常微分方程

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常微分方程

丁同仁李承治

2019年秋

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第一章序言与基本概念

序言:

§1.1 微分方程及其解的定义

Definition 1.1.1. 设函数y = φ(x)在区间J上连续，且有直到n阶的导数。如果把y = φ(x)及其相应的各阶导数代入方程（1.1），得到关于x的恒等式，即

F (x, φ(x), φ^′(x),· · · , φ⁽ⁿ⁾(x)) = 0

对一切x∈ J都成立，则称y = φ(x)为微分方程（1.1）在区间J上的一个解。

例：自由落体。由牛顿第二运动定律F = ma， m¨y =−mg,

¨

y =−g, (1.4) 这个方程很简单，右边与y无关。转化为求积分

˙

y =−gt + C1, (1.5) y =−1

2gt²+ C₁t + C₂, (1.6) 确定一个具体的自由落体运动，需要确定它的初值条件

y(0) = y₀, y^′(0) = v₀. (1.7) 此时要求_C₂ _{= y}₀_{, C}₁ _{= v}₀。因此得到唯一确定的解

y =−1

2gt²+ v0t + y0. (1.8)

由于n阶ode求解过程积分n次，另一方面它有n个初值条件，一个n阶微分方程的通解包含n个独立的任意常数（严格的证明见第十章）。所以有如下定义。

Definition 1.1.2. 设n阶微分方程（1.1）的解

y = φ(x, C₁, C₂,· · · , Cn) (1.3) 7

(8)

包含n个独立常数C1, C2,· · · , Cn，则称它为通解。这里所说的n个任意常数C1,· · · , Cn是独立的，其含义是Jacobi行列式

D[φ, φ^′,· · · , φ⁽ⁿ⁻¹⁾] D[C₁, C₂,· · · , Cn] :=

∂φ

∂C1

∂φ

∂C2 · · · _∂C^∂φ_n

∂φ^′

∂C1

∂φ^′

∂C2 · · · _∂C^∂φ_n^′ ... ... ... ...

∂φ⁽ⁿ⁻¹⁾

∂C1

∂φ⁽ⁿ⁻¹⁾

∂C2 · · · ^∂φ_∂C⁽ⁿ⁻¹⁾_n

̸= 0

这里C₁,· · · , Cn是参数，给出了解空间的维数。如果微分方程（1.1）的解y = φ(x)不包含任意常数，则称它为特解。

【附注】通解一般未必是方程所有的解，还有可能有奇解。这涉及到初值问题的解的唯一性问题。将在第四章讨论奇解、解的包络。

n阶微分方程（1.1）的初值条件的一般提法是

y(x0) = y0, y^′(x0) = y^′₀, · · · , y⁽ⁿ⁻¹⁾(x0) = y⁽ⁿ₀ ⁻¹⁾, (1.10) 其中y₀, y₀^′,· · · , y⁽ⁿ₀ ⁻¹⁾是未知函数及其相应导数所取定的初值。

不失一般性，考虑微分方程（标准形式）初值问题 { y⁽ⁿ⁾= F (x, y, y^′,· · · , y⁽ⁿ⁻¹⁾),

y(x0) = y0, y^′(x0) = y₀^′, · · · , y⁽ⁿ⁻¹⁾(x0) = y⁽ⁿ₀ ⁻¹⁾ (1.11)

我们关心函数F满足什么条件时，它的解是否存在，是否唯一？这是常微分方程理论中的一个基本问题。在第三章中将对n = 1的情形证明如下结果：只要F是连续的，则初值问题（1.11）的解是（局部）存在的，而且将在某些附加条件下证明解的存在性和唯一性。在第五章我们再把这些结果进一步推广到n≥ 2的情形。

除了初值条件，另外一种常见的定解条件（参看第五章的悬链线之例）

y^′′= a√

1 + (y^′)², y(x₁) = y₁, y(x₂) = y₂. 在第九章中将介绍边值问题（Sturm-Liouville边值问题）。

n阶微分方程通解定义中关于n个任意常数的独立性：n个独立常数C₁,· · · , Cn的取值使得n阶微分方程解的初值φ(x, C1,· · · , Cn),· · · , φ⁽ⁿ⁻¹⁾(x, C1,· · · , Cn)具有（局部）映满的性质：即邻近(y^(k⁻¹⁾(x₀, C_α⁰) = φ^(k⁻¹⁾(x₀, C_α⁰) = a⁰_k, k = 1,· · · , n)的初值(a^k)（以及相应的解）都可以选(Cα)使得φ^(k⁻¹⁾(x0, Cα) = ak。（这是因为从参数C到初值A = φ^(k⁻¹⁾(x0, C)的切映射在C0处是满秩的。）我们可以从隐映射定理的角度来证明。

(9)

§1.1 微分方程及其解的定义 9

Theorem 1.1.3.隐映射定理【数学分析教程上册定理9.7.1】：设开集D⊂ R^m+n(A, C), F : D→ Rⁿ，这里A = (a₁,· · · , am)∈ R^m, C = (c₁,· · · , cn)

F = (F_α(A, c₁,· · · , cβ,· · · , cn)) 满足如下条件：

（a）F ∈ C¹(D);

（b）有一点(A⁰, C⁰)∈ D，使得F (A⁰, C⁰) = 0;

（c）行列式det JCF (A⁰, C⁰) = ^D[F_D[c¹^,^{··· ,F}ⁿ^]

