研究背景及動機

在文檔中 高一學生視覺化轉化為幾何推理之過程及其特徵 (頁 10-14)

推理學習是數學學習中重要環節,數學與其他學習領域主要差異在於其結構具累積性,

發展相關能力時既依賴直覺又需要推理(教育部,2018),相關能力可讓學習者瞭解並使用知 識對不同概念之間的關係作邏輯性的思考與說明,這樣的能力培養是幾何學習的主要目標之 一,其最終目標是期盼學習者能將推理證明變成一種思維習慣並應用到各個領域上去

(Common Core State Standards Initiative, 2010)。其中,演繹推理是推理證明的重要方式之一,

也是國中數學幾何領域的學習核心(教育部,2018),其內容主要源於《幾何原本》的前六卷,

原文內容是透過五大公設為基礎的架構,透過嚴謹的演繹方式,發展出很多與平面圖形有關 的性質。然而,這樣的學習內容普遍對學生都存在一定的困難(鄭英豪,2010; Ali, Bhagawati,

& Sarmah, 2014; Reiss & Heinze, 2004; Sears & Chávez, 2015),因此探討學生的幾何證明學習 成為數學教育的重要議題之一(Hanna & de Villiers, 2012; Stylianides & Harel, 2018)。

在推理的過程中,圖像與概念是密切地相互作用(Fischbein, 1993)。Larkin 與 Simon(1987)

認為在解題時相較於文字敘述,圖像是以位置關係來呈現資訊,並支持大量知覺推論

(perceptual inferences),即只要看到圖就能立即辨識其中的元素關係(如對頂角相等)。圖像 也能讓資訊聚集在一起呈現,避免需要大量搜尋與推論相關的元素,以及不需要與符號標示 作配對。因此,圖像能使抽象的資訊更具體化,在幾何推理問題中,以圖像作推論是幫助證 明的重要工具(Koedinger & Anderson, 1990)。Duval(1998)認為構圖(construction)、視覺 化(visualization)以及推理(reasoning)是幾何活動中三種主要的認知過程,其關係模型如 圖1-1 所示,如發現一個給定圖形的構圖方法可由「視覺化推理構圖」這個過程來說明。

其中推理可分為兩種,一種是以自然語言的描述或論證(argumentation)(),另一種是根據 定義、定理作演繹組織的論述()。然而,視覺化不一定就能幫助推理,甚至有誤導的情況 出現,對學生來說,他們必須要有能力區辨代表物件實體的圖畫(drawing)和代表理論物件 的圖像(figure)之間的差別(Laborde, 1993),縱使在外觀上它們可能是一樣的,但潛藏在圖 像中的幾何性質必須能以適當的敘述表達出來。因此,藉由圖像傳達的視覺資訊,將是幫助 推理的關鍵要素。

 

圖1-1. 幾何活動中的認知過程。修改自“Geometry from a cognitive point of view,” by R.

Duval, 1998, In C. Mammana and V. Villani (Eds.), Perspectives on the teaching of geometry for the 21st century (p. 38). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.

Larkin 與 Simon(1987)認為圖像表徵在幾何問題佔有重要地位有兩個原因,一是圖像本 身就可以作直接推理,二是它比符號推論更容易進行感知推論。而專家甚至可以跳過推論過 程中的某些步驟,直接透過圖像所提供的知識結構來進行(Koedinger & Anderson, 1990)。圖 像主要透過視覺來進行觀察,有關對幾何圖像的建構、解讀及理解都是推理過程中的關鍵,

但對幾何初學者所看到圖像所呈現的訊息與它所代表的意涵之間往往是存在落差的(Duval, 1995),這是圖 1-1 中要以虛線表示視覺化並不一定能引導推理的原因,也是妨礙學生發展推 理時必須克服的困難。本研究將個體從圖像理解到提出論證推理過程稱為視覺推理,雖然在 一些文獻中,視覺推理有時候被視為以所看到的圖像特性進行直觀或初步的推理,然而,

Dreyfus(1991)則認為視覺推理不僅是在發現規律或圖像特性,而在描述和證明數學結果的 合理性方面也扮演著重要的角色。因此,本研究欲探討個體從圖像的建構或理解出發,分析 進行視覺推理時可能遇到的困難,並描述上述過程中的特徵以及視覺推理的歷程。

在幾何論證的過程中,構圖通常是首要的任務。幾何中的構圖通常是指使用直尺、圓規 或幾何軟體等工具所建構的圖形,與一般的圖畫不同的是,這樣的圖形就如同一個模型,它 具備各種幾何性質,將影響圖形的表現方式及結構(Duval, 1998)。如同 Arici 與 Aslan-Tutak

(2013)藉由正方形摺紙中的幾何結構,讓學生更明確理解邊和角等元素的對應關係,學生 不管在空間視覺化、幾何推理和學習表現都有較好的表現,由此顯現建構一個圖形的具體結 構對理解幾何概念有重要的幫助。而當我們建構一個幾何圖形或要描述該圖形的建構過程時,

就需要對圖形有序列性的理解(sequential apprehension)(Duval, 1995),這樣即使是觀察一個 靜態圖形,也能理解其背後的結構及連結各元素之間的關係,包括圖像的性質、判別以及各 性質之間的關係(Choi-Koh, 1999)。由此,理解一個圖像除了代表特定敘述下狀態的含意外,

還同時代表符合該敘述結構的所有圖形。對於以圖像為推理核心的幾何問題,構圖、按照需 要重新構圖或理解幾何圖形的結構將成為推理的首要處理內容。

雖然配合van Hiele 的幾何思維發展層次,從視覺辨識、分析、非形式演繹再發展到形式 演 繹 的 學 習 脈 絡 (Crowley, 1987 ), 但 學 生 從 各 種 能 夠 以 視 覺 觀 察 所 知 道 的 幾 何 概 念

