認識推理與證明是數學的基本面向。
形成及進行數學臆測。
發展及評量數學論證和證明。
選擇和使用各種類型的推理和證明方法。
上述項目是NCTM 課程標準中，建議 K-12 學生在推理與證明（reasoning and proof）方 面應該要培養的各種能力，由此，論證（argumentation）和證明（proof）都是數學教育中的重 要學習目標。論證是指學生和老師在數學課堂中所提出的數學論述（argument），這些論述主 要是透過推理的形式來顯示或解釋一個數學結果的正確性（Sriraman &Umland &, 2014, p. 46）； 而證明則是一連串包含不同的論述且具備良好組織的演繹推論（Hanna & de Villiers, 2008）。
其中，演繹證明是由有效推理所支持的一個合適的論述（Llinares & Clemente, 2019），但論述 可以演繹或非演繹證明的形式呈現，也可以是對一個特定臆測所提出的解釋，甚至是以一系 列的運算來解釋如何得到一個數值的結果；證明則是確認（verification）數學敘述之正確性的 方法或手段，並同時兼具解釋（explanation）、系統化（systematisation)、發現（discovery）和 溝通（communication）等功能的一連串邏輯敘述（de Villiers, 1990），這些都是幾何推理中常 見的展現形式。
二十世紀的英國哲學家Stephen Toulmin 認為一個論述應包含宣稱（claim）、資料（data）
和論據（warrant）三個主要元素（Toulmin, 2003）。宣稱是指有關所提出主張的敘述，亦可以 視為一個結論（conclusion）；資料是可以判斷宣稱的相關資料，亦可視為由背景訊息所發展或 展現的例子（Rumsey, 2013）；而論據則是讓數據連接到聲明的推理規則。這樣的結構可以在 推論幾何性質的過程中經常看到，例如當我們測量了很多形狀、大小不一的三角形的三個內 角的度數，發現它們的和都是180 度，這些就是準備提出宣稱的「資料」，由此我們可以「宣
稱」：所有三角形的內角和都是180 度，並應用平行線的性質或其他方式推論出三角形的內角 和為180 度，這些推論過程中所使用的法則就是「論據」。然而，我們知道球面上的三角形內 角和總是大於 180 度，例如地球上的任何經線與赤道所成的夾角都是直角，而任何兩條經線 都會在南北兩極交會，因此這樣所形成的三角形的內角和必定超過 180 度。因此，為了更詳 細地描述在論證過程中的各種可能性，Tolumin 的論證模型中還考慮限制（qualifier）、反駁
（rebuttal）和支持（backing）三個元素。其中，限制是對宣稱中所存在的其他可能性，反駁 是指論據不成立的條件，而支持則是說明論據是合理的理由。這些元素之間的關係（Brockriede
& Ehninger, 1978）形成如圖 2-3 所示的論證模型，在探索各種數學性質的過程中，此模型可 以成為說明論證結構的有效工具（Boero, Douek, Morselli, & Pedemonte, 2010; Pedemonte, 2008;
Rumsey, 2013）。然而，Toulmin 的論證模型是一個描述論證結構是否完整的工具（林志能、洪 振方，2008），卻無法對論據內容的正確性作出判斷，因此在描述學習者的幾何論證歷程時，
還必須考慮幾何任務的特徵和學生的思維發展。
圖2-3. Toulmin 論證模型
幾何論證是一種圖像與概念是密切地相互作用的過程（Fischbein, 1993）。在這樣的過程 中，圖像透過位置關係來呈現資訊（Larkin & Simon, 1987），由此讓抽象資訊更具體化以幫助 理解。如果幾何問題沒有對應的圖像可供參考時，解題者是幾乎不可能分開處理或重組問題 中的所有細節（翁立衛，2008）。Koedinger 與 Anderson（1990）指出專家在處理幾何推理問 題時是與圖像緊密地連結在一起，他們會根據本身的圖像基模來組織知識，形成一個圖像組 態模型（diagram configuration model）。它是由一個主要知識結構、圖像組態基模以及三個主 要處理階段所組成，三個階段分別是：（1）辨識在問題的圖像中的類似組態，並能舉例說明 相關基模的圖像解析階段；（2）瞭解圖像中有關給定及目標敘述，並能按照數學語言寫成相 應敘述的敘述編碼階段；（3）將個體原有的基模反複應用在向前或向後推論，直至找到給定 與目標敘述之間的連結的基模搜尋階段。由於專家們有豐富的處理幾何推理問題經驗，他們
資料
(Data)
宣稱
(Claim)
限制
(Qualifier)
論據
(Warrant)
反駁
(Rebuttal)
支持
(Backing)
對於特定的幾何知識（如：垂直概念）是與知識相關的原型幾何圖像（如：兩條相互垂直的 直線）一起儲存於他們的基模中，這個基模除了包含一個圖像組態之外，還有這個圖像所代 表的數學事實、其相應可能存在的元素關係以及如何證明數學事實的方法，如圖 2-4 所示。
由此可見，幾何知識結構是以圖像為核心，由圖像組態模型所產生的視覺化是引導推理思考 進行的關鍵。
圖 2-4. 垂直概念的圖像組態。引自“Abstract planning and perceptual chunks: Elements of expertise in geometry,” by K. R. Koedinger and J. R. Anderson, 1990, Cognitive Science, 14(4), p.