1,··· ,cn](A⁰, C⁰)̸= 0。

那么存在(A⁰, C⁰)的一个邻域G× H，使得对每个A∈ G，方程F (A, C) = 0有唯一的解，记为C = f (A)；并且C⁰= f (A⁰)，f ∈ C¹(G)。

现在设y = φ(x, C₁,· · · , Cn)是方程（1.1）的通解，则利用初值条件（1.10）可以在局部上选取其中的任意常数C1,· · · , Cn的具体取值得到初值问题（1.1）+（1.10）的解。注意到Jacobi行列式非零，考虑

F_k(a1,· · · , an, C1,· · · , Cn) := φ^(k⁻¹⁾(x0, C)− ak= 0, k = 1,· · · , n

其中x0固定。给定C⁰ = (C_α⁰)以及A⁰ = (a⁰_k)满足上述初始条件之后，由隐映射定理，(a⁰_k)邻近的A都有唯一解C = f (A)。由此从初值A唯一确定了参数C。

作业：2（求解），3（求方程），4（求方程的一般证明）

(10)

回顾：通解中n个任意常数的独立性：设y = φ(x, C1,· · · , Cn)是方程（1.1） F (x, y, y^′,· · · , y⁽ⁿ⁾) = 0 (1.1)

的通解，取定x₀ ∈ J以及参数C⁰ = (C₁⁰,· · · , Cn⁰)，则得到一个特解，它满足的初值条件为

y(x0) = a⁰₁ := φ(x0, C⁰), y^′(x0) = a⁰₂ := φ^′(x0, C⁰), · · · , y⁽ⁿ⁻¹⁾(x0) = a_n⁰ := φ⁽ⁿ⁻¹⁾(x0, C0). (1.10) 独立性使得我们可以利用隐映射定理，从而根据_A⁰ _{= (a}⁰₁_,_{· · · , a}⁰_n₎某邻域内的_{A =}

(a1,· · · , an)来选取任意常数C = (C1,· · · , Cn)的取值使得初值A被取到，即a_k= φ^(k⁻¹⁾(x0, C)。因此，有特解满足初值为A。

事实上，考虑

Fk(a1,· · · , an, C1,· · · , Cn) := φ^(k⁻¹⁾(x0, C)− ak = 0, k = 1,· · · , n

其中x₀固定。给定C⁰以及A⁰满足上述初始条件之后，由隐映射定理，A⁰邻近的A都

有唯一解C = f (A)。由此从初值A唯一确定了参数C。

(11)

第二章初等积分法

§2.1 恰当方程

考虑对称形式的一阶微分方程

α := P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. (2.1) 即一阶拟线性微分方程

P (x, y) + Q(x, y)y^′= 0. (2.1^′)

（2.1’）其实是一阶方程的一个标准形式，很一般了，例如包含一阶线性方程。通常我们是不会具体求解的。我们写成形式（2.1）来考虑它的原因是因为它是一阶方程很几何的一个形式。

我们把自变量和因变量所在的空间联合在一起：(x, y)∈ R²，求解（2.1）也可看作是求xy平面上（一族）曲线γ_C ⊂ R²，记（其中任一条）曲线γ_C的切空间为_{{RT }}，使得θ(T ) = 0。此时称γC为θ的积分曲线（族）。通常积分曲线γC由Φ(x, y) = C给出

（从y = g(x, C)解出C = Φ(x, y)）。

如下，我们形式地说明曲线γ := {y = φ(x)}为一条积分曲线当且仅当y = φ(x)是（2.1’）的解。注意到γ有切向量T = ∂_x + φ^′(x)∂_y，因此γ为积分曲线当且仅当

P + Qφ^′(x) = 0, 即y = φ(x)满足（2.1’）。

【高阶常微分方程的标准形式y⁽ⁿ⁾= f (x, y, y^′,· · · , y⁽ⁿ⁻¹⁾)也可以表示成求n个1- 形式的积分曲线：令y_k = y^(k⁻¹⁾, k = 1, 2,· · · , n，则对应的n个1-形式为

dy₁= y₂,· · · , dyn−1 = y_ndx, dy_n= f (x, y₁,· · · , yn)dx.

1阶常微分方程组的标准形式y_k^′ = fk(x, y1,· · · , yn), k = 1, 2,· · · , n的求解也可以表达成求n个1-形式的积分曲线：

dy_k= f_k(x, y₁,· · · , yn)dx, k = 1, 2,· · · , n.

S. Lie与E. Cartan有一般理论通过微分形式来研究微分方程。】

所以求解（2.1’）可转化为求α的积分曲线。虽然容易看到积分曲线经过一个点时有切向(−Q, P )，但是一般不能够解出。能求解的一个情形：如果存在一个可

11

(12)

微函数Φ(x, y)使得它的全微分

dΦ(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy, 即

∂Φ

∂x = P (x, y), ∂Φ

∂y = Q(x, y), (2.2)

时，由Φ(x, y) = C定义的曲线为α = 0的积分曲线。事实上，曲线Φ(x, y) = C有切向量T =−Φy∂x+ Φx∂y，从而α(T ) = 0。

定义：如果存在一个可微函数Φ(x, y)使得它的全微分dΦ = α = P dx + Qdy，则称（2.1）为恰当方程或全微分方程，称Φ(x, y) = C为（2.1）的一个通积分（通解）。

Proposition 2.1.1. 设Φ(x, y)满足（2.2），则由 Φ(x, y) = C (2.3)

确定的隐函数y = y(x)（或x = x(y)）为方程（2.1）的解。

证明：仅考虑y作为自变量x的函数的情形。由Φ(x, y(x)) = C对x求导可得 P (x, y) + Q(x, y)y^′ = 0.

