探討雙重鷹架在多重表徵的動態幾何環境中對解題過程之影響－以二元一次方程式為例

全文

(1)國立臺灣師範大學科學教育研究所碩士班碩士論文指導教授：吳心楷博士. 探討雙重鷹架在多重表徵的動態幾何環境中對解題過程之影響－以二元一次方程式為例. The Effects of Double Scaffolding on Problem Solving with Multiple Representations in a Dynamic Geometry Environment - Linear Equations with Two Variables. 研究生：黃卉珍. 中華民國 101 年 8 月.

(2)

(3) 誌謝能完成這份研究論文，需感謝一路給予建議與協助的許多人，謝謝吳心楷老師在研究所課程學習與論文撰寫上所給予的指導、鼓勵與協助，讓我得以順利完成論文與自我成長。謝謝呂玉琴老師及許瑛玿老師撥空審核論文內容並給予建議與回饋，讓這份研究論文得以更加完善。謝謝李田英老師、邱美虹老師、譚克平老師及楊文金老師在課堂上所提供的教導與省思，讓我學習許多作研究與待人處事的方法與觀點。謝謝張宏嘉學長撥空給予研究工具的建議與討論，讓施測試卷與晤談問題的設計能有更明確的目標與形式；謝謝吳百興學長在資料分析上的協助與提醒，讓我得以對於資料有更清楚地分析角度與觀點；謝謝葉佳承學長、簡頌沛學長與張志康學長的鼓勵與協助，不僅於修課期間給予解惑，也於課餘時間在球場上給予指教，讓我既吸收到研究經驗談，也獲得許多珍貴的經驗談；還有許多的學長姐，謝謝你們的經驗分享與交流。謝謝馨梅與郁芬在跟指導教授討論時，所給予的寶貴意見與腦力激盪；謝謝耀云的鼓勵，讓我後期在撰寫論文時能更有動力；謝謝長庚提供學生進行施測，讓這份研究得以順利完成資料收集；謝謝雪芳與義芬在學位考試當天的協助，讓我得以專心準備口試；謝謝千誼的打氣，我們一起共患難並且順利取得碩士學位；謝謝耿義、韋儀、詠喻、柏森、純青、貞慧、正男、勝安等的鼓勵與祝福。謝謝一路上支持與鼓勵我的所有人，在此一併感謝大家，真的非常謝謝你們！最後，感謝我的家人，謝謝我的爸爸和媽媽提供我繼續升學的機會，讓我能無後顧之憂地專心完成學業，也謝謝哥哥與大嫂的建議與協助，讓我能更清楚地思考學業及人生的課題，也謝謝即將到來的姪女所帶給我的好心情！.

(4)

(5) 中文摘要培養學生具備問題解決的能力，是學習數學的主要目的。透過多重表徵的使用，除了能幫助學生理解概念，更能進一步協助問題解決的過程。故本研究先利用學習單作為學生理解多重表徵的鷹架，再使用多重表徵以作為問題解決的鷹架，進而分析不同數位教材與學習單的使用下，不同先備知識學生的學習表現與解題過程之差異。其中表徵方式分為常用表徵（方程式、靜態圖形、數對）與附加表徵（常用表徵、表格、動態圖形）；而學習單分為一般型（概念理解、情境問題解決）與轉譯型（概念理解、表徵轉譯、情境問題解決）。本研究以「二元一次方程式」單元進行設計，並利用 GeoGebra 動態幾何軟體進行教學，以探討 113 位八年級學生於教學過程中，透過不同表徵多樣性與學習單的使用，不同先備知識學生在概念理解、表徵轉譯、問題解決的學習表現。並挑選 24 位學生進行教學後晤談，以了解不同表徵多樣性與學習單的使用對於學生解題過程之影響。資料收集與分析主要為表現測驗（前、後測）與半結構式晤談。研究結果顯示，在學習單與先備知識交互作用下，使用轉譯型學習單的學生在表徵轉譯與問題解決的學習成效上，達到鷹架的目的，其中以高先備知識學生的學習成效最為明顯；對於低先備知識學生，其學習成效則無明顯差異。在表徵多樣性與先備知識交互作用下，雖然對於學生在問題解決的表現有所不同，但未有明顯差異，因此附加表徵似乎未能達到鷹架的目的。對照量化與晤談結果發現，不同學習單對於表徵轉譯與問題解決有不一樣成效，其中轉譯型學習單可能對於理解問題、分析目標、發展計畫等三個階段比較有效果，而表徵多樣性對於問題解決沒有明顯成效。此外，對於學生整體的解題表現，轉譯型學習單則是搭配常用表徵進行教學下較有效果。. 關鍵詞：解題過程、雙重鷹架、多重表徵、動態幾何環境.

(6)

(7) Abstract The purpose of this study is to investigate how the use of worksheets and multiple representations scaffold students’ learning about linear equations in two variables and to understand whether students’ prior knowledge interacts with the use of designed worksheets and multiple representations. Two types of worksheets were used: General type (including conceptual understanding and situational problem-solving items) and Translation type (including the items in the general type and the translation of representations). Also, two sets of multiple representations created by GeoGebra software were developed: Common representations (including equations, static graphics, and ordered pairs) and Additional representaions (including the common representations, tables, and dynamic graphics). A 2x2 factorial research design was employed with the participation of 113 eighth-grade students divided into 4 groups. To learn the topic, each group received instruction by using one type of the worksheets with either common representations or additional representations. Their performances in problem solving, conceptual learning, and representation translation were examined by the pretest and posttest. After the instruction, 24 students with different levels of prior knowledge were interviewed in order to understand their problem-solving process. According to the three-way ANCOVA analysis, the translation worksheets can scaffold high prior knowledge students’ learning performances in problem solving and representatio n translation, but the effect of different sets of multiple representations were not found. Additionally, the analysis of the interviews showed that students who used the translation worksheets tended to perform better on problem comprehension, goal analysis, and plan development. The findings suggested that the translation worksheets could better support students’ learning performances when they were used with common representations..

(8) Keywords: problem-solving process, double scaffolding, multiple representations, dynamic geometry environment.

(9) 目錄第一章. 緒論............................................................................................................ 1. 第一節研究動機與背景...................................................................................... 1 第二節研究目的與問題...................................................................................... 2 第三節研究重要性.............................................................................................. 2 第四節名詞釋義.................................................................................................. 3 第五節研究限制.................................................................................................. 4 第二章. 文獻探討.................................................................................................... 5. 第一節二元一次方程式的概念學習與教學之相關研究.................................. 5 第二節表徵與多重表徵...................................................................................... 7 第三節動態幾何環境........................................................................................ 15 第四節解題過程................................................................................................ 19 第五節鷹架理論與學習.................................................................................... 28 第三章. 研究方法.................................................................................................. 37. 第一節研究流程................................................................................................ 37 第二節研究架構與設計.................................................................................... 38 第三節教學設計................................................................................................ 39 第四節研究對象................................................................................................ 45 第五節資料來源與收集.................................................................................... 46 第六節資料分析................................................................................................ 50 第四章研究結果.................................................................................................. 57 第一節表徵多樣性、學習單與先備知識對概念理解之影響........................ 57 第二節表徵多樣性、學習單與先備知識對表徵轉譯之影響........................ 60 第三節表徵多樣性、學習單與先備知識對問題解決之影響........................ 64 第四節晤談分析................................................................................................ 71 第五章. 結論與討論.............................................................................................. 85 第一節結論........................................................................................................ 85. 第二節討論........................................................................................................ 85 第三節建議........................................................................................................ 88 參考文獻...................................................................................................................... 91 附錄.............................................................................................................................. 99. I.

