第四章 奇解 57
4.1.2 参数法
设微分方程不明显包含自变量，即
F (y, p) = 0, p = dy
dx. (4.12)
作为变元y和p之间的联系。一般的，（4.12）给出yp平面上得曲线，设其有参数表示 y = g(t), p = h(t). (4.13)
其中也包含特殊情况y = g(p)或p = h(y)。为了讨论的需要，设g(t), g′(t)和h(t)都是 参数t的连续函数，而且设h(t)̸= 0。根据上述微分方程的参数表示，我们有
dx = 1
pdy = g′(t) h(t)dt.
再利用积分，可得
x =
∫ g′(t)
h(t)dt + C.
因此，微分方程（4.12）有通解 x =
∫ g′(t)
h(t)dt + C, y = g(t). (4.14)
【例3】求解微分方程
y2+ (dy
dx)2= 1. (4.15) 显然，方程（4.15）有参数表达式
y = cos t, dy
dx = sin t, t∈ (−∞, ∞). (4.16) 由此可以推出
dx = 1
sin tdy = 1
sin td cos t =−dt, 从而我们得到
x =−t + C.
因此，微分方程（4.15）的通解为
x =−t + C, y = cos t;
如果消去参数t，我们得到通解
y = cos(x− C). (4.17) 如果p = y′(x) = 0，则还有
y =±1, dy dx = 0.
易知y = 1和y =−1是微分方程（4.15）的两个特解。
因此，微分方程（4.15）有通解（4.17），另外还有特解y = 1和y =−1。特解上
每一点都有通解中一个解与其相切。 2
显然，上面对方程（4.12）所用的参数法也一样适用于如下的微分方程：
F (x,dy dx) = 0.
事实上，类似可寻找参数表示
x = g(t), p = h(t), dy = pdx = h(t)g′(t)dt, y =
∫
h(t)g′(t)dt + C, x = g(t).
§4.1 一阶隐式微分方程 61
【参数法解一般形式的一阶隐式方程】对于一阶隐式微分方程 F (x, y, p) = 0, p := dy
dx (4.18) 设它有参数表示
x = f (u, v), y = g(u, v), p = h(u, v), 这里u, v是两个参数。但它们还满足dy = pdx，所以我们有
gudu + gvdv = h(fudu + fvdv), 即有对称形式的一阶方程
(gu− hfu)du + (gv− hfv)dv = 0.
如果我们能求得一阶显示微分方程（4.19）的通解 v = Q(u, C), (4.20) 则微分方程（4.18）有通解
x = f (u, Q(u, C)), y = g(u, Q(u, C)),
其中u是参变量，而C是一个积分常数；另外，如果方程（4.19）除通解（4.20）外还 有特解v = S(u)，则
x = f (u, S(u)), y = g(u, S(u)) 是微分方程（4.18）的特解。
【例4】用参数法求解微分方程 (dy
dx)2+ y− x = 0. (4.21) 解：令
x = u, p = v, 则
y = u− v2. 接下来由dy = pdx消去一个参数。由dy = pdx = vdx
du− 2vdv = vdu, 即
(v− 1)du + 2vdv = 0.
这是变量分离的方程，容易求得它的通解
u =−2v − ln(v − 1)2+ C 和一个特解v = 1。由此得到微分方程（4.21）的通解
x = C− 2v − ln(v − 1)2, y = C− 2v − ln(v − 1)2− v2 和一个特解
x = u, y = u− 1 即y = x− 1。
【例1（3）】求解
2xp = 2 tan y + p3cos2y.
解：引入参数y, v，及参数表示
p = v cos y 则
2vx = 2 sin y + v3, x = sin y
v + v2 2 . 利用dx = 1pdy得
1
vcos ydy−sin y
v2 dv + vdv = cos y v dy, 从而
v = C, or v3= sin y.
因此有通解
x = sin y C +C2
2 特解
x = 3
2(sin y)23. 另外，由p = 0求得特解y = kπ。
【例子：季孝达书例6.2.1】最速下降问题：即求质点在重力作用下在Oxy平面 内从原点沿着光滑曲线y(x)下降到x = x1 > 0上某处（选定或不选定）所需的最短 时间。首先所需时间为
J [y(x)] =
∫ x1
0
√1 + (y′)2dx v(x, y) =
∫ x1
0
√1 + (y′)2dx
√2gy .
§4.1 一阶隐式微分方程 63
由起点(x, y) = (0, 0)对应于θ = 0，可得C2= 0。所以最速下降曲线为 { x(θ) = C1(θ− sin θ),
y(θ) = C1(1− cos θ), 0 ≤ θ ≤ θ1.
常数C1由x = x1（即θ = θ1）处的边界条件来确定，而且也由这个边界条件来确
定θ1。分两种情况分别讨论：
（1）给定y(x1) = y1 > 0，则由
{ x1 = C1(θ1− sin θ1), y1 = C1(1− cos θ1), 推出
x1
y1 = θ1− sin θ1
1− cos θ1
, 求出该方程的最小正根θ1，接着确定
C1 = x1
θ1− sin θ1
= y1
1− cos θ1
, 这样就确定了唯一得最速下降曲线。
（2）自然边界条件Fp(x1) = 0，即y′(x1) = 0，此时最速下降曲线在终点与直 线x = x1正交。由y′(x1) = 0可得
y′(x1) = dy
dx(θ = θ1) = C1sin θ
C1(1− cos θ)|θ=θ1 = 0, 由此确定得θ1 = π。接着可确定
C1= x1 θ1− sin θ1
= x1 π .
以上两种情况下的最速下降曲线均为旋轮线，滚圆的半径为C1。
【附注：最速降线、摆线（Cycloid）、旋轮线】最速降线即摆线，等时问题的 解（惠更斯几何方法、伯努利哥哥解析方法）。在数学中，摆线（Cycloid）被定义 为，一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。例如定点固定为 初始时圆（圆心为(0, C1)）上落在原点的点p，当它滚动之后逆时针方向θ角度的点 即C1(sin θ, 1− cos θ)落在x轴上时，p的坐标此时为C1(θ− sin θ, 1 − cos θ)。
等时性【当质点从摆线的不同点放开时，它们会同时到达底部】：我们考虑摆 线的一段（变换一下y坐标的取法：y → −y + 2r = r(1 + cos θ)），即沿
{ x(θ) = r(θ− sin θ),
y(θ) = r(1 + cos θ), 0≤ θ0≤ θ ≤ π.
§4.1 一阶隐式微分方程 65
求下降所需的时间：首先在y处的速度为 v =√
2g(y0− y), 令y′ = dydx =− tan α < 0，则
dy
dt =−v sin α = v y′
√1 + (y′)2,
dt =
√1 + (y′)2
√2g(y0− y)y′dy =
√1 + (y′)2
√2g(y0− y)dx,
T (θ0 → π) =
∫ π
θ0
√1 + (y′)2
√2g(y0− y) dx dθdθ.
将参数化曲线代入，并令u = cosθ2
T =
√2r g
∫ π
θ0
sinθ2
√cos θ0− cos θdθ
= 2
√r g
∫ cosθ0
2
0
√ du
cos2(θ20)− u2
= 2
√r
garcsin 1 = π
√r g. 摆线的周期为这个时间的两倍，即周期为
2π
√r g. 作业：4-1：1，2