隨著科技發展，使用電腦學習一般被認為具備個別化操作、互動性強、即時回饋等優點，
將抽象概念視覺化，電腦環境對學習3D 的幾何物件提供重要的輔助（Kösa & Karakuş, 2010;
Wang, Li, & Chang, 2006）。此外，這些功能也對幾何證明及論證的學習提供了具備準備性、
連結性、系統性的平台，讓學習者更容易掌握幾何概念及其論證思維。在有關證明的學習方 面，可從其認知及後設認知策略入手，例如Wong、Yin、Yang 與 Cheng（2011）從連結不同 的證明表徵（問題敘述、靜態圖像、動態幾何圖像、演繹證明、證明樹）的設計，讓學習者可 以同時從不同表徵所獲得的資訊來理解證明的內容。研究結果顯示在這樣的設計中，中程度 的學生與各種不同的表徵有較高的互動次數，並因此有助於他們學習幾何證明。Kramarski 與 Ritkof（2002）在學校課程中，以每週一小時，持續七週學習以 Excel 軟體繪圖及解釋圖形等 概念，教師在課堂中除了會介紹繪圖的技巧外，也會與學生討論及練習有關使用不同表徵對 圖形作解釋。課後所有學生都透過電子郵件方式進行作業的討論，只是實驗組對作業回答後
設認知的提問為主，包括理解性、連結性、策略性和反思性的問題（Mevarech & Kramarski, 1997），而實驗組則是針對作業內容及圖形的一般問題。研究結果顯示實驗組對數學推理的解 釋以及減少有關圖像的迷思都有顯著的成效。雖然上述的學習主題並非針對幾何證明，但在 電腦環境學習下，透過對學習內容的反思對不同的主題都有類似的效果（Hauptman & Cohen, 2011; Kramarski & Gutman, 2006; Kramarski & Hirsch, 2003）。
Aleven 與 Koedinger（2002）建立 Geometry Cognitive Tutor 系統來幫助學生學習幾何，該 系統重視學習者要對任務的解答需提出相關的幾何性質作為依據，為了讓學生可以找到合適 的幾何性質，系統中有一個彙編所有幾何性質的視窗，學生可以找到所有性質的描述、圖示 及例子，讓學生可以回顧已學知識從而作出正確的判斷，並設計有層次的文字提示，讓學生 可以在有需要時得到相應的提示而非直接提供答案。更進一步地，系統在學生尋求幫助時增 加有關後設認知的反思提問（Roll, Aleven, McLaren, & Koedinger, 2011; Schwonke et al., 2013）， 在這樣的環境下學習者能以較少的時間完成學習且學習成效也較徍。Venturini 與 Sinclair
（2017）總結八個在形成性評量中支持使用動態幾何軟體環境的數學和科技的能力，包括：
藉由溝通以表達個體的理解、把數學想法與其他數學概念連結起來、把性質和定理一般化、
探索和尋找不變量和性質、藉由解決問題發展和應用數學知識、發展數學推理、適當選取科 技工具以解決問題以及發展視覺化能力以輔助信息處理、建立聯繫和解決問題，這些能力都 顯示在電腦環境的優勢下配合適當的任務設計，都有助於學生理解、掌握、應用所學的數學 知識解決問題，是學習內容中不可或缺的重要部分。
除了有關證明的學習外，提供學生提出猜測及論證的機會，也是幾何學習的重要內容，
如 Cabri-Geometry （ Laborde, 2000 ） 、 Geometer’s Sketchpad（ Jackiw, 2001 ） 、 GeoGebra
（Hohenwarter & Fuchs, 2004）等就是提供有利於學習幾何圖像性質的探索環境而設計的動態 幾何軟體。這些動態幾何環境（DGEs）是配合座標系統來建置的，它們提供各種構圖的工具，
包括點、線、圓、角、多邊形等基本圖形，也有平行、平分、垂直、變換等多種概念的繪圖，
以及距離、角度、面積的測量，使用者可以自行選擇是否需要在座標系統的環境下，利用物 件的位置、大小或其函數作進一步的計算或運用。因此，DGEs 具備不同的表徵系統，而這些 系統之間是彼此互相鏈結的，學習者在改變各物件的位置及大小的同時，也能即時獲取物件 變動後的各種表徵訊息，這樣在探索幾何性質時，將較紙筆環境提供更有利的條件以觀察物 件的變化與不變的性質。Healy（2000）提出精實的構圖（robust construction）和鬆弛的構圖
（soft construction）兩種在 DGEs 下的主要構圖結構，精實的構圖是指一些根據定理或性質來 進行繪圖，透過圖形學生可以明顯看到圖像中各種元素之間的關係，如 Laborde（2005b）以 圓的直徑 AB 為三角形的其中一邊，再與圓上一任意點 M 形成三角形，透過拖曳點 M 可發現
∠AMB 為直角為例，說明使用 DGEs 具備圖形結構不變性之特徵，並能以視覺的方式對他們 的構圖進行性質確認（Healy, 2000），這樣能讓學習者較在紙筆環境下容易觀察到構成直角必
須同時滿足 AB 為直徑且點 M 在圓上的條件，而且在改變 M 的位置時仍能保持∠AMB 為直 角這個性質。而鬆弛的構圖是從作圖的結果來推理性質，例如以圓的直徑 AB 為三角形的其 中一邊，與一任意點 M 形成△MAB，觀察點 M 分別在圓內、圓外及圓上∠AMB 的度數變化。
Or（2013）認為在 DGEs 中使用鬆弛的構圖進行任務探索，將可促進學習者的操作性理解
