高一學生視覺化轉化為幾何推理之過程及其特徵

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(1)國立臺灣師範大學數學系博士班博士論文. 指導教授：左台益博士. 高一學生視覺化轉化為幾何推理之過程及其特徵. 研究生：李健恆. 中華民國一零八年八月.

(2) 謝辭當時間巨輪不停地轉動時，人就在不經不覺間得到了歷練和成長。感恩一直幫助我成長的所有人，尤其是我的指導教授左台益老師，這些年來跟著老師學習到很多學術研究上的學問以及做人處世的道理，這些都是我寶貴的資源，也將助我邁進人生的新階段。除了左老師多年以來的諄諄教誨外，還必須感謝楊凱琳教授、陳明璋教授、李俊儀教授在論文寫作上給予我很多的機會及指導，成就了今天的我。論文計劃書雖有眾多不足，但感謝我的口試委員楊德清教授、吳昭容教授、楊凱琳教授以及許慧玉教授所給予的機會及指導，讓自己的夢想有了實現的一天。在整個研究的過程中，要特別感謝淑娟老師和卜仁老師多次協助進行不同的前導性探索研究，讓論文方向一步一步地得到確立；也感謝慶安老師，在前導研究時所給予的協助，同時感謝奕翊同學和子聰同學，他們在研究工具上給予重要的修改建議，讓研究能更順利地進行；更要感謝在研究階段中給予充份協助的逸超老師、裕益老師、舜淵老師、前佑老師、明縣老師、佩德老師以及俊瑋老師，在老師們的悉心安排下，讓所有的問卷以及訪談都得以順利進行；最後還要感謝珈華在百忙中抽空協助我進行研究結果的三角校正工作。所有的事情並不是在一瞬間形成或完成，因此還是要感謝我過去的學生們，他們在數學學習上的點點滴滴，是完成這份論文最原始的動力；也感謝這些年來不斷鼓勵我努力向前的親朋好友以及過去的同事們，他們所給的關懷，是完成這份論文的支持力量；最後更要感謝我的家人，讓我無後顧之憂地完成自己的一個夢想，是這份論文得以完成的最大能量來源。感謝這一切！.

(3) 高一學生視覺化轉化為幾何推理之過程及其特徵摘要推理是數學研究與學習中的重要工作，演繹推理更是國中幾何學習的重點，卻也是學生不易掌握的內容之一。在幾何推理的過程中，圖像與概念密切地相互作用，且從圖像中獲取的資訊會與個體心智中的想法作連結，從而進行幾何推理的視覺化過程，將能提供學習者在推理過程中所展現特徵的重要參考。隨著科技快速發展，科技工具提供有效的構圖、視覺化及推理支助。然而，幾何推理對學習者來說仍然存在相當的困難，這樣的工具也沒有在學習幾何推理時被廣泛使用。本研究目的在探討已習相關幾何內容的高一學生，透過質性訪談分析他們從視覺化轉化為幾何推理的過程及特徵。訪談內容包含三個幾何推理任務，學生以口述方式在紙筆或動態幾何環境下說明對這些推理任務的想法，並整合 Toulmin 論證模型和在動態幾何環境推論的特色，由此分析訪談逐字稿及錄影影像進行學生之推理過程。研究結果顯示不同知識程度的學生在論述策略的選取、尋找不變量以及直觀條件的使用對其推理歷程有較大的影響，使用動態幾何軟體則有助於他們發展一般化的推理結果。由學生從視覺化到幾何推理的過程中，藉由幾何知識與幾何物件之間的連結，可以分為以物件外觀為主導、以物件元素為主導、以幾何知識為主導和以邏輯關係為主導四個階層描述，其中依據子圖的層次關係與圖形的結構，以幾何知識為主導和以邏輯關係為主導的階層又各細分為兩個層次來描述。未來教學及研究可考慮兼顧推理過程中各個階段以及培養不同視覺化轉化幾何推理階層的任務設計，並探討學生在上述任務設計的表現及主要困難，以進一步幫助學生發展適當的視覺化以達到不同階層的幾何推理。. 關鍵詞：動態幾何、推理過程、幾何推理、視覺化.

(4) The Thinking Characteristics of the Shifts from Visualization to Geometrical Reasoning by Students in Senior One Abstract Reasoning and argumentation are essential for mathematical studies and learning. Deductive reasoning is the main learning objective of geometry in junior secondary school; however, it is one of the hardest skills to master for students. In the process of geometrical reasoning, figures and concepts interact simultaneously. The process from visualization to geometrical reasoning is mainly supported by the connection between the information from the figures and the ideas from individuals’ mind. An important reference can be provided by revealing students’ characteristics during their reasoning process. With the rapid development of science and technology, technological tools can provide effective support for construction, visualization, and reasoning. However, geometrical reasoning is still difficult for students and the tools are also not yet widely accepted in the learning of geometrical reasoning. This study aims at discussing the reasoning process and characteristics for the shifts from visualization to geometrical reasoning by students in senior one who have already learnt geometry. Using a semi-structured interview, three reasoning tasks are used. Students are asked to orally present their ideas about the tasks with a paper-and-pencil or dynamic geometry environment. Their reasoning process is analyzed by their transcripts and captions using the combination of Toulmin’s argument model and the reasoning features of dynamic geometry environment. Results showed that selecting argumentative strategies, finding the invariances, and using intuitive judgment are the main elements that can influence the reasoning process for students with different levels of knowledge. The geometrical imagination mainly supports an effective conjecture and then the dynamic geometry environment encourages the generalization of reasoning results. Hence, the shifts from visualization to geometrical reasoning can be described as the connection between geometrical knowledge and geometric objects by four levels: appearance-oriented, element-oriented, knowledgeoriented, and logic-oriented. By the structure of the figure and the relation of the sub-figures, the knowledge-oriented and logic-oriented levels are also described by two sub-levels respectively. Future studies may consider designing geometrical tasks that include various stages of reasoning process and different visualization levels for geometrical reasoning instruction. Students’ performance and difficulties with these geometrical tasks are required to analyze and discuss for developing suitable visualizations with different levels of geometrical reasoning. Keywords: dynamic geometry; reasoning process; geometrical reasoning; visualization.

(5) 目錄第壹章緒論 ...................................................................................................................................... 1 第一節研究背景及動機 .......................................................................................................... 1 第二節研究目的與問題 .......................................................................................................... 5 第三節名詞解釋 ...................................................................................................................... 5 第貳章文獻探討 .............................................................................................................................. 6 第一節視覺化 .......................................................................................................................... 6 第二節幾何推理 ...................................................................................................................... 9 第三節幾何論證的思維發展及其影響要素 ........................................................................ 13 第四節動態幾何環境 ............................................................................................................ 16 第參章研究方法 ............................................................................................................................ 22 第一節研究設計 .................................................................................................................... 22 第二節研究流程 .................................................................................................................... 23 第三節研究對象 .................................................................................................................... 25 第四節研究工具 .................................................................................................................... 27 第五節資料分析 .................................................................................................................... 32 第肆章研究結果 ............................................................................................................................ 37 第一節學生視覺化轉化幾何推理之過程 ............................................................................ 37 第二節幾何知識對視覺化轉化幾何推理之影響 .............................................................. 119 第三節動態幾何環境對視覺化轉化幾何推理之影響 ...................................................... 144 第伍章討論與建議 ...................................................................................................................... 149 第一節結論與討論 .............................................................................................................. 149 第二節教學及研究建議 ...................................................................................................... 151 參考文獻 .......................................................................................................................................... 153 附錄一：多向度幾何知識問卷 ...................................................................................................... 162 附錄二：多向度幾何知識問卷評分標準 ...................................................................................... 165 . .

