學生視覺化轉化幾何推理之過程

在文檔中 高一學生視覺化轉化為幾何推理之過程及其特徵 (頁 46-128)

有關高一學生在幾何推理任務中,其視覺化轉化幾何推理的過程及特徵分析,主要12 位 訪談學生以口述方式,說明對三個不同的幾何推理任務的想法。任務一是通過兩定點圓的構 圖,任務二是計算兩邊長相等之正方形,其重疊區域的面積,任務三則是依照題目敘述構圖,

再分析在不同四邊形 ABCD 中,按照敘述要求的四邊形 AECF 成為平行四邊形的主要特徵。

有關各訪談對象在不同任務中,參考Schoenfeld(1985)的問題解決的過程,將視覺化轉化幾 何推理分為釐清題意、分析與探索、計劃與執行、驗證與一般化四個階段說明,並以Toulmin 模型以及Nguyen(2012)提出 DGEs 在推理論證過程中所扮演的角色,分為下列要素描述,

包括:(1)任務的資料(D);(2)任務的限制條件(Q);(3)宣稱/結果臆測(C);(4)構 圖/理解圖形資訊(CU);(5)論述策略(AS);(6)尋找不變量(IN);(7)論據(W);(8)

支持(B);(9)反駁(R)。

(一)任務一

1.具備低幾何知識學生(SLP1 & SLP2)在紙筆環境下之表現

學生SLP1 閱讀任務問題後,先確認 A、B 兩點必須同時通過時,就馬上回答這樣的圓會 有無限多個。他先利用尺規作A B 的中垂線後找到中垂線與A B的交點,以該交點為圓心,作 以A B為直徑的圓。在作此圓後,學生也知道其他同時通過 A、B 兩點的圓的圓心,都落在A B

的中垂線上。因此在段被要求作出第二個圓時,學生SLP1 很快就在A B 的中垂線上隨便取一 點作圓心畫圓,結果如圖 4-1 所示。而他主要以「因為它們兩個是半徑,就是到 A 距離跟到 B 距離都一樣,就是半徑一樣就可以畫出來」來說明原因構圖的理據,當繼續被追問如何知 道半徑會一樣時,學生SLP1 以畢氏定理來解釋(兩直角邊相等的直角三角形其斜邊也相等); 換句話說,學生 SLP1 關注在半徑相等的描述可能主要來自於直觀感覺,有關垂直平分線性 質的並沒有因問題敘述或上述構圖過程而被觸發,但 SLP1 能夠轉為以畢氏定理論述垂直平 分線性質的內容,可見他的幾何推理是在其知識引導下進行的。表4-1 整理學生 SLP1 在任務 一中視覺化轉化幾何推理的主要過程。

 

這樣的圓應該至少有一個。由此,研究者要求學生把此圓畫出來,學生利用尺規作A B 的中垂 線後找到中垂線與A B的交點,以該交點為圓心,作以A B 為直徑的圓。在作此圓後,學生能 想像同時通過 A、B 兩點的圓無限多個,並能舉例說以A B為其中一條弦畫一個更大的圓,但 他認為自己沒辦法透過尺規作圖把這個想像的圓呈現出來。詢問他覺得構圖困難之處時,也 沒有辦法具體說明,因此引導他思考畫圓的關鍵後,他能夠想到要知道圓的半徑及圓心。再 進一步詢問圓心的位置時,他則回答就是在剛剛所畫的中垂線上,但仍然無法說出理由。因 此使用圓規再作出兩個不同大小的圓,才相信自己的猜想是正確的。接著詢問圓心落在中垂 線的原因也沒辦法很完整地說出中垂線的性質,只描述「兩端到中垂線的長…所以它的半徑 就會一樣」。當再次詢問是否只要在這個中垂線上任取一點都可以當作圓心,由此得到限多個 圓的想法時,學生決定再用圓規畫一個圓來確認,學生 SLP2 的解答如圖 4-2 所示。由此可 見,學生SLP2 非常依賴視覺所看到的結果,並藉由相關結果來確認相關幾何概念的正確性,

