第三章 存在性和唯一性定理 37
3.2 Peano 存在性定理
3.2.2 Ascoli 引理
k=0
f (xk, yk)(xk+1− xk) + f (xs, ys)(x− xs). (3.12) 同理，当x0− h ≤ x < x0时，存在非正整数s使得x−s−1 ≤ x < x−s，因此
φn(x) = y0+
−s+1∑
k=0
f (xk, yk)(xk−1− xk) + f (x−s, y−s)(x− x−s). (3.13)
从几何意义可以看出，把上述欧拉折线y = φn(x)作为初值问题（E）的一个近 似解是合理的。而且可以猜想：只要增大n，就能提高近似的精度。这在理论上需 要证明欧拉折线y = φn(x)在区间|x − x0| ≤ h上是收敛的（或至少有一个收敛的子 序列），而且收敛到初值问题（E）的解。但是，由于在欧拉时代的数学分析还没有 足够严格的基础，所以欧拉未能解决这个收敛性问题。后来，有了Ascoli引理，解 决上面所说的问题已经不在话下。
§3.2.2 Ascoli引理
设在区间I上给定一个函数序列
f1(x), f2(x),· · · , fn(x),· · · (3.14) 如果存在常数K > 0，使得不等式
|fn(x)| ≤ K, x ∈ I
对一切n = 1, 2,· · ·都成立，则称函数序列（3.14）在区间I上是一致有界的。
如果对任意正数ϵ，存在正数δ = δ(ϵ)，使得只要x1, x2 ∈ I和|x1− x2| < δ，就有
|fn(x1)− fn(x2)| < ϵ, n = 1, 2, · · · 则称函数序列（3.14）在区间I上是等度连续（对n）的。
Ascoli引理：设函数序列（3.14）在有限闭区间I上是一致有界和等度连续的，
则可以选取它的一个子序列
fn1(x), fn2(x),· · · , fnk(x),· · · 使它在区间I上是一致收敛的。
§3.2.3 Peano存在性定理
引理3.1. 欧拉序列（3.11）在|x − x0| ≤ h上至少有一个一致收敛的子序列。
证明：在3.2.1中我们已经指出，所有欧拉折线γn都停留在矩形区域R′内；即
|φn(x)− y0| ≤ b, |x − x0| ≤ h, n = 1, 2, · · · 这就是说，欧拉序列（3.11）是一致有界的。
其次，注意折线γn的各个线段的斜率界于−M和M之间，其中M为|f(x, y)|在R的 一个上界。因此，容易证明折线γn的任何割线的斜率也界于−M和M之间；即
|φn(s)− φn(t)| ≤ M|s − t|, n = 1, 2, · · ·
其中s, t是区间[x0− h, x0+ h]内的任意两点。因此序列（3.11）也是等度连续的。
因此，由Ascoli引理直接完成了引理3.1的证明。 2
引理3.2. 欧拉折线y = φn(x)在区间|x − x0| ≤ h上满足关系式 φn(x) = y0+
∫ x
x0
f (x, φn(x))dx + δn(x), (3.16) 其中函数δn(x)趋于零，即
nlim→∞δn(x) = 0, |x − x0| ≤ h. (3.17)
证明：这里是将欧拉折线与等价积分方程比较，但右侧与Picard迭代取为φn−1不 同。我们只考虑右侧的情形：x0 ≤ x ≤ x0+ h，设xs < x ≤ xs+1。对于左侧的情形 可作类似的讨论。
利用恒等式
f (xi, yi)(xi+1− xi)≡
∫ xi+1
xi
f (xi, yi)dx, i = 0, 1,· · · , s − 1 就可得到
f (xi, yi)(xi+1− xi) =
∫ xi+1
xi
f (x, φn(x))dx + dn(i), 其中
dn(i) =
∫ xi+1
xi
[f (xi, yi)− f(x, φn(x))]dx, i = 0, 1,· · · , s − 1.