(6) 表目錄表 2‐2. DGEs 推理任務設計原則 ...................................................................................................... 21 表 3‐1. 不同程度學生分數對照表 .................................................................................................. 25 表 3‐2. 不同先備知識程度的學生人數 .......................................................................................... 25 表 3‐3. 訪談學生相關資料 .............................................................................................................. 26 表 3‐4. 多向度幾何知識問卷內容之雙向細目表 .......................................................................... 27 表 3‐5. 訪談問題內容及目標 .......................................................................................................... 28 表 3‐6. 任務設計之對應參考原則 .................................................................................................. 29 表 3‐7. 各任務推理歷程要素之內容示例 ...................................................................................... 35 表 4-1. 學生 SLP1 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................... 38 表 4-2. 學生 SLP2 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................... 39 表 4-3. 學生 SLG1 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................... 41 表 4-4. 學生 SLG2 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................... 43 表 4-5. 學生 SMP1 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程 .............................................. 45 表 4-6. 學生 SMP2 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程 .............................................. 46 表 4-7. 學生 SMG1 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程 .............................................. 47 表 4-8. 學生 SMG2 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程 .............................................. 49 表 4-9. 學生 SHP1 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................... 51 表 4-10. 學生 SHP2 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................. 52 表 4-11. 學生 SHG1 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................ 54 表 4-12. 學生 SHG2 在任務一中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................ 56 表 4-13. 表 4-14. 表 4-15. 表 4-16. 表 4-17. 表 4-18. 表 4-19. 表 4-20. 表 4-21. 表 4-22. 表 4-23. 表 4-24. 表 4-25. 表 4-26. 表 4-27. 表 4-28. 表 4-29. 表 4-30. . 各訪談對象在任務一中所需給予的提示總結 ................................................................ 58 學生 SLP1 在任務二中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................. 59 學生 SLP2 在任務二中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................. 60 學生 SLG1 在任務二中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................. 62 學生 SLG2 在任務二中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................. 63 學生 SMP1 在任務二中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................ 65 學生 SMP2 在任務二中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................ 66 學生 SMG1 在任務二中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................ 68 學生 SMG2 在任務二中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................ 69 學生 SHP1 在任務二中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................. 71 學生 SHP2 在任務二中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................. 72 學生 SHG1 在任務二中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................ 73 學生 SHG2 在任務二中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................ 74 各訪談學生在任務二中所需提示或輔助總結 ................................................................ 75 學生 SLP1 在任務三中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................. 77 學生 SLP2 在任務三中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................. 80 學生 SLG1 在任務三中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................. 84 學生 SLG2 在任務三中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................. 86 .

(7) 表 4-31. 表 4-32. 表 4-33. 表 4-34. 表 4-35. 表 4-36. 表 4-37. 表 4-38. 表 4-39. 表 4-40. 表 4-41. 表 4-42. 表 4-43. 表 4-44. 表 4-45. 表 4-46. 表 4-47.. . . 學生 SMP1 在任務三中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................ 90 學生 SMP2 在任務三中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................ 92 學生 SMG1 在任務三中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................ 96 學生 SMG2 在任務三中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ............................................ 99 學生 SHP1 在任務三中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ........................................... 101 學生 SHP2 在任務三中視覺化轉化幾何推理的主要過程 ........................................... 104 學生 SHG1 在任務三中視覺化轉化幾何推理的主要過程 .......................................... 107 學生 SHG2 在任務三中視覺化轉化幾何推理的主要過程 .......................................... 110 訪談學生有關垂直平分線問題的作答表現 .................................................................. 120 訪談學生在任務一中視覺化轉化幾何推理歷程總結 .................................................. 120 訪談學生在任務一的表現總結 ...................................................................................... 122 訪談學生有關全等三角形問題的作答表現 .................................................................. 126 訪談學生在任務二中視覺化轉化幾何推理歷程總結 .................................................. 127 訪談學生在任務二的表現總結 ...................................................................................... 128 訪談學生有關判定平行四邊形問題的作答表現 .......................................................... 132 訪談學生在任務三中視覺化轉化幾何推理歷程總結 .................................................. 133 訪談學生在任務三的表現總結 ...................................................................................... 134 . .

(8) 圖目錄圖 1-1. 幾何活動中的認知過程 ........................................................................................................ 2 圖 2-1. 水管噴出的拋物線水柱 ........................................................................................................ 7 圖 2-2. 不同類型的視覺化 ................................................................................................................ 8 圖 2-3. Toulmin 論證模型................................................................................................................. 10 圖 2-4. 垂直概念的圖像組態 .......................................................................................................... 11 圖 2-5. 同時使用圖像之理論性的幾何性質及空間圖形性質的例子 .......................................... 12 圖 2-6. 幾何推論過程 ...................................................................................................................... 15 圖 3-1. 研究架構 .............................................................................................................................. 23 圖 3-2. 研究流程 .............................................................................................................................. 24 圖 3-3. 動態幾何軟體 GeoGebra 環境 ............................................................................................ 30 圖 3-4. 幾何推理任務中從視覺化轉化幾何推理之主要過程 ...................................................... 34 圖 4-1. 學生 SLP1 在任務一中使用尺規作出同時通過 A、B 兩點的圓 .................................... 38 圖 4-2. 學生 SLP2 在任務一共畫了四個通過 A、B 兩點的圓 .................................................... 39 圖 4-3. 學生 SLG1 在任務一被引導使用 GGB 畫出同時通過 A、B 兩點的圓 ......................... 41 圖 4-4. 學生 SLG2 在任務一中以目測方式畫圓 ........................................................................... 43 圖 4-5. 學生 SMP1 直接在中垂線上任取一點當圓心作過 A、B 兩點的圓 ............................... 45 圖 4-6. 學生 SMP2 在任務一中發現中垂線上的點都可以當圓心 .............................................. 46 圖 4-7. 學生 SMG1 使用 GGB 過三點畫圓的工具展示通過 A、B 兩點的圓 ............................ 47 圖 4-8. 學生 SMG2 原以目測方式畫第二個圓 .............................................................................. 49 圖 4-9. 學生 SHP1 先以目測方式畫出通過 A、B 兩點的圓 ........................................................ 50 圖 4-10. 學生 SHP2 在任務一中所畫的圓 ..................................................................................... 52 圖 4-11. 圖 4-12. 圖 4-13. 圖 4-14. 圖 4-15. 圖 4-16. 圖 4-17. 圖 4-18. 圖 4-19. 圖 4-20. 圖 4-21. 圖 4-22. 圖 4-23. 圖 4-24. 圖 4-25. 圖 4-26. 圖 4-27. . 學生 SHG1 在 A B 的中垂線上任取一點後使用 GGB 過三點的畫圓工具 ................... 54 學生 SHG2 誤以為任務一中 A、B 兩點可以分別通過 ................................................. 56 學生 SLP1 在任務二中同一個角的餘角相等之推理 ..................................................... 59 學生 SLP2 在任務二畫出正方形相鄰兩邊的中垂線 ..................................................... 60 學生 SLG1 在任務二對求灰色區域面積方法的一個猜想 ............................................. 61 學生 SLG2 在任務二中轉動正方形 ................................................................................. 63 學生 SMP1 以想像的方式說明兩個三角形其中一邊相等的原因 ................................ 65 學生 SMP2 在任務二中所考慮的區域頂點 .................................................................... 66 學生 SMG1 把正方形旋轉到另一個可以說明面積為四分之一的位置 ........................ 68 學生 SMG2 嘗試不同的切割方法計算面積 .................................................................... 69 學生 SHP1 以旋轉的方式說明兩個三角形相等的原因 ................................................. 70 學生 SHP2 一開始就知道要畫過中心的水平和鉛垂線求面積 ..................................... 71 學生 SHG1 把想像中旋轉前後圖形的差異呈現出來 .................................................... 73 學生 SHG2 有直觀檢測線段相等的想法 ........................................................................ 74 學生 SLP1 在任務三中畫出第一個符合條件的四邊形 ABCD 為長方形 ..................... 76 學生 SLP2 在任務三中畫出第一個符合條件的四邊形 ABCD 為長方形 ..................... 79 學生 SLG1 在任務三測量∠CFB 的度數 ........................................................................ 83 .

