第八章 边值问题 141
8.4 Sturm-Liouville 固有值问题
§8.4 Sturm-Liouville固有值问题
在上一节利用分离变量法求解三类典型方程定解问题的例子中，我们都得到 一个相应的固有值问题。它们都是二阶线性常微分方程的边值问题。解固有值问 题的关键是所解出的固有函数系是否构成某相应函数空间中的完备正交系。例如，
两端固定的自由弦振动中{sinnπxl }n≥1 为Fourier正弦展开的完备正交系；圆盘内稳 态温度场例子中{cos nθ, sin nθ}n≥0为Fourier展开中的完备正交系；两端绝热的热传 导问题中{cosnπxl }n≥0为Fourier余弦展开的完备正交系。这是分离变量法求解的理 论基础。
考虑
b0(x)y′′+ b1(x)y′+ b2(x)y + λy = 0, x∈ [a, b].
我们可以通过积分因子把它化为SL型方程。找积分因子ρ(x)：设ρ > 0, b0> 0 ρb0y′′+ ρb1y′ = (ρb0y′)′− (ρb0)′y′+ ρb1y′,
因此要求
(ρb0)′= ρ′b0+ ρb′0= ρb1, 从而
ρ′
ρ = b1− b′0 b0
, (log ρ)′ = b1
b0 − (log b0)′, log ρ + log b0=
∫ b1
b0, ρ(x) = 1
b0(x)exp
∫ b1
b0
. 因此得到
(ρb0y′)′+ b2ρy + λρy = 0, k := ρb0 = exp
∫ b1 b0
.
另外，三类典型方程在柱坐标、球坐标下分离变量后都得到这种类型的方程。
所以，我们考虑如下Sturm-Liouville（SL）型的方程：
[k(x)y′]′+ [−q(x) + λρ(x)]y = 0, (1)
其中λ为参数，系数函数k, q, ρ在区间[a, b]上连续，并且k可微。通常假定 ρ|[a,b]> 0, k|(a,b)> 0, q|[a,b]≥ 0.
另外我们记固有值问题的边界条件为(bc)。从而，考虑Sturm-Liouville固有值问题：
{ [k(x)y′]′+ [−q(x) + λρ(x)]y = 0, x ∈ (a, b) (bc)
设当λ = λ0时该固有值问题有非零解y = φ(x)，则称λ0为该固有值问题特征值，
称y = φ(x)为相应的特征函数。
回顾两端固定自由弦振动对应的SL固有值问题：
{ X′′+ λX = 0, 0 < x < l, X(0) = X(l) = 0.
它的特征值和相应的特征函数为 λn= (nπ
l )2, Xn(x) = sin(nπx
l ), n∈ N.
由Fourier级数理论知道，特征函数系Xn(x) = sin(nπxl ), n ∈ N在区间[0, l]上组成 一个完备的正交函数系。我们可以把[0, l]上满足f (0) = f (l) = 0的连续函数展开 成Fourier级数
f (x) =
∑∞ n=1
bnsin(nπx l ).
这也是两端固定自由弦振动可用分离变量法求解的原因（每一时刻t0，u(t0, x)可用 这里{Xn}展开，因此解具有形式u(t, x) =∑
n≥1Tn(t)Xn(x)）。我们将把上述性质和 结论推广到一般的SL固有值问题。
对于y∈ C2[a, b]，定义线性算子 Ly =−1
ρ d
dx(ky′) +q ρy.
则SL型方程（1）可表示成
Ly = λy.
定义函数空间L2ρ,bc[a, b]及其内积为：
L2ρ,bc[a, b] :={f(x)满足(bc)，且
∫ b
a
f2ρdx <∞},
< f, g >ρ:=
∫ b
a
f gρdx.