2 一般情况下，我们需要解决的问题是：

（1）如何判断一个给定的微分方程是或者不是恰当方程？

（2）当它是恰当方程时，如何求出通积分？

（3）当它不是恰当方程时，能否将它的求解问题转化为一个与之相关的恰当方程的求解问题？

下面的定理对问题1和2给出了完满的解答。至于问题3，则是贯穿本章随后各节的一个中心问题（2.2-2.4节就若干特殊类型的方程给出针对性的解答，2.5节给出一个较为一般但不完整的解答）。

Theorem 2.1.2. 设函数P (x, y)和Q(x, y)在区域 R : α < x < β, γ < y < δ

上连续，且有连续的一阶偏导数Py, Qx。则微分方程（2.1）是恰当方程当且仅当 P_y = Q_x (2.4)

(13)

§2.1 恰当方程 13 在R内成立。而且当（2.4）成立时，（2.1）的通积分为（同一个）

∫ _x

x0

P (x, y)dx +

∫ _y

y0

Q(x₀, y)dy = C, (2.5)

∫ _x

x0

P (x, y₀)dx +

∫ _y

y0

Q(x, y)dy = C, (2.6) 其中(x₀, y₀)是R中任意取定的一点。

证明：必要性：设（2.1）为恰当方程，则存在Φ(x, y)使得

∂Φ

∂x = P (x, y), ∂Φ

∂y = Q(x, y). (2.7) 再求偏导可得

∂P

∂y = ∂²Φ

∂y∂x, ∂Q

∂x = ∂²Φ

∂x∂y. (2.8)

由P_y, Q_x的连续性假设可知混合偏导数_∂y∂x^∂²^Φ和_∂x∂y^∂²^Φ 是连续的，从而_∂y∂x^∂²^Φ = _∂x∂y^∂²^Φ。因此，（2.4）成立。

【事实上，0 = ddΦ = (−Py+ Q_x)dx∧ dy】

充分性：设P, Q满足（2.4），我们需要构造可微函数Φ(x, y)使得（2.7）式成立。

为了使（2.7）的第一式成立，我们取（下面任意固定一点(x0, y0)∈ R） Φ(x, y) =

∫ _x

x0

P (x, y)dx + ψ(y), (2.9) 其中ψ(y)待定，以使Φ满足（2.7）的第二式。因此由（2.9）可得

∂Φ

∂y =

∫ _x

x0

∂

∂yP (x, y)dx + ψ^′(y).

利用假设条件（2.4）得到

∂Φ

∂y =

∫ _x

x0

∂

∂xQ(x, y)dx + ψ^′(y) = Q(x, y)− Q(x0, y) + ψ^′(y).

由此，为使（2.7）的第二式成立，只要令ψ^′(y) = Q(x₀, y)，即 ψ(y) =

∫ _y

y0

Q(x0, y)dy 即可。这样，就找到了满足（2.7）的一个函数

Φ(x, y) =

∫ _x

x0

P (x, y)dx +

∫ _y

y0

Q(x₀, y)dy. (2.10)

(14)

即P (x, y)dx + Q(x, y)dy沿着折线路径γ : (x0, y0)→ (x0, y)→ (x, y)的积分。

如果在构造Φ(x, y)时，先考虑使（2.7）的第二式成立，则得到满足（2.7）的另一函数

eΦ(x, y) =∫ _x

x0

P (x, y0)dx +

∫ _y

y0

Q(x, y)dy. (2.11)

即P (x, y)dx + Q(x, y)dy沿着折线路径γ : (x0, y0) → (x, y0) → (x, y)的积分。其实也可以直接对（2.11）求偏导数得到（2.7）。

因此，我们得到通积分（2.5）或者（2.6）。注意，Φ(x, y)和eΦ(x, y)的全微分相同，

所以它们之间只差一个常数。再由Φ(x₀, y₀) = eΦ(x₀, y₀) = 0可知Φ(x, y)≡ eΦ(x, y)。

【事实上R单连通，α恰当当且仅当它是闭合的，即d(P dx + Qdy) = (−Py + Q_x)dx∧ dy = 0。而且当dα = 0时，给定(x₀, y₀), (x, y)∈ R，设σ为从(x₀, y₀)到(x, y)的可微曲线，则积分^∫_σα不依赖于σ的选取。】 ₂

总结：给定微分方程

Q(x, y)y^′+ P (x, y) = 0

判断它是否为恰当方程即验证P_y = Q_x（即d(P dx + Qdy) = 0）是否成立，若成立，

然后可通过积分^∫ α来确定通积分Φ(x, y)。从而Φ(x, y) = C就是微分方程（2.1）的解。

求解恰当方程的关键是构造相应全微分的原函数Φ(x, y)。这实际上就是场论中的位势问题。条件（2.4）等价于P (x, y)dx + Q(x, y)dy是一个闭合的1-形式，从而在单连通区域R上恰当，即P (x, y)dx + Q(x, y)dy = dΦ(x, y)。由Stokes定理，闭合1-形式P (x, y)dx + Q(x, y)dy的曲线积分

Φ(x, y) =

∫ _(x,y)

(x0,y0)

[P (x, y)dx + Q(x, y)dy] (2.14)

与积分的路径无关。因此，（2.14）唯一确定了一个（单值）函数Φ(x, y)。

如果区域不是单连通的，那么积分与路径有关。此时，一般的Φ(x, y)是多值的。例如对于方程

xdy− ydx

x²+ y² = 0, x²+ y²̸= 0 条件（2.4）在非单连通环域R₀ : x²+ y² > 0上成立。由

d(arctany

x) = xdy− ydx x²+ y² , 我们得到方程的解

arctany x = C.