(9) 圖 4-28. 學生 SLG2 在任務三中證明兩線平行的直觀猜想 ......................................................... 86 圖 4-29. 學生 SMP1 所畫的任意四邊形 ABCD ............................................................................. 89 圖 4-30. 學生 SMP2 在任務三中畫 ABCD 為長方形 .................................................................... 92 圖 4-31. 圖 4-32. 圖 4-33. 圖 4-34. 圖 4-35. 圖 4-36. 圖 4-37. 圖 4-38. 圖 4-39. 圖 4-40. 圖 4-41. 圖 4-42. 圖 4-43. 圖 4-44. 圖 4-45. 圖 4-46. 圖 4-47. 圖 4-48. 圖 4-49. 圖 4-50. 圖 4-51.. 學生 SMG1 一開始就觀察到 AE 和 C F 是平行的 ......................................................... 95 學生 SMG2 發現中 E 和 F 符合條件的非典範四邊形 ABCD ....................................... 98 學生 SHP1 徒手畫長方形和任意四邊形來比較它們之間的差異 ............................... 101 學生 SHP2 在自己繪畫的直角梯形中看到 E、F 重疊的情形 .................................... 104 學生 SHG1 拖曳 ABCD 為一般四邊形卻能讓 AECF 成為平行四邊形 ...................... 107 學生 SHG2 在拖曳過程中看到 AECF 為平行四邊形的其他四邊形 .......................... 110 視覺化轉化幾何推理之階層 1 示意圖 .......................................................................... 113 視覺化轉化幾何推理之階層 2 示意圖 .......................................................................... 114 視覺化轉化幾何推理之階層 3-1 示意圖 ....................................................................... 115 視覺化轉化幾何推理之階層 3-2 示意圖 ....................................................................... 116 視覺化轉化幾何推理之階層 4-1 示意圖 ....................................................................... 117 視覺化轉化幾何推理之階層 4-2 示意圖 ....................................................................... 118 低幾何知識學生在任務一之推理歷程 .......................................................................... 123 中幾何知識學生在任務一之推理歷程 .......................................................................... 124 高幾何知識學生在任務一之推理歷程 .......................................................................... 125 低幾何知識學生在任務二之推理歷程 .......................................................................... 129 中幾何知識學生在任務二之推理歷程 .......................................................................... 130 高幾何知識學生在任務二之推理歷程 .......................................................................... 131 低幾何知識學生在任務三之推理歷程 .......................................................................... 136 中幾何知識學生在任務三之推理歷程 .......................................................................... 137 高幾何知識學生在任務三之推理歷程 .......................................................................... 139 . 圖 4-52. 動態幾何軟體與紙筆環境在推理過程中的主要差異 .................................................. 148 . .

(10) 第壹章緒論第一節. 研究背景及動機. 推理學習是數學學習中重要環節，數學與其他學習領域主要差異在於其結構具累積性，發展相關能力時既依賴直覺又需要推理（教育部，2018），相關能力可讓學習者瞭解並使用知識對不同概念之間的關係作邏輯性的思考與說明，這樣的能力培養是幾何學習的主要目標之一，其最終目標是期盼學習者能將推理證明變成一種思維習慣並應用到各個領域上去（Common Core State Standards Initiative, 2010）。其中，演繹推理是推理證明的重要方式之一，也是國中數學幾何領域的學習核心（教育部，2018），其內容主要源於《幾何原本》的前六卷，原文內容是透過五大公設為基礎的架構，透過嚴謹的演繹方式，發展出很多與平面圖形有關的性質。然而，這樣的學習內容普遍對學生都存在一定的困難（鄭英豪，2010; Ali, Bhagawati, & Sarmah, 2014; Reiss & Heinze, 2004; Sears & Chávez, 2015），因此探討學生的幾何證明學習成為數學教育的重要議題之一（Hanna & de Villiers, 2012; Stylianides & Harel, 2018）。在推理的過程中，圖像與概念是密切地相互作用（Fischbein, 1993）。Larkin 與 Simon（1987）認為在解題時相較於文字敘述，圖像是以位置關係來呈現資訊，並支持大量知覺推論（perceptual inferences），即只要看到圖就能立即辨識其中的元素關係（如對頂角相等）。圖像也能讓資訊聚集在一起呈現，避免需要大量搜尋與推論相關的元素，以及不需要與符號標示作配對。因此，圖像能使抽象的資訊更具體化，在幾何推理問題中，以圖像作推論是幫助證明的重要工具（Koedinger & Anderson, 1990）。Duval（1998）認為構圖（construction）、視覺化（visualization）以及推理（reasoning）是幾何活動中三種主要的認知過程，其關係模型如圖 1-1 所示，如發現一個給定圖形的構圖方法可由「視覺化推理構圖」這個過程來說明。其中推理可分為兩種，一種是以自然語言的描述或論證（argumentation）（），另一種是根據定義、定理作演繹組織的論述（）。然而，視覺化不一定就能幫助推理，甚至有誤導的情況出現，對學生來說，他們必須要有能力區辨代表物件實體的圖畫（drawing）和代表理論物件的圖像（figure）之間的差別（Laborde, 1993），縱使在外觀上它們可能是一樣的，但潛藏在圖像中的幾何性質必須能以適當的敘述表達出來。因此，藉由圖像傳達的視覺資訊，將是幫助推理的關鍵要素。. 1 .

(11) 視覺化. 構圖. 推理 . . 圖 1-1. 幾何活動中的認知過程。修改自“Geometry from a cognitive point of view,” by R. Duval, 1998, In C. Mammana and V. Villani (Eds.), Perspectives on the teaching of geometry for the 21st century (p. 38). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Larkin 與 Simon（1987）認為圖像表徵在幾何問題佔有重要地位有兩個原因，一是圖像本身就可以作直接推理，二是它比符號推論更容易進行感知推論。而專家甚至可以跳過推論過程中的某些步驟，直接透過圖像所提供的知識結構來進行（Koedinger & Anderson, 1990）。圖像主要透過視覺來進行觀察，有關對幾何圖像的建構、解讀及理解都是推理過程中的關鍵，但對幾何初學者所看到圖像所呈現的訊息與它所代表的意涵之間往往是存在落差的（Duval, 1995），這是圖 1-1 中要以虛線表示視覺化並不一定能引導推理的原因，也是妨礙學生發展推理時必須克服的困難。本研究將個體從圖像理解到提出論證推理過程稱為視覺推理，雖然在一些文獻中，視覺推理有時候被視為以所看到的圖像特性進行直觀或初步的推理，然而， Dreyfus（1991）則認為視覺推理不僅是在發現規律或圖像特性，而在描述和證明數學結果的合理性方面也扮演著重要的角色。因此，本研究欲探討個體從圖像的建構或理解出發，分析進行視覺推理時可能遇到的困難，並描述上述過程中的特徵以及視覺推理的歷程。在幾何論證的過程中，構圖通常是首要的任務。幾何中的構圖通常是指使用直尺、圓規或幾何軟體等工具所建構的圖形，與一般的圖畫不同的是，這樣的圖形就如同一個模型，它具備各種幾何性質，將影響圖形的表現方式及結構（Duval, 1998）。如同 Arici 與 Aslan-Tutak （2013）藉由正方形摺紙中的幾何結構，讓學生更明確理解邊和角等元素的對應關係，學生不管在空間視覺化、幾何推理和學習表現都有較好的表現，由此顯現建構一個圖形的具體結構對理解幾何概念有重要的幫助。而當我們建構一個幾何圖形或要描述該圖形的建構過程時，就需要對圖形有序列性的理解（sequential apprehension）（Duval, 1995），這樣即使是觀察一個靜態圖形，也能理解其背後的結構及連結各元素之間的關係，包括圖像的性質、判別以及各性質之間的關係（Choi-Koh, 1999）。由此，理解一個圖像除了代表特定敘述下狀態的含意外，還同時代表符合該敘述結構的所有圖形。對於以圖像為推理核心的幾何問題，構圖、按照需要重新構圖或理解幾何圖形的結構將成為推理的首要處理內容。雖然配合 van Hiele 的幾何思維發展層次，從視覺辨識、分析、非形式演繹再發展到形式演繹的學習脈絡（ Crowley, 1987 ），但學生從各種能夠以視覺觀察所知道的幾何概念（conception），發展出抽象的演繹推理思維，讓兩者之間順利連結則需要不同的策略，也就 2 .

