第五章 高阶微分方程 73
5.2 n 维线性空间中的微分方程
§5.2 n维线性空间中的微分方程 83
当n = 1时，在第三章中已经证明了这种初值问题解的存在性定理以及唯一性 定理（见Picard定理和Peano定理）。
当n > 1时，只需要在线性空间Rn中对向量引进适当的模，就可以用同样的方
法对上述初值问题证明相应的Picard定理和Peano定理。
为此，在Rn中任取y = (y1, y2,· · · , yn)，令|y|表示y的模（范数），它可以按不同 的方式来定义，例如：
（1）|y| =√y12+ y22+· · · + y2n;
（2）|y| = |y1| + |y2| + · · · + |yn|;
（3）|y| = max{|y1|, |y2|, · · · , |yn|}。
注意，上面的第一种定义是大家熟悉的欧式模。我们可以按上述三种定义中 的任何一种来理解n维向量的模，其实它们都是等价的（即由它们定义的开集分别 是等价的）。对于我们照搬Picard定理来证明解的存在性，定义（3）在应用上比较 方便。模的基本性质有下面三条：
1.对任何y∈ Rn，|y| ≥ 0；而且|y| = 0当且仅当y = 0;
2.对任何y, z∈ Rn,|y + z| ≤ |y| + |z|；
3.对任意c∈ R, y ∈ Rn,|cy ∈ Rn| = |c||y ∈ Rn|。 例如对于（3），
|y + z| = max
i |yi+ zi| ≤ |y| + |z|.
在线性空间Rn中一旦引入模（范数）之后，Rn就叫作n维赋范线性空间。而在n维 赋范线性空间中用同样的方法可以建立大家熟知的微积分学和无穷级数一致收敛 的概念，并证明类似Ascoli引理。自然，对函数f (x, y)，可以定义在区域
R :|x − x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b 上的连续性以及相应的李氏条件
|f(x, y) − f(x, z)| ≤ L|y − z|, 其中L≥ 0是李氏常数。
这样，在Rn中我们已经建立了第三章中证明Picard定理和Peano定理时用过的 所有有关的概念，而且它们在形式上也是完全一样的。所以我们可以照搬那里的 方法来证明初值问题解的Picard定理和Peano定理
dy
dx = f (x, y), y(x0) = y0.
§5.2 n维线性空间中的微分方程 85
证明（Picard定理）：记
∥y∥ = max{|y1|, |y2|, · · · , |yn|}
取
M :=∥f(x, y)∥, (x, y) ∈ R 其中R ={|x − x0| ≤ a, ∥y − y∥ ≤ b}。令h = min{a,Mb }。
(1)初值问题等价于积分方程 ya(x) = y0a+
∫ x
x0
fa(s, y1(s),· · · , yn(s))ds.
(2)考虑迭代函数列：
yk+1a (x) = y0a+
∫ x
x0
fa(x, yk1(s),· · · , ynk(s))ds, a = 1, 2,· · · , n; k ≥ 0, 其中y0(s) = y0。
注意到fa(x, y0(x))是I上的连续函数，所以 y1a(x) = y0a+
∫ x
x0
fa(s, y(x0))ds, x∈ I
在I上是连续可微的，而且满足不等式
|ya1(x)− ya0| ≤ |
∫ x
x0
|fa(s, y0)|ds| ≤ M|x − x0|.
因此在区间I ={|x − x0| ≤ h}上，|ya1(x)− ya0| ≤ Mh ≤ b。 当k = 1时，
ya2(x) = ya0+
∫ x
x0
fa(s, y1(s))ds, x∈ I 在I上是连续可微的，而且满足不等式
|y2a(x)− ya0| ≤ |
∫ x
x0
|fa(s, y1(s))|ds| ≤ M|x − x0|, 从而，∥y2(x)− y0| ≤ Mh ≤ b，x∈ I。
由此类推，用归纳法不难证明：Picard序列y = yka(x)在I上是连续可微的，而且 满足不等式
∥yk(x)− y0∥ ≤ M|x − x0|, k = 0, 1, 2, · · ·
（3）现在证明Picard序列y = yka(x)在区间I上一致收敛到积分方程组的解。
§5.2 n维线性空间中的微分方程 87
然后，令k→ ∞，则上面不等式的右端趋于零。因此，我们推出 ua(x) = va(x), x∈ J.