(10) 表次表 2-1-1 課程綱要中與二元一次方程式相關之分年細目........................................ 6 表 2-2-1 不同表徵之間轉譯的過程與能力............................................................... 13 表 2-4-1 整理相關學者所提出的解題過程.............................................................. 20 表 2-4-2 數學解題的分析過程.................................................................................. 23 表 2-5-1 鷹架的設計架構.......................................................................................... 33 表 2-5-2 本研究所使用的鷹架設計原則.................................................................. 34 表 3-3-1 學習單內容範例........................................................................................... 43 表 3-3-2 教學活動中所涵蓋之指標與原則.............................................................. 43 表 3-3-3 教學流程....................................................................................................... 43 表 3-4-1 依教學網頁與學習單類型而區分的各組有效受測人數分配.................. 45 表 3-4-2 依前測成績、教學網頁與學習單類型而區分的各組晤談人數分配...... 46 表 3-5-1 資料收集方式與性質.................................................................................. 46 表 3-5-2 前後測試題範例.......................................................................................... 47 表 3-5-3 二元一次方程式成效測驗之雙向細目表與對應題號.............................. 48 表 3-5-4 資料收集的形式與數量整理...................................................................... 50 表 3-6-1 概念試卷評分標準與配分.......................................................................... 51 表 3-6-2 晤談單與逐字稿的解題過程之編碼架構.................................................. 53 表 3-6-3 各資料類型的分析方法與研究路徑之對應.............................................. 56 表 4-1-1 概念理解的後測成績之組間迴歸係數同質性檢定摘要表....................... 57 表 4-1-2 表徵多樣性、學習單類型、先備知識在概念理解後測之共變數分析表 ...................................................................................................................................... 58 表 4-1-3 不同學習單類型在概念學習後測成績的調整後與原始平均數.............. 59 表 4-1-4 學習單類型之主要效果檢定摘要表.......................................................... 59 表 4-1-5 不同先備知識在概念學習後測成績的調整後與原始平均數.................. 59 表 4-1-6 先備知識之主要效果檢定摘要表.............................................................. 59 表 4-2-1 表徵轉譯的後測成績之組間迴歸係數同質性檢定摘要表...................... 60 表 4-2-2 表徵多樣性、學習單類型、先備知識在表徵轉譯後測之共變數分析表 ...................................................................................................................................... 61 表 4-2-3 學習單類型與先備知識對表徵轉譯的影響之單純主要效果分析摘要表 ...................................................................................................................................... 61 II.

(11) 表 4-2-4 學習單類型與先備知識之調整後與原始表徵轉譯的後測平均數.......... 62 表 4-3-1 問題解決的後測成績之組間迴歸係數同質性檢定摘要表...................... 64 表 4-3-2 表徵多樣性、學習單類型、先備知識在問題解決後測之共變數分析表 ...................................................................................................................................... 65 表 4-3-3 表徵多樣性與先備知識對問題解決的影響之單純主要效果分析摘要表 ...................................................................................................................................... 66 表 4-3-4 表徵多樣性與先備知識之調整後與原始問題解決的後測平均數.......... 66 表 4-3-5 學習單類型與先備知識對問題解決的影響之單純主要效果分析摘要表 ...................................................................................................................................... 68 表 4-3-6 學習單類型與先備知識之調整後與原始問題解決的後測平均數.......... 69 表 4-4-1 焦點學生於各解題過程的分布情形.......................................................... 71. III.

(12) 圖次圖 2-1-1 國中函數概念之教材流程圖........................................................................ 5 圖 2-2-1 具體程度的分類............................................................................................ 8 圖 2-2-2 五種表徵類型................................................................................................ 9 圖 2-2-3. 1 4. 的表徵方式 .............................................................................................. 10. 圖 2-2-4 多重表徵的功能.......................................................................................... 11 圖 2-3-1. GeoGebra 的操作視窗 .............................................................................. 17. 圖 2-4-1 動態且循環的解題架構.............................................................................. 21 圖 2-4-2 解題歷程分析圖.......................................................................................... 24 圖 2-5-1 分化式鷹架.................................................................................................. 32 圖 2-5-2 重複型鷹架.................................................................................................. 32 圖 2-5-3 協同型鷹架.................................................................................................. 32 圖 2-5-4 雙重鷹架...................................................................................................... 36 圖 3-1-1 研究流程...................................................................................................... 38 圖 3-2-1 研究架構圖.................................................................................................. 38 圖 3-2-2. 2×2 的研究設計......................................................................................... 39. 圖 3-3-1 常用表徵的教學網頁範例.......................................................................... 40 圖 3-3-2 附加表徵的教學網頁範例.......................................................................... 41 圖 4-2-1 使用不同學習單類型對於不同先備知識學生在表徵轉譯之表現.......... 72 圖 4-2-2 不同先備知識對於學生使用不同學習單類型在表徵轉譯之表現.......... 73 圖 4-3-1 不使用不同表徵多樣性對於不同先備知識學生在問題解決之表現...... 73 圖 4-3-2 不同先備知識對於學生使用不同表徵多樣性在問題解決之表現.......... 73 圖 4-3-3 使用不同學習單類型對於不同先備知識學生在問題解決之表現.......... 70 圖 4-3-4 不同先備知識對於學生使用不同學習單類型在問題解決之表現.......... 70 圖 4-4-1 各組學生於各解題階段之人數比例.......................................................... 75 圖 4-4-2 各組學生於理解問題之人數比例.............................................................. 75 圖 4-4-3 各組學生於分析目標之人數比例.............................................................. 75 圖 4-4-4 各組學生於發展計畫之人數比例.............................................................. 76 圖 4-4-5 各組學生於執行計畫之人數比例.............................................................. 77 圖 4-4-6 各組學生於評鑑解法之人數比例.............................................................. 79 圖 4-4-7 CR–nT 與 SR–nT 兩組學生的解題表現之人數比例 .......................... 80 IV.

(13) 圖 4-4-8 CR–T 與 SR–T 兩組學生的解題表現之人數比例 .............................. 81 圖 4-4-9 CR–nT 與 CR–T 兩組學生的解題表現之人數比例 ........................... 82 圖 4-4-10. SR–nT 與 SR–T 兩組學生的解題表現之人數比例 .......................... 83. V.

(14)

(15) 第一章. 緒論. 第一節研究動機與背景依「國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要」的基本理念，學生應透過對數學概念的理解，並學習運用符號、記號、模型、圖形或其他數學表徵，進而利用推論去解決數學與日常問題（教育部，2003）。而美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics, [NCTM] ）於 1998 年指出，數學概念的表徵方法，在學習者對於數學概念的理解與其使用上，扮演一個重要的角色（引自左台益、蔡志仁，2001）。NCTM（2000）在「學校數學的原則與標準」中，更進一步地將表徵列為課程標準的內容。因此，在學校數學課程中，應透過不同的表徵方式呈現數學概念，除了讓學生理解數學概念，也能活用這些數學表徵，進而培養學生利用所學的數學概念與表徵方式，以解決數學或日常生活中的問題。每一個數學概念都涵蓋多種不同的數學意義與其對應的表徵方式（ Lesh, 1979），適時地結合數學軟體進行教學，可以較容易的呈現多重表徵，並動態及同步的隨之變化，進而讓學生有較多的機會能在短時間內接觸多重表徵。因此，透過數學軟體的使用，讓學生在操弄多重表徵的過程之中了解數學概念，以及各個表徵本身的意義與其之間的對應關係和轉譯。除了組織、記錄與溝通數學想法，數學表徵的選擇、應用與轉譯也是為了能解決問題（NCTM, 2000）。一個好的解題者必須能充分靈活的使用各種相關的表徵方式，並能本能地轉譯到最方便的表徵來強調解法過程中任何給定的重點（Lesh, Post, & Behr, 1987a）。因此，學生除了學習利用多重表徵理解數學概念之外，也需要清楚各種表徵之間的關係，進而透過多重表徵的使用與轉譯來解決問題。問題解決是所有數學學習中不可缺少的部份，讓學生能藉數學解題而習得思考的方法、堅持與好奇的習慣、及在不熟悉情境中的自信，進而發揮在數學課室之外的情境（NCTM, 2000），因此，學習解決問題是學習數學的主要原因（NCSM,. 1.

(16) 1977）。數學學習領域的課程綱要中，能力指標除了數學概念知識之外，還包含察覺、轉換（即為本研究所指的轉譯）、解題、溝通、評析等能力指標的類別（教育部， 2003）。從這些能力指標與上述內容可知，在數學學習與教學過程中，學生必須理解數學概念的各種表徵方式及學習表徵之間的轉譯與連結，當遭遇困難或察覺問題時，才能運用已學的知識內容與表徵方式，建構並評鑑自己的想法，達到有效及合理地解決問題。. 第二節研究目的與問題本研究的目的是探討國中二年級的學生，在已學習過二元一次方程式的情況下，藉由研究者所提供的學習單作為鷹架，並透過動態幾何軟體 GeoGebra 進行教學，以多重表徵的數位教材呈現二元一次方程式的相關內容，藉此瞭解學生在二元一次方程式的學習情形及解決相關問題的過程。基於上述的研究目的，所欲探討的研究問題為： 1. 使用不同數位教材（常用表徵或附加表徵）與不同學習單（一般型學習單或轉譯型學習單）時，對於不同先備知識學生在二元一次方程式之概念理解的影響為何？ 2. 使用不同數位教材（常用表徵或附加表徵）與不同學習單（一般型學習單或轉譯型學習單）時，對於不同先備知識學生在二元一次方程式之表徵轉譯的影響為何？ 3. 使用不同數位教材（常用表徵或附加表徵）與不同學習單（一般型學習單或轉譯型學習單）時，對於不同先備知識學生在二元一次方程式之問題解決的影響為何？. 第三節研究重要性目前在數學幾何學習方面已發展出一些輔助軟體，教師可依需求使用，以幫. 2.

