幾何知識對視覺化轉化幾何推理之影響

SHG1：可以。

訪談員：怎麼做？

SHG1：只要先畫出它的…（學生畫另一外一條段）就是B D長這樣，這是B D對角 線，可能還要垂直（學生過線外一點作垂直），然後再在這一邊隨便找一 個點出來，再去畫線。

訪談員：就是以這種方法畫出來的四邊形…

SHG1：就會疊在一起。

（逐字稿 HHG327‐328）

第二節 幾何知識對視覺化轉化幾何推理之影響

無庸置疑，幾何知識在幾何推理中扮演重要的角色，因此具備不同程度幾何知識的學生，

他們在視覺化轉化幾何推理過程中應有不同的表現。下面將分別從不同的任務中，分析具備 不同幾何知識程度的學生，在視覺化轉化幾何推理的歷程中之影響。

（一）任務一

能夠繪畫並解釋通過 A、B 兩點的圓有無限個的關鍵，主要在於知道畫圓的關鍵是先確 定圓心，並找到與 A、B 兩點距離相等的點，而這些點都落在A B的中垂線上。因此，學生的 中垂線知識是影響解題的因素之一，從訪談學生回答「多向度幾何知識問卷」中，表4-39 說 明他們有關中垂線的定義（第 1(3)題）、圖形（第 4(3)題）、性質應用（第 7 題）和推理（第 11 題）的作答表現。其中，低幾何知識的學生可以正確畫出中垂線的圖形，但無法處理有關 定義、性質應用和推理的問題；具備中或高幾何知識的學生普遍掌握中垂線的相關概念，他 們之間的差異主要來自於有關視覺化轉化幾何推理的層次，高幾何知識的學生能在單一子圖 中，以全等三角形的方式證明有關中垂線的概念，而中幾何知識的學生卻能提出一些從圖形 物件想到的概念，未能完整敘述原因。其中，有關中垂線性質的應用是指使用「中垂線上的 點到線段兩端距離相等」的性質以計算線段的長度，這個概念與任務一的內容有密切的關係，

除了四位低幾何知識的學生都沒有作答這一題外，學生SMG1 則未有應用相關概念解題，顯 示他對上述性質可能不清楚或概念沒有被觸發。

表4-39. 訪談學生有關垂直平分線問題的作答表現

低幾何知識 中幾何知識 高幾何知識

SLP1 SLG1 SLP2 SLG2 SMP1 SMG1 SMP2 SMG2 SHP1 SHG1 SHP2 SHG2

定義               圖形               性質               推理     1 2 2  3-1 3-1 3-1 3-1

註：代表具備相關概念；代表未能回答相關問題；推理部分的數字代表視覺化轉化幾何推理的階層

表 4-40 總結 12 位訪談學生在任務一的推理歷程。任務一的解題關鍵是能夠視覺化「通 過 A、B 兩點的圓有無限個」，一開始就能看到這個關鍵的學生分佈在具備不同程度幾何知識 的訪談對象中，換句話說，這個視覺化過程與學生所具備的幾何知識沒有直接的關係，但能 夠說明這無限多個圓的確切位置，就跟學生所具備的幾何知識有密切的關係。在具備中或高 幾何知識的學生中，他們都清楚畫圓的關鍵是要確定圓心位置跟半徑長度，因此，不管他們 一開始就看到無限個圓，直接使用他們有關中垂線的知識解釋現象，還是一開始只看到有限 個圓，在作A B 為直徑的圓時被其中垂線觸發無限個圓的想法，他們都知道必須找到與 A、B 距離相等的點來構圖或解釋。比較特別的是，如同在「多向度幾何知識問卷」中的表現，學 生SMG1 在解題過程中沒有畫出中垂線或提及相關概念，但他懂得以尺規作圖的方式找到 A、