（Duval, 1995）。如同 Mason、Burton 與 Stacey（2010）認為以數學的方式思考問題必須包括 從特殊化（specializing）到一般化（generalizing）、臆測（conjecturing）到提出論據證實
（convincing）四個基本的思維過程，而 DGEs 則是提供對幾何物件的具體操作機會以發展數 學思維的良好工具。而 DGEs 在推理論證過程扮演的角色，一般可分為六個階段來描述
（Nguyen, 2012）：
階段0：理解資訊（information）
學習者必須先掌握和理解問題的相關資訊，因此學習環境應提供他們可以自行理解的資 訊，包括問題的主要部分、未知部分、數據、條件等。
階段1：構圖（construction）
學習者需具備基本尺規作圖的概念，根據已知條件使用動態幾何軟體（如GeoGebra）來 構圖。
階段2：尋找不變量（invariance）
學習者透過觀察相等的角或線段、固定的點或線、平行線、規則的多邊形等，並利用拖 曳發現幫助證明過程的幾何不變量。此階段可以根據一些問題來幫助思考，如：在拖曳過程 中有什麼性質一直維持？哪些圖形在移動過中並沒有改變形狀？哪些圖形在移動過程中保有 全等或相似關係？
階段3：臆測（conjecture）
臆測是指一個將論述和一系列概念連結起來的敘述，它常源於實驗、數值的研究和測量。
由於題目為開放性問題，因此提供學習者進行不同的臆測，如有關圖形的面積、兩物件之間 的關係、角度的度量、兩點間的距離、可移動物件的軌跡等。
階段4：論述（argumentation）
學習者組織可能的論點為形成證明作準備，以及作為掌握證明過程中相關元素的方法，
是證明過程中最重要的階段。
階段5：證明（proof）
根據所產生的論述，選擇有用的並連結它們形成連續的推理過程，過程中需要使用正確 的數學語言和邏輯法則。
階段6：進一步的探究（delving）
藉由反思、延伸相關結果對問題作進一步的探究，或是思考對他們前面所作的證明是否 存在更簡易的方法。
以具體的物件將抽象的幾何概念動態且具結構性的呈現，動態幾何環境較傳統課室教學 將有助於提升學習者的van Hiele 思維層次（Kutluca, 2013）。Gawlick（2005）也認為 DGEs 的 特性可以幫助提升van Hiele 的幾何思維層次中較高層次的幾何思維，尤其是拖曳模式可以成 為從層次1 提升到層次 2 的主要工具，巨集及軌跡的功能可幫助從層次 2 到層次 3 的提升，
而將相同性質的圖像歸納為相同的族可幫助從層次3 到層次 4 的提升，而分析這些圖形族則 是van Hiele 層次 4 中可應用 DGEs 輔助的地方。換句話說，DGEs 提供不同幾何層次思維展 現的平台，學習者的表現則透過不同的任務來引導或進行觀察分析。
為了讓幾何概念有效地視覺化，論證或證明的活動必須配合 DGEs 的特徵來設計。例如 DGEs 所提供測量工具和拖曳功能為概念理解及推理帶來重要的幫助（Hollerbrands, 2007）。
Kordaki 與 Balomenou（2006）在 Cabri-Geometry II 的環境下，讓國中生利用前述 DGEs 中的 各構圖工具，建構盡量多對相等的三角形，由此探索兩三角形的周長及面積關係，從而建構 三角形面積保留的概念。Cabri 具備幾何構圖環境、提供不同表徵及表徵間的連結等功能，學 習者透過測量三角形底和高的長度，利用拖曳功能觀察並歸納形狀不同但面積卻相等之三角 形的可能情形。研究結果也顯示，學習者較傳統利用剪貼拼補的方式能連結更多有關三角形 面積的概念，也發展更多不同的策略來構造面積相等的三角形。Hölzl（1996）認為 DGEs 可 讓物件存在不同的關係，如可拖曳和不可拖曳的點之間的差異是紙筆環境中不存在的，這些 特性是屬於非幾何的（ungeometrical）性質，但對學生在 DGEs 下的探索卻是重要的資訊。透 過拖曳功能，它把操作者心智中的想法及思考歷程外顯出來。Arzarello、Olivero、Paola 與 Robutti（2002）的研究顯示拖曳行為可分為下列七種類型：
（1）Wandering dragging：基本點在螢幕上隨機、沒有計劃地移動，目的是為了在不具備幾何 結構的圖畫中發現有趣的結構或規則。
（2）Bound dragging：移動一個半可拖曳（semi-draggable）的點，即該點已與另一物件連結。
（3）Guided dragging：拖曳圖畫中的游標讓一些基本點得到一個特定的形態。
（4）Dummy locus dragging：移動一個基本點讓圖畫保持一個被發現的性質，而該點是按照 一個路徑移動即使使用者並不知道。相關蹤跡並不可見且沒有“告之＂學生，他們因此 並不常常能知道他們其實在一個特定蹤跡上作拖曳。
（5）Line dragging：沿著一條直線繪畫新的點以保持圖像的規則。
（6）Linked dragging：將一個點連結到一個物件上使該點可以在物件上作移動觀察。
（7）Dragging test：移動可拖曳或半可拖曳的點以觀察圖像能否保持原有的性質。如果是，
（7）Dragging test：移動可拖曳或半可拖曳的點以觀察圖像能否保持原有的性質。如果是，