第八章 边值问题 141
8.7 Legendre 方程与幂级数解法
§8.7 Legendre方程与幂级数解法
继续考虑三类方程的定解问题在三维欧氏空间中的球坐标或柱坐标下的分离 变量法。此时固有值问题对应的是变系数线性常微分方程，其解为一些特殊函数。
三个典型方程：
utt= a2△3u (1) ut= a2△3u, (2)
△3u = 0. (3)
在（1）（2）中令u(t, x, y, z) = T (t)v(x, y, z)，则分离变量分别得到 T′′
a2T = △3v
v =−K, T′′
a2T = △3v
v =−K.
所以需要进一步求解Helmholtz方程
△3v + Kv = 0.
对v的进一步变量分离依赖于坐标系的选取。有三类重要的正交坐标：直角 坐标系，球坐标，柱坐标。当区域为长方体时，在直角坐标系下变量分离比较简 单：v = X(x)Y (y)Z(z)，
X′′
X +Y′′
Y +Z′′
Z + K = 0, X′′+ λX = 0,· · ·
其通解为三角函数、指数函数或一次多项式，具体的固有值及固有函数由边界条 件确定。
对于球体或其一部分，采用球坐标(r, θ, φ)，其中r =|x|, θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π]
(x, y, z) = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ).
从而
∂
∂r = ∂x
∂r∂x+∂y
∂r∂y+∂z
∂r∂z= sin θ cos φ∂x+ sin θ sin φ∂y+ cos θ∂z,
∂
∂θ = r cos θ cos φ∂x+ r cos θ sin φ∂y− r sin θ∂z,
∂
∂φ =−r sin θ sin φ∂x+ r sin θ cos φ∂y.
特别，{∂r∂,∂θ∂,∂φ∂ }两两正交。在球坐标下
§8.7 Legendre方程与幂级数解法 181
它可化为SL型方程
[(1− x2)y′]′+ (λ− µ
1− x2)y = 0, (Legendre)
其中k = 1− x2, q = 1−xµ2, ρ = 1（此时x =±1为k的1阶零点，为q的1阶极点，SL理论 仍适用）。当µ = 0时，
[(1− x2)y′]′+ λy = 0, (Legendre) 称为Legendre方程。
【例】在半径为a的接地金属球壳内距离球心b的P点处有点电荷4πϵq，求球内 电位。
解：设球内电位为U = u0 + u，其中u0为点电荷产生的电位，u为金属球壳 上因点电荷所产生的感应电荷所对应的电位。取P在z正半轴上，即P = (0, 0, b)， 则u0(Q) = |Q−P |q 。u满足
{ △3u = 0,
u|r=a=−u0|r=a=−√a2+b2−2ab cos θq . 因u(r, θ, φ)关于z轴旋转对称，u与φ无关。记为u(r, θ)，此时
△3u = 1 r2
∂
∂r(r2∂u
∂r) + 1 r2sin θ
∂
∂θ(sin θ∂u
∂θ) = 0.
设u = R(r)Θ(θ)，则
(r2R′)′
R + 1
sin θ
(sin θΘ′)′
Θ = 0.
因此
1
sin θ(sin θΘ′)′+ λΘ = 0, (r2R′)′− λR = 0.
固有值问题为 {
1
sin θ(sin θΘ′)′+ λΘ = 0, 0 < θ < π,
|Θ(0)| < ∞, |Θ(π)| < ∞.
令x = cos θ ∈ [−1, 1]，y(x) = Θ(arccos x) = Θ(θ)，则它化为 { [(1− x2)y′]′+ λy = 0, −1 < x < 1,
|y(±1)| < ∞.
我们将用幂级数法求解Legendre方程，特别是上述固有值问题。幂级数法的理 论基础是柯西利用优级数法建立的初值问题解析解（收敛的幂级数解）的存在性 和唯一性定理，参见章节7.1。
Theorem 8.7.1.（柯西定理）如果f (x, y)在(x0, y0)解析，即在某矩形区域|x − x0| ≤ a,|y − y0| ≤ b上可以展成收敛幂级数
f (x, y) =
∑∞ i,j=0
aij(x− x0)i(y− y0)j,
则初值问题
dy
dx = f (x, y), y(x0) = y0
在x0的某个邻域内有唯一的解析解，即唯一解y = y(x)可以展开成收敛幂级数
y =
∑∞ n=0
Cn(x− x0)n.