(12) 是視覺化的能力將是過渡到推理前的重要關鍵。Arcavi（2003）認為對一般的學習者來說，視覺化能（1）將符號結果圖像化；（2）解決正確的符號解答與不正確的直觀想法之間的衝突；（3）重新發現那些隱藏在符號背後的概念基礎，為抽象符號的意涵提供強大的互補作用。視覺化並不是看到相關的物件而已，Duval（1998）認為視覺化過程與空間表徵有關，它可以是描述一個敘述的圖像、對複雜狀態的啟發式探索、一個概要的掃視、一個主觀的驗證等，但這些識別是基於特定的法則，這些法則是獨立於構圖或論述的方法。而 Zazkis、Dubinsky 與 Dautermann（1996）認為視覺化是一種行動，它是個人內部構念與通過感官所獲得資訊之間所建立的強大連結。因此，分析個體在這樣的過程中所展現的特徵，將是幫助學生學習幾何推理論證的重要依據。 Stylianides（2008）認為有關推理和證明具備四個數學元素，包括幫助形成數學一般化的辨識樣式（identifying a pattern）和形成臆測（making a conjecture），以及對數學主張提供支持的提供證明（providing a proof）和提供非證明論述（providing a non-proof argumet）。前兩者通常在構圖及視覺化階段產生，後兩者則屬於推理階段。雖然很多有關數學推理的概念都局限於形式證明或其他形式的演繹證明（Kilpatrick, Swafford, & Findell, 2001），但與證明相關的推理其實還包括發現反例、形成或進行臆測、發展或評估論述、修正邏輯論述中的錯誤等（Johnson, Thompson, & Senk, 2010）。基於證明的不同功能（de Villiers, 1990; Hemmi & Löfwall, 2010; Stylianides & Stylianides, 2009），它除了確認一個論述的正確性外，也扮演解釋、溝通、智力挑戰、審美觀、轉移等角色，以幫助學習者理解數學的應用性與正確性之間的連結。因此，本研究以幾何論證來說明上述推理的內涵，是個體為所看到現象的解釋、理解、說明所提出的論述，即論證內容包含了發展一個數學論述、形成或進行臆測、評估論述等（Johnson et al., 2010）。而論證的過程根據 Tolumin 論證模型，可分為宣稱（claim）、資料（data）、論據（warrant）、限制（qualifier）、反駁（rebuttal）和支持（backing）六個階段（Toulmin, 2003），可透過分析這些階段在論證過程中是否呈現，來說明一個論證的強弱程度（林志能、洪振方， 2008）。上述三種幾何活動的認知過程，與個體心智中的各種基模結構有密切的關係，因此相同的物件給予擁有不同數學知識背景的人觀察，視覺化的結果自然也因人而異。一般而言，具備較多相關先備知識的學習者較高先備知識不足的學習者有較好的表現，對有關圖像的學習亦言。Gegenfurtner、Lehtinen 與 Säljö（2011）回顧了 65 篇以眼動追蹤（eye tracking）的方式來分析生手和專家在不同領域中，對視覺化內容的理解表現，並透過他們在相關內容的注視持續時間或次數、掃視長度等總結專家在視覺化的表現上可以三個原則去解釋，包括：（1）專家能夠通過結構檢索來進行快速的訊息處理；（2）他們有較好的選擇注意性注意力分配；（3）通過擴展視覺範圍進行全局分析。由此可知，個體的專業程度對圖形的解釋及推理有重要的影響（Vekiri, 2002），而專業程度則可由學習經驗及其背景知識來評估。不過，Moyer、 3 .

(13) Sowder、Threadgill-Sowder 與 Moyer（1984）的研究顯示，以圖畫形式較以文字形式呈現應用問題的內容時，低程度的學生在兩種形式的表現差異程度，較高程度學生來得多，這一類以圖畫取代文字題幹的呈現方式，讓低程度學習者減輕他們工作記憶超載的可能性，致使有更好的表現。幾何圖像不單是用於表述情境或結構脈絡，它還具備很多抽象的約定性質，因此要產生能夠幫助推理的視覺化，具備豐富先備知識的學習者，在幾何推理任務中必定佔有優勢，若能減少需要處理的訊息量，對先備知識相對較少的學習者來說將有一定的幫助，他們的表現雖不如先備知識豐富的學習者，但在處理幾何推理任務的視覺化過程所呈現的特徵更需要作進一步的分析及探討，以提供幾何推理活動的教學設計參考。 Phillips、Norris 與 Macnab（2010）認為視覺化可歸納為視覺化物件（visualization objects）、內省性視覺化（introspective visualization）和詮譯性視覺化（interpretive visualization）三種類型，其中內省性視覺化和詮譯性視覺化是一種心智物件或行動，需要透過想像將看到的實體物件與心智物件作比對或進一步的解釋，換句話說，想像在特定的視覺化過程中必然出現（Casey, 2000）。這種想像力並非天馬行空的，而是要依據空間概念來給出合理的推測。這種能力可被視為產生和操控圖像的技巧（Ramful, Lowrie, & Logan, 2017），Battista（2007）認為空間推理不只為形式幾何推理提供理解的依據，同時也是形式幾何分析的關鍵認知工具。 Ramful 等人（2017）認為相關能力可藉由幾何圖形的空間視覺化（spatial visualization）、空間定位（spatial orientation）和心像旋轉（mental rotation）的任務來展現。尤其對於具備動態結構（如：軌跡問題）的幾何問題，這種空間推理能力將影響處理問題的表現。不過，這種抽象且需要透過想像的幾何問題，在動態幾何環境（Dynamic Geometry Environments, DGEs）的協助下，可將抽象的物件以具體的圖像呈現，成為幫助推理的有效工具。Keşan 與 Çalişkan（2013）的研究顯示，即使是七年級的學生，在使用 DGEs 學習角和多邊形相關概念時，不論是立即後測還是延後測，學生的幾何學習都有顯著的效果。其中，拖曳模式、點軌跡功能以及巨集建構是 DGEs 的三大特色（Hattermann, 2010），這些特徵可以幫助學生建立從直觀到分析層面的幾何物件及各種操弄之間的連結，從而有足夠的機會進行臆測和數學思考（Choi-Koh, 1999; Hoyles & Jones, 1998）。Bussi 與 Mariotti（2008）從記號中介（semiotic mediation）的觀點，說明 DGEs 既是呈現特定任務也是連結特定數學知識的工具，它以符號（sign）的形式作為學習者與數學概念的中介。Hadas、Hershkowitz 與 Schwarz（2000）更進一步指出 DGEs 有下列中介功能，包括：（1）提供臆測的學習環境；（2）反駁或確認初始臆測，並產生預期結果與實際結果之間的矛盾來支持提出反駁；（3）當未能確認亦沒有找到反駁依據時，幫助學習者從第一個臆測轉移到第二個臆測；（4）透過歸納試驗，引導學習者確信結論的正確性；（5）賦予存在示例的一個建構和展現的空間；（6）提供解釋結果的附加資源。Nguyen（2012）也認為 DGEs 可以提供機會讓學生直觀地及動態地利用視覺幫助思考、尋找幾何不變量、形成臆測、產生論點、自行提出及回答探索性問題，在觀察靜態和改 4 .