(17) 助教學與學生學習。過去有許多針對電腦輔助教學的研究，但多只著重於軟體的使用與否對於學生學習成效的影響（林星秀，2001；尤冠龍，2006；何政謀，2004），似乎較少討論如何設計軟體中多重表徵的呈現方式，或探討軟體中不同表徵總數量對於學生學習成效的影響，所以本研究希望提出較有效的學習活動設計方式。此外，過去研究雖然有提到鷹架的多重性，但詳細的作用與方式並不明確，因此本研究提出雙重鷹架的做法。本研究過程皆在動態幾何環境下進行，研究者設計出常用表徵與附加表徵兩種數位教材，常用表徵是以學生在學習二元一次方程式時常見的表徵來方式呈現；而附加表徵則是除了常見表徵之外，再額外提供其他表徵方式來呈現。為幫助理解數位教材中多重表徵的內容與訊息，設計了學習單以給予學生了解多重表徵的內容與資訊，不僅希望學生對於二元一次方程式的概念有所導正或加深，更希望學生能利用多重表徵作為理解或解決問題的策略，進而有效並成功的解決問題。為了提供學生在解決情境問題時的引導與練習的機會，學習單不僅包含概念學習亦涵蓋問題解決的內容與過程，用以培養學生問題解決的技能與思考模式，且更進一步細分為一般型與轉譯型兩種，轉譯型學習單額外加入表徵轉譯的練習，讓學生熟悉不同表徵之間的轉譯。因此，學習單作為提供學生理解多重表徵的鷹架，而多重表徵是促進學生發展解題能力的鷹架，透過不同的學習單與數位教材，建構一個於雙重鷹架下二乘二的研究架構。. 第四節名詞釋義一、鷹架適時的提供協助或支持以幫助個體能完成原本所無法獨立完成的任務或目標，所提供的協助包括紙筆工具、課室資源、同儕互動、教師指導等。本研究利用學習單與多重表徵的教學網頁作為鷹架。. 二、多重表徵表徵能傳遞某種事物的部份或全部訊息，例如用「 M」表示速食餐廳。而多. 3.

(18) 重表徵則是利用不同的表徵方式去呈現相同的知識或想法。本研究所使用的表徵包含代數式（方程式）、圖形（靜態與動態）、數對、表格、文字敘述等。. 三、解題過程解題過程是指在解決問題時所使用的知識或策略所發展的程序。本研究採用 Lester（1980）的觀點，將解題過程分為：察覺問題、理解問題、分析目標、擬定計畫、執行計畫、評鑑解法等步驟。. 四、動態幾何環境動態幾何環境是針對平面幾何的教學而設計的軟體，此類型軟體包含動態功能的互動模式，可針對所繪製的圖形進行各種數學意義的操作，並即時呈現操作結果或以動畫的方式呈現。本研究選用 GeoGebra3.2 中文版作為動態幾何環境的教學軟體。. 五、二元一次方程式參考「國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要」中對二元一次方程式的說明，本研究所提及的「二元一次方程式」，二元是指兩個不同的變數，一次是指此兩個變數的最高次數為一次。因此，凡是形如 ax+by=c 或 y=ax+b 的方程式，皆稱為二元一次方程式。. 第五節研究限制本研究的研究對象為國中二年級學生，對於二元一次方程式已有基本的認識與了解，並使用學習單與透過多重表徵的形式呈現二元一次方程式的相關概念，引導學生在數學學習過程中所需的合理解題過程。礙於對象、課程內容、表徵種類和類型、與教學時間的限制，以及解題過程可能涉及其他非表徵因素的影響（如教師教學、學生個別差異、空間能力等），無法對所有因素進行探討。此外，參與研究的學生人數有限，因而在研究結論上，不宜做過度推論，僅能提供對本研究相關主題有興趣的教師或研究者之參考。. 4.

(19) 第二章. 文獻探討. 本研究針對二元一次方程式的概念，想了解學習單與多重表徵的數位教材在雙重鷹架的架構下，對於學生解題過程的影響。所以，文獻探討將依二元一次方程式的概念學習與教學、表徵與多重表徵、動態幾何環境、解題過程、鷹架理論與學習等五部份進行介紹。. 第一節二元一次方程式的概念學習與教學之相關研究一、概念學習與課程綱要. 圖 2-1-1 國中函數概念之教材流程圖代數中的符號結構與其使用原則，是建立於對數字的經驗延續，也緊密的連結幾何與資料分析，因此代數能力不僅在數學學習、在生活中亦是重要的一部分（NCTM, 2000）。九年一貫數學學習課程綱要（教育部，2003）中，學生從七年級開始學習函數相關概念，雖然各版本教科書所包含的函數概念與其呈現順序不盡相同，但仍可歸納出所有教材的編排流程（圖 2-1-1）。從圖 2-1-1 與表 2-1-1 可知，二元一次方程式的概念內容中，利用方程式的概念推廣到函數的內容，而符號使用與關係連結便是代數學習的基礎；利用方程式的概念轉譯到直角坐標系的圖形，此為學習代數與幾何兩主題之間轉譯的開端。因此，二元一次方程式的 5.

(20) 概念學習對學生而言有一定的重要性，研究者也因而選擇二元一次方程式的內容為例進行本研究。表 2-1-1 課程綱要中與二元一次方程式相關之分年細目分年細目. 說明. 7-a-03. 能熟練符號的代數操作。. 7-a-09. 能由具體情境中描述解的意義。. 7-a-10. 能由具體情境中列出二元一次方程式，並理解其解的意義。. 7-a-11. 能運用直角座標系來標定位置。. 7-a-15. 能在直角座標平面上描繪二元一次方程式的圖形。. 二、學習困難與迷思概念函數概念在數學中扮演一個核心且基礎的角色（Zaslavsky, 1997）缺乏對同一函數、不同表徵（概念性知識）之間充分且足夠的關係與連通性，將會阻礙學生解決問題的過程（Even, 1990）。如果概念理解不完全將會造成迷思概念，而無法將概念的相關表徵方式進行正確連結與轉譯，則會造成學生的學習困難。 Zaslavsky（1997）對八百多位（共 25 班）10 年級與 11 年級的學生進行課室觀察與筆記評鑑，探討學生的對於二次函數的學習困難與迷思概念，其中一項研究發現為學生容易將線性函數與二次函數之間作錯誤的類推。 Markovits、Eylon 與 Bruckheimer（1988）對一群已學過線型函數與一般函數概念的九年級與十年級學生，探討這些學生在學習函數概念時的學習困難與迷思概念，並嘗試幫助與導正學生的學習困難與迷思概念。此研究發現學生易有的學習困難在於學生不清楚常數函數的值域是相同的、無法將函數的代數式與圖像表徵作連結、計算能力所造成的困難等；而學生的迷思概念是認為所有函數都是線性函數。戴文賓（2000）探討國一學生初學代數時所遭遇的困難與克服困難所需的輔導，針對十位後段學生進行建構式教學與晤談，研究發現學生會畫二元一次方程. 6.

(21) 式的圖形，也知道二元一次聯立方程式的解可以表示為兩直線的交點，但卻不知道直線圖形上的點代表該直線方程式的解，亦即學生無法對二元一次方程式的代數表徵與圖形表徵之間的關係，進行即時與合理的連結。張菁珊（2004）透過紙筆測驗與情意問卷對 190 名學生進行施測，探討國中學生在函數概念的解題策略、錯誤類型與錯誤原因，研究發現學生對於函數概念侷限在代數與圖形表徵、認為函數只有線型函數與二次函數兩種、只考慮直線的傾斜度而為考慮傾斜方向、斜直線仍為一常數函數圖形、…等。曾江淮（2009）對 31 位國中八年級學生進行二階段的診斷測驗，先診斷出學生在「線型函數」的迷思概念後，在從中挑選出六位進行晤談並分析其概念改變的情形。研究發現學生的迷思概念主要為：一次函數也是常數函數、線型函數就是可以畫出直線和曲線的函數圖形、…等。綜合上述，代數為數學學習的核心概念之一，而代數的概念在日常生活中也隨處可見，因此挑選此單元作為本研究主題。由上述相關研究所提及的學習困難與迷思概念，本研究之教學設計針對二元一次方程式的概念理解，包括方程式圖形的斜率與方程式的對應係數之間的關係、不同方程式所對應的圖形類型、二元一次方程式相關表徵之間的連結、以及生活情境中的二元一次方程式之相關問題等內容，幫助學生理解並澄清其迷思概念與學習困難，建立正確的二元一次方程式的概念，以利於後續的學習與解決生活問題的需要。. 第二節表徵與多重表徵一、表徵在數學領域中，可依具體程度將一個集合中的所有元素（elements）分成（圖 2-2-1；Heddens, 1995）： 1. 具體（concrete）：使用真實或有形的物體時，便稱為具體情境。這類使用能幫助孩童將數學學習中的知識與真實生活相連結。. 7.

