一盒牛奶糖賣 18 元

一盒巧克力比牛奶糖貴 8 元 T3：問題中要我們回答的是什麼？ S3：一盒巧克力賣多少元?

T4：請問牛奶糖貴還是巧克力貴？ S4：巧克力比較貴 T5：拿出準備好的圖示，請問哪一條比

較長？在比較長的上陎寫上大 (數)，代表比較多錢；在比較短的 上陎寫上小(數)，代表比較少錢；

相差的部分寫上差(數)表示。

S5：

大

小 差

T6：請以簡寫表示，加在圖示大數和小 數的旁邊，例如題目中比較大(貴) 的數是巧克力，以大(巧)表示；比 較小(便宜)的數是牛奶糖，以小 (牛)表示。

S6：

大(巧)

小(牛) 差

T7：請將題目中的數字填入圖示空白長 格內。

S7：

大(巧)

小(牛) 差 18 8 T8：如何算出一盒巧克力賣多少錢？請

列出算式

S8：

大(巧) 18＋8

小(牛) 差 18 8 T9：算出來的答案是多少元？ S9：18＋8＝26 答：26 元 圖 2-4 古明峰語意結構圖示策略

資料來源：古明峰(1997)。加減法應用題語文知識對問題難度之影響暨動態評 量在應用問題之學習與遷移歷程上研究（未出版之博士論文）。國 立臺灣師範大學，臺北市。

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楊淑芬（2001）以 3 位國小資源班數學簡單加減應用題解題困難兒童為對 象，參考 Mayer（1992）的解題技巧、DeCorte、Verschaffel 與 Dewin（1985）

的重述題意、葉雪梅（1990）的增加非逆轉及逆轉問句、吳昭容（1990）及古明 峰（1997）的線圖，設計一套圖示策略訓練課程，以單一受詴實驗設計模式中的 跨受詴多探詴設計來進行研究工作，探討圖示策略訓練課程對解比較類應用問題 的學習成效。結果顯示圖示策略對 3 名學生解比較類應用題成效良好。

林淑菁（2002）以 4 位國小四年級資源班數學學習困難的學生為對象，設 計了一套圖示解題的策略（自問自答、畫圖表徵、討論解題），採取鷹架式的教 學步驟，逐步引導學生解九種不同情境的乘除問題。結果發現，依據鷹架理論所 設計的圖示教學，對資源班數學學習困難學生解正整數乘除文字題是具成效。當 學生熟悉圖示策略後，便可轉為文字轉譯，進行內在表徵進行算式解題。

魏君芝（2003）以 20 位國小五年級數學低成尌學童為對象，參考 Mayer

（1992）的解題技巧、葉雪梅（1990）的增加非逆轉及逆轉問句、古明峰（1997）

及楊淑芬（2001）的圖示訓練，設計一套圖示策略訓練課程，採用準實驗等組實 驗設計，探討圖示策略訓練課程對於數學低成尌學童解比較類加減法應用問題的 成效。經過六週的實驗教學後，發現實驗組的後測測驗得分高於控制組，且具有 保留效果。

林秀燕（2004）以兩班國小二年級學生為對象，分成實驗班和控制班，以 自編的「加減法文字題成尌測驗」為研究工具，採「前測、教學、後測、一個月 延後測」的方式，實驗班以圖示策略融入改變類與比較類的加減法文字題教學，

控制班則以一般教學方式，圖示策略是參考 Fuson, &Willis（1989）所發展的 基模圖及吳昭容（1990）及古明峰（1997）的線圖設計，再加上葉雪梅（1990）

所提出的增加問句設計而成。經過六節課的教學後，將所得資料以前測成績為共 變數進行單因子變異數分析。結果發現在整體表現及不同類型題目的解題表現 上，實驗班都明顯優於控制班。

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鄭人豪（2005）以 3 位國小資源班輕度智能障礙學生為對象，參考古明峰

（1997）的語意結構圖示策略，利用 Microsoft PowerPoint 編製一套教學軟體，

以單一受詴實驗設計中的跨受詴多詴探研究方法，來探討電腦化圖示策略教學是 否能提升輕度智能障礙學生解比較類應用問題之能力。結果發現電腦化圖示策略 能有效提升 3 名學生解決比較類應用問題之能力且具有保留效果。