519.
Schoenfeld（1985）視推理為一種問題解決的過程，分為讀題、分析、探索、計劃與執行、
驗證等階段進行。由 Toulmin 的論證模型可以想像，這些階段並非必定線性地進行，而有可 能因為在推論的過程中找到新的反駁論述而必須對原來的宣稱提出限制甚至修改宣稱，再提 出相應的理據來支持。在分析、探索與執行幾何論證的過程中，視覺思維與分析思維是循序 地相互輔助進行（Zazkis et al., 1996），首先由已知條件進行構圖或從給定圖形中理解各條件 之間的關係，由此觀察是否能從這些視覺訊息推論出其他的條件，透過分析從而設定下一個 推論目標，再繼續觀察圖形的性質來作相關目標的推論，並透過不斷監督和控制問題解決的 過程以達致最終目標（Stylianou, 2002）。因此，幾何論證必須同時考慮視覺資訊與推理分析過 程在心智中的交互影響。
Sochański（2018）認為一個靜態圖形的分析可以分為四個階段。首先是構圖，這個過程 除了依據給定條件建構數學物件描述狀態外，對該數學物件能依據描述內容進行解釋或標示 所具備的屬性也是圖形建構的一部分。換句話說，也就是從文字敘述轉換為圖形表徵的過程；
第二階段則是觀察圖形從而注意到圖像中各細部之間的關係；第三階段包括將觀察到的事實 和關係以數學語言來解釋；最後階段則是以命題形式描述觀察的結果。而對幾何物件中細部 的關係察覺以及使用數學語言來解釋，Duval（1995）分別以不同的圖形理解類型來描述，其
垂直概念 圖像組態：
完整敘述：A B ⊥C D
部分敘述：(1)∠ACD 是直角 (2)∠BCD 是直角 (3)∠ACD＝∠BCD 證明途徑：(1)／(2)／(3)
中操作性理解（operative apprehension）能夠分解出有助於推理的子圖主要是基於對推理策略 的理解及熟識，從而找出最適合的推理方法，而論述性理解（discursive apprehension）則是使 用對數學物件的定義、定理或性質來描述（子）圖形物件所代表的意涵，探討學習者在這兩 種圖形理解之間的表現與關係，將有助於理解在進行幾何推理任務的過程所可能具備的特徵
（Llinares & Clemente, 2014）。
雖然幾何圖形在相關問題解決的過程中扮演重要的角色，但也因為可藉由視覺感知方式 來處理（Gal & Linchevski, 2010），且易受幾何概念的原型（prototype）影響（Triadafillidis, 1995）， 使得學習者在進行幾何論證時並沒有因圖形所帶來的優勢而變得容易。從幾何圖形的特徵來 說，它常以單一的圖像就代表具備相同結構的所有圖像（Fischbein, 1993），圖像所具備的一 般化特性通常是學習者不容易掌握的。Laborde（2005a）認為圖像扮演著含糊不清的角色，因 為它一方面代表著理論性的幾何性質，但另一方面卻又提供空間圖形性質作為引發學生的感 知活動。例如在圖2-5 的直角三角形中，點 P 是B C 邊的任意點，且P D ⊥A B，P E ⊥A C， 當學生要找出 P 點在A B 邊的哪一個位置可使得D E 長度為最小時，就既要用到理論性的幾 何性質，也同時因為這個圖形所提供的空間圖形性質才能解答上述問題。從幾何圖形與其相 關概念密不可分的特性來說，學生要區辨何時能使用這些空間圖像而不需要由它們的理論性 質對部分學生來說不是容易的事。
圖 2-5. 同時使用圖像之理論性的幾何性質及空間圖形性質的例子。引自“The hidden role of diagrams in students' construction of meaning in geometry,” by C. Laborde, 2005a, In J. Kilpatrick, C. Hoyles, O. Skovsmose, & P. Valero (Eds.), Meaning in mathematics education (p. 163). New York, NY: Springer.
圖像能具體呈現抽象的數學概念的特性，也讓學習者在推論的過程中容易產生依賴。鄭 英豪（2010）的研究發現，國一學生在給定的幾何圖形所看到的性質會凌駕於敘述所描述的 性質，即他們理解一個圖形是否具備相關性質是以視覺為優先的。Harel 與 Sowder（1998）的 研究發現學生的證明架構（proof schemes）可以分為外部信念（external conviction）、實驗性
（empirical）以及分析性（analytical）三種類型。外部信念證明架構主要來自於權威及形式，
即學生對證明存在固有的格式或教科書中所提供的形式；實驗性證明架構則可能是歸納性或 知覺性的，當學生使用特例、多個例子或視覺方式所得出的想法；而分析性證明架構才是依 據邏輯演繹推理所得到的結果。因此，在分析學生在幾何任務中所使用的策略時，一般都包 含視覺判斷、認為是已知定理不需再加以說明、直觀判斷、實驗結果歸納、不完整或錯誤推
理、非形式推理、形式推理等類別（Kospentaris, Spyrou, & Lappas, 2011）。由此可見，在進 入演繹推理之前，學習者可能會因其本身的信念、視覺的引導、實驗性的結果而形成推理的 想法，尤其在幾何任務中，這些想法都與圖像有密切的關係。因此，探討這些想法與論證之 間的關係將有助於理解論證的進行及可能遇到的困難。