有關高一學生在幾何推理任務中，其視覺化轉化幾何推理的過程及特徵分析，主要12 位 訪談學生以口述方式，說明對三個不同的幾何推理任務的想法。任務一是通過兩定點圓的構 圖，任務二是計算兩邊長相等之正方形，其重疊區域的面積，任務三則是依照題目敘述構圖，
再分析在不同四邊形 ABCD 中，按照敘述要求的四邊形 AECF 成為平行四邊形的主要特徵。
有關各訪談對象在不同任務中，參考Schoenfeld（1985）的問題解決的過程，將視覺化轉化幾 何推理分為釐清題意、分析與探索、計劃與執行、驗證與一般化四個階段說明，並以Toulmin 模型以及Nguyen（2012）提出 DGEs 在推理論證過程中所扮演的角色，分為下列要素描述，
包括：（1）任務的資料（D）；（2）任務的限制條件（Q）；（3）宣稱／結果臆測（C）；（4）構 圖／理解圖形資訊（CU）；（5）論述策略（AS）；（6）尋找不變量（IN）；（7）論據（W）；（8）
支持（B）；（9）反駁（R）。
（一）任務一
1.具備低幾何知識學生（SLP1 & SLP2）在紙筆環境下之表現
學生SLP1 閱讀任務問題後，先確認 A、B 兩點必須同時通過時，就馬上回答這樣的圓會 有無限多個。他先利用尺規作A B 的中垂線後找到中垂線與A B的交點，以該交點為圓心，作 以A B為直徑的圓。在作此圓後，學生也知道其他同時通過 A、B 兩點的圓的圓心，都落在A B
的中垂線上。因此在段被要求作出第二個圓時，學生SLP1 很快就在A B 的中垂線上隨便取一 點作圓心畫圓，結果如圖 4-1 所示。而他主要以「因為它們兩個是半徑，就是到 A 距離跟到 B 距離都一樣，就是半徑一樣就可以畫出來」來說明原因構圖的理據，當繼續被追問如何知 道半徑會一樣時，學生SLP1 以畢氏定理來解釋（兩直角邊相等的直角三角形其斜邊也相等）； 換句話說，學生 SLP1 關注在半徑相等的描述可能主要來自於直觀感覺，有關垂直平分線性 質的並沒有因問題敘述或上述構圖過程而被觸發，但 SLP1 能夠轉為以畢氏定理論述垂直平 分線性質的內容，可見他的幾何推理是在其知識引導下進行的。表4-1 整理學生 SLP1 在任務 一中視覺化轉化幾何推理的主要過程。
這樣的圓應該至少有一個。由此，研究者要求學生把此圓畫出來，學生利用尺規作A B 的中垂 線後找到中垂線與A B的交點，以該交點為圓心，作以A B 為直徑的圓。在作此圓後，學生能 想像同時通過 A、B 兩點的圓無限多個，並能舉例說以A B為其中一條弦畫一個更大的圓，但 他認為自己沒辦法透過尺規作圖把這個想像的圓呈現出來。詢問他覺得構圖困難之處時，也 沒有辦法具體說明，因此引導他思考畫圓的關鍵後，他能夠想到要知道圓的半徑及圓心。再 進一步詢問圓心的位置時，他則回答就是在剛剛所畫的中垂線上，但仍然無法說出理由。因 此使用圓規再作出兩個不同大小的圓，才相信自己的猜想是正確的。接著詢問圓心落在中垂 線的原因也沒辦法很完整地說出中垂線的性質，只描述「兩端到中垂線的長…所以它的半徑 就會一樣」。當再次詢問是否只要在這個中垂線上任取一點都可以當作圓心，由此得到限多個 圓的想法時，學生決定再用圓規畫一個圓來確認，學生 SLP2 的解答如圖 4-2 所示。由此可 見，學生SLP2 非常依賴視覺所看到的結果，並藉由相關結果來確認相關幾何概念的正確性，
表4-2 整理學生 SLP2 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程。