(14) 變中的不變量、發現圖形的性質、解釋圖像以及從圖像轉為一連串的連點，透過連結動態視覺圖像和形式論證以增強學生的邏輯技巧。因此，DGEs 是幫助學習者心智中各種概念心像通往數學概念的橋樑，同時也將這樣的連結過程外顯化的工具，既對圖形的建構提供有依據的思考方向，亦有助於幫助探討學習者的推理過程。總而言之，推理並不單是對某一個命題進行證明，只強調演繹證明過程的學習容易使學生認為證明是為了驗證無關重要敘述的邏輯練習（Herbst, 2002），或只是一個已設計好的學習任務，讓學生去驗證他們從前置的操作中已看見的情況（de Villiers, 1995），推理是在一個有效的探索環境，讓學生從探究、觀察、發現臆測和證明的本質等進行有意義的推理學習。而 DGEs 可以提供學習者良好的探索環境，可以幫助他們視覺推理轉化為幾何論證的過程。因此，本研究借助 DGEs 的特色，以支持且突顯已完成所有基礎幾何知識的學習之中學生，在幾何任務中從視覺推理到幾何論證的發展歷程，並分析這些由 DGE 所提供的特色對不同程度的幾何先備知識的學生在推理過程中遇到的困難與特徵，並與紙筆環境作一比較，從而為不同程度的學習者使用 DGEs 之幾何推理任務設計提供建議。第二節. 研究目的與問題. 本研究目的在瞭解已習基礎幾何內容的高一學生，他們在處理幾何任務時，從視覺化轉化為幾何推理的過程及思維特徵，以及動態幾何環境對相關過程及特徵之影響。由此分為下列三個研究問題進行討論：（一）學生在幾何任務中視覺化轉化幾何推理之過程及特徵為何？（二）學生之幾何知識對其視覺化轉化幾何推理之影響為何？（三）動態幾何軟體環境對學生之視覺化轉化幾何推理之影響為何？第三節. 名詞解釋. （一）視覺化本文所指之「視覺化」意旨個體經由圖像（外在圖形或心智影像）的產生與操弄所獲取的訊息進行推論（包含直觀推論）的過程。（二）幾何推理本文所指之「幾何論理」是指幾何作業以綜合演繹（包括直觀、圖形演繹、非形式演繹等）的方式進行解釋或論證的過程。. 5 .

(15) 第貳章. 文獻探討. 為了探討已習國中階段幾何知識的中學生，他們對於給定的幾何敘述以及相關圖像，依據他們視覺所接收的資訊以及對問題內容的理解，轉化為幾何推理的過程中所展現的思維特徵及認知發展歷程，並探討動態幾何環境對上述過程中的影響，下面將對視覺化、幾何推理、幾何思維發展、動態幾何環境之相關文獻作回顧及分析。第一節. 視覺化. 在各種學習中，雖然我們可以透過視覺和聽覺兩個不同的管道來接受資訊（Mayer, 2005, 2009），但一般而言，我們所接受的學習資訊較多來自於視覺，它們的形式可以包括文字、符號、圖像、表格、影像、動畫等。首先，接收者透過視覺接收圖像的訊息後，在他們的心智中與其認知進行整合，相關的認知主要來自於與圖像相關的概念或知識；由此，對接收者所看到的圖像訊息進行解讀、想像、分析，以找到一個合適、合理的解答。換句話說，「視覺化」不單是指眼睛所看到的事物，而是將視覺所看到的物件配合心智中的認知過程所產生的結果（de Guzmán, 2002）。在幾何學習中，Duval（1998）認為視覺化是處理關於用作一個敘述的圖示，一個複雜情況的啟發式探索或概要的掃視，或主觀驗證的空間表徵。Arcavi（2003）認為視覺化是在我們的心智中、在紙上或使用科技工具時，對圖畫、影像、圖表進行創建、解釋、使用和反思的能力、過程以及產物，目的是為了描繪和傳遞信息、思考和發展過去未知的想法和促進理解。而在幾何任務中，視覺化可視為「產生或使用數學概念、法則或問題的幾何或圖像表徵」（Zimmermann & Cunningham, 1991, p. 1）或是「應用幾何來說明數學概念」（Habre, 2001, p. 115），都在說明幾何圖形所呈現的結構需要配合數學概念來展現，而視覺化就是找到幾何圖像結構與相關概念連結的過程。雖然在進行有關視覺圖像的推理時，學習者有時候會傾向使用個人的感知而非圖像訊息相關的數學知識（Dreyfus, 1991），但視覺化並非純粹利用感知的方式來推論事情，它也包含分析性或形式化的推理（Arcavi, 2003; Dreyfus, 1991），即從給定的前提出發，包括建構、觀察和操弄圖形將是發展至結論前不斷重複的過程（May, 1999）。Zazkis 等人（1996）所提出的視覺化／分析模型（Visualization/Analysis Model, V/A Model）以及 Stylianou（2002）的改進版 V/A Model，也說明在推理的過程中分析與視覺的模式是一直交互地進行，根據這樣的模型，分析思維將有助於視覺方法，而視覺化則讓分析方法更為豐富。雖然 Duval（1998）將視覺化和推理區分為不同的認知過程，但他的認知模型中也強調視覺化和推理之間是一個雙向的發展過程，只是視覺化並不一定能幫助推理。過去文獻中對視覺化的定義非常多，不同的學者從不同的面向描述「視覺化」的內涵、過程或功能。Phillips 等人（2010）將不同定義從具體到抽象的形式歸納為三種類型： 6 .

(16) （一）視覺化物件（visualization objects）個體根據其對實體物件的理解作出觀察和解釋，這些物件可以是圖畫、3D 表徵、圖像表徵、動畫等。（二）內省性視覺化（introspective visualization）這是依據一些可能的視覺經驗所作的想像性構圖，而學習者相信他們心智中所存在的物件是與視覺化物件是類似的。（三）詮譯性視覺化（interpretive visualization）這是一個對視覺化物件或內省性視覺化的結果賦於意義的一個動作，這樣的動作是藉由視覺化物件或內省性視覺化的結果來解釋訊息，以及從認知上將個人已存在的信念、經驗和理解融入解釋之中。上述不同類別的視覺化所著重的面向雖有不同，卻不難發現其過程是外在資訊與學習者內在認知交互作用下的成果。例如圖 2-1 顯示花園中的噴灑系統所噴出的水柱形狀，這個形狀所形成的圖形就是視覺化物件的一種。它是一種眼睛所看到的實體物件，或許我們知道它因受引力的影響，因此水柱以曲線而非直線的方式噴灑植物。若觀察者心智中存在拋物線的相關概念及物件，透過視覺觀察，他將水柱的形狀與拋物線的形狀作比對，並認為拋物線是最能描述水柱形狀的物件，即拋物線形狀的水柱是一個視覺化物件。進一步地，若觀察者知道拋物線可用函數式表示，透過數學的方式，以函數的形式解釋它的頂點、最大值以及開口係數等，從而理解函數圖像與真實物件之間的差異（Pierce & Stacey, 2011），此時以函數所描述的拋物線就是內省性視覺化的結果。而當觀察著再進一步應用這些結果，例如依據函數中各變量的特徵，設計出不同需要的噴曬系統，就是對視覺化物件及內省性視覺化的結果賦於意義，成為詮譯性視覺化的結果。. 圖 2-1. 水管噴出的拋物線水柱。引自“Using dynamic geometry to bring the real world into the classroom,” by R. Pierce & K. Stacey, 2011, In L. Bu & R. Schoen (Eds.), Model-centered learning: Pathways to mathematical understanding using GeoGebra (p. 49). Rotterdam, The Netherlands: Sense. 這些不同類型的視覺化，除了是從具體到抽象的分類外，也是支持發展抽象概念的一種系統。這些外在資訊通常是透過視覺接收、非文字形式傳達（Lanzing & Stanchev, 1994），如 7 .