如果< f, g >ρ= 0，我们称f, g正交，记为f ⊥ρg或简单记作f ⊥ g。
§8.4 Sturm-Liouville固有值问题 165
计算
< Lf, g >ρ =
∫ b
a
[−1 ρ
d
dx(kf′) + q
ρf ]gρdx
=
∫ b
a
[− d
dx(kf′) + qf ]gdx
= −kf′g|ba+
∫ b
a
(kf′g′+ qf g)dx, 因此
< Lf, g >ρ− < Lg, f >ρ=−[kf′g− kfg′]ba. 从而当[kf′g− kfg′]ba= 0时，
< Lf, g >ρ=< f, Lg >ρ, 此时称L为自共轭算子。
L为自共轭算子的一些充分条件：
（1）设(bc)为在x = a以及x = b分别满足三类齐次边界条件中的一种。对于第
一类、第二类齐次边界条件，显然f′g− fg′在边界点为零。对第三类齐次边界条件，
即
y(a) + K(a)y′(a) = 0, y(b) + K(b)y′(b) = 0, 其中常数K ̸= 0。在该边界点
f′g− fg′ = f′(−Kg′)− (−Kf′)g′ = 0.
因此对情形（1），L自共轭。
（2）设(bc)为周期性边界条件：X(a) = X(b), X′(a) = X′(b)且k(a) = k(b)。则 [kf′g− kfg′](b)− [kf′g− kfg′](a) = 0.
此时L也是自共轭的。
（3）自然边界条件：在边界处，k = 0,|y| < ∞。 由之前计算，
< LX, X >ρ=
∫ b
a
[k(X′)2+ qX2]dx− kX′X|ba. 特别当(bc)为第一类，第二类齐次边界条件或周期性边界条件时
< LX, X >ρ=
∫ b
a
[k(X′)2+ qX2]dx.
对于第三类齐次边界条件
−kX′X|ba= k(a)X(a)X′(a)− k(b)X′(b)X(b) =−k(a)
K(a)X(a)2+K(b) K(b)X(b)2. 在热传导情形：K(a) < 0, K(b) > 0（由于边界处外法向的不同）。因此对于第一 类、第二类齐次边界条件，周期性边界条件，或者是第三类齐次边界条件且K(a) <
0, K(b) > 0时，对于X ̸= 0
< LX, X >ρ≥
∫ b
a
[k(X′)2+ qX2]dx≥ 0.
而且< LX, X >ρ= 0时必有q ≡ 0, X′ ≡ 0，即q ≡ 0, X ≡ C。只能出现在两端 都为第二类齐次边界条件或周期性边界条件情形（第三类齐次边界条件情形假设 了K(a) < 0, K(b) > 0）。
与线性代数中对称阵的特征值和特征函数定义类似。定义 λ1 = inf
X̸=0,X∈L2ρ,bc[a,b]
< LX, X >ρ
< X, X >ρ
,
称为第一特征值。由变分原理取到最小值λ1的X∈ L2ρ,bc[a, b]必满足 LX = λ1X.
记
F1={X|LX = λ1X}, 称为第一特征函数空间。定义
λ2 = inf
X⊥ρF1
< LX, X >ρ
< X, X >ρ ,
称为第二特征值，λ2 > λ1。其中取到极小值λ2的函数满足LX = λ2X，相应的有第 二特征函数空间
F2 ={X ⊥ρF1|LX = λ2X}.
一般的，第n特征值和第n特征函数空间递归定义为 λn= inf
X⊥ρ{F1,··· ,Fn−1}
< LX, X >ρ
< X, X >ρ
, Fn={X ⊥ρ{F1,· · · , Fn−1}|LX = λnX}.
由泛函分析（自共轭紧算子）一般理论，
nlim→∞λn→ +∞,
§8.4 Sturm-Liouville固有值问题 167 并且特征函数Fn维数有限。特别由于LX = λnX，dim(Fn) ≤ 2。dim(Fn) = 2仅 出现在周期性边界条件情形。并且固有函数系在L2ρ,bc[a, b]中是完备的，即：对任 意f ∈ L2ρ,bc[a, b]，都有广义Fourier展开：当dim(Fn) = 1时
f (x) =∑
n=1
anXn(x), Xn∈ Fn, 或当dim(Fn) = 2时
f (x) =
∑∞ n=1
(anXn+ bnYn), Xn, Yn∈ Fn, Xn⊥ρYn.
