本研究分為兩個部分，第一部分的主要研究工具為一份「多向度幾何知識問卷」及學生 在問卷所作答內容的分析架構；第二部分的主要工具為訪談時所使用的幾何推理任務、動態 幾何環境以及半結構式訪談架構。上述內容將分述如下：
（一）多向度幾何知識問卷
參考 Ubuz 與 Aydın（2018）所設計有關三角形的「多向度幾何知識問卷」，並依據第二 部分的訪談任務，其主要幾何知識與全等三角形、平行四邊形、垂直平分線和圓半徑的概念 有關，因此針對這些幾何概念，分別設計不同的問題以檢測學生對相關概念的定義、圖形、
應用及推理，作為評定學生所具備相關幾何先備知識的依據。由此，多向度幾何知識問卷主 要由四大部分組成，包括相關概念的定義、圖形、應用和推理問題共12 題，所檢測的概念與 內容分布如表3-4 所示：
表3-4. 多向度幾何知識問卷內容之雙向細目表
全等三角形 平行四邊形 垂直平分線 圓
定義 1(1) 1(2) 1(3) 1(4)
圖形 2 3(1)(2)(3)(4) 4(3) 4(1)(2)(4)
應用 5 6 7 8
推理 9 10 11 12
（二）訪談使用之推理任務
參考洞察圖形解答所透過的操作性理解（Duval, 1995），它通常以適當的子圖分割、定位 及光學形式三種方式來觀察圖形後，可得到其解答或主要的證明步驟。其中，子圖選取的問 題與學生過去學習幾何內容的問題類似，主要透過正確選取全等三角形來得到證明平行四邊 形所需的條件，題目內容與Komatsu 與 Jones（2019）所使用的任務二類似，但把給定的平行 四邊形改為任意四邊形，一方面讓學生自行依據已知條件構圖，另一方面更能顯示他們對平 行四邊形相關概念進行臆測的可能情形。定位問題主要與改變圖形的位置或定位來尋找可能 的答案，相關問題參考並修改黃哲男（2001）訪談問卷中所用的 The Overlapping Squares Riddle 問題，該題可利用作輔助線並考慮三角形的全等來求解，或是透過圖形的旋轉來發現結構的 特徵。而光學形式的問題則考慮中學生要處理伸縮變換等內容並不容易，相關問題也可以視 為探討在變換過程中的軌跡與推理結果的關係，因此參考並修改Leung（2015）在動態幾何環 境中所使用之推理問題，作為分析學生在軌跡問題中所展現思維特徵的主要工具。考慮問題 的難易度，因此三個推理任務的內容、目標及訪談順序如表3-5 所示。
表3-5. 訪談問題內容及目標
考慮相關任務需要在動態幾何環境中進行討論，並參考Komatsu 與 Jones（2019）提出在 動態幾何環境的任務設計原則，任務應具有啟發式反駁（heuristic refutation）的功能，因此上 述任務時主要考量表 3-6 中的原則進行設計，讓受訪者有更多的機會表現個人想法以及發現 他們在推理過程中的可能特徵。
表3-6. 任務設計之對應參考原則
（三）動態幾何環境
本研究主要使用動態幾何軟體GeoGebra 作為學生探索推理活動的媒介，圖 3-3 以任務一 為例，說明該軟體環境在學生進行推理任務時的主要設計。
圖3-3. 動態幾何軟體 GeoGebra 環境
首先，GeoGebra 是可以同時以代數及幾何方式展現任何幾何或函數圖形的工具，因此原
工具列
上還有不同的圖形變換（線對稱、點對稱、反演、旋轉、平移、伸縮）、向量、圓錐曲線（橢 圓、雙曲線、拋物線等）、數值滑杆、勾選框、按鈕等控制物件的功能。然而，這些功能與本 研究並不直接相關，為減少第一次接觸該軟體時，因需要認識該軟體不同功能所產生的負荷，
本研究把工具列精簡為學生熟識及有可能使用的工具為主，如圖 3-3 上方的工具列所示。另 外，箭頭標誌工具的功能為移動自由物件，因GeoGebra 各項工具選取並使用後，不會自動跳 回移動工具，例如在畫垂線後，使用者必須再次點選移動工具才能進入拖曳自由物件的環境，