(22) 2. 半具體（semiconcrete）：是真實情境中的一種表徵，但是以圖片的形式呈現真實事物。 3. 半抽象（semiabstract）：這包含一個具體物件的符號表徵，但這個符號或圖片看起來不像實物原本的表徵。數線就是最常用以作為半抽象模式的例子。 4. 抽象（abstract）：利用文字或符號來表徵物件，比圖像和實物還要更抽象，像是使用甲、乙、丙等來代表椅子。而當孩童瞭解且會使用數字時，便不需要提及具體或表徵的模式。. 圖 2-2-1 具體程度的分類（Heddens, 1995: 66）在 Heddens 所提出的具體程度中，除了「具體」之外，其餘三種皆屬於表徵的方式。表徵（representation）能代表並傳遞某種事物的部份或全部訊息（林郁芬，2010），也是認知活動的產物以了解知識的結構與內涵（左台益、蔡志仁， 2001）。Davis、Young 與 McLoughlin 於 1982 年提出表徵可以是某些寫在紙本上的結合，一些存在實物的形式，或是一個人在心中所建造的想法（引自 Janvier, 。這些想法可區分為外在表徵與內在表徵的記號：外在表徵能刺激感官並 1987b）具體的呈現抽象或實際存在的參考物之特徵，包含曲線圖、表格、圖片、圖解、模型（ models）、電腦繪圖（computer graphics）、正式的符號系統（ formal symbol systems）；而內在表徵是存在於大腦裡面而無法直接被觀察，因此內在表徵必須從觀察學習者的活動來推斷（Janvier, Girardon, & Morand, 1993）。因此，表徵是學習者內在想法的外在具體化而為可觀察的（Lesh, Post, & Behr, 1987a）。 Bruner 於 1966 年指出，理解模式即為表徵模式，學生是透過表徵方式來理. 8.

(23) 解事物，而表徵方式可以分成動作（enactive，基於具體的操作）、圖像（ iconic，包含圖片）、符號（symbolic）（引自 Herscovics, 1979）。其中，動作表徵（enactive representation）是透過活動，在沒有圖像與文字的世界裡，學習者必須透過動作來傳達訊息；圖像表徵（ iconic representation）則是透過視覺或其他感覺器官去整合圖像；而符號表徵（symbolic representation）就是使用文字或語言，在本質上它就是一個符號（Bruner, 1965）。根據 Bruner 的理論，Lesh（1979）將動作、圖像以及符號等表徵方式再進行細分，將圖像表徵分成照片（pictures ）與可操作的工具（ manipulative materials），而符號表徵再分成手寫符號（written symbols）和口說符號（spoken symbols）。因此，Lesh 等人（1987a）針對解決問題而整理出五個不同表徵類型（圖 2-2-2）：. 圖 2-2-2 五種表徵類型（Lesh et al., 1987a: 34） 1. 經驗為主的腳本（experience-based “scripts”）：從真實生活中所構成的知識，作為解釋和解決其他種類問題的一般情況。 2. 可操作模型（manipulatable models）：例如算術用的數棒（Cuisenaire rods）、運算的方塊（arithmetic blocks）、分數斜線（fraction bars）、數線（number lines）、…等，在表徵系統中，這些“元素”本身的意義不大，但它“內部（built in）”的關係和運算適用於日常生活中的每個情境。 3. 照片或圖解（pictures or diagrams）：靜態的圖片模式，像是操作的模式，可被內化成“像（images）”。例如，使用鉛筆的圖形（如. 9. ）代表鉛筆。.

(24) 4. 口說語言（spoken languages）：口語表達的語言，包含與其他專業領域（如：邏輯）相關的次語言（sublanguages）。 5. 手寫符號（written symbols）：透過書寫的方式表達，包含專業的用語與符號，例如數學計算式（如 X＋3＝7）或數學符號（如(A'∪B')=(A∩B)'）。也有其他數學教育學者指出，許多數學的重要概念會以不同的表徵方式呈現（Even, 1990）。以分數為例， Rowan 等人於 1990 年將 1/4 的五種表徵圖示如下（引自陳霈頡、楊德清，2005）：. 1. 圖 2-2-3 的表徵方式（Rowan et al., 1990；引自陳霈頡、楊德清，2005：3） 4. 函數概念在中學數學課程中是一個重要的主題（Zaslavsky, 1997），除了有不同函數類型之外，同一個函數也能以不同表徵方式來呈現（Even, 1990）。對於函數概念的表徵類型，許多研究者有著相關的探討與看法，如： 1. Herscovics（1979）針對代數概念的學習模型，認為一個函數可以透過數據表格（numerical table）、圖形（graph）、或方程式（equation）來呈現（represent）。 2. Even（1990）認為，函數概念中最常見的表徵方式為計算式（formulae）和直角坐標圖（cartesian graphs）。還有其他表徵方式，像是箭頭圖（arrow diagrams）、表格（tables）、有序數對集合（sets and ordered pairs）、以及日常生活或其他學科的情境等。 3. Markovits、Eylon 及 Bruckheimer（1988）指出，函數概念包含許多觀點，可以用這類的概念延伸到數學以外的領域，以及在不同數學情境中使用這類的概念。而最常用來呈現函數的表徵方式為圖形、代數式（algebra）、表格、以及集合對應圖等四種。 4. Janvier（1987a）認為，線型函數的表徵方式為文字描述（verbal description）、. 10.

(25) 表格、圖形、計算式/方程式（formula / equation）。根據上述學者所提出的數學表徵類型，整理出本研究所使用的表徵類型為方程式、圖形（靜態與動態）、表格、文字描述、數對等六種。. 二、多重表徵的功能多重表徵可定義為藉由不同的表徵方式去呈現及建構同一個知識或想法（左台益、蔡志仁，2001）。NCTM（2000）指出，數學課程必須透過表徵幫助學生理解數數學概念與其之間的關係，並重視多重表徵之教學能讓學生（1）產生與使用表徵去組織、紀錄與溝通數學想法；（ 2）選擇、應用與轉譯（translate）數學表徵以解決問題；以及（3）使用表徵去產生與解釋自然、社會與數學現象。使用兩個以上表徵方式的理由是為了吸引學習者的興趣，而在促進有效學習的情況中扮演一個重要的角色（Ainsworth, 1999）。Ainsworth（1999）針對多重表徵的學習環境作進一步分析，提出多重表徵在學習情境中所提供的功能，如圖 2-2-4：. 圖 2-2-4 多重表徵的功能（Ainsworth, 1999: 134） 1. 補充角色（complementary role）：利用表徵能提供不同幫助的優點，進而對於過程或資訊之間進行互補。補充過程（complementary processes）是指透過不同表徵的使用，可補足整體事件發展的演變程序，即使各表徵所擁有的訊息相同，仍可以藉由不同表徵本身的特性去描述整體事件進行的過程。使用多重表徵以互補過程的原因可以分成三類： (1) 任務（task）：為了完成最終任務而將任務分成數個子任務，當無法使用單一. 11.

