本研究所收集之資料主要分為問卷表現及訪談內容兩大部分。問卷內容主要參考不同概 念的定義、圖形、應用及推理,與指導教授討論修訂而成,再分別邀請三位具16~25 年教學 年資的國中數學老師,對各題目進行幾何概念以及知識類型的判定,有關幾何概念的一致性 達 88.9%。不一致的問題包括第 6 題和第 9 題,第 6 題由於解題方法很多,不一定以全等三 角形的方法來作判斷,但核心概念主要是針對正方形的性質來作設計,以檢測完成任務二的 先備知識,因此歸類到平行四邊形而非全等三角形;第 9 題的圖是一個平行四邊形,但按照 題目的敘述是要證明三角形的全等,因此歸類到全等三角形概念而非平行四邊形。訪談內容 則以逐字稿形式呈現,再依據不同推理階段中的表現進行分類及比較。以下說明上述資料的 各種編碼依據:

(一)多向度幾何知識問卷之評分標準

整份問卷共由21 個小題組成,每小題滿分為 3 分。依據學生的作答情況,分為完全正確

(3 分)、大部分正確(2 分)、少部分正確(1 分)和完全不正確(含空白)(0 分)的情況來 進行評分,詳細的評分標準請參考附錄二。

有關第 1 題描述概念的定義部分,標準答案主要以教科書中所寫的定義為準,學生可使 用意義接近的字詞來描述,如「兩個三角形經過平移、旋轉或翻轉可以完全疊合」亦可寫為「能 完全重合的三角形」,兩者皆可得3 分。有錯別字的情況也不扣分,但將全等三角形的判別方 法(如:SSS、AAS、RHS 等)寫成定義,則屬少部分正確,只能得 1 分;當學生寫出與定義 接近的描述只是不夠完整時得2 分,如:學生只寫「經過平移、旋轉可以重合的兩個三角形」

則屬大部分正確,得 2 分。類似地,寫出「兩組對邊分別平行的四邊形」為平行四邊形者才 能得3 分,但寫出的是平行四邊形的性質,如:「兩組對角分別相等」、「對角線互相平分」等,

不管寫幾個,只視為少部分正確,只有1 分;而內容提及「兩組對邊分別平行」,但又同時寫 出「兩組對邊也要相等」則屬大部分正確,得 2 分;只寫對邊平行,沒有強調幾組,則在上 述評分標準下再被扣 1 分。而垂直平分線和圓半徑的概念評分標準亦同,寫出性質而非定義 只得1 分,寫出接近定義的描述只是完整性不足時則得 2 分。其中,描述圓的定義時卻寫出 圓的特徵或相關元素,如:360 度、圓心角、切線、圓面積公式等等,一律不予給分。

第3 和 4 題評分標準相同,必須同時畫出正確圖形及判斷敘述的正確性才有可能得到滿 分。部分學生只繪圖或只作判斷敘述的正確性,若正確亦只得1 分。第 5 至 8 題為計算問題,

考慮學生習慣在附圖中進行計算,而不寫計算過程,針對想檢測學生是否知識求得答案的程 序,因此若學生在圖形中表達計算過程,亦按正確性的層次給予分數。其中,第 7 題必須在 圖中看到學生畫出過 B 點的中垂線,並顯示B DB C =13 才得分,直接寫出A B 的答案沒 有分數。第9-12 題評分標準亦接近,這四題主要檢測學習者的推理能力,因此評分以書寫內 容中演繹推理過程的完整性來給分。其中,只有第10 題為不正確的敘述,學生可以寫出反例 或 ABCD 不一定為平行四邊形的條件即可,並不強調所列出條件之嚴謹性。

依據Wimmer 與 Dominick(2014, p. 175)建議在建立編碼者信度時,須選取至少 10~25%

的資料進行信度分析。因此,由總樣本數247 份問卷中,選取其中 77 份問卷,邀請一位數學 教育碩士進行共同編碼。首先,先抽取其中五份讓共同編碼者依照評分標準進行編碼,其一 致性只有76.67%。不一致的地方主要在有關學生對定義以及推理過程的完整性有較大的差異,

由此與共同編碼者依照學生的作答情形作詳細說明,並確認評分標準。接著,共同編碼者獨 立完成剩下的72 份(佔總數 29.1%)問卷的評分,一致性達 97.63%。其餘問卷則由研究者按 照相同標準獨立完成。

(二)視覺化轉化幾何推理過程之主要分析依據

本研究之視覺化轉化幾何推理過程分析,參考Schoenfeld(1985)的問題解決的過程,主 要把訪談對象的推理過程依據釐清題意、分析與探索、計劃與執行、驗證與一般化四個階段 進行分析,並參考Toulmin 論證模型以及 Nguyen(2012)提出 DGEs 在推理論證過程的六個 階段,整理為資料(Data,簡稱 D)、構圖/理解圖形(Construction & Understanding,簡稱 CU)、結果臆測/宣稱(Claim,簡稱 C)、論述策略(Argumentation Strategies,簡稱 AS)、

尋找不變量(Invariance,簡稱 IN)、論據(Warrant,簡稱 W)、支持(Backing,簡稱 B)、

反駁(Rebuttal,簡稱 R)、限制(Qualifier,簡稱 Q)等階段。圖 3-4 顯示上述階段在進行幾 何任務時,從視覺化轉化幾何推理的過程,而在訪談所使用的三個幾何推理任務在上述過程 中視覺化轉化幾何推理之內容示例分述如表3-7 所示。

  圖3-4. 幾何推理任務中從視覺化轉化幾何推理之主要過程

資料 限制 宣稱

構圖/理解資訊 結果臆測

論述策略 尋找不變量

反駁 論據

支持 證明

表3-7. 各任務推理歷程要素之內容示例

(c) 任務三:對角線互相垂直的四邊形

第肆章 研究結果

本研究探討已學完基本幾何內容的高一學生,他們在處理幾何任務時從視覺化轉化幾何 推理的過程及特徵,並分別從具備不同幾何知識程度的學生以及動態幾何軟體環境,分析這 些因素對學生從視覺化轉化幾何推理的影響。由此,研究結果主要分為三節來描述,第一節 主要描述學生在幾何推理任務中,他們的視覺化轉化幾何推理之過程;第二節分析學生之幾 何知識在上述過程中所扮演的角色;第三節說明動態幾何軟體環境對學生從視覺化轉化幾何 推理之影響。

在文檔中 高一學生視覺化轉化為幾何推理之過程及其特徵 (頁 41-46)