因此移動工具是工具列中最常用的工具。為了在頻繁使用中方便選取，本研究將移動工具移 到靠近畫面的中間。在工具列的下方為繪圖區，還可以因需要選擇顯示代數區、試算表、運 算區、副繪圖區、3D 繪圖區等。
考慮學生多數第一次使用GeoGebra，因為在副繪圖區（圖 3-3 右半部）寫出相關軟體的 主要功能，提供學生作為參考也是簡介軟體功能時的依據，待探索的任務則放置在主繪圖區
（圖 3-3 左半部），以方便操作。在學生使用 GeoGebra 的過程中遇到困難，訪談時會讓學生 自行說出所需要的構圖，再指導學生使用GeoGebra 完成。
（四）半結構式訪談架構
Stylianides（2007）認為使用口語、實體物件、圖像、符號等都可以是論述的表徵形式，
Stylianides（2015）的研究也說明對於剛掌握證明概念的高一學生，使用口語方式進行論證較 使用書寫方式能讓他們展現更完整及更高層次的論述。除此以外，訪談也能展現學生較多的 原始想法，以學生的外在表現（口語描述、手勢、拖曳圖形等）以及藉由進一步的查問得知 他們的思考歷程。因此，本研究採用半結構式訪談的形式，以完成任務為目標，讓受訪學生 以口語方式敘述推理的過程。
推理活動與數學解題活動類似，可分為讀題、分析、探索、計劃與執行、驗證（Schoenfeld, 1985）等階段分別進行。因此，本研究按照上述階段擬定半結構訪談問題，內容包括：
1.讀題階段
先讓學生自行閱讀題目，經過若干時間後詢問學生：
․你是否看得懂題目的內容？
․如果學生不懂，請他提出不明白的地方；如果懂，請他說明題目的已知條件有哪些？要求 證什麼？
2.分析階段
在確認學生理解題意後，若學生沒有對任務提出進一步的想法時，會詢問學生思考的方向：
․任務一：你直觀覺得同時通過 A、B 兩點的圓有幾個？不論學生回答幾個，都請他使用工 具畫其中一個出來。
․任務二：針對求面積的問題，你通常會使用什麼方法？
․任務三：提醒學生要依據題目步驟先畫出圖形。學生通常對任意四邊形存有疑慮，此時會 提示他們可按照他們個人的想法隨意繪畫一個四邊形進行觀察。
3.探索階段
若學生沒有任何外在行動，可先詢問他現在在看（圖的）哪裏？由此依循學生的想法引導探 索。在學生有初步的方向後，對完成任務的可能方法進行提問：
․任務一：在你畫第一個圓的過程中，會不會讓你覺得同時通過 A、B 兩點的圓不只一個？
若學生一開就認為有不只一個圓，則請學生再次使用工具畫第二個（第三個，如 有需要）圓。
․任務二：若學生無法找到求灰色區域的方法，則逐步提示兩個正方形的關鍵要素，包括第 二個正方形的頂點在第一個正方形的位置，以及兩個正方形的重疊情形。
․任務三：依據你目前所畫的四邊形，AECF 會是平行四邊形嗎？如果會，ABCD 是什麼四 邊形？如果不會，你猜測什麼樣的 ABCD 才能讓 AECF 成為平行四邊形？
4.計劃與執行階段
要求學生對任務所作的猜測提供有效的證明，引導學生說明任務的微觀和局部的證明
（Duval, 1998）過程。
․任務一：（引導）學生發現圓心在垂直平分線上後，詢問同時通過 A、B 兩點的圓，其圓 心在垂直平分線的依據。
․任務二：（引導）學生可藉由拼補的方式說明旋轉後的重疊面積與原灰色區域面積相同，
請他們說明原因。
․任務三：（引導）學生說明他們所找到的 ABCD（一般是長方形或平行四邊形）可以讓 AECF 成為平行四邊形的原因，過程中若出現正方形、菱形等猜想，也請他們說明這些 圖形無法讓 AECF 形成四邊形的原因。
5.驗證與一般化階段
由於證明過程就包含不斷驗證猜想或檢驗推理過程的正確性，因此，最後階段主要針對一般 化的情形來進行訪談。前兩個任務已包含一般化情形，可視學生的推理思路，進一步詢問他 們的想法，以掌握更多思維特徵。而任務三則可以更進一步地詢問他們認為還有哪些可能可 以讓四邊形 AECF 成為平行四邊形？盡量引導學生找出一般化的解答。