(26) 表徵解決所有子任務時，便藉由多種表徵方式以相互補足解決子任務的需要。 (2) 個別差異（individual differences）：因每個人的能力與喜好不同，進而影響個別選用的表徵類型。 (3) 策略（strategy）：解決問題的過程中，能規劃多種不同解題計畫與策略，而不同的策略之間相互結合使用，進而不受限於單一表徵的優、缺點。而補充資訊（complementary information）是透過每個表徵所承載不同的資訊量，用以相互補足彼此之差異，可分為資訊量完全不相等（different information）和部份資訊量不相等（shared information）兩種。 2. 限制詮釋（constrain interpretation）：透過多種表徵之間的轉譯，用以限制對於整體事件的解釋，而發展出更正確的概念理解。可分為熟悉度的限制（constrain by familiarity）與內在特質的限制（constrain by inherent properties）： (1) 熟悉度的限制：利用較熟悉的表徵來理解與詮釋較抽象或不熟悉的表徵。並非提供新的表徵或資訊，而是使學習者理解較不熟悉的表徵。 (2) 內在特質的限制：利用特定表徵本身所擁有及承載的特有訊息的特性，對於較不利於描述部份訊息的表徵進行詮釋與修改。亦即，同時使用兩個表徵時，第一個模糊的（ambiguous）表徵可被熟悉或有經驗的第二個特定的（specific）表徵所限制。 3. 建立深層理解（construct deeper understanding）：使用多重表徵能幫助理解抽象的概念或表徵、促進概念一般化，進而對概念有更深入的學習。如同 Even （1990）所提及，不同表徵能提供不同的見解，進而對一個概念能有更好、更深、更強大與更全面的了解。而 Ainsworth（1999）更將能建立深層理解的多重表徵細分為抽象（abstraction）、延伸（extension）、關係（relations）等三種： (1) 抽象：提供學習者學科表徵中豐富的資源，透過這些表徵轉譯或推論建構，以新的程序與概念組織出更高層次的架構，進而支持抽象概念的理解。而抽象 12.

(27) 化可以藉由減少（abstraction）、本體改變（re-ontologization）和具體化（reification）等方式來達成。 (2) 延伸：在未改變知識本質的情況下，擴展已知的表徵知識到新的學習情境，並將該表徵一般化。 (3) 關係：透過多種表徵的使用，以學習並監控轉譯過程，理解表徵之間的對應關係。. 三、表徵轉譯表 2-2-1 不同表徵之間轉譯的過程與能力（Janvier, 1987; Janvier et al., 1993）從文字描述. 表格. 圖片. 方程式. 到文字描述. 建測量. 表格圖片方程式. 詮閱讀釋技能. 解釋. 讀取. 確認參數. 計算. 模. 技. 能. 描述性模型和構圖. 分析模型與建模. 描繪（描點）. 對應圖形對應. 構圖. Bruner 於 1966 年指出，如果學習者不能成功地透過符號轉換來解決問題，則將從符號表徵的層面退回圖像表徵的層面（引自 Herscovics, 1979）。而在數學領域中，複雜概念往往會透過不同的標籤與符號來呈現（ Even, 1990）。因此，學習者必須學會將某種表徵方式轉譯到另一種表徵的能力（Lesh, 1979）。一個概念、過程或數學物件往往都能以不同方式來呈現，而將某個表徵轉譯（translate）為其他種類的表徵是可能的（ Janvier, Girardon, & Morand, 1993 ）。轉譯過程（ translation process ）是指從一個表徵方式到另一個表徵的心理過程（psychological processes；例如，一條方程式轉譯為一個圖形），若將表徵方式限制在四個變量，即文字描述、表格、圖形、方程式，則此四個變量的轉譯過程如表 2-2-1（Janvier, 1987）。其中，本研究所選用的數對表徵較常出現於直角坐. 13.

(28) 標平面上，用以標示圖形上的焦點坐標，使得數對所呈現的資訊為表格的部份資訊，因而依數對的呈現方式與資訊量而將數對歸類於表 2-2-1 中的「表格」。. 四、相關研究結果不同的表徵系統不僅本身所代表的意義很重要，表徵本身的轉換（transformations within them）與表徵之間的轉譯（ translations among them）也很重要（Lesh et al., 1987a）。表徵轉換為單一種表徵系統內的轉換，例如將方程式 2x+y=1 以 4x+2y=2 表示；表徵轉譯為兩種以上表徵系統的對應與連結，例如將方程式 2x+y=1 轉譯為直角坐標平面上的斜直線圖形，也是本研究的探討重點。因此，數學教師必須推測學生對於不同表徵系統而可能產生的學習困難，進而透過合適的方法進行概念的說明與教學（Lesh et al., 1987b）。 Hines（2002）研究一位八年級學生在動態模型的情境下，利用表格、代數式、圖形等表徵來連結這位學生對於函數的解釋。研究發現，此學生最初對於函數的想法侷限在單一數值的輸入與輸出，之後逐漸察覺函數的斜率，以及透過表格察覺函數中兩變數之間的關係。因此，學生能藉由不同的表徵來建構完整線型函數的概念。丁斌悅（2002）以 25 位國二學生為研究對象，設計二元一次方程式與線型函數兩種試卷，探討學生學習線型函數時對於表列、代數式、圖形等三種表徵的認知發展情形，用以了解學生對每個表徵的認知發展、解題策略、迷思概念與錯誤類型等表現情形。在前測（二元一次方程式）與後測（線型函數）的測驗結果比較中，發現三種表徵方式的整體表現，後測結果皆明顯優於前測結果。黃芳玉（2003）透過紙筆測驗分析 555 位國小六年級學生的數學表徵能力與計算能力，並依學生的測驗成績分成高、中、低三組中各挑選四位學生（共 12 位）進行晤談。研究結果發現，即使學生擁有良好的計算能力，也未必能發展出相對應的圖形表徵與符號表徵的能力。陳霈頡與楊德清（2005）對六位一年級學生進行研究，探討學生在減法的解. 14.

(29) 題表徵與解題策略的類型。研究發現學生會依自己的認知發展情形，而有不同的解題表徵，而解題策略的判斷是從學生的解題表徵發展而得。由上述研究可知，多元的表徵方式不僅是讓學生對於概念有較完整且正確的理解與連結，也能藉以發展為思考策略，幫助學生進行相關概念的延伸與解決相似的問題。因此本研究依二元一次方程式的概念為基礎，選擇方程式、圖形、數對、表格、文字等方式來呈現概念。此外，教學活動的設計也包含了表徵轉譯的部份，藉此協助學生熟悉並練習表徵之間的對應關係與轉譯。. 第三節動態幾何環境數學概念涵蓋一系列有意義的情境、由基本關係所組成的不變性、以及利用表徵所呈現的符號等，因而說明數學學習包括多種表徵之間的交互應用（余酈惠， 2003）。蔡志仁（2000）認為藉由合適的設計，電腦視窗環境可將數學概念同時透過文字、圖形、動畫、影像等表徵方式來呈現，得以外顯出數學概念中的基本關係，進而在視窗中呈現多重表徵之間的變化與連結。. 一、動態幾何環境的特性每個教學軟體背後有著不全相同的設計原則，其中針對平面幾何的教學而設計的軟體稱為動態幾何環境（Dynamical Geometry Environments, [DGEs]），並提供學生在電腦螢幕上直接且動態地操弄圖形的功能，進而擴展課室中調查活動與問題解決的機會（Hölzl, 1996 ）。學生在解決問題的過程中，會依據不同的目的而使用不同的拖曳（dragging）形式（ Arzarello, Olivero, Paola, & Robutti, 2002 ）。因此，在動態幾何環境中，拖曳扮演了一個核心的角色（Rahim, 2000）。動態幾何軟體的功能與特質有七點（余酈惠，2003；Rahim, 2000）： 1. 符合尺規作圖原理（Euclidean constructions）：提供的作圖工具，得以仿照直尺或圓規的作圖方法，容易地製作出精確的幾何圖形，如畫點、直線、線段、圓、平行線、垂直線、角平分線…等。. 15.

(30) 2. 圖形可操作，具幾何轉換（transformations）功能：可在螢幕上利用滑鼠指標依作圖時的定義，移動圖形位置或改變其形狀，或利用軟體的幾何轉換（Geometric Transformation）功能選出轉換基準，如平移向量、鏡射軸、旋轉或相似中心、縮放比例、旋轉角度…等，再作平移、旋轉、鏡射、相似等轉換。 3. 提供解析幾何（analytic geometry）的座標系統：當給定點坐標後描點，或利用度量工具求得任意點的坐標、量測距離、斜率等，並擁有畫多項式函數、三角函數、指數函數、對數函數…等圖形的功能。 4. 動態連續變化及不變性：軟體不僅將圖形呈現出來，其改變過程中的圖形也不斷地呈現出來，使用者看到的是一個連續的變動過程，進而讓學生能觀察圖形的連續變換。 5. 同時具手動操作與自動化功能：軟體具拉曳（dragging）及動態模擬（animate）功能，經由適當設計後，程式會呈現動態過程，便於使用者觀察、比較、臆測，藉由思考情境問題或重複畫面上的動態過程，用以進一步觀察數學性質。使用者可隨心所欲操控程式，符合 Dewey「做中學」的想法，也方便使用者隨個人差異建構知識。 6. 動態互動、視覺化、情境化及數值化，並結合圖像與文字的多重表徵視窗環境：動態可操作及多重表徵的環境，提供了探討函數平移、縮放及函數或方程式參數變換與圖形間的相互關係。 7. 特殊即一般（保持結構）：在動態幾何軟體下所作的幾何圖形，可任意移動圖形的構成元素，而圖形因其構成元素改變相對位置而改變形狀以後，其構成元素間的「幾何結構」保持不變，因而得到「一般化」的任意圖形，教學時能作為提供學生觀察、比較、臆測、驗證幾何圖形性質的重要工具。. 二、動態幾何軟體的介紹在中學數學教學中，常見的動態軟體有 Cabri II plus 與 Cabri 3D、 Maple、. 16.