圖4-2. 學生 SLP2 在任務一共畫了四個通過 A、B 兩點的圓 表4-2. 學生 SLP2 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程
歷程 視覺化 幾何推理
釐清 題意
D：想像通過 A、B 兩點的圓及其個數 Q：SLP2 主動確認是同時通過 A、B 兩 點的圓
C：SLP2 認為通過 A、B 兩點的圓至少 有一個
分析 與 探索
CU1：SLP2 連結 A、B 兩點後，作A B
的中垂線，然後作出以A B為直 徑的圓
歷程 視覺化 幾何推理
R：SLP2 認為有比以A B為直徑更大的 圓，雖無法把想像的畫出來，但知 道這樣的圓有無限多個
研究者提示思考畫圓的主要元素，
SLP2 能回答「半徑……圓心」
計劃 與 執行
CU2：經提示思考畫圓要素後，SLP2 想 到以已畫的A B中垂線上的點作 為圓心。然而，研究者詢問是否 中垂線上任一點都可以時，SLP2 沒辦法回答，決定再以畫圖的方 式確認
知道中垂線的點到線段兩端距離相等
驗證 與一 般化
IN：看到中垂線段上的點到 A、B 兩點 距離相等這個不變量
AS：在中垂線上任取一點為圓心，並以 該點到 A、B 的距離為半徑畫圓 W：中垂線上的點到線段兩端距離相等 B：線段「兩端到中垂線的長…所以它
的半徑就會一樣」
CU3：當研究者再次詢問是否中垂線上 任一點都可以時，SLP2 仍沒辦法 確認，決定再畫一圓驗證
註： 代表符合形式推論； 代表不符合形式推論或未能與推理內容連結；D 代表任務的資料；Q 代表任務的 限制條件；C 代表宣稱／結果臆測；CU 代表構圖／理解圖形資訊；R 代表反駁；AS 代表論述策略；IN 代 表尋找不變量；W 代表論據；B 代表支持
2.具備低幾何知識學生（SLG1 & SLG2）在動態幾何環境下之表現
學生SLG1 在閱讀任務問題後，也能理解是同時通過 A、B 兩點的圓，並認為這樣的“圓＂
有很多個，因此使用GGB 畫過 A、B 兩點的直線，並作A B的中垂線（因GGB 可以點選兩點 作中垂線，因此即使作過 A、B 兩點的直線，仍能作出其中垂線），由此作以A B 為直徑的圓。
然而，學生後來發現他所認為的很多個“圓＂包含橢圓形的，經重新思考其個數後，學生仍 然認為能有無限多個圓通過 A、B 兩點，研究者請他描述圓的大概位置，他用手比了一個過 A、B 且比目前那個圓大的圓，但卻無法把他的想像在 GGB 上呈現出來。於是，研究者引導 學生SLG1 先任意畫一圓在旁邊，再把圓拖曳到他心目中的位置，如圖 4-3 所示。雖然學生能 看到大圓圓心的位置，但請他再畫下一個同時通過 A、B 兩點的圓時，他只想到以A B 為對稱 軸畫一個同樣大的。學生其實是可以想像那些無限多個圓的大概面貌，卻無法確認它們的確 切位置，後來經引導後，有感覺這些圓的圓心都在「A B線段的垂直線」，但他卻無法進一步 解釋原因，只能知道中垂線具有平分、垂直、無限延伸等特徵。顯然，學生 SLG1 能理解線 段的垂直平分線的定義，但對其性質是不清楚的，因此只能以視覺所看到的特徵進行推理。
表4-3 整理學生 SLG1 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程。
圖4-3. 學生 SLG1 在任務一被引導使用 GGB 畫出同時通過 A、B 兩點的圓 表4-3. 學生 SLG1 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程