同样对于xs< x≤ xs+1，可得
f (xs, ys)(x− xs) =
∫ x
xs
f (x, φn(x)) + d∗n(x),
§3.2 Peano存在性定理 47
证明：利用引理3.1，我们可以选取欧拉折线序列（3.11）的一个子序列 φn1(x), φn2(x),· · · , φnk(x),· · · ,
使它在区间|x − x0| ≤ h上一致收敛。则极限函数 φ(x) = lim
k→∞φnk(x) 在区间|x − x0| ≤ h上是连续的。
再利用引理3.2，由（3.16）可知 φnk(x) = y0+
∫ x
x0
f (x, φnk(x))dx + δnk(x);
令k→ ∞，则由φnk(x)的一致收敛性和（3.17），以及f (x, y)的连续性，我们推出 φ(x) = y0+
∫ x
x0
f (x, φ(x))dx, |x − x0| ≤ h.
这就证明了y = φ(x)在区间|x − x0| ≤ h上是（E）的一个解。定理3.3从而得证。 2
【附注1】由上述Peano定理的证明可知，初值问题（E）的欧拉序列的任何一
个收敛子序列都趋于（E）的某个解。因此，如果（E）的解是唯一的，那么它的欧 拉序列就一致收敛到那个唯一的解。另外，我们从3.1例1（M¨uller的例子）看到，对 于初值问题（E）的Picard序列就不具有欧拉序列的上述性质（有收敛子列但不收 敛到（E）的唯一解）。从这个意义上讲，欧拉序列比Picard序列合理。
【附注2】Peano定理在相当广泛的条件（即，只要求函数f (x, y)的连续性）下
保证了初值问题解的存在性，而不保证唯一性。
【附注3】一般说来，如果不要求f (x, y)的连续性，那么上面的初值问题（E） 可能是无解的。如附注3，它的解如果存在只能是三段的折线，无法回到初始点。
【附注】微分方程（包括偏微分方程）的存在性常常用到泛函分析中的理论。
作业：3-2：2，3
§3.2 Peano存在性定理 49
Arzela-Ascoli定理：参见【张恭庆-林源渠《泛函分析讲义》，第一章第三节】
定义1.3.1. 设(X, ρ)是一个距离空间，其中X为非空集合，距离函数ρ为X上的
双变量实值函数，它满足非负性，对称性，三角不等式：
(1) ρ(x, y)≥ 0; ρ(x, y) = 0 iff x = y;
(2) ρ(x, y) = ρ(y, x);
(3) ρ(x, z)≤ ρ(x, y) + ρ(y, z).
设M为X的子集。如果M中任意点列在X中都有收敛子列，则称M是列紧的。若每 个收敛子列还收敛到M中的点，则称M是自列紧的。
例子：(Rn, dn)中任意有界集是列紧集，任意有界闭集是自列紧集。
定义1.1.5. 设{xn}是距离空间(X, ρ)中的无穷点列，如果对任意ϵ > 0，存在N (ϵ)使 得当m, n≥ N(ϵ)时都有ρ(xm, xn) < ϵ，则称{xn}是一个基本列。如果距离空间(X, ρ)的 所有基本列都是收敛列，则称(X, ρ)是完备的。
例1.1.7. 连续函数空间(C[a, b], ρ(x(t), y(t)) := maxt∈[a,b]|x(t) − y(t)|)是完备距离 空间。
证明：设{xn}是(C[a, b], ρ)的一个基本列，则由定义对任意ϵ > 0，存在N (ϵ)使 得m, n≥ N(ϵ)时，
ρ(xm, xn) = max
t∈[a,b]|xm(t)− xn(t)| < ϵ.
因此，对任意t∈ [a, b]，
|xm(t)− xn(t)| < ϵ, ∀m, n ≥ N(ϵ),
即对任意固定t ∈ [a, b]，数列{xn(t)}都是基本列，从而极限limn→∞xn(t)存在，记 作x0(t)。对上式令m→ ∞，则
|x0(t)− xn(t)| ≤ ϵ, ∀n ≥ N(ϵ), ∀t ∈ [a, b].