B 距離相等的點，藉由改變半徑的多少來說明這樣的圓有無限多個。由此顯示，豐富的幾何 知識可以幫助學生找到不同的解題或推理方式，也是引導解題的關鍵因素。

表4-40. 訪談學生在任務一中視覺化轉化幾何推理歷程總結

學生 視覺化轉化幾何推理歷程

SLP1 無限個圓作A B 為直徑的圓（中垂線）中垂線上的點到 A、B 距離等

SLG1 無限個圓作A B 為直徑的圓（中垂線）……

SLP2 有限個圓作A B 為直徑的圓（中垂線）無限個圓中垂線上的點到 A、B 等距

SLG2 有限個圓作A B 為直徑的圓無限個圓找到 A、B 距離相等的點作中垂線

SMP1 無限個圓作中垂線中垂線上的點到 A、B 距離等

SMG1 無限個圓找到 A、B 距離相等的點

SMP2 有限個圓作A B 為直徑的圓（中垂線）無限個圓中垂線上的點到 A、B 等距

SMG2 有限個圓作A B 為直徑的圓無限個圓找到 A、B 距離相等的點作中垂線

SHP1 無限個圓作A B 為直徑的圓找到 A、B 距離相等的點作中垂線

SHG1 有限個圓作A B 為直徑的圓（中垂線）無限個圓中垂線上的點到 A、B 等距

SHP2 有限個圓作A B 為直徑的圓（中垂線）無限個圓中垂線上的點到 A、B 等距

SHG2 作A B 為直徑的圓無限個圓找到 A、B 距離相等的點作中垂線

然而，對於只具備低幾何知識的學生則有不同的表現，以學生 SLP1 和 SLG1 的表現來 看，他們雖然一開始都能看出有無限個通過 A、B 兩點的圓，學生 SLP1 雖無法直接說出「中 垂線上的點到線段兩端距離相等」的性質，但他透過畢氏定理的知識，以及中垂線所具備的 垂直及平分的特徵，同樣可以對距離相等給出合理的解釋；但學生 SLG1 對中垂線的概念只 有垂直、平分、無限延伸的直觀特徵，因此即使他把以A B 為直徑的圓作出來，並看到了A B

的中垂線，卻無法說出這無限個圓的圓心都落在中垂線上，說明幾何知識是引導推理的重要 元素。而學生SLP2 的推理歷程與 SMP2、SHG1、SHP2 非常接近，最大的差異在於其他學生 是在幾何知識的引導下完成任務一，而 SLP2 雖然能想像有無限多個圓，卻無法掌握作圖的 方法，必須提示考慮作圓的要素才進一步與中垂線知識作連結，而且他是透過作圖的結果來 確認自己的幾何知識，因此在他說出「兩端到中垂線的長…所以它的半徑就會一樣」的解釋 後，他仍需要再次畫圖來確認自己所說的正確的，雖然他解釋是因為擔心有特例的情況的發 生，但顯然他對他所說的特例會出現的原因是不掌握的，換句話說，學生SLP2 的幾何知識並 未能主導他的幾何推理思考，可能是表現不佳的原因之一。學生SLG2 的表現雖與 SMG2 接 近，他們在GGB 環境下都沒有作出中垂線，就能作出以A B為直徑的圓，最大的差異在於他 們知道有無限個通過 A、B 兩點的圓後，一開始都以目測的方式畫其他圓，但 SMG2 對於目 測所造成的不準備，是立即自行修正，並改以先畫中垂線再畫圖；而 SLG2 則需要提示畫圓 的要素後，才懂得思考圓心的位置及半徑的選取，顯示學生或許具備一些幾何知識，但彼此 之間的連結卻需要提示才被觸發，可能是無法自行完成推理的主要原因。

在任務一的推理歷程中，主要藉由理解題意中所要求的圓，有同時通過 A、B 兩點的圓的 限制後，學生進行臆測及構圖，在理解以確認圓心位置及半徑長度為解題目標後，應用中垂 線性質的相關概念說明構圖的合理性，表4-41 總結 12 位學生在任務一的表現。