(17) 實物、圖像、錄像、影片、動畫等，也包含 3D 物件，並配合接收者的先備知識和技能以達致有效的使用（Schnotz, 2002），形成不同的推理層次，如圖 2-2 所示。當學習者依據圖形的表面結構，以直觀、感知的方式來處理視覺訊息，並進行推理，則屬於視覺化物件的層次。若學習者以視覺化物件為基礎，再以個人的信念、邏輯推論、相關領域知識等作推理，則屬於內省性視覺化的層次。Zarzycki（2004）認為視覺化是使用數學概念的幾何圖解的過程，或是解決數學問題時必須具備一種形成和議定相關心智圖像的能力（Mudaly & Naidoo, 2015），這樣的描述就是配合個人的領域知識，對相關的圖像進行內省從而幫助解題。更進一步，以視覺化物件及內省性視覺化為基礎，再配合一些想像能力，去想像一些在視覺資訊中沒有呈現的情況，如 Mathai 與 Ramadas（2009）認為視覺化與理解結構的變換以及相關的功能有關，他們的研究請學生透過想像改變人體消化系統的結構、形狀、位置的情形，此時學生對消化系統的描述，就是詮譯性視覺化的一個例子。 Simon （ 1996 ）所提出的轉換型推理（transformational reasoning），主要是描述能夠想像物件在變換的動態過程中，洞察這樣的操弄所引伸的結果也是視為詮譯性視覺化的一種。例如學生想像兩個人分別站在 A、B 兩點，沿著與 A B 夾相等的角度、相同的速度向對方前進來描述等腰三角形的狀態，學生除了知道當兩人相遇時，他們所走的距離相等外，同時也理解若其中一方所走路徑與 A B 的夾角愈小時，他在與另一方相遇前所走的距離就會愈遠。. 圖 2-2. 不同類型的視覺化在進行推理時，其實並不一定要從嚴謹的邏輯推論或形式論證入手，使用直觀、實驗方法、探究策略等非形式論證較能讓學習者投入於幾何活動中，亦可能有助於引起和解決認知衝突（Hadas, Hershkowitz, & Schwarz, 2002）。而在動態幾何環境中較能使用這些非形式論證的策略以檢測、一般化、提出假設或推測來幫助進行推理（Prusak, Hershkowitz, & Schwarz, 8 .

(18) 2012）。與此同時，因為電腦圖形可以幫助對非常複雜的數學物件進行視覺化（Sochański, 2018），在提供動態環境的軟體上所呈現的圖形一般可被稱為動態視覺化（Boz, 2005）。這樣的動態圖形並非像預設好的錄像或動畫，只是透過播放功能而隨著時間改變，而是這些變化將包括圖像的形狀、位置或內容物的改變（Lowe, 2003）。例如大部分的動態幾何環境都可提供改變圖像物件的大小、顏色、形狀、樣式等變換的功能，也可以藉由拖曳或變換（平移、旋轉、鏡射等)來改變物件的位置，也可以透過設定或物件的原來屬性來決定物件消失或出現的方式。更重要的是，這些原來需要透過個體心智想像的變化（詮釋性視覺化），透過動態幾何環境可以變成實體的視覺化物件，配合個體的先備知識或能展現不同層次的視覺化，從而有助於推理活動的進行。然而，這種動態的優勢也可能因增加個體的認知負荷，或是取代這種想像力的發展機會，是否反而有礙於個體對概念的掌握與熟練（Hegarty, 2004），都是值得深入探討的議題。第二節. 幾何推理. . 認識推理與證明是數學的基本面向。. . 形成及進行數學臆測。. . 發展及評量數學論證和證明。. . 選擇和使用各種類型的推理和證明方法。. 上述項目是 NCTM 課程標準中，建議 K-12 學生在推理與證明（reasoning and proof）方面應該要培養的各種能力，由此，論證（argumentation）和證明（proof）都是數學教育中的重要學習目標。論證是指學生和老師在數學課堂中所提出的數學論述（argument），這些論述主要是透過推理的形式來顯示或解釋一個數學結果的正確性（Sriraman &Umland &, 2014, p. 46）；而證明則是一連串包含不同的論述且具備良好組織的演繹推論（Hanna & de Villiers, 2008）。其中，演繹證明是由有效推理所支持的一個合適的論述（Llinares & Clemente, 2019），但論述可以演繹或非演繹證明的形式呈現，也可以是對一個特定臆測所提出的解釋，甚至是以一系列的運算來解釋如何得到一個數值的結果；證明則是確認（verification）數學敘述之正確性的方法或手段，並同時兼具解釋（explanation）、系統化（systematisation)、發現（discovery）和溝通（communication）等功能的一連串邏輯敘述（de Villiers, 1990），這些都是幾何推理中常見的展現形式。二十世紀的英國哲學家 Stephen Toulmin 認為一個論述應包含宣稱（claim）、資料（data）和論據（warrant）三個主要元素（Toulmin, 2003）。宣稱是指有關所提出主張的敘述，亦可以視為一個結論（conclusion）；資料是可以判斷宣稱的相關資料，亦可視為由背景訊息所發展或展現的例子（Rumsey, 2013）；而論據則是讓數據連接到聲明的推理規則。這樣的結構可以在推論幾何性質的過程中經常看到，例如當我們測量了很多形狀、大小不一的三角形的三個內角的度數，發現它們的和都是 180 度，這些就是準備提出宣稱的「資料」，由此我們可以「宣 9 .

(19) 稱」：所有三角形的內角和都是 180 度，並應用平行線的性質或其他方式推論出三角形的內角和為 180 度，這些推論過程中所使用的法則就是「論據」。然而，我們知道球面上的三角形內角和總是大於 180 度，例如地球上的任何經線與赤道所成的夾角都是直角，而任何兩條經線都會在南北兩極交會，因此這樣所形成的三角形的內角和必定超過 180 度。因此，為了更詳細地描述在論證過程中的各種可能性，Tolumin 的論證模型中還考慮限制（qualifier）、反駁（rebuttal）和支持（backing）三個元素。其中，限制是對宣稱中所存在的其他可能性，反駁是指論據不成立的條件，而支持則是說明論據是合理的理由。這些元素之間的關係（Brockriede & Ehninger, 1978）形成如圖 2-3 所示的論證模型，在探索各種數學性質的過程中，此模型可以成為說明論證結構的有效工具（Boero, Douek, Morselli, & Pedemonte, 2010; Pedemonte, 2008; Rumsey, 2013）。然而，Toulmin 的論證模型是一個描述論證結構是否完整的工具（林志能、洪振方，2008），卻無法對論據內容的正確性作出判斷，因此在描述學習者的幾何論證歷程時，還必須考慮幾何任務的特徵和學生的思維發展。資料 . 限制 . 宣稱 . (Data) . (Qualifier). (Claim) . 論據 . 反駁. (Warrant) . (Rebuttal). 支持 (Backing) . 圖 2-3. Toulmin 論證模型幾何論證是一種圖像與概念是密切地相互作用的過程（Fischbein, 1993）。在這樣的過程中，圖像透過位置關係來呈現資訊（Larkin & Simon, 1987），由此讓抽象資訊更具體化以幫助理解。如果幾何問題沒有對應的圖像可供參考時，解題者是幾乎不可能分開處理或重組問題中的所有細節（翁立衛，2008）。Koedinger 與 Anderson（1990）指出專家在處理幾何推理問題時是與圖像緊密地連結在一起，他們會根據本身的圖像基模來組織知識，形成一個圖像組態模型（diagram configuration model）。它是由一個主要知識結構、圖像組態基模以及三個主要處理階段所組成，三個階段分別是：（1）辨識在問題的圖像中的類似組態，並能舉例說明相關基模的圖像解析階段；（2）瞭解圖像中有關給定及目標敘述，並能按照數學語言寫成相應敘述的敘述編碼階段；（3）將個體原有的基模反複應用在向前或向後推論，直至找到給定與目標敘述之間的連結的基模搜尋階段。由於專家們有豐富的處理幾何推理問題經驗，他們 10 .