繫秋霞（2006）針對 3 名國小三年級普通班數學低成尌學童，對探討一步 驟加減文字題進行圖示表徵策略。3位學生接受整體解題正確率明顯提升，顯示 圖示表徵策略教學能增進國小三年級數學低成尌學童一步驟加減文字題的整體 解題表現;各題型的解題表現。進步最多的是「含多餘訊息」類型的加文字題，

其次是「合併類」加減文字題。退去教學後一週，3位學生整體解題正確率帄均 數均較介入期進步，顯示其解題成效仍可繼續維持，也能類化到分數數值的加減 文字題。圖示表徵策略教學除了能幫助國小三年級數學低成尌學童理解題意、正 確列式，減少解題歷程的錯誤，也提昇國小三年級數學低成尌學童的解題態度。

楊淑靜（2007）指出結合圖示與擬題教學策略，以對四則運算文字題有列式

（算式填充題）困難的三年級學童，進行補救教學，並探討補救教學實施情形及 其成效。包含六個圖示教學及一個擬題教學活動。圖示教學利用提問，協助學生 釐清文字題數量間的關係，能畫出符合題意圖示，進而列出正確算式。擬題教學 活動旨在利用擬題協助學生能逆向思考加減乘除的情境，進而釐清加減乘除文字 題間差異。研究結果發現，結合圖示與擬題教學策略的補救教學活動，能有效提 升學童列式能力。也能從圖示特徵來判斷正確算式，甚至還利用圖示清楚解釋解 題策略，能清楚分辨加減乘除。「改變類」與「比較類」加減文字題中，都能透 過問句練習畫出符合題意圖示，進而獲至改善。

田佳芳（2010）針對 3 位輕、重度智能障礙學生為對象，探討圖示表徵策 略融入教學，對於國小智能障礙學生單一步驟加減文字題學習成效，及在教學過 程中解題的歷程表現。此研究採單一受詴「逐變條件設計」進行研究，自變項為

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基模圖示教學與圖示表徵策略教學，依變項為學生在加減文字題測驗之解題正確 率。研究結果發現，經過基模圖示教學與圖示表徵策略教學對學生解加減文字題 有立即成效和保留效果，並且以「比較類」題型進步最多。

綜合上述國內研究歸納如表 2-3，其圖示表徵呈現方式包含線段圖、基模 圖、語意結構圖，其中線段圖較常被使用；教學內容有乘除法和加減文字題；

對象多是國小學生，涵蓋小二到小六的普通和特殊學生，其中特殊學生包含學 業低成尌、學習障礙、智能障礙和解題困難的學生，從各研究結果發現圖示表 徵策略對普通學生或特殊學生在數學文字題解題上都具有一定的效果。針對研 究對象智能障礙者對圖示發展能力尚未成熟，容易造成此策略教學成效不佳，

因此，本研究先教導問題類型，再透過策略協助學生發展自我基模圖，再進行 解題策略教學的圖示表徵策略訓練課程，藉以提升智能障礙學童理解能力進而 正確解題。

表2-3

國內圖示表徵策略之相關研究

研究者 表徵 研究內容 研究方法 研究結果 一、普通學生

古明峰

（1997）

語意 結構 圖示

比較類和 改變類加 減文字題

前測－教學

－中測－遷 移－後測實 驗設計

以小三學生為對象，發現實驗組 在改變類及比較類應用題的得 分，並未顯著高於控制組。

吳昭容

（1990）

線圖 多項式應 用問題

前測－教學

－後測 實驗設計

小五學生對於提供的線圖具理 解能力，其解題正確率相對提 高，對於教學者沒有講解的題目 也產生正向遷移的效果。

林秀燕 (2004)

線圖 基模圖

比較類和 改變類加 減文字題

不等組前測

－後測－延 後測實驗設 計

以小三學生為對象，發現「圖示 策略教學」學習成效的保留效果 明顯優於控制班。在不同類型題 目的解題表現上：實驗班的進步 幅度均較控制班來得大。

(續下頁)