(31) GeoGebra、Geometer’s Sketchpad（ GSP）等，而依本研究需求選用 GeoGebra 軟體設計教學網頁並進行教學，以下將針對此軟體的發展與介面進行說明。 GeoGebra 這套結合幾何、代數和微積分的數學軟體，最初是 Markus Hohenwarter 為數學教育的博士論文計畫，利用 Java 程式語言所設計而成，而持續與 Judith Hohenwarter 不斷進行修改並發展成具有多國語言，並且可以跨平台的數學繪圖軟體。由 GeoGebra （Geo＋Gebra）這個名稱可以得知，此軟體是結合了幾何（Geometry）與代數（Algebra），軟體內提供了繪製代數圖形、微積分及對幾何物件的操弄。在輸入代數方程式時，軟體便能繪製出幾何圖形；而在操弄幾何物件時，軟體亦同時產生代數方程式（蔡奇霖，2008）。在 GeoGebra 的操作視窗（圖 2-3-1）中，主要包含兩個部份：視窗左邊的「代數區」（亦稱為「代數視窗」），其中包含了所有幾何圖形的代數表示方法；而視窗右邊的「繪圖區」（亦稱為「幾何區」或「幾何視窗」），這裡會呈現所有幾何圖形。使用者可以利用工具列繪製想要的幾何圖形，或是直接在指令列輸入方程式，其圖形會在幾何視窗中呈現，圖形所表示的代數式會在代數視窗中呈現，而在試算表視窗中可以對數據作計算或改變。工具列. 代數視窗. 幾何視窗試算表視窗. 指令列圖 2-3-1 GeoGebra 的操作視窗 GeoGebra 所提供的視窗能將數學物件以不同的表徵呈現：圖形化（如：點、函數圖形）、代數化（如：點座標、方程式）、與表列等方式呈現，因此，不論何. 17.

(32) 時產生何種物件，同一物件的所有表徵皆會動態連結且同步調整其他表徵（羅驥韡、許舜淵、彭建勛、呂鳳琳、胡政德、左台益譯，2009）。因此能使學生在操作的同時，對概念中各表徵之間的連結也有所幫助。. 三、動態幾何環境的相關研究林星秀（2001）為研究 GSP 軟體對於國二學生學習函數課程之成效，將 56 位學生（兩班）分為兩組，一組實施 GSP 電腦輔助教學，另一組則實施傳統講述教學，並於教學三週之後進行學習成就與學習態度的測驗與調查，研究發現對於高、中分群的學生而言，GSP 電腦輔助教學的成就表現明顯優於傳統講述教學。而對於電腦輔助教學與傳統講述教學的整體學習成效上，皆無明顯的改變。尤冠龍（2006）為探討 GSP 軟體對於學生在函數與二元一次方程式圖形上的學習成就與學習態度，將 72 名（兩班）國一學生分成兩組，一組利用 GSP 軟體的操作並以引導式探究教學的方式進行，另一組則以傳統講述式教學進行。教學四周之後發現，GSP 軟體教學中全體學生的成就表現雖優於傳統講述教學的學生，但並未達顯著；但對高分群的學生而言，GSP 軟體教學後的成就表現明顯優於傳統講述教學。凌久原（2007）利用 GSP 軟體透過靜態與動態兩種不同的呈現型態，探討不同呈現型態對於國二學生學習幾何概念的學習成效有何影響。將 73 位（兩班）學生分為兩組，實驗組是利用 GSP 軟體的動態視覺化特性而進行教學的動態多重組，控制組則是以電腦作為靜態呈現幾何教材之靜態多重組，進行為期兩週（共 12 節課）的教學，並於每週教學結束後進行訪談。研究結果發現，動態多重表徵的學習環境有助於學生深入理解幾何概念，並提供有效的解題策略。何政謀（2004）藉由 GSP 軟體設計動態情境課程，以探討電腦輔助教學對三位數學學習低成就的學生進行補救教學後，分析學生在二元一次聯立方程式與其圖形的概念改念改變情形。教學設計以生活情境問題出發，藉此讓學生從方程式的文字符號、代數表徵、圖形表徵等多種表徵方式，進而對方程式解的概念有教. 18.

(33) 完整而正確的了解，並透過圖形的變化，讓學生學習不同於傳統解二元一次聯立方程式的方法。研究結果發現，使用軟體進行教學能讓學生更容易了解二元一次方程式圖形的變化，以及方程式係數之間的關係。而藉由熟悉的情境，學生能將問題轉譯為聯立方程式，進而找出方程式的解。由上述研究發現，過去相關研究的教學設計與所探討或分析的重點，主要為探討動態軟體使用與否的成效差異為主，而少有研究設計是將實驗組與控制組皆設計為使用動態軟體的情境；若有同在動態軟體情境之中，僅有少數研究是比較動態呈現與靜態呈現之間的學習與教學成效，而未有研究是針對同在此環境下時，呈現不同的表徵多樣性對於學生學習成效有何影響。由於 GeoGebra 為免費並能跨平台的教學軟體，而軟體中工具列的操作較為直接且簡易，因而選用 GeoGebra 作為設計本研究數位教材的軟體。而依研究目的需求，設計出常用表徵與附加表徵兩種數位教材，其中常用表徵包含方程式、靜態圖形與數對，而附加表徵則除了常用表徵的三種表徵方式之外，還額外包含表格、文字與動態圖形等表徵方式。兩種數位教材皆具有動態幾何軟體的解析幾何、多重表徵的視窗環境、保持結構等特性，而附加表徵的數位教材中，更提供手動操作（拖曳）、動態互動與連續性等特性。. 第四節解題過程為什麼要學習解題呢？NCTM 於 1989 年強烈贊同學校的數學課程中應包含解題，其原因為：解題是數學課程中一個主要的部份、數學中有許多應用是為了表徵重要的問題、在解決數學問題中存在一個固有的動機、解題是一種娛樂、解題必須包含在數學課程中是為了發展學生的解題技能（ Wilson, Fernandez, & Hadaway, 1993）。學習者理解表徵並熟悉表徵之間轉譯後，便能有效地思考解題過程中所需的知識與技能，進而選用合適的方法或策略解決問題（教育部，2003； NCSM, 1977; Kaput, 1985; Lesh, Post, & Behr, 1987a, 1987b; NCTM, 1989; NCTM, 2000）。. 19.

(34) 一、解題過程之探討學習數學的主要原因便是為了解決問題（NCSM, 1977），而數學解題過程是指在處理數學問題時所使用與發展的程序，欲了解學習者的數學解題過程，必須先了解學生所擁有的數學知識與使用的解題策略（張景媛，1994）。要能有效率地解決數學的代數問題，必須先使學生擁有許多數學概念及程序性知識，並將這些知識擴展並組織為較廣、較高層次的結構後，進而有效地將代數問題的語意轉換成相關的問題表徵（陳建廷，2007）。因此，觀察並了解學習者的解題過程，不僅可以使教學者清楚學習者知識理解的情形，亦可整理出學習者可能面臨的學習困難，進而調整與修正教學者的教學方法及授課內容。表 2-4-1 整理出各學者所提出的解題過程，再個別進行探討與說明。表 2-4-1 整理相關學者所提出的解題過程. Dewey. 察覺. 理解. 分析. 遭遇問題. 界定問題. 提出方法. Polya. 了解問題. Schoenfeld. 閱. Mayer. 問. 讀題. 問題整合. Lester. 察覺問題. 理解問題. 計畫. 執行發展方法. 擬定計畫. 分析. 探索. 表. 徵. 問題轉譯分析目標. 評鑑. 計畫. －. 問解法規劃發展計畫. 界定問題. 執行計畫. 回顧解答. 執行. 驗. 題. 解解法執行執行計畫. 證決. 解法監控評鑑過程與解法. Dewey（1910）認為，人們在思考一個問題或實例時，會包含五個不同邏輯的步驟，即為察覺困難、問題的定位與定義、可行解法的建議、建議經推理後的發展、以及進一步觀察與接受或拒絕實驗而得的結果等： 1. 遭遇問題或困難：當缺乏合適的解決方法、無法確認物件的特性、以及對突發事件進行解釋的時候，便讓學習者面臨困難。 2. 確認問題的情境與定義：透過對問題的感覺與觀察，進而定義出問題的特性. 20.