(20) 對於特定的幾何知識（如：垂直概念）是與知識相關的原型幾何圖像（如：兩條相互垂直的直線）一起儲存於他們的基模中，這個基模除了包含一個圖像組態之外，還有這個圖像所代表的數學事實、其相應可能存在的元素關係以及如何證明數學事實的方法，如圖 2-4 所示。由此可見，幾何知識結構是以圖像為核心，由圖像組態模型所產生的視覺化是引導推理思考進行的關鍵。垂直概念圖像組態：. 完整敘述： A B ⊥ C D 部分敘述：(1)∠ACD 是直角 (2)∠BCD 是直角 (3)∠ACD＝∠BCD 證明途徑：(1)／(2)／(3) 圖 2-4. 垂直概念的圖像組態。引自“Abstract planning and perceptual chunks: Elements of expertise in geometry,” by K. R. Koedinger and J. R. Anderson, 1990, Cognitive Science, 14(4), p. 519. Schoenfeld（1985）視推理為一種問題解決的過程，分為讀題、分析、探索、計劃與執行、驗證等階段進行。由 Toulmin 的論證模型可以想像，這些階段並非必定線性地進行，而有可能因為在推論的過程中找到新的反駁論述而必須對原來的宣稱提出限制甚至修改宣稱，再提出相應的理據來支持。在分析、探索與執行幾何論證的過程中，視覺思維與分析思維是循序地相互輔助進行（Zazkis et al., 1996），首先由已知條件進行構圖或從給定圖形中理解各條件之間的關係，由此觀察是否能從這些視覺訊息推論出其他的條件，透過分析從而設定下一個推論目標，再繼續觀察圖形的性質來作相關目標的推論，並透過不斷監督和控制問題解決的過程以達致最終目標（Stylianou, 2002）。因此，幾何論證必須同時考慮視覺資訊與推理分析過程在心智中的交互影響。 Sochański（2018）認為一個靜態圖形的分析可以分為四個階段。首先是構圖，這個過程除了依據給定條件建構數學物件描述狀態外，對該數學物件能依據描述內容進行解釋或標示所具備的屬性也是圖形建構的一部分。換句話說，也就是從文字敘述轉換為圖形表徵的過程；第二階段則是觀察圖形從而注意到圖像中各細部之間的關係；第三階段包括將觀察到的事實和關係以數學語言來解釋；最後階段則是以命題形式描述觀察的結果。而對幾何物件中細部的關係察覺以及使用數學語言來解釋，Duval（1995）分別以不同的圖形理解類型來描述，其 11 .

(21) 中操作性理解（operative apprehension）能夠分解出有助於推理的子圖主要是基於對推理策略的理解及熟識，從而找出最適合的推理方法，而論述性理解（discursive apprehension）則是使用對數學物件的定義、定理或性質來描述（子）圖形物件所代表的意涵，探討學習者在這兩種圖形理解之間的表現與關係，將有助於理解在進行幾何推理任務的過程所可能具備的特徵（Llinares & Clemente, 2014）。雖然幾何圖形在相關問題解決的過程中扮演重要的角色，但也因為可藉由視覺感知方式來處理（Gal & Linchevski, 2010），且易受幾何概念的原型（prototype）影響（Triadafillidis, 1995），使得學習者在進行幾何論證時並沒有因圖形所帶來的優勢而變得容易。從幾何圖形的特徵來說，它常以單一的圖像就代表具備相同結構的所有圖像（Fischbein, 1993），圖像所具備的一般化特性通常是學習者不容易掌握的。Laborde（2005a）認為圖像扮演著含糊不清的角色，因為它一方面代表著理論性的幾何性質，但另一方面卻又提供空間圖形性質作為引發學生的感知活動。例如在圖 2-5 的直角三角形中，點 P 是 B C 邊的任意點，且 PD ⊥ A B ， P E ⊥ A C ，當學生要找出 P 點在 A B 邊的哪一個位置可使得 D E 長度為最小時，就既要用到理論性的幾何性質，也同時因為這個圖形所提供的空間圖形性質才能解答上述問題。從幾何圖形與其相關概念密不可分的特性來說，學生要區辨何時能使用這些空間圖像而不需要由它們的理論性質對部分學生來說不是容易的事。. 圖 2-5. 同時使用圖像之理論性的幾何性質及空間圖形性質的例子。引自“The hidden role of diagrams in students' construction of meaning in geometry,” by C. Laborde, 2005a, In J. Kilpatrick, C. Hoyles, O. Skovsmose, & P. Valero (Eds.), Meaning in mathematics education (p. 163). New York, NY: Springer. 圖像能具體呈現抽象的數學概念的特性，也讓學習者在推論的過程中容易產生依賴。鄭英豪（2010）的研究發現，國一學生在給定的幾何圖形所看到的性質會凌駕於敘述所描述的性質，即他們理解一個圖形是否具備相關性質是以視覺為優先的。Harel 與 Sowder（1998）的研究發現學生的證明架構（proof schemes）可以分為外部信念（external conviction）、實驗性（empirical）以及分析性（analytical）三種類型。外部信念證明架構主要來自於權威及形式，即學生對證明存在固有的格式或教科書中所提供的形式；實驗性證明架構則可能是歸納性或知覺性的，當學生使用特例、多個例子或視覺方式所得出的想法；而分析性證明架構才是依據邏輯演繹推理所得到的結果。因此，在分析學生在幾何任務中所使用的策略時，一般都包含視覺判斷、認為是已知定理不需再加以說明、直觀判斷、實驗結果歸納、不完整或錯誤推 12 .

(22) 理、非形式推理、形式推理等類別（Kospentaris, Spyrou, & Lappas, 2011）。由此可見，在進入演繹推理之前，學習者可能會因其本身的信念、視覺的引導、實驗性的結果而形成推理的想法，尤其在幾何任務中，這些想法都與圖像有密切的關係。因此，探討這些想法與論證之間的關係將有助於理解論證的進行及可能遇到的困難。第三節. 幾何論證的思維發展及其影響要素. 幾何是數學學習中的重要內容之一，它主要研究各種具體或抽象的幾何圖形的性質及其變化（如：平移、旋轉、縮放等）的一門學科（吳志揚、陳文豪，2004），並藉由邏輯推理的方式來說明各種圖形性質的關係及證明。然而，學生的幾何認知發展是透過具體事物到抽象思維的一個漸進發展過程。根據 van Hiele 的幾何思維發展層次（Crowley, 1987），它可以分為五個層次，分別是：層次 0：視覺（visualization）此階段學習者是從外觀來認識圖形，他們視相關的幾何概念為一個整體，並常常與一個他們已知的原型（prototype）作比較，但圖形的相關性質還未能辨識出來。層次 1：分析（analysis）透過觀察或實驗，此階段的學習者開始辨識各圖形的特徵，他們區辨圖形以其屬性為主，如從對邊互相平行的四邊形辨識不同形狀的平行四邊形。然而，學習者還不清楚不同性質之間的關係，即他們能描述一個圖形的相關性質，但不知道哪些是確定這個圖形的充分或必要條件。層次 2：抽象／非形式演繹（abstraction / informal deduction）此階段學生能感知圖像各性質之間以及不同圖像之間的關係，他們能夠從定義、定理中提出非正式的論證來說明推理的合理性，並且能知道圖像集合之間的包含關係及意涵。然而他們還沒能掌握邏輯順序的改變，或如何從不同的前提建構一個證明。層次 3：形式演繹（formal deduction）此階段學習者能夠建構而不只是記憶證明，他們能理解公理、假設、定義、定理等角色，以及瞭解充分和必要條件之意義，由此知道敘述與逆敘述之間的差異，並理解證明可由不只一種方法完成。層次 4：嚴密性（rigor）此階段學習者能夠在不同的公理化系統下執行推理，並比較不同數學系統中相關概念的差異。此時，幾何的相關概念已被完全視為抽象物件。由上述幾何思維發展層次可見，相關的推理是從著重視覺（visual）、描述分析（descriptiveanalytic）到抽象關係（abstract-relational）的一個發展過程（Battista, 2007）。這樣的過程在相應的教學安排上可分為三大類型的幾何學（Houdement & Kuzniak, 2004）： 13 .

