第六章 线性微分方程组 99
6.1.1 齐次线性微分方程组
Lemma 6.1.2. 引理6.1. 设y = y1(x)和y = y2(x)是齐次线性微分方程组（6.2）的 解，则它们的线性组合
y = C1y1(x) + C2y2(x) (6.4) 也是方程组（6.2）的解，其中C1, C2是（实的）任意常数。
证明：将（6.4）代入（6.2），仍满足方程。 2 以下令齐次线性微分方程组（6.2）在区间(a, b)上所有的解组成的集合为S。 则由引理6.1可知：集合S是一个线性空间。所以我们可以用线性代数的语言来描 述S的结构。
Lemma 6.1.3. 引理6.2. 线性空间S是n维的（这里n是微分方程组（6.2）的阶数）。 证明：注意，解构成的线性空间S的维数与A的秩无关。例如即使A≡ 0，解空 间y = (c1,· · · , cn)T仍然是n维的。
令x0 ∈ (a, b)是固定的。则由上面的存在和唯一性定理推出，对于任何常数向
量y0 ∈ Rn，在S 中存在唯一的元素y(x)，使得y(x0) = y0。这样一来，我们就得到 一个映射
H : y0 7→ y(x); Rn→ S. (6.5) 对于任意y01, y02 ∈ Rn，令
y1(x) = H(y01), y2(x) = H(y20).
由引理6.1，
H(C1y01+ C2y02) = C1H(y10) + C2H(y02), 即映射H是一个线性映射。
显然，H是单射（不同的初值显然对应不同的解）。H也是满射：对于任何y(x)∈
S，我们有
y(x0)∈ Rn, H(y(x0)) = y(x).
所以映射H是满的。
因此H是从Rn到S的线性同构，所以S的维数等于Rn的维数n，它就是微分方
程组（6.2）的阶数。 2
§6.1 一般理论 101 任给m个向量值函数yk(x), k = 1, 2,· · · , m，称它们线性无关指的是
C1y1(x) +· · · + Cmym(x) = 0, 蕴含C1 =· · · = Cm= 0。
令yk0 ∈ Rn和yk(x) = H(y0k)，k = 1, 2,· · · , m。则{y01,· · · , y0m}在Rn中线性无关 等价于{y1(x),· · · , ym(x)}在S中线性无关（因为{y0k}线性无关则显然{yk(x)}线性无 关，{y0k}线性相关则{yk(x)}线性相关）。
现在，我们来证本节的主要结论。
Theorem 6.1.4. 定理6.1. 齐次线性微分方程组（6.2）在区间a < x < b上有n个线 性无关的解
φ1(x),· · · , φn(x), (6.6) 而且它的通解为
y = C1φ1(x) +· · · + Cnφn(x), (6.7) 其中C1,· · · , Cn是任意常数。
证明：利用引理6.2，我们可以得到S的一个基，不妨把它记作（6.6）。因此，
它的线性组合生成整个线性空间S。这就是说，（6.7）式表示齐次线性微分方程组
（6.2）的通解。 2
通常称齐次线性微分方程组（6.2）的n个线性无关的解为一个基本解组。因 此，求（6.2）的通解只需要求它的一个基本解组。
假设已知
y1(x),· · · , yn(x) (6.8)
是微分方程组（6.2）的n个解（一个解组）。则问题归于判别它们是否线性无关。事 实上，取任意x0 ∈ (a, b)作为初值点，则解的线性无关性等价于{yk(x0)}nk=1是否线 性无关。
设在（6.8）中诸解的分量形式为
y1(x) = (yk1(x))T, · · · , yn(x) = (ykn(x))T, 定义解组（6.8）的朗斯基（Wronsky）行列式为
W (x) =
y11(x) y12(x) · · · yn1(x) y21(x) y22(x) · · · yn2(x)
... ... ... yn1(x) y2n(x) · · · ynn(x)
Lemma 6.1.5. 引理6.3. 上述朗斯基行列式满足下面的刘维尔公式 W (x) = W (x0)e
∫x
x0tr[A(x)]dx
, a < x < b. (6.9)
证明：行列式对x求导等于分别对某一行求导后的行列式相加，并利用 dyki
dx =
∑n j=1
aij(x)ykj(x),
可得
dW dx =
∑n i=1
aii(x)W (x) = tr[A(x)]W (x).
这是关于W的一阶线性微分方程，由此解出W，即得（6.9）。
或者考虑 d
ds|s=0Y (s) = AY, Y (s) = esAY, det(esAY ) = estr(A)det(Y )
2
【附注1】由刘维尔公式（6.9）可见，解组（6.8）的朗斯基行列式W (x)在区
间a < x < b 上只有两种可能：恒等于零，或恒不等于零。下面的定理说明，这两
种可能分别对应解组（6.8）的线性相关性和线性无关性。
Theorem 6.1.6. 定理6.2. 线性微分方程组（6.2）的解组（6.8）是线性无关的充要 条件为（任一x或所有x）
W (x)̸= 0, a < x < b. (6.10)
证明：由刘维尔公式可知，（6.10）等价于W (x0)̸= 0，它又等价于初值向量组 y1(x0),· · · , yn(x0) (6.11)
在Rn中是线性无关的，等价于解组（6.8）在S中是线性无关的。 2 Corollary 6.1.7. 推论6.1. 解组（6.8）是线性相关的充要条件为
W (x)≡ 0, a < x < b.
由刘维尔公式可知，朗斯基行列式W (x)≡ 0等价于在某一特殊点x0的W (x0) = 0。因此，在应用中我们只需计算W (x0)是否等于零，就可得知解组（6.8）是否线性 无关。
§6.1 一般理论 103
n阶微分方程组的n个解，即解组{yj, j = 1,· · · , n}可构成一个解矩阵 Y(x) = (yij(x))n×n.
容易知 dY(x)
dx = (dyji(x)
dx )n×n= (
∑n k=1
aik(x)ykj(x))n×n= (aik(x))n×n(yjk(x))n×n= A(x)Y(x).
方程组（6.2）的解组与上式的矩阵解一一对应。
当解组（6.8）是一个基本解组时，称相应的解矩阵Y(x)为一个基解矩阵。若 已知方程组（6.2）的一个基解矩阵Φ(x)，则由定理6.1可知，它的通解为
y = Φ(x)c, (6.15) 其中c是n维的任意常数列向量。
Corollary 6.1.8. 推论6.2.（1）设Φ(x)是方程组（6.2）的一个基解矩阵，则对于任 一个非奇异的n阶常数矩阵C，矩阵
Ψ(x) = Φ(x)C, (6.16) 也是（6.2）的一个基解矩阵；
（2）设Φ(x)和Ψ(x)都是方程组（6.2）的基解矩阵，则必存在一个非奇异的n阶 常数矩阵C使得（6.16）成立。