(35) 3. 對可能的解法給予建議：建議是推論中非常核心的部份，包括哪些是已知到哪些是未知或缺少的物件，是對可能解法的解釋。 4. 對建議方向去推理與發展：對一個想法進行基本原理的詳細描述，是關於任何問題的任何想法開始發展其意義的過程。 5. 透過深入的觀察和檢驗，決定接受或拒絕原本的推論：尋找能支持想法的證據，並形成最終的信念。在教學與學習過程中，教育者最重要的任務之一，便是透過了解學習者的想法與學習困難，適時給予合適的引導與協助，進而讓學習者獨立完成任務或解決問題（Polya, 1945）。因此，Polya（1945）將解決問題的過程分成了四個階段： 1. 了解問題：學習者必須理解該問題。解題者除了理解問題，還要對問題感興趣或渴望尋求答案，進而促進整個解題過程的發展與進行。 2. 擬定計畫：尋找已知數與未知數之間的關係。解題過程中的最主要成就是構思出解題計畫，解題者必須直接或間接的尋找已知與未知之間的關係，進而構想出有效解決問題的計畫。 3. 執行計畫：執行所構思的計畫。為解決問題而擬定出解題計畫並不容易，需考量解題者已有的知識、良好的思考習慣、專注於解題目標的態度以及好運氣。 4. 回顧：檢驗經執行所求得的答案。透過回顧整個求解的過程，驗算答案與思考解題的過程，能讓學生有機會加深對數學知識的理解並培養解題能力。. 圖 2-4-1 動態且循環的解題架構（Wilson et al., 1993: 62） Polya 所提出的解題階段是動態、循環的，如圖 2-4-1 所示，而圖中任一個箭頭都能描述學生在解決數學問題的過程中之活動或想法（ Wilson, Fernandez, & 21.

(36) Hadaway, 1993）。然而，Polya 所提及解題過程的觀點與內容，影響了後續對於解題過程的發展。Schoenfeld（1985）將 Polya 的解題過程加入後設認知（ metacongnition）與信念系統（belief system）兩個元素，進而將解題過程推廣為： 1. 閱讀（reading）：當解題者開始閱讀問題的過程。 2. 分析（analysis）：讀題後，理想的第二步驟為分析，目的是為了完整的瞭解問題、選擇合適的觀點和重新表述問題、以及將合適的原則或機制列為考慮因素。但如果解題者已經知道相關觀點和應採取的方法時，便會略過分析的步驟。 3. 探索（exploration）：與分析有些許不同，探索就不像分析有著完整結構。 4. 計畫－執行（planning－implementation）：解題者對於問題的條件或目標，設計出解決問題的計畫並執行。 5. 驗證（verification）：解題者對於解法進行檢驗，確認該解法是否符合該問題之條件與目標。不同於先前學者對於解題過程的分析，Mayer（1992 ）將數學解題先針對問題的表徵與解決兩個步驟著手，而每個步驟包含兩個子過程，並藉由表 2-4-2 來進行說明： 1. 問題表徵（problem representation）：將問題內的文字與圖片轉變為內部的心理表徵。 (1) 問題轉譯（problem translation）：包含將每個句子或主要的子句轉為內部的心理表徵。而在這個過程當中，需使用語言和語義方面的知識。 (2) 問題整合（problem integration）：包含將資訊進行整合後轉換成清楚連貫的結構。在這過程中，需要使用概要性的知識。 2. 問題解決（problem solving）：將問題的心智表徵延伸為最後的解決方法。 (1) 解法的規劃和監控（solution planning and monitoring）：包括為了解決問題而追蹤該計畫。在規劃和監控的過程中，需要使用到策略性的知識。 22.

(37) (2) 解法的執行（solution execution）：執行計畫。在執行的過程中，將使用過程性知識。表 2-4-2 數學解題的分析過程（Mayer, 1992: 400）問 A 種磁磚是邊長 30 公分的正方形，而每片 A 磁磚的售價為 0.72 元。如果想題讓長為 7.2 公尺、寬為 5.4 公尺的房間貼滿 A 瓷磚的話，總共要花多少錢？分. 析. 解. 題. 過. 程而 Lester （1980）則是對解題過程提出六個不同而相互關聯的過程（圖 2-4-2）： 1. 問題的察覺（problem awareness）：學習者必須意識到所存在的困難，而這個困難無法被輕易的解決；在本階段的另一個組成要素，就是學習者必須有試著解決問題的意願，否則將只是無意義的進行。 2. 問題的理解（problem comprehension）：學習者會在此階段形成一個問題的內在表徵形式，這個表徵最初也許是不正確的，但會在處理問題的過程中，提供一個建立目標或重點的方法。這個階段至少有兩個子階段，為（1）轉譯（translation）：詮釋問題內所提供的資訊及（2）內化（internalization）：學習者需要整理出相關的資訊並確定這些資訊的相互關係。. 23.

(38) 3. 目標的分析（goal analysis）：學習者可以反覆的審視問題，從這個階段跳到其它任何一個階段。透過本階段，企圖重新表述問題，讓熟悉的策略和技巧能被使用，亦辨認出組成該問題的要素。 4. 計畫的發展（plan development）：學習者將開始注意並著手規劃計畫，計畫的發展所涵蓋的內容比確認策略多，包括察覺概況和解決較簡易的相關問題，也包含整理子目標和具體指定出會用到的活動，而後兩項容易讓學習者感覺有困難。 5. 計畫的執行（plan implementation）：學習者必須對已發展出的計畫進行試驗，而執行錯誤的可能性提高，將讓情況變得混亂。階段 5 和階段 6 是不同但卻有相互關係的，可以透過計畫發展時，將計畫中的子計畫或流程規劃的清楚且完整，便可以降低執行時所可能發生的失誤率。 6. 過程和解法的評鑑（procedures and solution evaluation）：成功的解題，通常是決定一個合適系統所評鑑出的結果，它評鑑了解題的過程與針對所取得的結果進行周全的試驗。這個評鑑的角色，遠超過於僅檢查該答案是否正確的功用。此階段可被視為解題者在解題時，為某些問題尋求答案的過程。. 圖 2-4-2 解題歷程分析圖（Lester, 1980: 36）. 二、影響解題的因素 24.

(39) Schoenfeld（1985）認為數學解題過程受四個變項所影響，包括資源（resources）、捷思策略（heuristics）、控制（ control）及信念系統等。 1. 資源：提供了資訊的種類，計畫作為全部事實、程序、和技能的細目，讓學習者有能力處理一個特定的問題。資源的種類包括學生已知相關事件的組合、學生已知的演算程序、以及相關的能力。 2. 捷思策略：捷思策略是成功解題的經驗法則，一般性的建議能幫助學生更瞭解問題，或者讓解法持續發展。這類策略包括利用類比、藉由矛盾進行推論、由資料往前推進、分解和重組、利用相關的問題、畫圖、…等。 3. 控制：利用問題中潛在的資訊去處理該問題的方法。著重於「問題要學生做些什麼」的決定，而這個決定將是解決問題的成敗關鍵。包括規劃計畫、選擇目標和子目標、對發展出的解法進行監控和評鑑、以及依照評鑑結果來決定計畫中的活動是否該執行。在控制層面所定義出的活動特徵，是學生能以解法的發展而持有全面性的推論。 4. 信念系統：上述的三種知識和行為是最足以用來描述數學解題表現。資源提供解題者可用的數學事實和潛在過程；捷思提供方法用以盡可能的延展所提供的資源；控制決策說明了所用的事實、技巧、以及策略的效用。而信念系統會形成認知，即便學生無意識到自己所持有的那些信念。 Wilson 等人（1993）也指出，如果將解題視為一個過程，則這個過程會受以下六個因素所影響： 1. 特定領域的知識：為了成為一位好的數學解題者，就必須發展出一系列的數學知識。並有效地整理知識，這也將有助於成功的解題。 2. 演算系統：演算系統是一個程序，如果流程正確的話，能取得解決特定類型問題的答案。演算在數學中是重要的且必須從我們的教學去發展它，但執行演算的過程並非解題。產生一套演算的過程並將它一般化到特定、適用的情況中，便能解決問題。 3. 捷思：捷思是多種的資訊，用以提供學生在解題過程中產生決策，有助於產 25.

