動態幾何環境對視覺化轉化幾何推理之影響

在文檔中 高一學生視覺化轉化為幾何推理之過程及其特徵 (頁 153-158)

從訪談過程中可以發現,動態幾何軟體(如:GeoGebra)提供快速、精準的構圖功能,

可以有助於確認猜想,其拖曳的功能則在推理上有助於呈現猜想以及觀察物件連結變化的情 況,對鼓勵及激發學生洞察與操作幾何圖形結構提供有利的環境,以幫助物件的視覺化,從 而能夠提出適當的幾何推理。然而,動態幾何軟體環境在提供更多機會讓學生直接操弄及觀 察幾何物件的同時,也存在無法幫助學生推論的障礙。這些影響將分述如下:

(一)GGB 提供可先繪製草圖再經修飾至完整的圖形,藉由拖曳物件將使用者心智中的圖形 更具體地表達出來

學生SHG2、SMG2、SLG1 和 SLG2 在任務一畫同時通過 A、B 兩點的圓時,一開始都沒 有先確定圓心的確實位置,以目測的方式來決定圓心的位置畫圓,其中 SLG2 由於目測圓心 所畫的圓沒有同時通過 A、B 兩點,所以他拖曳圓周,讓圓接近同時通過 A、B 兩點的狀態。

這樣的動作可讓學生確定通過 A、B 兩點的圓確切存在,在不確定其特徵前,就可以將圖形繪 畫出來,若有需要,可以藉此觀察這些圖形的共同特徵以幫助幾何推理的進行。若在紙筆環 境中雖也可以重新設定半徑畫圓,但原來圓的的痕跡必須先擦去或被保留下來而讓圖形變得 複雜。

訪談員:那你可以畫其中一個(圓)給我看嗎?

……

SLG2:(學生先在A B上方中間找大概的位置作圓心,並試著取可以同時通過 A、B 兩點的距離為半徑畫圓)

SLG2:(接著拖曳圓周,讓它接近同時通過 A、B 兩點的狀態)這通過兩個

(點)了…

(逐字稿 LLG103)

(二)GGB 精準的構圖結果能幫助確認猜想的正確性

學生SMG2 在任務二中,曾經猜想有一種切割方法可以把灰色區域剛好切為一個長方形 和兩個直角三角形,然而,透過GGB 畫垂線的功能把長方形畫出來後,學生明確看到這與他

原來的猜想不符,由此知道他這樣的切割不會是求得灰色區域面積的方法。這樣的視覺化將 促進幾何推理的進行,以免學生依照錯誤的思路進行無效的推論。

訪談員:你可以幫我(把切割方法)畫出來嗎?

SMG2:(學生用 GGB 畫出切成一個長方形和三個直角三角形)

訪談員:你是說這樣子的三角形跟?

SMG2:……這樣子不行。

訪談員:……你為什麼會突然想到要有長方形,雖然發現不行,為什麼要有長 方形跟三角形這樣子的一個想法?

SMG2:因為….要把它分成好幾塊…就想說…就是把它可以比較規則的…長方 形、正方形那一些,但畫出來好像不太對。

訪談員:就是圖形告訴你它那個點交出來變成四塊,雖然有一塊很小……。

(逐字稿 MLG208‐209)

(三)GGB 讓學生看到物件的連續變化,將有助於推論一般化的情形

學生 SHG2 在 GGB 中藉由拖曳四邊形 ABCD 的頂點,觀察A EC F 成為一直線的時 機,在連續的變化中找尋不變量從而作出推論,這樣的拖曳功能可以快速改變圖形的形狀,

相同的圖形在紙筆環境中必須重新構圖,而且連續變化的情形只能透過想像在心智中呈現。

在任務三中,最後也只有學生SMG2、SHG2 和 SHG1 可以推論出非特殊四邊形的情況,這除 了跟學生的幾何知識程度有關,更重要是 GGB 提供了機會讓學生直接觀察從而突破固有的 想法,讓他們清楚看到 E 和 F 重疊的情況並不一定發生在特殊四邊形,否則要進行一般化的 推論將非常困難。

SHG2:為什麼?我把它縮小,…它為什麼會移動?它移動是點點在動。那個 點是什麼點?它的中垂線。

訪談員:哪個中垂線?

SHG2:是嗎?

訪談員:我們好像沒有畫過中垂線。

SHG2:這一條 E 是什麼鬼?呀~垂線啦~

……

訪談員:這樣是正方形嗎?

SHG2:不是。(我)在研究它的變化……

訪談員:嗯。那你發現什麼?

SHG2:就是這樣子拉,A EC F 不同條。

訪談員:嗯。

SHG2:它最後會疊在一起。

(逐字稿 HLG364‐365)

(四)GGB 在拖曳物件後原來物件不會被保留,讓學習者無法直觀比較前後的差異

學生 SLG2 在任務二中,經提示後想到可以轉動正方形算出面積,但當進一步詢問轉動 前後兩個重疊部分面積相等的原因,學生因無法直觀看到前後圖形的差異,只好再次使用切 割成三角形的方法來嘗試解釋轉動前的面積。這與紙筆環境不同的是,學生在紙上的靜態圖 形解釋正方形可以經旋轉後求得面積時,原來圖形會被保留,而是透過在左邊正方形的中心 畫水平和鉛垂線來解釋,因此,在紙筆環境下進行任務二的訪談對象,只要想到可以透過旋 轉求得面積後,通常很快就知道要比對旋轉前後圖形的差異來說明面積相等的原因。

SLG2:就是把這個移到這裏的話,把它移到這裏,它變成一個小正方形,剛好 就是…那個邊長是大正方形的一半,然後就計算出來。

訪談員:為什麼本來是不規則的四邊形,跟轉動後的那個小正方形,它們的面 積卻是一樣的?