(15)

§2.1 恰当方程 15

这里Φ(x, y) = arctan^y_x在R0上是一个多值函数【逆时针围绕原点每转一圈回来多

了2π】。当然，原方程的解为y = ax及x = 0。

【例5.】(t²+ 1) cos udu + 2t sin udt = 0.

解：Pt= 2t cos u = Qu，求Φ(u, t)使得

Φu= (t²+ 1) cos u, Φt= 2t sin u, 由前者，

Φ(u, t) = (t²+ 1) sin u + f (t), 由后者，取f (t) = 0，因此

Φ(u, t) = (t²+ 1) sin u = C.

【例6.】(ye^x+ 2e^x+ y²)dx + (e^x+ 2xy)dy = 0.

解：P_y = e^x+ 2y = Q_x。找Φ(x, y)使得

Φ_x= ye^x+ 2e^x+ y², Φ_y = e^x+ 2xy, 由后者

Φ = ye^x+ xy²+ f (x), 由前者f (x) = 2e^x，因此

Φ(x, y) = ye^x+ xy²+ 2e^x = C.

作业：7，9，10

(16)

回顾：设(x, y)∈ R，R⊂ R²为单连通区域。

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

为恰当方程（或全微分方程），即存在Φ(x, y)使得dΦ = P dx + Qdy时，Φ(x, y) = C为通解。

判断是否为恰当方程的等价条件：

Py = Qx. 通积分

Φ(x, y) =

∫ _(x,y)

(x0,y0)

(P dx + Qdy) = C.

§2.2 变量分离方程 如果微分方程

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2.15)

中P, Q均可表示成x的函数与y的函数的乘积，则称（2.15）为变量分离的方程。此时，记

P (x, y) = X(x)Y1(y), Q(x, y) = X1(x)Y (y), 因此变量分离的方程可以写成如下的形式

X(x)Y₁(y)dx + X₁(x)Y (y)dy = 0. (2.16)

（2.16）未必为恰当方程。如果两边除以因子X1(x)Y1(y)，则得到 X(x)

X1(x)dx + Y (y)

Y1(y)dy = 0. (2.19) 它是恰当方程（P_y = Q_x= 0），其通积分为

∫ X(x) X₁(x)dx +

∫ Y (y)

Y₁(y)dy = C. (2.20)

注意，我们化为形式（2.19）求解，是先在直线集合_{X₁(x)Y1(y) = 0}以外求解

（2.16），需要补上如下形式的特解（如果它们不包含在通积分之内）：

x = a_i，a_i是X₁(x) = 0的根；y = b_j，b_j是Y₁(y) = 0的根。

(17)

§2.2 变量分离方程 17 求解方法：先观察一阶微分方程是否可变形为变量分离的形式，然后积分：

例(3)^dy_dx+ y²sin x = 0 解：当y̸= 0时，

−dy

y² = sin xdx, 即

d(1

y) = d(− cos x) 因此通积分为¹_y =− cos x − C，即

y(cos x + C) + 1 = 0.

另有特解y = 0。

【例3】物体在空气中降落的速度问题（考虑空气阻力）。

假设质量为m的物体在空气中下落，空气阻力与物体速度的平方成正比，阻

尼系数为k > 0。沿垂直水平地面向下的方向取定坐标轴x，由牛顿第二运动定律

推出微分方程

m¨x = mg− k ˙x².

这是一个二阶方程，但其中不显含未知函数x，而且我们关心的速度。记v = ˙x，则方程变为

dv

dt = g− k

mv², v > 0. (2.25) 这是一个变量分离的方程。上式右端不为零时，

dv

g−_m^kv² = dt, 积分可得通解

v =

√mg k

Ce^2at+ 1

Ce^2at− 1, t≥ 0, (2.26) 其中a =√

kg/m，C为任意常数。当（2.25）右端为零时，有特解v =√

mg/k := b。常数C可由初值条件v(0) = v₀确定，

C = (v0+

√mg k )(v0−

√mg k )⁻¹.

所以当v₀ < b时，C <−1，一直加速到b。当v₀ > b时，C > 1，一直减速到b。

(18)

例【习题4】跟踪问题：设某A从Oxy平面上的原点出发，沿x轴正方向前进；

同时某B从(0, b)开始跟踪A，即B的运动方向永远指向A并与A保持等距b > 0。试求B的光滑运动轨迹。

解：假设A的位置为(a, 0)，B的位置为(x, y)，则此时 (x− a)²+ y² = b², x− a = −√

b²− y², 又满足

dy dx = y

x− a, 所以

dy

dx =− y

√b²− y². 解得(见积分表71)

x = b

2lnb +√ b²− y² b−√

b²− y² −√

b²− y². 作业：2-2：1（4，5，6，7），2（2，4），3（3），4

(19)

§2.3 一阶线性方程 19

§2.3 一阶线性方程

本节讨论一阶线性方程（一般形式）

dy

dx+ p(x)y = q(x) (2.28)

其中函数p(x), q(x)在区间I = (a, b)上连续。当q(x)≡ 0时，方程（2.28）成为 dy

dx+ p(x)y = 0 (2.29)

（2.28）称为非齐次线性方程，（2.29）称为齐次线性方程。

先讨论齐次线性方程（_2.29）的解法。这是一个变量分离的方程。_{y = 0}为特解。当y̸= 0时，（2.29）可改写为

dy

y + p(x)dx = 0 因此积分得

ln|y| +

∫

p(x)dx = C, y = Ce⁻

∫p(x)dx, C̸= 0.