(40) 生一個解法，是合理而非規定的，較少提供無失誤的指導與結果中的變數。在發展和使用捷思上提供明顯的教學是需要加強解題的表現，但這並非容易。 4. 全程管理：特定領域的知識、一套演算系統和捷思的使用是不夠的。學習者還必須建造某些決策機制，從有用的捷思、或發展新的捷思、及所面臨的問題情境中做選擇。 5. 回顧的重要性：回顧也許是解題中最重要的一部分，因為它是一系列最早提供學生機會去從問題中學習的活動。解題中有五項必須促進學習的活動：發展和探索問題情境、延伸問題、延伸解法、延伸過程、與發展自我反思。 6. 指出問題：利用“如果不是（沒有）…，會有什麼不同？”的問題討論，培養學習者進行邏輯上的思考。而透過改變問題中現有的條件，也能促進新問題的產生。由上述學者的研究可知，在解決問題的過程中，必須具備解題所需的相關知識與技能，並能控制與評鑑過程及解法，以達到有效並合理地解決問題。. 三、解題過程的相關研究關於解題過程的相關研究，因研究目的與設計而採用不同學者的觀點進行分析與討論，而考量本研究設計與目的，將針對以函數與方程式概念為主題之相關研究進行討論。陳建廷（2007）透過紙筆測驗、放聲思考與半結構事後晤談，分析國一學生在解一元一次方程式時的表徵運用、解題過程與解題策略。先利用段考成績將三班各別區分出高、中、低分群的學生，於各班各群中挑選一位學生進行晤談（共六位）。研究結果發現，學生在一元一次方程式的解題表現中，多以文字、代數、數字等表徵方式進行，較少使用圖形表徵進行解題。使用 Schoenfeld 的觀點分析學生的解題過程後發現，有效利用圖形表徵作為解題的輔助策略時，解題速度會較快；在解題失敗的題目中，一半以上的學生其解題過程出現探索、執行與計畫. 26.

(41) 三階段同時進行；當學生的解題過程有出現驗證階段或是題目如果比較符合生活情境，其解題的成功率也會比較高。張國樑（2004）以六位國二學生為對象，利用國中代數文字題探討國中學生的解題過程、解題策略與影響解題的因素。解題過程是以 Schoenfeld 的觀點進行修改，並透過放聲思考的方式收集資料。在解題過程的研究結果中，發現成功的解題者較常進行驗證階段；中、高數學能力的學生在解題時，具有教豐富的資源，也較能對題目中重要條件之間的關係做深入分析，找尋解題關鍵；也發現高數學能力的學生，有強烈的解題意願。陳哲仁（2004）自編五題題目對六位不同能力的國二學生，透過放聲思考與事後晤談，以分析各個學生在解一元二次方程式應用問題時的解題過程。利用 Mayer 的觀點分析學生解題過程後發現，高數學能力的學生常出現五個解題階段，而中、低數學能力的學生較常出現的是閱讀問題與問題分析兩個階段。中、低數學能力的學生閱讀速度較快，但反覆讀題的次數較少；而高數學能力的學生閱讀速度雖慢，一旦遇到困難時，反覆讀題的次數較多。胡惠茹（2008）透過圖形、數對、代數與文字等表徵方式呈現，探討國三學生在不同表徵方式的二次函數問題中之解題表現。以 128 位學生進行能力測驗，並將全部學生分為高、中、低三組，並在各組挑選一位學生進行半結構式晤談（共三位）。研究結果發現，不同數學能力的學生在解題表現上有顯著差異（高分組優於中分組、中分組優於低分組），而不同數學能力的學生在不同表徵方式的題目中，其解題表現也存在顯著交互作用。由相關研究可知，問題解決是包含數個不同又相互連結的過程，且過程中可能會反覆地進行部份階段，而最細分這些階段的是 Lester 所提出的解題過程，有助於研究者進行教材設計與資料分析時，對於各個解題階段的釐清與區別。因此，本研究中依二元一次方程式的概念，採用 Lester 解題過程的想法，而發展出理解問題、分析目標、擬定計畫、執行計畫、評鑑解法等解題的五個步驟，並於教學進行時針對這五個步驟進行引導，讓學生能專注於課程重點，以及熟悉解題過程 27.

(42) 與思考邏輯的練習。由於解題過程中的影響因素很多，教學設計與進行時將對題目中的知識與訊息作聚焦與提示，也以文字敘述引導學生對於解題過程的控制與管理。藉此觀察學生在解決二元一次方程式的情境問題時之過程與作答情形。. 第五節鷹架理論與學習一、鷹架理論的發展與功能鷹架（scaffolding）起源於社會建構學習理論，強調學習者透過教師的引導而進行學習，進而達到學習目標；在這學習過程中，教師所提供的指導，如口語對話、書寫或圖示、模型操作等，都稱為「鷹架」（Puntambekar & Kolodner, 2005）。而鷹架的想法可以追溯到 Vygotsky (1978) 近側發展區（ zones of proximal development, [ZPD]）的構想，在他人給予適時且適當的幫助下，學習者所能表現的最佳發展潛力（McLoughlin, 2002）。 Vygotsky（1978）將 ZPD 定義為「個體獨自解決問題的實際發展層次，以及在成人引導或與有知識的他人合作下的潛在發展程度之間的差距」。因此，鷹架教學在於教師依學習者實際的認知發展層次，於 ZPD 內提供學習者合適的鷹架，將學習者的能力提昇至潛在發展層次（ Valk & Jong, 2009; 引自蘇衍丞，2010）。 Wood、Bruner 與 Ross 最早提出「鷹架」一詞，意指透過同儕、成人或能勝任的人之協助下，學習者得以執行一個任務或完成一個目標，即使此任務與目標是超越學習者原本的能力範圍（Wood, Bruner, & Ross, 1976; McLoughlin, 2002）。解決問題的活動經常涵蓋一個深入且不明顯的結構與過程，因此，良好的鷹架是幫助學習者在活動中產生自己專屬的解法（Wood et al., 1976）。為幫助學生解決問題，鷹架的功能如下（Wood et al., 1976）： 1. 引發參與意願（recruitment）：在學習過程中，教學者必須引發學習者的參與動積極持續學習的意願。 2. 減少學習負擔（reduction in degree of freedom）：透過將教學內容有系統地組. 28.

(43) 織化，減輕學習者學習時的負擔，進而專注於教學過程中的活動與任務。 3. 管理學習方向（direction maintenance）：透過明確的學習目標，在學習者的興趣和能力中給予限制，引導學習者專注於學習目標而不分心。 4. 指出關鍵性特徵（marking critical feature）：透過不同方法標示與強調學習任務中主要且關鍵的特點，以指出學習者的學習情況與學習目標之間的差距。 5. 控制挫折（frustration control）：適度的給予學習者挫折的調控與幫助，並給予學習者成功的經驗。 6. 展示（demonstration）：表明所涉及的內容，不只是很簡單的在學習者面前表現，還包括理想化整個過程，進而讓學習者參考與模仿。陳定邦（2003）針對課室教學情境，整理出「鷹架」在教學環境中所扮演的角色為（1）鷹架是透過教學者或有能力的同儕，提供暫時性的支持或協助；（2）鷹架是對話性的互動合作，為有意義的協商與學習責任的遷移；（3）鷹架是一個持續的動態過程，讓學生有意願進行學習的動力；（4）藉由有經驗專家的指導，可以減低學習過程中的不確定與負荷；（5）適時的給予鼓勵及教室情境的安排，可提供學習者社會化的經驗；以及（6）所提供的鷹架有其即時性與遞減性，當學習過程結束，可使學習者具備獨自解決原先需透過合作才能完成工作的能力（引自簡錦鳳，2008）。因此，鷹架是減少學習者自由探索的過程，教學者適時給予學習任務的提示並示範，而透過這些幫助以引導學習者進行學習，學習者將能完成比獨自學習時更高層次的學習成就（Davis & Miyake, 2004）。. 二、鷹架類型陳定邦（2003）根據鷹架的來源，將鷹架分成教學者鷹架、同儕鷹架；除了這兩種鷹架類型，Davis & Miyake（2004）更提出了以科技工具作為學習鷹架的概念。以下將針對教學者鷹架、同儕鷹架、學習工具鷹架等三種鷹架的類別，作進一步的說明：. 29.