解題過程之探討

3. 對可能的解法給予建議：建議是推論中非常核心的部份，包括哪些是已知到 哪些是未知或缺少的物件，是對可能解法的解釋。

4. 對建議方向去推理與發展：對一個想法進行基本原理的詳細描述，是關於任 何問題的任何想法開始發展其意義的過程。

5. 透過深入的觀察和檢驗，決定接受或拒絕原本的推論：尋找能支持想法的證 據，並形成最終的信念。

在教學與學習過程中，教育者最重要的任務之一，便是透過了解學習者的想 法與學習困難，適時給予合適的引導與協助，進而讓學習者獨立完成任務或解決 問題（Polya, 1945）。因此，Polya（1945）將解決問題的過程分成了四個階段：

1. 了解問題：學習者必須理解該問題。解題者除了理解問題，還要對問題感興 趣或渴望尋求答案，進而促進整個解題過程的發展與進行。

2. 擬定計畫：尋找已知數與未知數之間的關係。解題過程中的最主要成就是構 思出解題計畫，解題者必須直接或間接的尋找已知與未知之間的關係，進而 構想出有效解決問題的計畫。

3. 執行計畫：執行所構思的計畫。為解決問題而擬定出解題計畫並不容易，需 考量解題者已有的知識、良好的思考習慣、專注於解題目標的態度以及好運 氣。

4. 回顧：檢驗經執行所求得的答案。透過回顧整個求解的過程，驗算答案與思 考解題的過程，能讓學生有機會加深對數學知識的理解並培養解題能力。

圖 2-4-1 動態且循環的解題架構（Wilson et al., 1993: 62）

Polya 所提出的解題階段是動態、循環的，如圖 2-4-1 所示，而圖中任一個箭 頭都能描述學生在解決數學問題的過程中之活動或想法（Wilson, Fernandez, &

Hadaway, 1993）。

然而，Polya 所提及解題過程的觀點與內容，影響了後續對於解題過程的發 展。Schoenfeld（1985）將 Polya 的解題過程加入後設認知（metacongnition）與 信念系統（belief system）兩個元素，進而將解題過程推廣為：

1. 閱讀（reading）：當解題者開始閱讀問題的過程。

2. 分析（analysis）：讀題後，理想的第二步驟為分析，目的是為了完整的瞭解 問題、選擇合適的觀點和重新表述問題、以及將合適的原則或機制列為考慮 因素。但如果解題者已經知道相關觀點和應採取的方法時，便會略過分析的 步驟。

3. 探索（exploration）：與分析有些許不同，探索就不像分析有著完整結構。

4. 計畫－執行（planning－implementation）：解題者對於問題的條件或目標，設 計出解決問題的計畫並執行。

5. 驗證（verification）：解題者對於解法進行檢驗，確認該解法是否符合該問題 之條件與目標。

不同於先前學者對於解題過程的分析，Mayer（1992）將數學解題先針對問 題的表徵與解決兩個步驟著手，而每個步驟包含兩個子過程，並藉由表 2-4-2 來 進行說明：

1. 問題表徵（problem representation）：將問題內的文字與圖片轉變為內部的心 理表徵。

(1) 問題轉譯（problem translation）：包含將每個句子或主要的子句轉為內部的 心理表徵。而在這個過程當中，需使用語言和語義方面的知識。

(2) 問題整合（problem integration）：包含將資訊進行整合後轉換成清楚連貫的 結構。在這過程中，需要使用概要性的知識。

2. 問題解決（problem solving）：將問題的心智表徵延伸為最後的解決方法。

(1) 解法的規劃和監控（solution planning and monitoring）：包括為了解決問題而 追蹤該計畫。在規劃和監控的過程中，需要使用到策略性的知識。

(2) 解法的執行（solution execution）：執行計畫。在執行的過程中，將使用過程 性知識。

表 2-4-2 數學解題的分析過程（Mayer, 1992: 400）

問 題

A 種磁磚是邊長 30 公分的正方形，而每片 A 磁磚的售價為 0.72 元。如果想 讓長為 7.2 公尺、寬為 5.4 公尺的房間貼滿 A 瓷磚的話，總共要花多少錢？

分

析

解

題

過

程

而 Lester（1980）則是對解題過程提出六個不同而相互關聯的過程（圖 2-4-2）：

1. 問題的察覺（problem awareness）：學習者必須意識到所存在的困難，而這個 困難無法被輕易的解決；在本階段的另一個組成要素，就是學習者必須有試 著解決問題的意願，否則將只是無意義的進行。

2. 問題的理解（problem comprehension）：學習者會在此階段形成一個問題的內 在表徵形式，這個表徵最初也許是不正確的，但會在處理問題的過程中，提 供一個建立目標或重點的方法。這個階段至少有兩個子階段，為（1）轉譯

（translation）：詮釋問題內所提供的資訊及（2）內化（internalization）：學習 者需要整理出相關的資訊並確定這些資訊的相互關係。

3. 目標的分析（goal analysis）：學習者可以反覆的審視問題，從這個階段跳到 其它任何一個階段。透過本階段，企圖重新表述問題，讓熟悉的策略和技巧 能被使用，亦辨認出組成該問題的要素。

4. 計畫的發展（plan development）：學習者將開始注意並著手規劃計畫，計畫 的發展所涵蓋的內容比確認策略多，包括察覺概況和解決較簡易的相關問題，

也包含整理子目標和具體指定出會用到的活動，而後兩項容易讓學習者感覺 有困難。

5. 計畫的執行（plan implementation）：學習者必須對已發展出的計畫進行試驗，

而執行錯誤的可能性提高，將讓情況變得混亂。階段 5 和階段 6 是不同但卻 有相互關係的，可以透過計畫發展時，將計畫中的子計畫或流程規劃的清楚 且完整，便可以降低執行時所可能發生的失誤率。

6. 過程和解法的評鑑（procedures and solution evaluation）：成功的解題，通常是 決定一個合適系統所評鑑出的結果，它評鑑了解題的過程與針對所取得的結 果進行周全的試驗。這個評鑑的角色，遠超過於僅檢查該答案是否正確的功 用。此階段可被視為解題者在解題時，為某些問題尋求答案的過程。

圖 2-4-2 解題歷程分析圖（Lester, 1980: 36）