幾何論證的思維發展及其影響要素

在文檔中 高一學生視覺化轉化為幾何推理之過程及其特徵 (頁 22-25)

幾何是數學學習中的重要內容之一,它主要研究各種具體或抽象的幾何圖形的性質及其 變化(如:平移、旋轉、縮放等)的一門學科(吳志揚、陳文豪,2004),並藉由邏輯推理的 方式來說明各種圖形性質的關係及證明。然而,學生的幾何認知發展是透過具體事物到抽象 思維的一個漸進發展過程。根據van Hiele 的幾何思維發展層次(Crowley, 1987),它可以分 為五個層次,分別是:

層次0:視覺(visualization)

此階段學習者是從外觀來認識圖形,他們視相關的幾何概念為一個整體,並常常與一個 他們已知的原型(prototype)作比較,但圖形的相關性質還未能辨識出來。

層次1:分析(analysis)

透過觀察或實驗,此階段的學習者開始辨識各圖形的特徵,他們區辨圖形以其屬性為主,

如從對邊互相平行的四邊形辨識不同形狀的平行四邊形。然而,學習者還不清楚不同性質之 間的關係,即他們能描述一個圖形的相關性質,但不知道哪些是確定這個圖形的充分或必要 條件。

層次2:抽象/非形式演繹(abstraction / informal deduction)

此階段學生能感知圖像各性質之間以及不同圖像之間的關係,他們能夠從定義、定理中 提出非正式的論證來說明推理的合理性,並且能知道圖像集合之間的包含關係及意涵。然而 他們還沒能掌握邏輯順序的改變,或如何從不同的前提建構一個證明。

層次3:形式演繹(formal deduction)

此階段學習者能夠建構而不只是記憶證明,他們能理解公理、假設、定義、定理等角色,

以及瞭解充分和必要條件之意義,由此知道敘述與逆敘述之間的差異,並理解證明可由不只 一種方法完成。

層次4:嚴密性(rigor)

此階段學習者能夠在不同的公理化系統下執行推理,並比較不同數學系統中相關概念的 差異。此時,幾何的相關概念已被完全視為抽象物件。

由上述幾何思維發展層次可見,相關的推理是從著重視覺(visual) 、描述分析(descriptive-analytic)到抽象關係(abstract-relational)的一個發展過程(Battista, 2007)。這樣的過程在相 應的教學安排上可分為三大類型的幾何學(Houdement & Kuzniak, 2004):

幾何Ⅰ:自然幾何(natural geometry)

與現實密切相關的部分,藉由感知和工具,常以直觀對實體物件作即使的感知、實驗或 演繹。在數學模型和現實之間可作來回切換並允許由此提出證明,屬於靠直觀和實驗的經驗 領域,對應van Hiele 從層次 0 至層次 2 的發展過程。

幾何Ⅱ:自然公理化幾何(natural axiomatic geometry)

基於公理系統中的假設性演繹法則。公理系統雖然是必要的,但所使用的公理接近我們 周圍空間的直觀現象;且公理系統可以不完備,但內部演示的發展性和確定性卻是必需的。

此類型幾何學介於自然幾何和形式公理化幾何之間的過渡,對應van Hiele 從層次 2 到層次 3 的發展過程。

幾何Ⅲ:形式公理化幾何(formalist axiomatic geometry)

在這個幾何學中,現實和公理化世界之間不再有連結。它與自然公理化幾何中的推理方 式是一樣的,但此時公理系統已經完備並獨立於現實世界的應用,並對應van Hiele 從層次 3 到層次4 的發展過程。

由此可見,發展自然公理化幾何的相關能力,既是建立抽象思維的基礎,也是發展形式 演繹推理的過渡。Stylianou、Chae 與 Blanton(2006)認為在推理探索的過程中,學習者至少 進行四種活動,包括:(1)為後續活動設定目標;(2)將敘述/命題符號化;(3)探索敘述和 嘗試洞察問題的狀況;(4)將新的資訊連結到原來的問題上。Boero(1999)對這樣的臆測的 產生和數學證明的建構過程更詳細地分為六個階段來描述,包括:(1)產生一個猜想;(2)

提出猜想的敘述;(3)探索猜想的有效性;(4)以演繹方式選取和連結相關的論述;(5)組 織相關論述為可接受的證明;(6)產生一個形式證明。雖然這樣的過程在數學家的日常工作 中並非必定順利按照階段的先後順序進行,例如在組織相關論述時發現有不合理的論點,就 必須重新探索問題的條件或假設,從而提出一個新的敘述來繼續證明,但是 Boero 所強調的 是給予學習者產生猜想及判斷其有效性的空間及機會,因此強調產生猜想與建構證明之間的

「定理的認知一致性」(cognitive unity of a theorem)。上述階段雖有助於學生在處理數學證 明問題,但有兩個問題必須面對,一是學生考慮論述的本質是否可以作為有效性的可信論點,

即他們可以使用實驗性的論點(如測量)、視覺證明、身體參照等,這些論點大部分在第(1)