特解对应上式中取C = 0，因此（2.29）的通解为 y = Ce⁻

∫p(x)dx = Ce

∫x x0p(t)dt

. (2.30)

接下来求解非齐次线性方程（2.28）。可将它改写为 dy + p(x)ydx = q(x)dx. (2.31) 即

(p(x)y− q(x))dx + dy = 0.

这一般不是一个恰当方程，但我们可以尝试找一个乘法因子µ(x)使得 µ(x)(p(x)y− q(x))dx + µ(x)dy = 0

是恰当的，这当且仅当

Py = µ(x)p(x) = Qx = µx, 因此容易计算，可选取

µ(x) = e^∫^p(x)dx = e

∫x x0p(t)dt

,

(20)

从而需要求Φ(x, y)使得 dΦ = e

∫x x0p(t)dt

(p(x)y− q(x))dx + e^∫^x0^x ^p(t)dtdy.

由Φy = e

∫x

x0p(t)dt可令

Φ(x, y) = e

∫x x0p(t)dt

y + g(x), 因此

g^′(x) =−e^∫^x0^x ^p(t)dtq(x), g(x) =−

∫ _x

x0

e

∫s x0p(t)dt

q(s)ds.

所以有通积分

e

∫x x0p(t)dt

y−

∫ _x

x0

e

∫s x0p(t)dt

q(s)ds = C, 方程（2.31）的通解为

y = e⁻

∫x x0p(t)dt

(

∫ _x

x0

q(s)e

∫s x0p(t)dt

ds + C). (2.32) 其中C是一个任意常数。或

y = Ce⁻

∫x x0p(t)dt

+

∫ _x

x0

q(s)e⁻^∫^s^x^p(t)dtds. (2.33) 利用这种形式，容易得到初值问题

dy

dx+ p(x)y = q(x), y(x₀) = y₀ (2.34) 的解为

y = y0e⁻

∫x x0p(t)dt

+

∫ x x0

q(s)e⁻^∫^s^x^p(t)dtds (2.35) 其中p(x), q(x)在区间I上连续。

上述方法叫作积分因子法。这是因为我们有因子µ(x) = e^∫^p(x)dx乘以方程（2.31）之后，它就转化为一个全微分方程，从而获得它的积分。解的表达式们并不好记，

通常我们先求出积分因子µ(x) = e

∫x

x0p(t)dt，化原方程为恰当方程再求解该恰当方

程的通积分。即重复以上证明过程。

{求解线性微分方程（2.28）还有另一个重要方法――常数变易法，见本节习题4。我们将在章节6.3就高阶线性微分方程的情形详细介绍这个方法。常数变易法：齐次线性方程的解为

y = Ce⁻

∫x x0p(t)dt

,

(21)

§2.3 一阶线性方程 21

假设（2.28）有如下形式的解

y = C(x)e⁻

∫x x0p(t)dt

, 代入（2.28）得

C^′(x) = q(x)e

∫x x0p(t)dt

, 因此

C(x) = C +

∫ _x

x0

q(s)e

∫s x0p(t)dt

ds.}

例1（2）^dy_dx+ y tan x = sin(2x)

解：^∫tan xdx =− ln | cos x| + C，可取积分因子 µ(x) = 1

cos x. 因此

dy

cos x+ y sin x

cos²xdx = 2 sin xdx, d( y

cos x) =−2d cos x, y

cos x + 2 cos x = C, y = C cos x− 2 cos²x.

【例】牛顿冷却法则：

dT

dt =−k(T − E(t)),

其中T (t)为物体t时刻的温度，E(t)为外部环境的温度，k > 0为常数（与外部环境的散热性能有关）。

解：

T^′(t) + kT (t) = kE(t).

选取积分因子

µ(t) = e^∫^p(t)dt= e^kt, 则得到恰当方程

e^ktdT + ke^kt(T − E)dt = 0, 即

d(e^ktT ) = ke^ktE(t)dt,

(22)

因此

e^ktT = C + k

∫ _t

0

E(s)e^ksds,

T (t) = e^−kt(C +

∫ _t

0

E(s)e^ksds).

性质1. 齐次线性方程（2.29）的解或者恒等于零，或者恒不等于零。

性质2. 线性方程的解是整体存在的，即方程（2.28）或（2.29）的任一解都在p(x)和q(x) 有定义且连续的整个区间I上存在。

性质3. 齐次线性方程（2.29）的任何解的线性组合仍是它的解；齐次线性方程

（2.29）的任一解与非齐次线性方程（2.28）的任一解之和是非齐次线性方程（2.28）的解；非齐次线性方程（2.28）的任意两解之差必是相应齐次线性方程（2.29）的解。

性质4. 非齐次线性方程（2.28）的任一解与相应齐次线性方程（2.29）的通解之和构成非齐次线性方程（2.28）的通解。

性质5. 线性方程的初值问题（2.34）的解存在且唯一。

【例3】RL串联电路：如图2-5所示，电感L,电阻R以及电源电压降E均为正的常数。求电键闭合后电路中的电流强度i = i(t)。

事实上，利用电学中的基尔霍夫定律，

Ldi

dt + Ri = E. (2.41)

有特解i = E/R。相应齐次线性方程的通解为Ce⁻^R^L^t，其中C为任意常数。因此，利

用性质4，（2.41）的通解为

i = E

R + Ce⁻^R^L^t. 由初始条件i(0) = 0确定常数可得

i(t) = E

R(1− e⁻^R^L^t).