这就是说，积分方程（3.1）的解是唯一的。 2
Peano定理的证明：
（1）先构造欧拉折线：将[x0− h, x0+ h]等分为2n份，分点记作 xk= x0+ khn, hn= h/n, k = 0,±1, · · · , ±n.
从(x0, y0)开始作折线（如下只看右侧，即k≥ 0），
yk= yk−1+ f (xk−1, yk−1)(xk− xk−1), 1≤ k ≤ n.
令欧拉折线γn的表达式为
y = φn(x), |x − x0| ≤ h. (3.11) 设有非负整数s使得
xs < x≤ xs+1, 0≤ s ≤ n − 1.
由此不难推出欧拉折线的计算公式
φn(x) = y0+
s−1
∑
k=0
f (xk, yk)(xk+1− xk) + f (xs, ys)(x− xs). (3.12)
（2）Ascoli引理
设在区间I上给定一个向量值函数序列
f1(x), f2(x),· · · , fn(x),· · · (3.14) 如果存在常数K > 0，使得不等式
∥fn(x)∥ ≤ K, x ∈ I
对一切n = 1, 2,· · ·都成立，则称函数序列（3.14）在区间I上是一致有界的。
如果对任意正数ϵ，存在正数δ = δ(ϵ)，使得只要x1, x2 ∈ I和|x1− x2| < δ，就有
∥fn(x1)− fn(x2)∥ < ϵ, ∀n = 1, 2, · · · 则称函数序列（3.14）在区间I上是等度连续（对n）的。
§5.2 n维线性空间中的微分方程 89
Ascoli引理：设向量值函数序列（3.14）在有限闭区间I上是一致有界和等度连
续的，则可以选取它的一个子序列
fn1(x), fn2(x),· · · , fnk(x),· · · 使它在区间I上是一致收敛的。
引理：欧拉序列（3.11）在|x − x0| ≤ h上至少有一个一致收敛的子序列。
证明：由∥f∥ ≤ M:
∥φn(x)− y0∥ ≤ b, |x − x0| ≤ h, n = 1, 2, · · · 这就是说，欧拉序列（3.11）是一致有界的。
同样由∥f∥ ≤ M:
∥φn(s)− φn(t)∥ ≤ M|s − t|, n = 1, 2, · · ·
其中s, t是区间[x0− h, x0+ h]内的任意两点。因此序列（3.11）也是等度连续的。
因此，由Ascoli引理直接完成了引理3.1的证明。 2
（3）与等价积分方程比较：
引理3.2. 欧拉折线y = φn(x)在区间|x − x0| ≤ h上满足关系式 φn(x) = y0+
∫ x
x0
f (x, φn(x))dx + δn(x), (3.16) 其中δn(x)趋于零，即
nlim→∞∥δn(x)∥ = 0, |x − x0| ≤ h. (3.17)
证明：这里是将欧拉折线与等价积分方程比较，但右侧与Picard迭代取为φn−1不 同。我们只考虑右侧的情形：x0 ≤ x ≤ x0 + h，设xs < x≤ xs+1。对于左侧的情形 可作类似的讨论。
利用恒等式
f (xi, yi)(xi+1− xi)≡
∫ xi+1
xi
f (xi, yi)dx, i = 0, 1,· · · , s − 1 就可得到
f (xi, yi)(xi+1− xi) =
∫ xi+1
xi
f (x, φn(x))dx + dn(i),
其中
§5.2 n维线性空间中的微分方程 91
Theorem 5.2.1. 定理3.3. 设向量值函数f (x, y)在矩形区域R内连续，则初值问题 (E) : dy
dx = f (x, y), y(x0) = y0 在区间|x − x0| ≤ h上存在解y = y(x)。
证明：利用引理3.1，我们可以选取欧拉折线序列（3.11）的一个子序列 φn1(x), φn2(x),· · · , φnk(x),· · · ,
使它在区间|x − x0| ≤ h上一致收敛。则极限函数 φ(x) = lim
k→∞φnk(x) 在区间|x − x0| ≤ h上是连续的。
再利用引理3.2，由（3.16）可知 φnk(x) = y0+
∫ x
x0
f (x, φnk(x))dx + δnk(x);
令k→ ∞，则由φnk(x)的一致收敛性和（3.17），以及f (x, y)的连续性，我们推出 φ(x) = y0+
∫ x
x0
f (x, φ(x))dx, |x − x0| ≤ h.
这就证明了y = φ(x)在区间|x − x0| ≤ h上是（E）的一个解。定理3.3从而得证。 2