并且，对于不同的特征函数λm̸= λn，Fm ⊥ρFn。事实上，由于L自共轭
< LXm, Xn>ρ= λm < Xm, Xn>ρ=< LXn, Xm >ρ= λn< Xn, Xm>ρ, 因此
< Xm, Xn>ρ= 0.
对每一个Fn可以正交化，从而可以得到L2ρ,bc[a, b]的一组正交基。
取L2ρ,bc[a, b]的一组完备的正交基{Xn}，则展开式 f (x) =∑
n≥1
anXn(x) 中，系数
an=
∫b
af (x)Xn(x)ρ(x)dx
∥X∥2ρ
.
该展开式称为f的广义Fourier展开，an称为f关于{Xn}的广义Fourier系数。
所以说，分离变量法是一种广义Fourier展开法。而Sturm-Liouville理论保证了 求得的特征函数系的完备性，正交性（周期条件下需对每个特征函数空间进行正 交化）。
【例1】解固有值问题：
{ y′′+ λy = 0, x∈ (−l, l) y′(−l) = y′(l) = 0.
解：k = 1, q = 0, ρ = 1。边界条件为第二类齐次边界条件。因此λ≥ 0。对于零特征
值，有特征函数X = 1。
设λ = µ2> 0, µ > 0，此时有通解
y(x) = a cos µx + b sin µx.
代入边界条件得 {
a sin µl + b cos µl = 0
−a sin µl + b cos µl = 0. (1) 若有非零解(a, b)，则
sin µl cos µl
− sin µl cos µl
= sin 2µl = 0, 因此
µn= nπ
2l, n = 1, 2,· · · λn= µ2n= (nπ
2l )2, n∈ N.
以µn代入（1），有解
a = cosnπ
2 , b = sinnπ 2 , 因此得
yn(x) = cosnπ
2 cosnπx
2l + sinnπ
2 sinnπx
2l = cosnπ(x− l) 2l . 所以，固有值问题的解为
λn= µ2n= (nπ
2l)2, yn(x) = cosnπ(x− l)
2l , n≥ 0.
【例2】解固有值问题
{ x2y′′+ xy′+ λy = 0, x∈ (1, e) y(1) = y(e) = 0.
解：先化方程为SL型方程：
ρx2y′′+ xρy′+ λρy = (ρx2y′)′− (ρx2)y′+ xρy′+ λρy, 要求
(ρx2)′− ρx = 0, 从而
x2ρ′+ 2xρ− xρ = x2ρ′+ xρ = 0, xρ′+ ρ = (xρ)′= 0.
令ρ = 1x，则有
{ (xy′)′+ λ1xy = 0, x∈ (1, e), y(1) = y(e) = 0.
§8.4 Sturm-Liouville固有值问题 169
这里k = x, q = 0, ρ = x1。因此λ > 0，dim(Fn) = 1。求Euler方程 x2y′′+ xy′+ λy = 0
的通解。令t = ln x，则方程化为
¨
y + λy = 0, λ = µ2 > 0, 因此
y = a cos µt + b sin µt = a cos(µ ln x) + b sin(µ ln x).
由y(1) = y(e) = 0得
a = 0, b sin µ = 0, 因此
µn= nπ, n∈ N, 从而
λn= (nπ)2, yn(x) = sin(nπ ln x), ρ = 1 x.
特别， ∫
e 1
yn(x)ym(x)1 xdx =
∫ 1
0
sin(nπt) sin(mπt)dt = 0.
作业：2.解固有值问题：
{ y′′− 2ay′+ λy = 0, x∈ (0, 1), y(0) = y(1) = 0.
{ (r2R′)′+ λr2R = 0, 0 < r < a,
|R(0)| < +∞, R(a) = 0.
{ y(4)+ λy = 0, x∈ (0, l), y(0) = y(l) = y′′(0) = y′′(l) = 0.