歷程 視覺化 幾何推理
釐清 題意
D：想像通過 A、B 兩點的圓及其個數 Q：SLG1 能理解所求圓必須同時通過 A、B 兩點
C：SLG1 在讀題後就認為通過 A、B 兩 點的圓有很多個
分析 與 探索
CU1：SLG1 在 GGB 中作直線 AB 後，
再作A B的中垂線，然後作出以
A B為直徑的圓
運用中垂線的尺規作圖知識找 A 和 B 的 中點，由此作以A B 為直徑的圓
歷程 視覺化 幾何推理
圖4-4. 學生 SLG2 在任務一中以目測方式畫圓
表4-4. 學生 SLG2 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程
歷程 視覺化 幾何推理
釐清 題意
D：想像通過 A、B 兩點的圓及其個數
C1：SLG2 認為通過 A、B 兩點的圓只 有兩個
CU1：畫出想像中的那個圓 Q：研究者提醒 SLG2 是需要同時通 過 A、B 兩點的圓
分析 與 探索
CU2：SLG2 先以目測的方式在A B 上方 大概中間位置取一點作圓心畫 圓，再以拖曳的方式，把圓拖動 到看似通過通過 A、B 兩點的位 置上
C2：SLG2 仍然認為這樣的圓只有兩個
CU3：SLG2 以類似的方式畫另一個想 像中的圓
C3：研究者提問是否這樣的圓是否只有 兩個，SLG2 想到這樣的圓可能有 第三個，位置「可以在中間」
歷程 視覺化 幾何推理 CU4：SLG2 找出 A、B 的中點畫以A B
為直徑的圓 R：研究者再次提問 確認圓的個數，
SLG2 想到這樣的圓有無限多個
計劃 與 執行
SLG2 表示符合要求的圓雖然知道有無
限多個，但他無法要準確的方法構圖 研究者提示思考畫圓的主要元素，
SLG2 回答「A、B 的中心跟距離」
CU5：SLG2 逐步發現除 A、B 的中點 外，只要在A B的中垂線上的點 都可作為圓心
感覺在中垂線上的點都與 A、B 兩點等 距離
驗證 與一 般化
IN：看到中垂線段上的點到 A、B 兩點 距離相等這個不變量
AS：SLG2 想找圓的半徑，即圓心到 A、B 距離相等的點
W：中垂線上任一點到 A、B 距離相等 B：中垂線上任一點「到兩個端點一
樣，它們的距離是一樣的」
註： 代表符合形式推論； 代表不符合形式推論或未能與推理內容連結；D 代表任務的資料；Q 代表任務的 限制條件；C 代表宣稱／結果臆測；CU 代表構圖／理解圖形資訊；R 代表反駁；AS 代表論述策略；IN 代 表尋找不變量；W 代表論據；B 代表支持
3.具備中幾何知識學生（SMP1 & SMP2）在紙筆環境下之表現
學生SMP1 在閱讀任務問題後，能理解題意是指同時通過 A、B 兩點的圓，並明確說出只 要在A B的中垂線上任取一點當圓心，就可以作出無限個同時通過 A、B 兩點的圓。因此在研 究者要求他在無限個圓中畫其中一個出來時，學生是直接以尺規作A B 的中垂線後，在上面 任意取一點，以該點和點 A 的距離為半徑畫圓，如圖 4-5 所示。研究者進一步請他說明原因 時，學生 SMP1 表示「它們兩個共同的距離…就是要有一個共同的長度，可以連到它們兩個
（點），代表它這樣繞一圈就是一個圓」，雖然敘述內容並不完整，但可看出學生知道中垂線 的性質，並在相關性質引導下完成構圖。表 4-5 整理學生 SMP1 在任務一中視覺化轉化幾何
（點），代表它這樣繞一圈就是一個圓」，雖然敘述內容並不完整，但可看出學生知道中垂線 的性質，並在相關性質引導下完成構圖。表 4-5 整理學生 SMP1 在任務一中視覺化轉化幾何