作业：1（3，4），2（2，4），3，4，5，6（选做）

(23)

§2.4 初等变换法 23

§2.4 初等变换法

在前面几节中，我们已经介绍了对恰当方程、变量分离的方程和一阶线性方程的求解法。现在，凭借初等变换，我们来扩充可求解方程的范围。

下面介绍几个标准类型的微分方程，它们可以通过适当的初等变换（通常考虑一个新的未知函数，或新的自变量）转化为变量分离的方程或一阶线性方程。

例如：

y^′ = cos(x− y).

可令u = y− x，则可化为变量分离的方程

u^′ = cos u− 1.

§2.4.1 齐次方程如果微分方程

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2.43) 中的函数P, Q都是x, y的同次（例如m次）齐次函数，即

P (tx, ty) = t^mP (x, y), Q(tx, ty) = t^mQ(x, y), (2.44) 则称方程（2.43）为齐次方程（这与上节的齐次线性方程不是一回事）。

因此形式上，我们要求解 dy

dx =−P (x, y)

Q(x, y) =−P (1,^y_x) Q(1,^y_x), 引入新变量u（然后求解u(x)）

u = y

x. (2.45) 因此（2.43）有一个等价形式

dy

dx =−P (1, u)

Q(1, u) := Φ(u) = Φ(y x).

因此，u(x)所满足的方程为

xdu

dx = Φ(u)− u, 它是一个变量分离/恰当的方程，可以直接求通积分。

(24)

齐次方程（2.43）的形式具有整体收缩不变性。反过来，如果一个方程具有收缩不变性，则

dy

dx = f (x, y) = g(x,y

x) = g(cx,y

x), ∀c ̸= 0, 即

dy dx = g(y

x).

【例，习题6】探照灯的反光镜（旋转曲面）应具有何种形状，才能使点光源发射的光束反射成平行线束？

解：点光源放置于原点，设曲面由曲线y = y(x)绕x轴旋转而成。则 arctan(−1

y^′)− arctany

x = π− arctan(−1 y^′), 因此 −_y¹′ −^y_x

1−_xy^y′

= 1 y^′, (y^′)²+2x

y y^′− 1 = 0, 为简单起见，只需考虑_x轴上方的半支：

y^′ = −x +√

x²+ y² y 于是

y^′ = y

x +√

x²+ y², (1) 这是两个齐次方程。令y = xu，则（1）化为

(1

u + 1

u√

1 + u²)du =−dx x , 积分得

|x|(√

1 + u²− 1) = C > 0, y²= 2C(|x| +C

2).

这是朝两个方向开口的两个对称的抛物线。

【例，习题5】求一曲线，使得过这曲线上任意点的切线与该点向径的交角等于某固定角度γ。

解：设切线与x轴正向夹角为α，则

tan α = y^′,

(25)

§2.4 初等变换法 25

定义β为向量(x, y)与x轴正向的夹角，则 tan β = y

x. 设β逆时针旋转γ = α− β ∈ (−^π₂,^π₂]与α重合，则

tan(α− β) = tan α− tan β

1 + tan α tan β = tan γ = λ, 即

y^′−^y_x 1 + y^{′ y}_x = λ, 从而

y^′= y + λx x− λy. 令_{u = y/x}，则

(1− λu)du λ(u²+ 1) = dx

x , 1

λarctan u− ln√

1 + u² = ln|x| + ln C, C > 0,

|x|√

1 + u² = Ce¹^λ^{arctan u},

以u = y/x代回上式，得到通积分

√x²+ y²= Ce¹^λarctan(y/x),

如果采用极坐标，则得简单形式

r = Ce^θ^λ, C > 0.

它是以原点为焦点的螺旋线。注意λ =∞时，为圆周。θ可增可减，可正可负，λ可正可负。

等角螺线是由笛卡儿在1638年发现的。等角螺线（切向与极半径的夹角为常数）、对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线，在极坐标系(r, θ)中，这个曲线可以写为

r = ae^bθ, 或

θ = 1

b ln(r/a).

因此等角螺线又称为对数螺线。

(26)

【例4】讨论形如

dy

dx = f ( ax + by + c mx + ny + l) 的方程的求解。

解：当c = l = 0时，它是齐次方程。因此可用变换u = y/x化为变量分离的方

程来求解。假设c, l不全为零，分两种情形来讨论：

（1）△ = an − bm ̸= 0：此时可作平移

ξ = x + α, η = y + β, 使得

aξ + bη = ax + by + c, mξ + nη = mx + ny + l.

因此原方程可化为

dη

dξ = f ( aξ + bη mξ + nη), 这是齐次方程。令u = η/ξ，即变为变量分离的方程。

（2）△ = an − bm = 0：此时有^m_a = ⁿ_b = λ，因此原方程化为 dy

dx = f ( ax + by + c λ(ax + by) + l),

令v = ax + by，则得到一个变量分离的方程

dv

dx = a + bf ( v + c λv + l).

