數學概念涵蓋一系列有意義的情境、由基本關係所組成的不變性、以及利用 表徵所呈現的符號等，因而說明數學學習包括多種表徵之間的交互應用（余酈惠，
2003）。蔡志仁（2000）認為藉由合適的設計，電腦視窗環境可將數學概念同時 透過文字、圖形、動畫、影像等表徵方式來呈現，得以外顯出數學概念中的基本 關係，進而在視窗中呈現多重表徵之間的變化與連結。
一、 動態幾何環境的特性
每個教學軟體背後有著不全相同的設計原則，其中針對平面幾何的教學而設 計的軟體稱為動態幾何環境（Dynamical Geometry Environments, [DGEs]），並提 供學生在電腦螢幕上直接且動態地操弄圖形的功能，進而擴展課室中調查活動與 問題解決的機會（Hölzl, 1996）。學生在解決問題的過程中，會依據不同的目的 而使用不同的拖曳（dragging）形式（Arzarello, Olivero, Paola, & Robutti, 2002）。
因此，在動態幾何環境中，拖曳扮演了一個核心的角色（Rahim, 2000）。
動態幾何軟體的功能與特質有七點（余酈惠，2003；Rahim, 2000）：
1. 符合尺規作圖原理（Euclidean constructions）：提供的作圖工具，得以仿照直 尺或圓規的作圖方法，容易地製作出精確的幾何圖形，如畫點、直線、線段、
圓、平行線、垂直線、角平分線…等。
2. 圖形可操作，具幾何轉換（transformations）功能：可在螢幕上利用滑鼠指標 依作圖時的定義，移動圖形位置或改變其形狀，或利用軟體的幾何轉換
（Geometric Transformation）功能選出轉換基準，如平移向量、鏡射軸、旋 轉或相似中心、縮放比例、旋轉角度…等，再作平移、旋轉、鏡射、相似等 轉換。
3. 提供解析幾何（analytic geometry）的座標系統：當給定點坐標後描點，或利 用度量工具求得任意點的坐標、量測距離、斜率等，並擁有畫多項式函數、
三角函數、指數函數、對數函數…等圖形的功能。
4. 動態連續變化及不變性：軟體不僅將圖形呈現出來，其改變過程中的圖形也 不斷地呈現出來，使用者看到的是一個連續的變動過程，進而讓學生能觀察 圖形的連續變換。
5. 同時具手動操作與自動化功能：軟體具拉曳（dragging）及動態模擬（animate）
功能，經由適當設計後，程式會呈現動態過程，便於使用者觀察、比較、臆 測，藉由思考情境問題或重複畫面上的動態過程，用以進一步觀察數學性質。
使用者可隨心所欲操控程式，符合 Dewey「做中學」的想法，也方便使用者 隨個人差異建構知識。
6. 動態互動、視覺化、情境化及數值化，並結合圖像與文字的多重表徵視窗環 境：動態可操作及多重表徵的環境，提供了探討函數平移、縮放及函數或方 程式參數變換與圖形間的相互關係。
7. 特殊即一般（保持結構）：在動態幾何軟體下所作的幾何圖形，可任意移動圖 形的構成元素，而圖形因其構成元素改變相對位置而改變形狀以後，其構成 元素間的「幾何結構」保持不變，因而得到「一般化」的任意圖形，教學時 能作為提供學生觀察、比較、臆測、驗證幾何圖形性質的重要工具。
二、 動態幾何軟體的介紹
在中學數學教學中，常見的動態軟體有 Cabri II plus 與 Cabri 3D、Maple、
GeoGebra、Geometer’s Sketchpad（GSP）等，而依本研究需求選用 GeoGebra 軟 體設計教學網頁並進行教學，以下將針對此軟體的發展與介面進行說明。
GeoGebra 這 套 結 合 幾 何 、 代 數 和 微 積 分 的 數 學 軟 體 ， 最 初 是 Markus Hohenwarter 為數學教育的博士論文計畫，利用 Java 程式語言所設計而成，而持 續與 Judith Hohenwarter 不斷進行修改並發展成具有多國語言，並且可以跨平台 的數學繪圖軟體。由 GeoGebra （Geo＋Gebra）這個名稱可以得知，此軟體是結 合了幾何（Geometry）與代數（Algebra），軟體內提供了繪製代數圖形、微積分 及對幾何物件的操弄。在輸入代數方程式時，軟體便能繪製出幾何圖形；而在操 弄幾何物件時，軟體亦同時產生代數方程式（蔡奇霖，2008）。