(23) 幾何Ⅰ：自然幾何（natural geometry）與現實密切相關的部分，藉由感知和工具，常以直觀對實體物件作即使的感知、實驗或演繹。在數學模型和現實之間可作來回切換並允許由此提出證明，屬於靠直觀和實驗的經驗領域，對應 van Hiele 從層次 0 至層次 2 的發展過程。幾何Ⅱ：自然公理化幾何（natural axiomatic geometry）基於公理系統中的假設性演繹法則。公理系統雖然是必要的，但所使用的公理接近我們周圍空間的直觀現象；且公理系統可以不完備，但內部演示的發展性和確定性卻是必需的。此類型幾何學介於自然幾何和形式公理化幾何之間的過渡，對應 van Hiele 從層次 2 到層次 3 的發展過程。幾何Ⅲ：形式公理化幾何（formalist axiomatic geometry）在這個幾何學中，現實和公理化世界之間不再有連結。它與自然公理化幾何中的推理方式是一樣的，但此時公理系統已經完備並獨立於現實世界的應用，並對應 van Hiele 從層次 3 到層次 4 的發展過程。由此可見，發展自然公理化幾何的相關能力，既是建立抽象思維的基礎，也是發展形式演繹推理的過渡。Stylianou、Chae 與 Blanton（2006）認為在推理探索的過程中，學習者至少進行四種活動，包括：（1）為後續活動設定目標；（2）將敘述／命題符號化；（3）探索敘述和嘗試洞察問題的狀況；（4）將新的資訊連結到原來的問題上。Boero（1999）對這樣的臆測的產生和數學證明的建構過程更詳細地分為六個階段來描述，包括：（1）產生一個猜想；（2）提出猜想的敘述；（3）探索猜想的有效性；（4）以演繹方式選取和連結相關的論述；（5）組織相關論述為可接受的證明；（6）產生一個形式證明。雖然這樣的過程在數學家的日常工作中並非必定順利按照階段的先後順序進行，例如在組織相關論述時發現有不合理的論點，就必須重新探索問題的條件或假設，從而提出一個新的敘述來繼續證明，但是 Boero 所強調的是給予學習者產生猜想及判斷其有效性的空間及機會，因此強調產生猜想與建構證明之間的「定理的認知一致性」（cognitive unity of a theorem）。上述階段雖有助於學生在處理數學證明問題，但有兩個問題必須面對，一是學生考慮論述的本質是否可以作為有效性的可信論點，即他們可以使用實驗性的論點（如測量）、視覺證明、身體參照等，這些論點大部分在第（1）和第（3）階段有關定理的探索活動是有用的，但自第（4）階段起就必須回歸到理論性的論點。二是推理本質需要由學生自行產生。如當學生發現例子、類比等來幫助確定一個敘述的有效性，這在第（1）、第（3）階段是非常有幫助的，但這些例子到第（4）階段就變成不同的功能，因這種分性析的證明系統主要是以邏輯演繹方式來作為推論臆測的有效性，所以特定的例子在第（5）階段則不能被接受。因此相關能力的發展是循序漸進的，在具體操作和實驗的過程中，產生猜想從而建構數學證明，如圖 2-6 所示，從經驗區域到理論區域的過渡，將成為推理論證的重要橋樑。也就是說，學習者從給定的資訊，經過分析探索再提出猜想的過 14 .

(24) 程，是幾何思維發展脈絡的重要線索，這樣的過程將與學習者所具有的想法、當下所獲取的視覺資訊以及邏輯推理能力存在密切的交互關係。. 圖 2-6. 幾何推論過程而平面幾何的相關內容是國中階段數學教學的重要目標之一，各年級分別學習直觀幾何（直觀、辨識與描述）、測量幾何、推理幾何（教育部，2018），正是幫助學生發展從具體到抽象概念的一種設計。但也因為這種需要循序漸進的發展過程以及知識之間的密切關係，致使學習者的過去學習經驗及其背景知識，對圖形的解釋及推理有重要的影響（Dreyfus, 1991; Vekiri, 2002），例如高成就學生較低成就學生在處理幾何問題時觸發較多相關的幾何概念基模（Chinnappan, 1998）。 Tall 與 Vinner（1981）認為很多數學概念都存在著一個複雜的認知結構，主要可分為概念定義（concept definition）和概念心像（concept image）來描述。它們可視為數學知識的主要組成部分，因為概念定義是以文字的形式來明確說明相關概念，一般而言這樣的描述需要被數學社群所認可而非個人的理解，而概念心像則與該概念相關的總體認知結構，包括心智圖形、相關性質及過程，是我們回想、理解或操弄一個概念時的主要內涵，從而顯示對相關概念的掌握程度。Chinnappan、Ekanayake 與 Brown（2012）認為特定的領域知識以及一般性的技能是影響問題解決表現的兩大主要元素，這樣的要素對描述建構幾何論證的相關概念一樣合適。其中，特定的領域知識包括該領域獨有的概念、原則和慣例，通常再細分為陳述性知識（declarative knowledge）、程序性知識（procedural knowledge）以及條件推理（conditional knowledge）（Chinnappan, 1998）。陳述性知識與數學事實訊息有關，包括對數學物件的定義和辨識；程序性知識則是應用規則、運算法、程序等來解決數學任務；而條件推理描述對於一 15 .

(25) 個關聯式法則（relational rules）的理解，由此提供理由或依據，這些法則通常以「若……，則……」的形式呈現。Ubuz 與 Aydın（2018）以這三種知識為架構設計有關三角形的多向度幾何知識問卷，研究結果顯示這三個維度可以作為設計檢測相關概念知識問卷的主要結構。 Schoenfeld（1985）提出啟思（heuristics）和控制（control）是問題解決中重要的知識和行為之一，當中所包含的構圖、解題策略或技巧、計劃、監控、決策等技能都可視為一般性的技能。Chinnappan 等人建議可從學習者對問題內容的理解、所使用的表徵、解題策略、對先備知識的應用等面向來分析學習者在問題解決技巧中的認知過程，也同時顯示影響解決幾何任務的要素是多元的，其中還需要考慮學習者的推理技巧以及空間想像能力。推理主要與邏輯思維、反思、解釋和證成（justification）的能力有關（Kilpatrick et al., 2001）。在數學國際評比中，推理被認為是問題解決的核心（Organisation for Economic Co-operation and Development, 2018），並在問題解決的過程中適時發揮作用。國際數學與科學成就趨勢調查（TIMSS）所定義的推理涉及觀察和提出猜想的能力。在推理形式上，除了使用基於特定假設、規則的邏輯演繹推理外，還包括基於樣式和規律的直觀和歸納推理。在具體表現上，學習者應該可以從分析、綜合、評量、形成結論、一般化和說明論述的正當性上展現他們的推理技巧（Lindquist, Philpot, Mullis, & Cotter, 2017）。其中分析是有關依據給定的訊息所做的決定、描述或適當地使用數量、圖形、表達式等有助於推論結果的方式，綜合是指連結知識、相關表徵和程序等不同元素來解決問題，評量則是有關評估不同的解題策略和解答，從而基於訊息和證據來作有效的推理以形成結論，一般化則是讓敘述推論到更一般情況或更廣大的應用，而說明論述的正當性則是提出適當的理由來支持所使用的策略和推論的結果。這些具體表現既反映了解決問題的歷程，也提供觀察及分析學習者在解決幾何任務中所展現推理技巧的可能途徑。第四節. 動態幾何環境. 隨著科技發展，使用電腦學習一般被認為具備個別化操作、互動性強、即時回饋等優點，將抽象概念視覺化，電腦環境對學習 3D 的幾何物件提供重要的輔助（Kösa & Karakuş, 2010; Wang, Li, & Chang, 2006）。此外，這些功能也對幾何證明及論證的學習提供了具備準備性、連結性、系統性的平台，讓學習者更容易掌握幾何概念及其論證思維。在有關證明的學習方面，可從其認知及後設認知策略入手，例如 Wong、Yin、Yang 與 Cheng（2011）從連結不同的證明表徵（問題敘述、靜態圖像、動態幾何圖像、演繹證明、證明樹）的設計，讓學習者可以同時從不同表徵所獲得的資訊來理解證明的內容。研究結果顯示在這樣的設計中，中程度的學生與各種不同的表徵有較高的互動次數，並因此有助於他們學習幾何證明。Kramarski 與 Ritkof（2002）在學校課程中，以每週一小時，持續七週學習以 Excel 軟體繪圖及解釋圖形等概念，教師在課堂中除了會介紹繪圖的技巧外，也會與學生討論及練習有關使用不同表徵對圖形作解釋。課後所有學生都透過電子郵件方式進行作業的討論，只是實驗組對作業回答後 16 .