表4-2 整理學生 SLP2 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程。

  圖4-2. 學生 SLP2 在任務一共畫了四個通過 A、B 兩點的圓 表4-2. 學生 SLP2 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程

歷程 視覺化 幾何推理

釐清 題意

D:想像通過 A、B 兩點的圓及其個數 Q:SLP2 主動確認是同時通過 A、B 兩 點的圓

C:SLP2 認為通過 A、B 兩點的圓至少 有一個

分析 與 探索

CU1:SLP2 連結 A、B 兩點後,作A B

的中垂線,然後作出以A B為直 徑的圓

歷程 視覺化 幾何推理

R:SLP2 認為有比以A B為直徑更大的 圓,雖無法把想像的畫出來,但知 道這樣的圓有無限多個

研究者提示思考畫圓的主要元素,

SLP2 能回答「半徑……圓心」

計劃 與 執行

CU2:經提示思考畫圓要素後,SLP2 想 到以已畫的A B中垂線上的點作 為圓心。然而,研究者詢問是否 中垂線上任一點都可以時,SLP2 沒辦法回答,決定再以畫圖的方 式確認

知道中垂線的點到線段兩端距離相等

驗證 與一 般化

IN:看到中垂線段上的點到 A、B 兩點 距離相等這個不變量

AS:在中垂線上任取一點為圓心,並以 該點到 A、B 的距離為半徑畫圓 W:中垂線上的點到線段兩端距離相等 B:線段「兩端到中垂線的長…所以它

的半徑就會一樣」

CU3:當研究者再次詢問是否中垂線上 任一點都可以時,SLP2 仍沒辦法 確認,決定再畫一圓驗證

註: 代表符合形式推論; 代表不符合形式推論或未能與推理內容連結;D 代表任務的資料;Q 代表任務的 限制條件;C 代表宣稱/結果臆測;CU 代表構圖/理解圖形資訊;R 代表反駁;AS 代表論述策略;IN 代 表尋找不變量;W 代表論據;B 代表支持

2.具備低幾何知識學生(SLG1 & SLG2)在動態幾何環境下之表現

學生SLG1 在閱讀任務問題後,也能理解是同時通過 A、B 兩點的圓,並認為這樣的“圓"

有很多個,因此使用GGB 畫過 A、B 兩點的直線,並作A B的中垂線(因GGB 可以點選兩點 作中垂線,因此即使作過 A、B 兩點的直線,仍能作出其中垂線),由此作以A B 為直徑的圓。

然而,學生後來發現他所認為的很多個“圓"包含橢圓形的,經重新思考其個數後,學生仍 然認為能有無限多個圓通過 A、B 兩點,研究者請他描述圓的大概位置,他用手比了一個過 A、B 且比目前那個圓大的圓,但卻無法把他的想像在 GGB 上呈現出來。於是,研究者引導 學生SLG1 先任意畫一圓在旁邊,再把圓拖曳到他心目中的位置,如圖 4-3 所示。雖然學生能 看到大圓圓心的位置,但請他再畫下一個同時通過 A、B 兩點的圓時,他只想到以A B 為對稱 軸畫一個同樣大的。學生其實是可以想像那些無限多個圓的大概面貌,卻無法確認它們的確 切位置,後來經引導後,有感覺這些圓的圓心都在「A B線段的垂直線」,但他卻無法進一步 解釋原因,只能知道中垂線具有平分、垂直、無限延伸等特徵。顯然,學生 SLG1 能理解線 段的垂直平分線的定義,但對其性質是不清楚的,因此只能以視覺所看到的特徵進行推理。

表4-3 整理學生 SLG1 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程。

圖4-3. 學生 SLG1 在任務一被引導使用 GGB 畫出同時通過 A、B 兩點的圓 表4-3. 學生 SLG1 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程