【例，习题2（3）】求解

(x²+ y²+ 3)dy

dx = 2x(2y−x² y ).

解：方程可变形为

(x²+ y²+ 3)ydy

xdx = 4y²− 2x². 令

u = x², v = y² 则

dv

du = 4v− 2u u + v + 3. 令

η = v + 1, ξ = u + 2,

(27)

§2.4 初等变换法 27 则

dη

dξ = 4η− 2ξ η + ξ . 令

η = tξ, 则

ξdt

dξ = 4t− 2 t + 1 − t,

−dξ

ξ = t + 1

(t− 1)(t − 2)dt = 3dt

t− 2− 2dt t− 1, ξ = C(t− 1)²

(t− 2)³, (1) x² = C(t− 1)²

(t− 2)³ − 2, y²= Ct(t− 1)² (t− 2)³ − 1.

或者由

t = η

ξ = y²+ 1 x²+ 2, 代入（1）得

(x²− y²+ 1)² = C(−2x²+ y²− 3)³.

§2.4.2 伯努利方程形如

dy

dx+ p(x)y = q(x)yⁿ, n̸= 0, 1 (2.48) 的方程称为伯努利方程。以(1− n)y⁻ⁿ乘以两边得

(1− n)y⁻ⁿdy

dx + (1− n)y¹⁻ⁿp(x) = (1− n)q(x).

然后令z = y¹⁻ⁿ，则

dz

dx+ (1− n)p(x)z = (1 − n)q(x), 这是关于未知函数z的一阶线性方程。

§2.4.3 里卡蒂方程(Riccati) 如下形式的方程

dy

dx = p(x)y²+ q(x)y + r(x), (2.49)

(28)

其中p, q, r在区间I上连续，p(x)不恒为零，称为里卡蒂方程。若r(x) = 0，则是一个Bernoulli方程。

它在Bessel函数的研究中出现。这是形式上最简单的非线性方程。但是一般而

言，它已不能用初等积分法求解。伯努利哥哥考虑如下的二阶线性微分方程 u^′′(t) + p(t)u(t) = 0.

令

y(t) =−u^′(t) u , 则

y^′(t) = y²+ p(t).

对于p(t) = t²，伯努利哥哥发现它的解是两个无穷级数的商。

对于一般二阶齐次线性方程

u^′′+ p(x)u^′+ q(x)u = 0, 令

y(x) = u^′

u, u(x) = e

∫x x0y(s)ds

, 则

y^′+ y²+ p(x)y + q(x) = 0.

作业：1，2，4，5，6

(29)

§2.5 积分因子法 29

§2.5 积分因子法

在本章_2.1节中我们看到，若方程

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2.55)

是恰当方程（即存在Φ使得dΦ = P dx + Qdy，在单连通域上当且仅当Py = Qx），则它的通积分为

Φ(x, y) =

∫ _x

x0

P (x, y)dx +

∫ _y

y0

Q(x0, y)dy = C.

通常更便捷的求通积分的方法是逐步求Φ使得 Φ_x= P, Φ_y = Q.

在2.2-2.4中，我们还讨论了当（2.55）不是恰当方程时，如何把它转化为一个恰当

方程并求解。

例如当（2.55）具有变量分离的形式

X(x)Y₁(y)dx + X₁(x)Y (y)dy = 0 时，用µ(x, y) = _X ¹

1(x)Y1(y)乘方程两侧，就得到一个恰当方程 X(x)

X₁(x)dx + Y (y)

Y₁(y)dy = 0;

当（2.55）是一个一阶线性方程，即

dy + (p(x)y− q(x))dx = 0

时，用µ(x) = e^∫^p(x)dx乘以上式两侧，就得到一个恰当方程。

当（2.55）是一个齐次方程时，

dy

dx =−P (x, y)

Q(x, y) =−P (1,^y_x) Q(1,^y_x), 引入新变量u（然后求解u(x)）

u = y

x. (2.45) 化为等价形式

dy

dx =−P (1, u)

Q(1, u) := Φ(u) = Φ(y x).

(30)

因此，u(x)所满足的方程为

xdu

dx = Φ(u)− u,

它是一个变量分离/恰当的方程，可以直接求通积分。其实也可以从积分因子的角度来求解。仍然引入u = ^y_x，则

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = x^m[P (1, u) + uQ(1, u)]dx + x^m+1Q(1, u)du.

这是变量分离形式的方程，有积分因子

µ = 1

x^m+1[P (1, u) + uQ(1, u)] = 1

xP (x, y) + yQ(x, y).

现在我们尝试将这种方法一般化：对一般的方程（2.55），设法找一个可微的

非零函数µ = µ(x, y)，使得用它乘以方程（2.55）后，所得方程

µ(x, y)P (x, y)dx + µ(x, y)Q(x, y)dy = 0 (2.56) 成为恰当方程，即

∂(µP )

∂y = ∂(µQ)

∂x . (2.57) 这时，函数µ = µ(x, y)叫做方程（2.55）的一个积分因子。

问题是：对于给定的方程（2.55），它的积分因子是否一定存在？如果存在，它是否容易求得？事实上，寻求积分因子µ(x, y)，就是求解偏微分方程（2.57），即

Q∂µ

∂x− P∂µ

∂y = (P_y− Qx)µ. (2.58)