在 GeoGebra 的操作視窗（圖 2-3-1）中，主要包含兩個部份：視窗左邊的「代 數區」（亦稱為「代數視窗」），其中包含了所有幾何圖形的代數表示方法；而視 窗右邊的「繪圖區」（亦稱為「幾何區」或「幾何視窗」），這裡會呈現所有幾何 圖形。使用者可以利用工具列繪製想要的幾何圖形，或是直接在指令列輸入方程 式，其圖形會在幾何視窗中呈現，圖形所表示的代數式會在代數視窗中呈現，而 在試算表視窗中可以對數據作計算或改變。
圖 2-3-1 GeoGebra 的操作視窗
GeoGebra 所提供的視窗能將數學物件以不同的表徵呈現：圖形化（如：點、
函數圖形）、代數化（如：點座標、方程式）、與表列等方式呈現，因此，不論何 試算表視窗
幾何視窗
指令列 代數視窗
工具列
時產生何種物件，同一物件的所有表徵皆會動態連結且同步調整其他表徵（羅驥 韡、許舜淵、彭建勛、呂鳳琳、胡政德、左台益譯，2009）。因此能使學生在操 作的同時，對概念中各表徵之間的連結也有所幫助。
三、 動態幾何環境的相關研究
林星秀（2001）為研究 GSP 軟體對於國二學生學習函數課程之成效，將 56 位學生（兩班）分為兩組，一組實施 GSP 電腦輔助教學，另一組則實施傳統講 述教學，並於教學三週之後進行學習成就與學習態度的測驗與調查，研究發現對 於高、中分群的學生而言，GSP 電腦輔助教學的成就表現明顯優於傳統講述教學。
而對於電腦輔助教學與傳統講述教學的整體學習成效上，皆無明顯的改變。
尤冠龍（2006）為探討 GSP 軟體對於學生在函數與二元一次方程式圖形上的 學習成就與學習態度，將 72 名（兩班）國一學生分成兩組，一組利用 GSP 軟體 的操作並以引導式探究教學的方式進行，另一組則以傳統講述式教學進行。教學 四周之後發現，GSP 軟體教學中全體學生的成就表現雖優於傳統講述教學的學生，
但並未達顯著；但對高分群的學生而言，GSP 軟體教學後的成就表現明顯優於傳 統講述教學。
凌久原（2007）利用 GSP 軟體透過靜態與動態兩種不同的呈現型態，探討不 同呈現型態對於國二學生學習幾何概念的學習成效有何影響。將 73 位（兩班）
學生分為兩組，實驗組是利用 GSP 軟體的動態視覺化特性而進行教學的動態多 重組，控制組則是以電腦作為靜態呈現幾何教材之靜態多重組，進行為期兩週（共 12 節課）的教學，並於每週教學結束後進行訪談。研究結果發現，動態多重表 徵的學習環境有助於學生深入理解幾何概念，並提供有效的解題策略。
何政謀（2004）藉由 GSP 軟體設計動態情境課程，以探討電腦輔助教學對三 位數學學習低成就的學生進行補救教學後，分析學生在二元一次聯立方程式與其 圖形的概念改念改變情形。教學設計以生活情境問題出發，藉此讓學生從方程式 的文字符號、代數表徵、圖形表徵等多種表徵方式，進而對方程式解的概念有教
完整而正確的了解，並透過圖形的變化，讓學生學習不同於傳統解二元一次聯立 方程式的方法。研究結果發現，使用軟體進行教學能讓學生更容易了解二元一次 方程式圖形的變化，以及方程式係數之間的關係。而藉由熟悉的情境，學生能將 問題轉譯為聯立方程式，進而找出方程式的解。
由上述研究發現，過去相關研究的教學設計與所探討或分析的重點，主要為 探討動態軟體使用與否的成效差異為主，而少有研究設計是將實驗組與控制組皆 設計為使用動態軟體的情境；若有同在動態軟體情境之中，僅有少數研究是比較 動態呈現與靜態呈現之間的學習與教學成效，而未有研究是針對同在此環境下時，
呈現不同的表徵多樣性對於學生學習成效有何影響。
由於 GeoGebra 為免費並能跨平台的教學軟體，而軟體中工具列的操作較為 直接且簡易，因而選用 GeoGebra 作為設計本研究數位教材的軟體。而依研究目 的需求，設計出常用表徵與附加表徵兩種數位教材，其中常用表徵包含方程式、
靜態圖形與數對，而附加表徵則除了常用表徵的三種表徵方式之外，還額外包含 表格、文字與動態圖形等表徵方式。兩種數位教材皆具有動態幾何軟體的解析幾 何、多重表徵的視窗環境、保持結構等特性，而附加表徵的數位教材中，更提供 手動操作（拖曳）、動態互動與連續性等特性。