歷程 視覺化 幾何推理

釐清 題意

D:想像通過 A、B 兩點的圓及其個數 Q:SLG1 能理解所求圓必須同時通過 A、B 兩點

C:SLG1 在讀題後就認為通過 A、B 兩 點的圓有很多個

分析 與 探索

CU1:SLG1 在 GGB 中作直線 AB 後,

再作A B的中垂線,然後作出以

A B為直徑的圓

運用中垂線的尺規作圖知識找 A 和 B 的 中點,由此作以A B 為直徑的圓

歷程 視覺化 幾何推理

圖4-4. 學生 SLG2 在任務一中以目測方式畫圓

表4-4. 學生 SLG2 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程

歷程 視覺化 幾何推理

釐清 題意

D:想像通過 A、B 兩點的圓及其個數

C1:SLG2 認為通過 A、B 兩點的圓只 有兩個

CU1:畫出想像中的那個圓 Q:研究者提醒 SLG2 是需要同時通 過 A、B 兩點的圓

分析 與 探索

CU2:SLG2 先以目測的方式在A B 上方 大概中間位置取一點作圓心畫 圓,再以拖曳的方式,把圓拖動 到看似通過通過 A、B 兩點的位 置上

C2:SLG2 仍然認為這樣的圓只有兩個

CU3:SLG2 以類似的方式畫另一個想 像中的圓

C3:研究者提問是否這樣的圓是否只有 兩個,SLG2 想到這樣的圓可能有 第三個,位置「可以在中間」

歷程 視覺化 幾何推理 CU4:SLG2 找出 A、B 的中點畫以A B

為直徑的圓 R:研究者再次提問 確認圓的個數,

SLG2 想到這樣的圓有無限多個

計劃 與 執行

SLG2 表示符合要求的圓雖然知道有無

限多個,但他無法要準確的方法構圖 研究者提示思考畫圓的主要元素,

SLG2 回答「A、B 的中心跟距離」

CU5:SLG2 逐步發現除 A、B 的中點 外,只要在A B的中垂線上的點 都可作為圓心

感覺在中垂線上的點都與 A、B 兩點等 距離

驗證 與一 般化

IN:看到中垂線段上的點到 A、B 兩點 距離相等這個不變量

AS:SLG2 想找圓的半徑,即圓心到 A、B 距離相等的點

W:中垂線上任一點到 A、B 距離相等 B:中垂線上任一點「到兩個端點一

樣,它們的距離是一樣的」

註: 代表符合形式推論; 代表不符合形式推論或未能與推理內容連結;D 代表任務的資料;Q 代表任務的 限制條件;C 代表宣稱/結果臆測;CU 代表構圖/理解圖形資訊;R 代表反駁;AS 代表論述策略;IN 代 表尋找不變量;W 代表論據;B 代表支持

3.具備中幾何知識學生(SMP1 & SMP2)在紙筆環境下之表現

學生SMP1 在閱讀任務問題後,能理解題意是指同時通過 A、B 兩點的圓,並明確說出只 要在A B的中垂線上任取一點當圓心,就可以作出無限個同時通過 A、B 兩點的圓。因此在研 究者要求他在無限個圓中畫其中一個出來時,學生是直接以尺規作A B 的中垂線後,在上面 任意取一點,以該點和點 A 的距離為半徑畫圓,如圖 4-5 所示。研究者進一步請他說明原因 時,學生 SMP1 表示「它們兩個共同的距離…就是要有一個共同的長度,可以連到它們兩個

(點),代表它這樣繞一圈就是一個圓」,雖然敘述內容並不完整,但可看出學生知道中垂線 的性質,並在相關性質引導下完成構圖。表 4-5 整理學生 SMP1 在任務一中視覺化轉化幾何

(點),代表它這樣繞一圈就是一個圓」,雖然敘述內容並不完整,但可看出學生知道中垂線 的性質,並在相關性質引導下完成構圖。表 4-5 整理學生 SMP1 在任務一中視覺化轉化幾何

在文檔中 高一學生視覺化轉化為幾何推理之過程及其特徵 (頁 46-128)