待定指数函数法（欧拉）

现在我们可以把上面由理论分析所得的公式（6.35）应用于下面的待定系数 法，以便确定方程组^dy_dx = Ay相应的基解矩阵。

由于矩阵A的若当标准型依赖于它的特征根的重数，我们将区分两种不同的 情形：

（一）A只有单的特征值

设A的特征值λ1,· · · , λn均为单特征值，因此互不相同。则A的若当标准型J 就 是一个对角矩阵（复矩阵），因此得到基解矩阵

Φ(x) = e^xAP = P diag(e^λ1x,· · · , e^λnx).

§6.2 常系数线性微分方程组 111

并且由Φ(0) = P，可得到实的标准基解矩阵

e^xA= Φ(x)Φ⁻¹(0). (6.36)

因此，问题归于如何确定矩阵P。令ri表示P的第i列的向量，则基解矩阵 Φ(x) = (e^λ1xr1,· · · , e^λnxrn).

它告诉我们^dy_dx = Ay有如下形式的解（其实部和虚部也都是解）：

e^λixri.

Lemma 6.2.3. 引理_6.6. 微分方程^dy_{dx = Ay}有非零解_{y = e}^λx_r，当且仅当_λ是矩 阵A的特征值，而r是相应于λ的特征向量。

证明：y = e^λxr为微分方程的解当且仅当 λe^λxr = Ae^λxr 即等价于求特征值与相应的特征向量

(A− λE)r = 0.

2 Theorem 6.2.4. 定理6.5. 设A有n个互不相同的特征值λ₁,· · · , λn以及相应的特征 向量r1,· · · , rn，则

Φ(x) = (e^λ1xr₁,· · · , e^λnxr_n) 是^dy_{dx = Ay}的一个基解矩阵。

证明：由引理6.6，Φ(x)是方程的解矩阵。另一方面，对应于不同特征值的特征 向量组是线性无关的，所以

det Φ(0) = det[r₁,· · · , rn]̸= 0.

从而Φ(x)是一个基解矩阵。

为了得到所需的实基解矩阵，可以利用（6.36）得到实的标准基解矩阵e^xA =

Φ(x)Φ(0)⁻¹。因为右乘非奇异矩阵仍然是基解矩阵，并且由下式及它在x = 0是单

位矩阵可知它是实矩阵（利用方程组解的唯一性）

d

dx[Φ(x)Φ(0)⁻¹] = A(x)[Φ(x)Φ(0)⁻¹].

或者，将Φ(x)分解为Φ(x) = B(x) + iC(x)，则其实部与虚部都是解矩阵，它们

§6.2 常系数线性微分方程组 113

（二）A有相重的特征值

假设矩阵A的互不相同的特征值为λ₁,· · · , λs，相应的重数分别为正整数n₁,· · · , n2(n₁+

· · · + ns= n)。在A的若当标准型J中，与λ_i相对应的若当块可能不止一个，这些若 当块的阶数之和为ni，记其中一块为Jp = λiEp+ Zp（阶为p）。我们可以把基解矩 阵的某一列表示出

e^xAP = P e^xJ = P diag(e^x(λiEp+Zp)) = (p₁,· · · , pn)diag(e^λixe^xZp)

= diag(e^λix(r0+ xr1+ 1

2!x²r2+· · · + 1

(p− 1)!x^p−1rp−1)),

其中这里r0,· · · , rp−1取的是相应的倒序的p_l−1,· · · , pl−p。所以我们已经知道如上形 式的列向量一定可以构成一个基解矩阵。接下来，对一般情形我们待定一个复数 值的解，形如

e^λix(r0+ xr1+ 1

2!x²r2+· · · + 1

(ni− 1)!xⁿⁱ⁻¹rni−1), (6.39) 主要问题是如何确定r₀, r₁· · · , rni−1。

Lemma 6.2.5. 引理6.7. 设λ_i是矩阵A的n_i重特征值，则齐次方程有形如（6.39）的 非零解的充要条件是：r0是齐次线性代数方程组

(A− λiE)ⁿⁱr = 0 (6.40)

