包络

本节将采用微分几何学中有关曲线族的包络的概念来阐明奇解和通解之间的 联系，以及讨论求奇解的方法。设单参数C的曲线族

K(C) : V (x, y, C) = 0, (4.31)

其中函数V (x, y, C)∈ C¹(G)是连续可微的。例如，单参数C的曲线族：

（1）x²+ y²= C, C > 0，

（2）y = (x− C)²+ 1,−∞ < C < ∞

在平面上分别表示一个以原点为中心的圆族和一个顶点在直线y = 1上的抛 物线族。

Definition 4.3.1. 【定义4.2】设在平面上有一条连续可微的曲线Γ。如果对于任 一点Q∈ Γ，在曲线族（4.31）中都有一条曲线K(C^∗)通过Q点并且在点Q与Γ相切，

而且K(C^∗) 在Q点的任意小邻域内不同于Γ。则称曲线Γ为曲线族（4.31）的一支包 络。

§4.3 包络 69 例如，直线y = 1是上面的抛物线族（2）的包络；而直线族y = Cx− ¹₄C²有包 络为y = x²（参见图4-1，克莱罗方程中f (p) =−¹₄p²）。并不是每个曲线族都有包络，

例如上面的同心圆族（1）就没有包络。

【附注1】我们在这里对包络所下的定义与一般微分几何所给的定义稍有不同，

那里要求曲线族中的每一条曲线都与包络相切，这里的定义对微分方程的应用比 较方便（见下面的例2）。

比较包络和奇解的定义可知，奇解是通解的包络。下面得定理告诉我们，通 解的包络也是奇解。

Theorem 4.3.2. 定理_4.3. 设微分方程 F (x, y,dy

dx) = 0, (4.32) 有通积分

U (x, y, C) = 0. (4.33)

又设（积分）曲线族（4.33）有包络为Γ : y = φ(x), x∈ J。则包络y = φ(x)是微分 方程（4.32）的奇解。

证明：根据奇解和包络的定义，我们只需证明Γ是微分方程（4.32）的解。

在Γ上任取一点(x₀, y₀)，其中y₀= φ(x₀)。则由包络的定义可知，曲线族（4.33） 中有一条曲线y = u(x, C0)在(x0, y0)点与y = φ(x)相切，即

φ(x0) = u(x0, C0), φ^′(x0) = ux(x0, C0).

因为_{y = u(x, C0)}是微分方程（_4.32）的一个解，所以 F (x₀, u(x₀, C₀), u_x(x₀, C₀)) = 0.

因此，F (x₀, φ(x₀), φ^′(x₀)) = 0。由于x₀ ∈ J是任意给定的，所以y = φ(x)是微分方程

（4.32）的解。定理4.3证毕。 ₂ Theorem 4.3.3. 定理4.4. 设Γ是曲线族（4.31）的一支包络。则它满足C-判别式：

V (x, y, C) = 0, VC(x, y, C) = 0. (4.34) 或消去C，得到关系式

Ω(x, y) = 0. (4.35)

证明：由包络的定义可见，我们可对包络Γ给出如下的参数表达式：

x = f (C), y = g(C), C∈ I,

其中C为曲线族（4.31）的参数，曲线K(C)与包络在(x = f (C), y = g(C))处相切。因 此，我们推出

V (f (C), g(C), C) = 0, C∈ I. (4.36)

因为包络是连续可微的（我们假设f (C), g(C)对C也是连续可微的），对C求导得 V_xf^′(C) + V_yg^′(C) + V_C = 0, C ∈ I, (4.37)

其中Vx, Vy, V_C同在(f (C), g(C), C)点取值。

不妨设

(f^′(C), g^′(C))̸= (0, 0), and (Vx, V_y)̸= (0, 0).

