在各種學習中,雖然我們可以透過視覺和聽覺兩個不同的管道來接受資訊(Mayer, 2005, 2009),但一般而言,我們所接受的學習資訊較多來自於視覺,它們的形式可以包括文字、符 號、圖像、表格、影像、動畫等。首先,接收者透過視覺接收圖像的訊息後,在他們的心智中 與其認知進行整合,相關的認知主要來自於與圖像相關的概念或知識;由此,對接收者所看 到的圖像訊息進行解讀、想像、分析,以找到一個合適、合理的解答。換句話說,「視覺化」

不單是指眼睛所看到的事物,而是將視覺所看到的物件配合心智中的認知過程所產生的結果

(de Guzmán, 2002)。在幾何學習中,Duval(1998)認為視覺化是處理關於用作一個敘述的 圖示,一個複雜情況的啟發式探索或概要的掃視,或主觀驗證的空間表徵。Arcavi(2003)認 為視覺化是在我們的心智中、在紙上或使用科技工具時,對圖畫、影像、圖表進行創建、解 釋、使用和反思的能力、過程以及產物,目的是為了描繪和傳遞信息、思考和發展過去未知 的想法和促進理解。而在幾何任務中,視覺化可視為「產生或使用數學概念、法則或問題的 幾何或圖像表徵」(Zimmermann & Cunningham, 1991, p. 1)或是「應用幾何來說明數學概念」

(Habre, 2001, p. 115),都在說明幾何圖形所呈現的結構需要配合數學概念來展現,而視覺化 就是找到幾何圖像結構與相關概念連結的過程。

雖然在進行有關視覺圖像的推理時,學習者有時候會傾向使用個人的感知而非圖像訊息 相關的數學知識(Dreyfus, 1991),但視覺化並非純粹利用感知的方式來推論事情,它也包含 分析性或形式化的推理(Arcavi, 2003; Dreyfus, 1991),即從給定的前提出發,包括建構、觀 察和操弄圖形將是發展至結論前不斷重複的過程(May, 1999)。Zazkis 等人(1996)所提出的 視覺化/分析模型(Visualization/Analysis Model, V/A Model)以及 Stylianou(2002)的改進 版 V/A Model,也說明在推理的過程中分析與視覺的模式是一直交互地進行,根據這樣的模 型,分析思維將有助於視覺方法,而視覺化則讓分析方法更為豐富。雖然Duval(1998)將視 覺化和推理區分為不同的認知過程,但他的認知模型中也強調視覺化和推理之間是一個雙向 的發展過程,只是視覺化並不一定能幫助推理。過去文獻中對視覺化的定義非常多,不同的 學者從不同的面向描述「視覺化」的內涵、過程或功能。Phillips 等人(2010)將不同定義從 具體到抽象的形式歸納為三種類型:

(一)視覺化物件(visualization objects)

個體根據其對實體物件的理解作出觀察和解釋,這些物件可以是圖畫、3D 表徵、圖像表 徵、動畫等。

(二)內省性視覺化(introspective visualization)

這是依據一些可能的視覺經驗所作的想像性構圖,而學習者相信他們心智中所存在的物 件是與視覺化物件是類似的。

(三)詮譯性視覺化(interpretive visualization)

這是一個對視覺化物件或內省性視覺化的結果賦於意義的一個動作,這樣的動作是藉由 視覺化物件或內省性視覺化的結果來解釋訊息,以及從認知上將個人已存在的信念、經驗和 理解融入解釋之中。

上述不同類別的視覺化所著重的面向雖有不同,卻不難發現其過程是外在資訊與學習者 內在認知交互作用下的成果。例如圖 2-1 顯示花園中的噴灑系統所噴出的水柱形狀,這個形 狀所形成的圖形就是視覺化物件的一種。它是一種眼睛所看到的實體物件,或許我們知道它 因受引力的影響,因此水柱以曲線而非直線的方式噴灑植物。若觀察者心智中存在拋物線的 相關概念及物件,透過視覺觀察,他將水柱的形狀與拋物線的形狀作比對,並認為拋物線是 最能描述水柱形狀的物件,即拋物線形狀的水柱是一個視覺化物件。進一步地,若觀察者知 道拋物線可用函數式表示,透過數學的方式,以函數的形式解釋它的頂點、最大值以及開口 係數等,從而理解函數圖像與真實物件之間的差異(Pierce & Stacey, 2011),此時以函數所描 述的拋物線就是內省性視覺化的結果。而當觀察著再進一步應用這些結果,例如依據函數中 各變量的特徵,設計出不同需要的噴曬系統,就是對視覺化物件及內省性視覺化的結果賦於 意義,成為詮譯性視覺化的結果。

 

圖2-1. 水管噴出的拋物線水柱。引自“Using dynamic geometry to bring the real world into the classroom,” by R. Pierce & K. Stacey, 2011, In L. Bu & R. Schoen (Eds.), Model-centered learning:

Pathways to mathematical understanding using GeoGebra (p. 49). Rotterdam, The Netherlands:

Sense.