的一个非零解，而且（6.39）中的r₁,· · · , rni−1由下面关系式逐次确定：

r_k= (A− λiE)r_k−1, k = 1,· · · , ni− 1. (6.41) 证明：（6.39）为^dy_dx = Ay的解当且仅当

dy

dx = λie^λix(r0+ xr1+ 1

2!x²r2+· · · + 1

(ni− 1)!xⁿⁱ⁻¹rni−1) +e^λix(r1+ xr2+· · · + 1

(ni− 2)!xⁿⁱ⁻²rni−1)

= Ae^λix(r₀+ xr₁+ 1

2!x²r₂+· · · + 1

(ni− 1)!xⁿⁱ⁻¹r_ni−1), 即

(A− λiE)(r₀+ xr₁+ 1

2!x²r₂+· · · + 1

(ni− 1)!xⁿⁱ⁻¹r_ni−1)

= r₁+ xr₂+· · · + 1

(ni− 2)!xⁿⁱ⁻²r_ni−1.

当且仅当

(A− λiE)rj = rj+1, j = 0, 1,· · · , ni− 2; (A − λiE)rni−1 = 0, 即

r_j+1= (A− λiE)^j+1r₀, j = 0, 1,· · · , ni− 2; (A − λiE)ⁿⁱr₀ = 0.

又（6.39）非零当且仅当r₀非零。引理得证。注意，在r₀, r₁,· · · , rni−1 中可能出现后 面若干个为零，其实x的最高幂次等于λi的若当子块的最高阶数减1。 ₂ Lemma 6.2.6. 命题4. 设矩阵A的互不相同的特征值为λ1,· · · , λs，它们的重数分 别是n₁,· · · , ns(n₁+· · · + ns= n)。记n维常数列向量所组成的（复）线性空间为V， 则

（1）V的子集合

V_i ={r ∈ V |(A − λiE)ⁿⁱr = 0} 是矩阵A的n_i维不变子空间。

（2）V有直和分解V = V₁⊕ V2⊕ · · · ⊕ Vs。

Theorem 6.2.7. 定理6.6. 设n阶实值矩阵A有互不相同的特征值为λ₁,· · · , λs，它 们的重数分别是n1,· · · , ns(n1+· · · + ns = n)。则常系数齐次线性微分方程组有基 解矩阵

(e^λ1xP₁⁽¹⁾(x),· · · , e^λ1xP_n⁽¹⁾₁ (x);· · · ; e^λsxP₁^(s)(x),· · · , e^λsxP_n^(s)_s (x)), (6.42) 其中（i = 1,· · · , s; j = 1, · · · , ni）

P_j⁽ⁱ⁾(x) = r⁽ⁱ⁾_j0 + xr⁽ⁱ⁾_j1 +x²

2!r⁽ⁱ⁾_j2 +· · · + xⁿⁱ⁻¹ (n_i− 1)!r⁽ⁱ⁾_jn

i−1, (6.43)

r⁽ⁱ⁾₁₀,· · · , r⁽ⁱ⁾_ni0是(A − λiE)ⁿⁱr = 0的n_i个线性无关解， 且r⁽ⁱ⁾_jk = (A − λiE)^kr⁽ⁱ⁾_j0(i = 1, 2,· · · , s; j = 1, 2, · · · , ni; k = 1, 2,· · · , ni− 1)。

此外，当所得出的Φ(x)是复值时，可从Φ(x)中提取实值基解矩阵。

证明：由引理6.7可知，在（6.42）中矩阵Φ(x)的每一列都是（6.25）的解。因此，

我们只需证明Φ(x)的各列线性无关即可。从（6.42）和（6.43）不难看出 Φ(0) = (r⁽¹⁾₁₀,· · · , r⁽¹⁾_n10;· · · ; r^(s)₁₀,· · · , r^(s)_ns0). (6.44)

由命题4的（1）可知，我们可以适当选取_{r⁽ⁱ⁾_j0}，使得相应于同一个λi的r⁽ⁱ⁾₁₀,· · · , r⁽ⁱ⁾_ni0是 线性无关的；再由命题4的（2）可见，矩阵Φ(0)中的各列构成了n维线性空间V的一 组基，从而det Φ(0)̸= 0。因此，Φ(x)是方程（6.25）的一个基解矩阵。 ₂

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