否则，(f^′(C), g^′(C)) = (0, 0)或(V_x, V_y) = (0, 0)，则由（4.37）推出V_C(f (C), g(C), C) = 0。由假设，包络Γ在点q(C) = (f (C), g(C))的切向量(f^′(C), g^′(C))，以及通过q(C)点 的曲线V (x, y, C) = 0在q(C)点的切向量(−Vy, V_x)（因为V_x+ V_y^dy_dx = 0）都是非退化 的。由于这两个切向量在_q(C)点是共线的，所以有

f^′(C)V_x+ g^′(C)V_y = 0,

由它与（_4.37）也推出（_4.39）成立。因此，对于任何_{C ∈ I}，关系式（_4.36）和（_4.39） 同时成立。这就证明了包络Γ满足C-判别式（4.34）。定理4.4从而得证。 ₂

注：由于f, g关于C是否连续可微的问题，作另外考虑。由包络曲线Γ∈ C¹，我们 选取参数t使得Γ有参数表示x = x(t), y = y(t)，其中x(t), y(t)∈ C¹。对于(x(t), y(t))∈ Γ，设对应的曲线为K(C(t))。则已有V (x(t), y(t), C(t)) = 0。接下来需要证明

VC(x(t), y(t), C(t)) = 0.

否则设对于某个t₀，V_C(x(t₀), y(t₀), C(t₀))̸= 0，于是由隐函数定理，在(x(t₀), y(t₀), C(t₀))的 某个邻域内由V (x, y, C) = 0以及V ∈ C¹可以反解出

C = v(x, y)

使得V (x, y, v(x, y)) = 0, v(x(t0), y(t0)) = C(t0)，且v∈ C¹。特别，令v(t) = v(x(t), y(t))， 则V (x(t), y(t), v(t)) = 0, v(t0) = C(t0)。又V (x(t), y(t), C(t)) = 0, V_C(x(t0), y(t0), C(t0))̸=

0，因此C(t) = v(t) = v(x(t), y(t))∈ C¹。即在V_C ̸= 0处附近，C(t)是C¹的。另一方面

§4.3 包络 71 同上，由K(C(t))与包络相切可知对每一t，x^′(t)Vx+ y^′(t)Vy = 0，因此C^′(t)VC = 0。 又由假设V_C ̸= 0，从而C^′(t)≡ 0。这与包络的定义矛盾。

例：安全抛物线。考虑从原点发射炮弹，初速度为v₀。设θ为初始的抛射角。则 x(t) = v0t cos θ, y(t) = v0t sin θ−1

2gt². 因此t = _v ^x

0cos θ，代入得

y = x tan θ− g

2v₀²cos²θx². 由C-判别法，这里θ是参数，包络还满足

x

cos²θ − g

2v²₀x²2 sin θ cos³θ = 0, 即

tan θ = v₀² gx, 代回方程得包络（安全抛物线）

y =− g

2v₀²x²+v₀² 2g.

反之，满足C-判别式的曲线未必是相应曲线族的包络（参见下面的例1）。下 面定理给出了包络的一个充分条件。

Theorem 4.3.4. 定理_4.5. 设由曲线族（_4.31）的_C-判别式 V (x, y, C) = 0, VC(x, y, C) = 0 确定一支连续可微且不含于族（4.31）的曲线

Λ : x = φ(C), y = ψ(C), C ∈ J, 而且它满足非退化性条件

(φ^′(C), ψ^′(C))̸= (0, 0), (Vx, V_y)(φ(C), ψ(C), C)̸= (0, 0). (4.40) 则Λ是曲线族（4.31）的一支包络。

证明：在Λ上任取一点q(C) = (φ(C), ψ(C))，则有

V (φ(C), ψ(C), C) = 0, V_C(φ(C), ψ(C), C) = 0. (4.41)

因为(Vx, Vy)̸= (0, 0)，所以可对方程（4.31）在q(C)点利用隐函数定理确定一条连续 可微的曲线Γ_C : y = h(x)（或x = k(y)，当V_x ̸= 0），它在q(C)有切向量

τ (C) = (−Vy, Vx).

而Λ在q(C)点的切向量为

ν(C) = (φ^′(C), ψ^′(C)).

另一方面，由（4.41）的第一式对C求微分得到 φ^′(C)V_x+ ψ^′(C)V_y+ V_C = 0, 再利用（4.41）的第二式推出

φ^′(C)Vx+ ψ^′(C)Vy = 0.

这就证明了切向量τ (C)和ν(C)在q(C)是共线的，即曲线族（4.31）中有曲线ΓC在q(C)点 与Λ相切。再由条件可知，曲线Γ_C与Λ不同。综合上面的结论可知，Λ是曲线族（4.31）

的一支包络。定理4.5证毕。 ₂