(conception),發展出抽象的演繹推理思維,讓兩者之間順利連結則需要不同的策略,也就 視 覺 化

構 圖

推 理

是視覺化的能力將是過渡到推理前的重要關鍵。Arcavi(2003)認為對一般的學習者來說,視 覺化能(1)將符號結果圖像化;(2)解決正確的符號解答與不正確的直觀想法之間的衝突;

(3)重新發現那些隱藏在符號背後的概念基礎,為抽象符號的意涵提供強大的互補作用。視 覺化並不是看到相關的物件而已,Duval(1998)認為視覺化過程與空間表徵有關,它可以是 描述一個敘述的圖像、對複雜狀態的啟發式探索、一個概要的掃視、一個主觀的驗證等,但 這些識別是基於特定的法則,這些法則是獨立於構圖或論述的方法。而Zazkis、Dubinsky 與 Dautermann(1996)認為視覺化是一種行動,它是個人內部構念與通過感官所獲得資訊之間 所建立的強大連結。因此,分析個體在這樣的過程中所展現的特徵,將是幫助學生學習幾何 推理論證的重要依據。

Stylianides(2008)認為有關推理和證明具備四個數學元素,包括幫助形成數學一般化的 辨識樣式(identifying a pattern)和形成臆測(making a conjecture),以及對數學主張提供支持 的提供證明(providing a proof)和提供非證明論述(providing a non-proof argumet)。前兩者通 常在構圖及視覺化階段產生,後兩者則屬於推理階段。雖然很多有關數學推理的概念都局限 於形式證明或其他形式的演繹證明(Kilpatrick, Swafford, & Findell, 2001),但與證明相關的推 理其實還包括發現反例、形成或進行臆測、發展或評估論述、修正邏輯論述中的錯誤等

(Johnson, Thompson, & Senk, 2010)。基於證明的不同功能(de Villiers, 1990; Hemmi & Löfwall, 2010; Stylianides & Stylianides, 2009),它除了確認一個論述的正確性外,也扮演解釋、溝通、

智力挑戰、審美觀、轉移等角色,以幫助學習者理解數學的應用性與正確性之間的連結。因 此,本研究以幾何論證來說明上述推理的內涵,是個體為所看到現象的解釋、理解、說明所 提出的論述,即論證內容包含了發展一個數學論述、形成或進行臆測、評估論述等(Johnson et al., 2010)。而論證的過程根據 Tolumin 論證模型,可分為宣稱(claim)、資料(data)、論 據(warrant)、限制(qualifier)、反駁(rebuttal)和支持(backing)六個階段(Toulmin, 2003), 可透過分析這些階段在論證過程中是否呈現,來說明一個論證的強弱程度(林志能、洪振方,

2008)。

上述三種幾何活動的認知過程,與個體心智中的各種基模結構有密切的關係,因此相同 的物件給予擁有不同數學知識背景的人觀察,視覺化的結果自然也因人而異。一般而言,具 備較多相關先備知識的學習者較高先備知識不足的學習者有較好的表現,對有關圖像的學習 亦言。Gegenfurtner、Lehtinen 與 Säljö(2011)回顧了 65 篇以眼動追蹤(eye tracking)的方式 來分析生手和專家在不同領域中,對視覺化內容的理解表現,並透過他們在相關內容的注視 持續時間或次數、掃視長度等總結專家在視覺化的表現上可以三個原則去解釋,包括:(1)

專家能夠通過結構檢索來進行快速的訊息處理;(2)他們有較好的選擇注意性注意力分配;

(3)通過擴展視覺範圍進行全局分析。由此可知,個體的專業程度對圖形的解釋及推理有重 要的影響(Vekiri, 2002),而專業程度則可由學習經驗及其背景知識來評估。不過,Moyer、

Sowder、Threadgill-Sowder 與 Moyer(1984)的研究顯示,以圖畫形式較以文字形式呈現應用 問題的內容時,低程度的學生在兩種形式的表現差異程度,較高程度學生來得多,這一類以 圖畫取代文字題幹的呈現方式,讓低程度學習者減輕他們工作記憶超載的可能性,致使有更 好的表現。幾何圖像不單是用於表述情境或結構脈絡,它還具備很多抽象的約定性質,因此 要產生能夠幫助推理的視覺化,具備豐富先備知識的學習者,在幾何推理任務中必定佔有優 勢,若能減少需要處理的訊息量,對先備知識相對較少的學習者來說將有一定的幫助,他們 的表現雖不如先備知識豐富的學習者,但在處理幾何推理任務的視覺化過程所呈現的特徵更 需要作進一步的分析及探討,以提供幾何推理活動的教學設計參考。

Phillips、Norris 與 Macnab(2010)認為視覺化可歸納為視覺化物件(visualization objects)、 內省性視覺化(introspective visualization)和詮譯性視覺化(interpretive visualization)三種類 型,其中內省性視覺化和詮譯性視覺化是一種心智物件或行動,需要透過想像將看到的實體 物件與心智物件作比對或進一步的解釋,換句話說,想像在特定的視覺化過程中必然出現

Phillips、Norris 與 Macnab(2010)認為視覺化可歸納為視覺化物件(visualization objects)、 內省性視覺化(introspective visualization)和詮譯性視覺化(interpretive visualization)三種類 型,其中內省性視覺化和詮譯性視覺化是一種心智物件或行動,需要透過想像將看到的實體 物件與心智物件作比對或進一步的解釋,換句話說,想像在特定的視覺化過程中必然出現

在文檔中 高一學生視覺化轉化為幾何推理之過程及其特徵 (頁 10-14)