和第(3)階段有關定理的探索活動是有用的,但自第(4)階段起就必須回歸到理論性的論 點。二是推理本質需要由學生自行產生。如當學生發現例子、類比等來幫助確定一個敘述的 有效性,這在第(1)、第(3)階段是非常有幫助的,但這些例子到第(4)階段就變成不同 的功能,因這種分性析的證明系統主要是以邏輯演繹方式來作為推論臆測的有效性,所以特 定的例子在第(5)階段則不能被接受。因此相關能力的發展是循序漸進的,在具體操作和實 驗的過程中,產生猜想從而建構數學證明,如圖2-6 所示,從經驗區域到理論區域的過渡,將 成為推理論證的重要橋樑。也就是說,學習者從給定的資訊,經過分析探索再提出猜想的過

程,是幾何思維發展脈絡的重要線索,這樣的過程將與學習者所具有的想法、當下所獲取的 視覺資訊以及邏輯推理能力存在密切的交互關係。

  圖2-6. 幾何推論過程

而平面幾何的相關內容是國中階段數學教學的重要目標之一,各年級分別學習直觀幾何

(直觀、辨識與描述)、測量幾何、推理幾何(教育部,2018),正是幫助學生發展從具體到 抽象概念的一種設計。但也因為這種需要循序漸進的發展過程以及知識之間的密切關係,致 使學習者的過去學習經驗及其背景知識,對圖形的解釋及推理有重要的影響(Dreyfus, 1991;

Vekiri, 2002),例如高成就學生較低成就學生在處理幾何問題時觸發較多相關的幾何概念基模

(Chinnappan, 1998)。

Tall 與 Vinner(1981)認為很多數學概念都存在著一個複雜的認知結構,主要可分為概念 定義(concept definition)和概念心像(concept image)來描述。它們可視為數學知識的主要 組成部分,因為概念定義是以文字的形式來明確說明相關概念,一般而言這樣的描述需要被 數學社群所認可而非個人的理解,而概念心像則與該概念相關的總體認知結構,包括心智圖 形、相關性質及過程,是我們回想、理解或操弄一個概念時的主要內涵,從而顯示對相關概 念的掌握程度。Chinnappan、Ekanayake 與 Brown(2012)認為特定的領域知識以及一般性的 技能是影響問題解決表現的兩大主要元素,這樣的要素對描述建構幾何論證的相關概念一樣 合適。其中,特定的領域知識包括該領域獨有的概念、原則和慣例,通常再細分為陳述性知 識(declarative knowledge)、程序性知識(procedural knowledge)以及條件推理(conditional knowledge)(Chinnappan, 1998)。陳述性知識與數學事實訊息有關,包括對數學物件的定義和 辨識;程序性知識則是應用規則、運算法、程序等來解決數學任務;而條件推理描述對於一

個關聯式法則(relational rules)的理解,由此提供理由或依據,這些法則通常以「若……,

則……」的形式呈現。Ubuz 與 Aydın(2018)以這三種知識為架構設計有關三角形的多向度 幾何知識問卷,研究結果顯示這三個維度可以作為設計檢測相關概念知識問卷的主要結構。

Schoenfeld(1985)提出啟思(heuristics)和控制(control)是問題解決中重要的知識和行為 之一,當中所包含的構圖、解題策略或技巧、計劃、監控、決策等技能都可視為一般性的技 能。Chinnappan 等人建議可從學習者對問題內容的理解、所使用的表徵、解題策略、對先備 知識的應用等面向來分析學習者在問題解決技巧中的認知過程,也同時顯示影響解決幾何任 務的要素是多元的,其中還需要考慮學習者的推理技巧以及空間想像能力。

推理主要與邏輯思維、反思、解釋和證成(justification)的能力有關(Kilpatrick et al., 2001)。 在數學國際評比中,推理被認為是問題解決的核心(Organisation for Economic Co-operation and Development, 2018),並在問題解決的過程中適時發揮作用。國際數學與科學成就趨勢調查

(TIMSS)所定義的推理涉及觀察和提出猜想的能力。在推理形式上,除了使用基於特定假 設、規則的邏輯演繹推理外,還包括基於樣式和規律的直觀和歸納推理。在具體表現上,學 習者應該可以從分析、綜合、評量、形成結論、一般化和說明論述的正當性上展現他們的推 理技巧(Lindquist, Philpot, Mullis, & Cotter, 2017)。其中分析是有關依據給定的訊息所做的決 定、描述或適當地使用數量、圖形、表達式等有助於推論結果的方式,綜合是指連結知識、

相關表徵和程序等不同元素來解決問題,評量則是有關評估不同的解題策略和解答,從而基 於訊息和證據來作有效的推理以形成結論,一般化則是讓敘述推論到更一般情況或更廣大的 應用,而說明論述的正當性則是提出適當的理由來支持所使用的策略和推論的結果。這些具 體表現既反映了解決問題的歷程,也提供觀察及分析學習者在解決幾何任務中所展現推理技 巧的可能途徑。

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