根據圖 3-2-2 的研究設計，本研究依教學活動分為四組，所使用的工具以二 元一次方程式為主題的數位教材與學習單，而四組為相同的教學內容與流程，教 學活動皆為概念理解與問題解決的學習與引導，並讓學生進行數位教材的操作與 學習單的填寫；不同之處在於數位教材內的表徵數量與種類不同，以及學習單是 否包含表徵轉譯的引導與練習等兩部份。因此，教學設計包括數位教材與學習單
的設計，以及教學活動的教案設計，而設計的內容與方法將在以下一一說明。
一、 數位教材設計
本研究先利用 GeoGebra 設計出各個教學內容並以互動式網頁的模式建立檔 案，再以 FrontPage 軟體將所有網頁進行整合與排版。依研究目的，數位教材為 本研究的學習鷹架之一，因而參考 Quintana 等人（2004）的設計原則（表 2-5-2）
進行數位教材之設計。
數位教材的內容（請詳見附錄一）分為兩部份，第一部份為「二元一次方程 式的圖形」，是以二元一次方程式圖形的概念學習為主軸，圖形包括水平線、垂 直線以及斜直線三種；第二部份為「生活中的二元一次方程式」，是以解決問題 為主軸，設計出四種不同情境與其對應的圖形。
圖 3-3-1 常用表徵的數位教材範例
數位教材的設計分為 CR（常用表徵）與 SR（附加表徵）兩種，CR 是利用 方程式、靜態圖形與數對等三種表徵方式呈現（如圖 3-3-1），其中方程式與其對 應圖形和圖形上的數對點為固定，學生可以點選欲觀看的方程式與圖形；而 SR 是除了 CR 的三種表徵方式之外，還提供了文字、表格及動態圖形等三種表徵方 式（如圖 3-3-2），學生可透過拖曳而改變方程式及其係數與圖形，圖形上的數對 點也可以任意移動，並於表格中觀察出方程式與數對點的改變與其對應。
圖 3-3-2 附加表徵的數位教材範例
二、 學習單設計
學習單內容的設計原則是參考 Roehler 與 Cantlon （1977）與 Wood 等人（1976）
的想法，以及 Quintana 等人（2004）的架構（表 2-5-2），使用目的在於幫助學生 了解數位教材中，二元一次方程式的各個表徵之意義與轉譯，以及解題過程的引 導與練習，並讓整個學習過程能依教學設計的流程進行。
表 3-3-1 學習單內容範例
類別 範例 概念
學習 與理 解
3. 請練習找出𝑥 + 2𝑦 = 3的五組解，並在直角坐標平面上畫出這五點的位置。
觀察這五點，這些點有沒有什麼趨勢？把這些點連起來後，會呈現什麼圖形？
5. 請觀察電腦活動一中類型二的圖形，並回答下列問題：
此類型的圖形是一條 （垂直或平行） 𝑥軸的 （直線或曲線）。
此類型的圖形在什麼情況會通過原點？ 。
若圖形不通過原點，此類型的圖形就會通過第 （1、2、3 或 4）象限。
表徵 轉譯
9. 請試著將下列關於二元一次方程式解的呈現方式，從左邊的方式改以右邊的方式表 示。
問題 解決
10 (12). 晴靜設計了一套節能減碳的空調系統，當這個系統進入冷氣模式時，每分鐘能 將室溫降低 0.5 度；而當系統進入暖氣模式時，則每分鐘能將室溫增加 0.25 度。電腦活 動二中情境三的圖就是這個系統的運作模式，請觀察這個圖並回答下列問題：
02. 假設晴靜開啟暖氣模式，希望能讓室溫在 10 分鐘內變為舒適的溫度，則原本室溫需 為幾度，空調系統才能在 10 分鐘內讓室溫變為舒適的溫度？
系統進入暖氣模式時，則每分鐘能將室溫增加 0.25 度。也就是說，
(設定溫度) = (現在室溫)+ 0.25 × (所需的運作時間)。
因為想讓室溫在 10 分鐘內達到所設定的溫度，
所以可將空調系統的暖氣運作模式列成二元一次方程式為 （以 x、y 表示）。
如果晴靜將溫度設定為 25 度，則（A）所列的方程式可寫成 （以 x 表示，不 需化簡）。
解（B）的方程式之過程於下：
所以，當開啟暖氣模式且溫度設定為 25 度時，則原本室溫為 度時，空調系 統才能在 10 分鐘內將室溫提高至 25 度。
請畫出（A）的方程式之圖形，並試著用這個圖形去檢驗你的答案。
教學活動的學習單包含概念學習與問題解決兩部份，概念學習又分為二元一 次方程式的概念釐清與統整，以及二元一次方程式與其圖形之間的轉譯；而問題 解決的部份則是依照本研究所整理出的解題步驟（理解問題、分析目標、發展計 畫、執行計畫、評鑑解法）進行設計，以引導學生依此過程解決給定的情境問題
（請詳見附錄二）。
學習單於教學過程中扮演聚焦課程重點、引導學生概念學習以及問題解決等 的角色，依本研究目的將學習單的設計分為 nT（一般型）與 T（轉譯型）。兩種
假設現在室溫為 x 度，而設定溫度是 y 度
學習單的第一大題至第八大題皆為概念學習與理解的部份，其中第一大題至第三 大題的內容是將給定的二元一次方程式於直角坐標系統上描繪出其對應的直線 圖形，而第四大題至第八大題則是二元一次方程式的概念釐清與統整；而兩種學 習單中問題解決的內容皆在學習單的最後四題（nT 型學習單的第 9-12 大題與 T 型學習單的第 10-13 大題），各大題皆依照本研究的解題步驟所設計，讓學生在 填寫時，也進行對此解題步驟的練習與熟悉。而兩種學習單不同之處為 T 型學習 單中包含表徵轉譯的內容（T 型學習單的第 9 大題），舉例說明如表 3-3-1。
三、 教案設計
表 3-3-2 教學活動中所涵蓋之指標與原則 指標 說明
代數能力 能由具體情境中描述解的意義（7-A-9）
能由具體情境中列出二元一次方程式，並理解其解的意義
（7-A-10）
能在直角座標平面上描繪二元一次方程式的圖形（7-A-15）
轉換能力 能把情境中與問題相關的數、量、形析出（C-T-01）
能把情境中數、量、形之關係以數學語言表出（C-T-02）
能把待解的問題轉化成數學的問題（C-T-04）
解題能力 能分解複雜的問題為一系列的子題（C-S-01）
能選擇使用合適的數學表徵（C-S-02）
能熟悉解題的各種歷程：蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、驗證、
論證等（C-S-03）
原則 說明
鷹架設計 提供視覺概念組織去取得功能（1a）
嵌入專家的指導方針去幫助學習者試用和應用科學內容（1c）
提供能被檢閱的表徵去顯示資料的基本特性（3a） 要中代數主題能力指標及連結主題中的轉換與解題能力指標、Roehler 與 Cantlon
（1997）的想法及 Quintana 等人（2004）的設計架構等，包括由能力指標與分 年細目所發展的具體目標、教學時間、教學流程、相關理論與原則、所使用的教
2. 整理出二元一次方程式與其圖形之關係的表格
－nT、CR－T、SR－nT、SR－T 等四組，人數分配如表 3-4-1。
表 3-4-1 依表徵多樣性與學習單類型所區分出各組有效受測人數分配