即xn(t)一致收敛到x0(t)，从而x0(t)连续，xn(t)在(C[a, b], ρ)中收敛到x0(t)。 2 函数列的列紧性与如下的有限ϵ网的存在性关系密切。
定义1.3.5（有限ϵ网）设M是(X, ρ)中的一个子集，ϵ > 0，N ⊂ M。如果对 于∀x ∈ M, ∃y ∈ N使得ρ(x, y) < ϵ，则称N是M的一个ϵ网。如果N还是一个有限集
（个数依赖于ϵ），那么称N为M的一个有限ϵ网。如果对任意ϵ > 0，都存在M的一个 有限ϵ网，则称M是完全有界的。
定理（Hausdorff）完备距离空间(X, ρ)中集合M为列紧集当且仅当它完全有界。
证明：（1）设M是列紧集。反证法证明M是完全有界集，否则存在ϵ0 > 0，M中 没有有限的ϵ0网。则任取x1 ∈ M，由于{x1}不是M的有限ϵ0网，所以存在x2 ∈ M \ B(x1, ϵϵ)。对{x1, x2} ⊂ M，由于它不是M的有限ϵ0网，所以存在x3∈ M \ [B(x1, ϵ0)∪ B(x2, ϵ0)]。依此，可选取无穷序列{xn}n≥1 ⊂ M，xn+1∈ M \ ∪nk=1B(xk, ϵ0)。显然对 任意m̸= n，ρ(xm, xn)≥ ϵ0，它不能有收敛子列。这与M的列紧性矛盾。
（2）设M是完全有界集，{xn}n≥1是M中的任意无穷点列。接下来抽取{xn}n≥1的 基本列：显然，M的有限1网中存在y1∈ M使得{xn}有无穷子列{x(1)n } ⊂ B(y1, 1)。同 样，M的有限12网中存在y2∈ M使得{x(1)n }有无穷子列{x(2)n } ⊂ B(y2,12)。依此，M的 有限1k网中存在yk∈ M使得{x(kn−1)}有无穷子列{x(k)n } ⊂ B(yk,1k)。则子列{x(k)1 }是一 个基本列。事实上对任意p, q∈ N，
ρ(x(k+p)1 , x(k+q)1 )≤ ρ(x(k+p)1 , yk) + ρ(x(k+q)1 , yk) < 2 k.
由于假设(X, ρ)为完备距离空间，所以{x(k)1 }是一个收敛子列，所以M为列紧集。2
定理（Ascoli）设M ={φi} ⊂ (C([a, b]), ρ)一致有界且等度连续，则{φi}有收敛 子列。
证明：已知(C([a, b]), ρ)为完备距离空间。由Hausdorff定理，任给ϵ > 0，只要可 找到M的有限ϵ网，则M为(C([a, b]), ρ)中的列紧集，有收敛子列。由假设M是等度 连续的，所以存在δ = δ(ϵ/3) > 0使得当|x′− x| < δ时，
|φ(x) − φ(x′)| < ϵ/3, ∀φ ∈ M.
对于δ(ϵ/3)，存在[a, b]的有限δ网N (δ) :={x1, x2,· · · , xn}。作映射 T : M → Rn, T φ := (φ(x1),· · · , φ(xn)).
由于{φi}一致有界，因此M := T (M )f 是(Rn, dn)中的有界集。从而Mf是列紧集。由Hausdorff 定理，Mf有有限的ϵ/3网N (ϵ/3) :=e {T φ1,· · · , T φm}。从而对任意φ∈ M，存在φα ∈ N (ϵ/3)e 使得
dn(T φ, T φα) < ϵ/3.
任意x∈ [a, b]可取xr∈ N(δ)使得|x − xr| < δ，则对任意φ∈ M
|φ(x) − φα(x)| ≤ |φ(x) − φ(xr)| + |φ(xr)− φα(xr)| + |φα(xr)− φα(x)|
< 2ϵ
3 + dn(T φi, T φα) < ϵ.
因此{φ1,· · · , φm}是M的有限ϵ网。 2