對於具備低幾何知識的學生來說，在瞭解任務一的限制階段，只有學生 SLG1 可以理解 同時通過 A、B 兩點的意涵，其餘學生需要跟研究者確認或有誤解題意的情況出現。學生 SLP1 和SLG1 都可以想像符合題目要求的圓有無限多個，相反，學生 SLP2 和 SLG2 一開始都只覺 得這樣的圓只有有限個。不過，學生SLP1、SLG1 和 SLP2 都是先以A B為直徑畫第一個圓，

相信與以A B為直徑的圓在操作上比較簡便有關。在論述策略階段，學生SLP1 一開始就知道 中垂線上任一點都可作為圓心，而SLP2 則是透過找A B的中點所作的中垂線，發現中垂線上 的點都可以成為圓心，但 SLG1 和 SLG2 兩位學生都需要經研究者提示畫圓的要素後，才開 始思考圓心的位置及半徑的可能情形。在尋找不變量時，學生SLP1 和 SLP2 都使用尺規明確 找到圓心的位置及半徑長度才畫圓；相反，學生 SLG1 和 SLG2 則是先以目測方式說明圓心 位置及半徑長度。在論述階段，學生 SLG1 只能看到中垂線的外觀，如垂直、平分、無限延 伸的特徵，卻無法使用中垂線性質來說明推理的合理性，其餘學生都能說明圓心在中垂線上 原因。

表4-41. 訪談學生在任務一的表現總結

階段 行動內容

低幾何知識 中幾何知識 高幾何知識

SLP1 SLG1 SLP2 SLG2 SMP1 SMG1 SMP2 SMG2 SHP1 SHG1 SHP2 SHG2

限制 讀題後能理解必須同時通過 A、B 兩點                

讀題後詢問通過 A、B 兩點的意涵         

讀題後誤解通過 A、B 兩點的意涵             

臆測 結果

第一感覺：有限個或不確定是無限圓       

第一感覺：無限個圓     

構圖 以A B 為弦畫第一個圓  

以A B 為直徑畫第一個圓         

過三點畫第一個圓              

論述 策略

一開始就知道中垂線上的點都可作為圓心  

透過找A B 的中點所作的中垂線，發現中垂線 上的點都可以成為圓心

   

沒有畫中垂線，只直接找距離相等的點 

藉由找距離相等的點後想到中垂線   

經提示思考畫圓的要素才想到中垂線  

尋找 不變量

都使用工具確定圓心位置及半徑長度       

曾以目測方式說明圓心位置及半徑長度     

論證 說出中垂線性質或其意涵         

以其他推論解釋中垂線性質  

無法說出中垂線上的點都可作圓心的原因 

圖4-43 總結低幾何知識學生在任務一之推理歷程。只具備低幾何知識的學生在解讀資料 時，四位中有一位會誤解題意而無法畫出一個同時通過 A、B 兩點的圓，但有兩位學生一開始 就能想像這樣的圓有無限多個，因此不需要提出任何反駁。然而，四位中有三位需要提醒才 能夠聯想到確定圓心位置及半徑的構圖關鍵，更有其中一位無法說出需要確定半徑相等這個 不變量，他們四位中有三位知道圓心必須在A B 的中垂線上，但只有一位可以完整說明中垂

圖4-43 總結低幾何知識學生在任務一之推理歷程。只具備低幾何知識的學生在解讀資料 時，四位中有一位會誤解題意而無法畫出一個同時通過 A、B 兩點的圓，但有兩位學生一開始 就能想像這樣的圓有無限多個，因此不需要提出任何反駁。然而，四位中有三位需要提醒才 能夠聯想到確定圓心位置及半徑的構圖關鍵，更有其中一位無法說出需要確定半徑相等這個 不變量，他們四位中有三位知道圓心必須在A B 的中垂線上，但只有一位可以完整說明中垂