SLG2:因為不管怎麼轉動,它們疊的(面積)都一樣,就這個點…到哪裏都一 樣。

訪談員:你是說哪個點?你是說這一段的距離跟這一段的距離是一樣的嗎?

SLG2:嗯。

訪談員:那就算一樣好了,這樣子面積就會一樣嗎?我這個又不是一個正方形。

你知道其中兩邊一樣,不代表說它就跟小正方形一樣呀~

SLG2:因為.…..(學生再次轉動圖形觀察)

訪談員:想要說明它的面積跟那個小正方形面積一樣有什麼方法?

SLG2:要把它拆成三角形,拆成兩個…三角形…

訪談員:哪兩個三角形?可以畫出來給我看嗎?

SLG2:(學生把灰色區域分為兩個三角形)

(逐字稿 LLG210‐214)

(五)在GGB 物件上作標記不及紙筆環境方便,可能影響思考

學生 SMG1 在任務三要推論三角形的全等時,有使用 GGB 的手寫筆功能,也是六位使 用GGB 的訪談對象中唯一使用手寫筆標示的,但那些標記也只是用作說明的功能較多,類似 紙筆環境中標記相等以幫助推理思考的較少。不過在GGB 中進行標記的程序是相對複雜的,

尤其要標註三角形全等是不方便的,學生寧願在紙上畫圖以幫助思考不同的推論方式。

SMG1:因為這兩個相等(上面說的角度),所以這兩個三角形是一樣的。

訪談員:嗯。

SMG1:所以這條是對這條(那個直角三角形的其中一條直角邊)…

訪談員:你怎麼這麼快就知道這兩個三角形會一樣?

SMG1:因為這裏是直角,直角,然後角度應該是一樣的,再來這個邊(AD

B C )是一樣的。所以這兩個是全等,這個地方和這個地方是一樣的。

然後……

……

訪談員:我還是要先問,你現在準備用哪一個策略?證明它是平行四邊形…

SMG1:……(學生思考後在紙上手繪圖形解釋)

(逐字稿 MHG317, 321)

對屬於階層2 或階層 3 的任務來說,不管在紙筆和動態幾何軟體環境下,學生的推理過 程及結果之間的差異,主要來自學生本身對推理所使用知識的熟練及知識之間的連結情況。

然而,對於屬於階層4 的任務來說,由於 GGB 提供學習者看到保持結構的物件之連續變化,

這樣的幾何物件有助於學生達到階層4-2 的視覺化轉化幾何推理層次,配合學生的幾何知識,

對他們提出一般化的結論給予關鍵的引導,即在GGB 的環境中,學生不需要提出特定的四邊 形,只要拖曳改變四邊形的形狀,再形成有依據的猜想。而在紙筆環境中進行相同的推理任 務時,學生只能從認識的特殊四邊形進行猜想,即學生必須先有一個特定四邊形的想法,透 過構圖確認猜想的過程,除非像學生 SHP2 在繪畫直角梯形時,剛好畫出一個對角線互相垂 直的直角梯形,才能激發學生存在非殊殊四邊形的可能,然而,即使是具備高幾何知識的學 生SHP2,這樣只有一個特例仍不足以幫助他找到四邊形的共同特徵,必須提供更多參考或引 導才可能推論出一般化的結果,圖4-52 描述上述動態幾何與紙筆環境在推理過程中的主要差 異。換句話說,若學生在推理過程中所需的幾何知識在看到幾何物件時就能被觸發,這樣不 管在動態幾何或紙筆環境,能夠完成任務的可能性差異不大;但當靜態的幾何物件無法觸發 學生在推理過程中所需要的所有幾何知識,那麼動態幾何環境就能提供一個幫助提出更接近 結果的猜想,從而幫助進行有效的推理。即動態幾何軟體環境中的圖形角色由輔助理解、檢 測猜想,更進一步變成引導推論的重要工具。

  圖4-52. 動態幾何軟體與紙筆環境在推理過程中的主要差異

幾何 知識

構圖/拖曳物件 提出猜想 推理

提出猜想 構圖確認 推理

紙筆環境 GGB 環境

第伍章 討論與建議

本研究主要以高一學生為研究對象,對具備不同幾何先備知識程度的學生,平均分配到 紙筆及動態幾何軟體環境進行幾何推理任務。整合 Toulmin 論證模型以及在動態幾何環境下 進行論證的重要階段,以說明視覺化轉化幾何推理的可能機制,提出從閱讀資料、理解圖形 資訊或構圖、進行結果臆測(宣稱)、提出論述策略、尋找不變量、提出論據及支持、提出反 駁、理解命題限制、提出證明等過程,藉此探討他們從視覺化轉化為幾何推理的過程及特徵。

以下總結並討論本研究的相關發現,以對教學及未來研究提出相關建議。

在文檔中 高一學生視覺化轉化為幾何推理之過程及其特徵 (頁 153-158)