对于微分方程组 dyk
dx = fk(x, y1,· · · , yn), yk(x0) = yk, k = 1,· · · , n,
其中fk解析，柯西定理仍然成立，即存在唯一的解析解。通过把高阶方程转化为微 分方程组，可以得到如下定理。
Theorem 8.7.2. 设方程
y′′+ p(x)y′+ q(x)y = 0
中p(x), q(x)在|x − x0| < r上可以展成(x− x0)的收敛幂级数，则方程在|x − x0| < r上 有收敛的幂级数解
y =
∑∞ n=0
Cn(x− x0)n,
其中C0, C1是两个任意常数（可通过在x0的初值条件来决定，即C0 = y0, C1 = y0′）， 而Cn(n≥ 2)可以由C0, C1递推确定。
由此，Legendre方程 y′′− 2x
1− x2y′+ λ
1− x2y = 0, −1 < x < 1, 在|x| < 1上有解析解。
设
y(x) =∑
n≥0
anxn,
§8.7 Legendre方程与幂级数解法 183
an为待定常数。则 (1− x2)y′′=∑
n≥2
n(n− 1)an(xn−2− xn) =∑
n≥0
(n + 2)(n + 1)an+2xn−∑
n≥0
n(n− 1)anxn,
−2xy′ =−∑
n≥1
2nanxn=−∑
n≥0
2nanxn, 代入Legendre方程得
∑
n≥0
[(n + 2)(n + 1)an+2− n(n − 1)an− 2nan+ λan]xn= 0,
因此
(n + 1)(n + 2)an+2 = [n(n + 1)− λ]an.
接下来可以通过此递推公式确定an，求解Legendre方程的固有值问题 { [(1− x2)y′]′+ λy = 0, −1 < x < 1,
|y(±1)| < ∞.
Sturm-Liouville定理中包含情形：当x = a(或x = b)是k(x)的至多一阶零点，
是q(x)的至多一阶极点，且|X(a)| < ∞ (或|X(b)| < ∞)。此时同样有λ≥ 0。记λ = l(l + 1), l≥ 0。
（1）当l不是整数时，可分别令a0 ̸= 0, a1 = 0以及a0 = 0, a1 ̸= 0得到线性无关 的无穷幂级数解y1, y2，此时
an+2
an
= n(n + 1)− l(l + 1)
(n + 1)(n + 2) ∼ 1 − 2 n,
y1, y2的收敛半径为1，且在x =±1都发散。此时l(l + 1)不是固有值。
（2）设l为整数，
ak+2 = k(k + 1)− l(l + 1)
(k + 1)(k + 2) ak = (k− l)(k + l + 1) (k + 1)(k + 2) ak. 当l = n为偶数时，取a0̸= 0, a1= 0，则
al+2= al+4=· · · = 0, 因此得到y = Pn(x)为n次多项式。令an= 2(2n)!n(n!)2，则由
ak= ak+2 (k + 1)(k + 2) (k− n)(k + n + 1),
可得
由Liouville公式，可解得Legendre方程 y′′− 2x
1− x2y′+ n(n + 1) 1− x2 y = 0
§8.7 Legendre方程与幂级数解法 185
的另一个线性无关解（见(6.56)） Qn(x) = P (x)
∫ 1
Pn2(x)e
∫ 2x
1−x2dx
dx = Pn(x)
∫ 1
Pn(x)2(1− x2)dx, 称为第二类Legendre函数。进一步计算可得
Qn(x) = 1
2Pn(x) ln1 + x 1− x −
[∑n+12 ] k=1
2n− 4k + 3
(2k− 1)(n − k + 1)Pn−2k+1(x).
可见，当x→ ±1时，Qn(x)→ ∞。
当l = 0, 1, 2,· · ·，Legendre方程的通解为
y = C1Pn(x) + C2Qn(x).
综合可知，固有值问题的固有值为
λn= n(n + 1), n = 0, 1, 2,· · ·
相应的固有函数为Pn(x)，并且{Pn(x)}构成L2[−, 1]的完备正交基。
作业：7-2：3. 求解Hermite方程
y′′− 2xy′+ λy = 0, −∞ < x < ∞ 其中λ为常数。