以后我们将会知道，虽然理论上偏微分方程（2.58）的解是存在的，但它的求解又要归结到我们原来的方程（2.55）的求解（见第十一章）。因此，从（2.58）求出积分因子的表达式µ = µ(x, y)再去求解（2.55）一般是不可行的。然而，对某些特殊情形，利用（2.58）去寻求（2.55）的积分因子却是可行的。

例如，假设方程（2.55）有一个只与x有关的积分因子µ = µ(x)，则由充要条件

（2.58）推出

Qdµ

dx = (Py− Qx)µ, 即

1 µ(x)

dµ(x) dx = 1

Q(P_y− Qx). (2.59)

由于上式左端只与x有关，所以微分方程（2.55）有一个只依赖于x的积分因子的必要条件是：表达式

1

Q(P_y− Qx) (2.60)

(31)

§2.5 积分因子法 31 只依赖于x，而与y无关。反之，设表达式（2.60）只依赖于x，记为G(x)。考虑到

（2.59）式，我们令

1 µ(x)

dµ(x)

dx = G(x), 由此得到

µ(x) = e

∫G(x)dx, (2.61)

容易看到µ(x)满足（2.58），因此它是（2.55）的一个积分因子。即

Theorem 2.5.1. 定理2.4. 微分方程（2.55）有一个只依赖于x的积分因子的充要条件是：表达式（_2.60）只依赖于_x，而与_y无关；而且若把表达式（_2.60）记为_G(x)，则由（2.61）所示的函数µ(x)是方程（2.55）的一个积分因子。

类似的，可以得出下面平行的结果：

Theorem 2.5.2. 定理2.5. 微分方程（2.55）有一个只依赖于y的积分因子的充要条件是：表达式

1

P(Py− Qx) =−H(y)

只依赖于y；而且此时函数µ(y) = e^∫^H(y)dy是方程（2.55）的一个积分因子。

所以，主要看

P_y− Qx

Q ,P_y− Qx

P 是否为只含x（只含y）的函数？

【例】一阶线性微分方程

(p(x)y− q(x))dx + dy = 0.

则Py− Qx = p(x)，(Py − Qx)/Q = p(x)，只与x有关，有积分因子µ(x) = e^∫^p(x)dx。

ydx + (2xy− e^−2y)dy = 0.

解：

(µP )_y = (µQ)_x, 即

(P_y− Qx)µ = Qµ_x− P µy,

(32)

计算得

Py− Qx = 1− 2y, P_y− Qx

P = 1− 2y y , 因此有只依赖于y的积分因子µ(y)：

µ_y

µ =−P_y− Qx

P =−1

y + 2, 因此可取积分因子

µ(y) = 1 ye^2y, 另外，注意到有特解y = 0。从而

e^2ydx + (e^2y2x− 1

y)dy = 0, Φ_x= e^2y,

Φ(x, y) = xe^2y+ f (y),

Φ(x, y) = xe^2y− ln |y|, dΦ = e^2ydx + (e^2y2x−1 y)dy 通解为

xe^2y− ln |y| = C.

分组求积分因子：

Theorem 2.5.3. 定理2.6. 若µ = µ(x, y)是方程（2.55）的一个积分因子，使得 µP dx + µQdy = dΦ(x, y),

则µ(x, y)g(Φ(x, y))也是（2.55）的一个积分因子，其中g是任一非零可微函数。其逆命题也成立。

证明：

g(Φ)µP dx + g(Φ)µQdy = d[(

∫

g)(Φ)].

逆命题也成立：再设µ₁(P dx+Qdy) = dΨ，则利用上述假设的两个通积分可知Jacobi行列式

D[Φ, Ψ]

D[x, y] ≡ 0,

从而Ψ与Φ函数相关（即Ψ = Ψ(Φ)）。因此，^µ_µ¹ = ^dΨ_dΦ可表示为Φ的函数。 ₂

(33)

§2.5 积分因子法 33

假设方程（2.55）的左端可以分成两组，即

(P₁dx + Q₁dy) + (P₂dx + Q₂dy) = 0, 其中第一组和第二组各有积分因子µ1和µ2，使得

µ₁(P₁dx + Q₁dy) = dΦ₁, µ₂(P₂dx + Q₂dy) = dΦ₂.

由定理_2.6可见，对任意可微函数_g₁_{, g}₂，函数_µ₁_g₁_(Φ₁₎是第一组的积分因子，而函数µ2g2(Φ2)是第二组的积分因子。因此，如果能适当选取g1, g2使得µ1g1(Φ1) = µ2g2(Φ2)，则µ = µ₁g₁(Φ₁)就是方程（2.55）的一个积分因子。

y³dx + 2(x²− xy²)dy = 0.

Py− Qx= 3y²− (4x − 2y²) = 5y²− 4x.

考虑分组

(y³dx− 2xy²dy) + 2x²dy = 0, 后者有积分因子µ₂ = x⁻²。前者

P_y− Qx

P = 5

y =−∂_yµ₁ µ1

, µ1 = y⁻⁵.

从而

µ1(y³dx− 2xy²dy) = d(xy⁻²), µ22x²dy = d(2y), 找g₁, g₂使得

µ1g1(xy⁻²) = µ2g2(2y), 即

y⁻⁵g₁(xy⁻²) = x⁻²g₂(2y).

因此有积分因子

µ = x⁻²y⁻¹.

有特解x = 0和y = 0。另外，乘以积分因子µ，积分得

−x⁻¹y²+ ln y² = C.

作业：1（3，4，6，7），4

常微分方程