這些不同類型的視覺化,除了是從具體到抽象的分類外,也是支持發展抽象概念的一種 系統。這些外在資訊通常是透過視覺接收、非文字形式傳達(Lanzing & Stanchev, 1994),如

實物、圖像、錄像、影片、動畫等,也包含3D 物件,並配合接收者的先備知識和技能以達致 有效的使用(Schnotz, 2002),形成不同的推理層次,如圖 2-2 所示。當學習者依據圖形的表 面結構,以直觀、感知的方式來處理視覺訊息,並進行推理,則屬於視覺化物件的層次。若 學習者以視覺化物件為基礎,再以個人的信念、邏輯推論、相關領域知識等作推理,則屬於 內省性視覺化的層次。Zarzycki(2004)認為視覺化是使用數學概念的幾何圖解的過程,或是 解決數學問題時必須具備一種形成和議定相關心智圖像的能力(Mudaly & Naidoo, 2015),這 樣的描述就是配合個人的領域知識,對相關的圖像進行內省從而幫助解題。更進一步,以視 覺化物件及內省性視覺化為基礎,再配合一些想像能力,去想像一些在視覺資訊中沒有呈現 的情況,如 Mathai 與 Ramadas(2009)認為視覺化與理解結構的變換以及相關的功能有關,

他們的研究請學生透過想像改變人體消化系統的結構、形狀、位置的情形,此時學生對消化 系 統 的 描 述 , 就 是 詮 譯 性 視 覺 化 的 一 個 例 子 。Simon ( 1996 ) 所 提 出 的 轉 換 型 推 理

(transformational reasoning),主要是描述能夠想像物件在變換的動態過程中,洞察這樣的操 弄所引伸的結果也是視為詮譯性視覺化的一種。例如學生想像兩個人分別站在 A、B 兩點,沿 著與A B 夾相等的角度、相同的速度向對方前進來描述等腰三角形的狀態,學生除了知道當 兩人相遇時,他們所走的距離相等外,同時也理解若其中一方所走路徑與A B 的夾角愈小時,

他在與另一方相遇前所走的距離就會愈遠。

  圖2-2. 不同類型的視覺化

在進行推理時,其實並不一定要從嚴謹的邏輯推論或形式論證入手,使用直觀、實驗方 法、探究策略等非形式論證較能讓學習者投入於幾何活動中,亦可能有助於引起和解決認知 衝突(Hadas, Hershkowitz, & Schwarz, 2002)。而在動態幾何環境中較能使用這些非形式論證 的策略以檢測、一般化、提出假設或推測來幫助進行推理(Prusak, Hershkowitz, & Schwarz,

2012)。與此同時,因為電腦圖形可以幫助對非常複雜的數學物件進行視覺化(Sochański, 2018), 在提供動態環境的軟體上所呈現的圖形一般可被稱為動態視覺化(Boz, 2005)。這樣的動態圖 形並非像預設好的錄像或動畫,只是透過播放功能而隨著時間改變,而是這些變化將包括圖 像的形狀、位置或內容物的改變(Lowe, 2003)。例如大部分的動態幾何環境都可提供改變圖 像物件的大小、顏色、形狀、樣式等變換的功能,也可以藉由拖曳或變換(平移、旋轉、鏡射 等)來改變物件的位置,也可以透過設定或物件的原來屬性來決定物件消失或出現的方式。更 重要的是,這些原來需要透過個體心智想像的變化(詮釋性視覺化),透過動態幾何環境可以 變成實體的視覺化物件,配合個體的先備知識或能展現不同層次的視覺化,從而有助於推理 活動的進行。然而,這種動態的優勢也可能因增加個體的認知負荷,或是取代這種想像力的 發展機會,是否反而有礙於個體對概念的掌握與熟練(Hegarty, 2004),都是值得深入探討的 議題。

在文檔中 高一學生視覺化轉化為幾何推理之過程及其特徵 (頁 15-18)