第五章 高阶微分方程 73
5.3 解对初值和参数的连续依赖性
微分方程的解不仅决定于微分方程本身，而且也决定于解的初值。通常，微 分方程还包含某些参数。因此，我们需要考虑微分方程的解对初值和参数的依赖 性。
例如，线性单摆方程
d2x
dt2 + a2x = 0 满足初值条件
x(t0) = x0, x′(t0) = v0
的解为
x = x0cos a(t− t0) +v0
a sin a(t− t0).
显然，它对于初值t0, x0, v0和参数a是连续的，而且也是连续可微的。注意，参数a =
√g/l随重力加速度g和单摆长度l而定。由于初值x0, v0和常数g, l都是由测量得到的，
而任何测量都难免存在误差。所以上述解对x0, v0和常数a的连续性有明显的物理 意义：只要初值和参数的误差足够小，相应的单摆振动只有很小的偏差。
二体问题的解为
r = p
1 + e cos(θ− θ0), (5.29) 其中常数
e = C3 µ
√
C4+ ( µ
C3)2 ≥ 0, p = C32 µ > 0.
当0≤ e < 1时，它是椭圆；当e = 1时，它是抛物线；当e > 1时，它是双曲线。
我们将讨论一般n阶微分方程组的初值问题 dy
dx = f (x, y, λ), y(x0) = y0 (5.40)
的解y = φ(x; x0, y0; λ)关于初值(x0, y0)和λ的连续依赖性问题，这里λ = (λ1,· · · , λm)∈ K ⊂ Rm。事实上，初值也可以合并为参数来看。为此，作变换
t = x− x0, u = y− y0,
其中t是新的自变量，而u = u(t)是未知函数。则初值问题（5.40）变成 du
dt = f (t + x0, u + y0, λ), u(0) = 0. (5.41)
§5.3 解对初值和参数的连续依赖性 93 注意，原来的初值(x0, y0)在（5.41）的微分方程中和λ一样以参数的形式出现，而
（5.41）的初值条件是固定不变的。因此，不失一般性，我们只讨论初值问题 (Eλ) : dy
dx = f (x, y, λ), y(0) = 0 (5.42) 的解y = φ(x, λ)对参量λ的依赖性，其中λ是m维的参数向量。
我们论证的思路是：先证明初值问题(Eλ)的Picard序列{φk(x, λ)}对参数λ的连 续性；再证明φk(x, λ)是一致收敛的，而且它的极限函数y = φ(x, λ)是(Eλ)的解，从 而也就证明了有关的解对参数λ的连续性。令
∥y∥ = max{|y1|, |y2|, · · · , |yn|}
Theorem 5.3.1. 定理5.1. 设n维向量值函数f (x, y, λ)在区域 G :|x| ≤ a, ∥y∥ ≤ b, ∥λ − λ0∥ ≤ c 上是连续的，而且对y满足Lipschitz条件
∥f(x, y1, λ)− f(x, y2, λ)∥ ≤ L∥y1− y2∥,
其中常数L≥ 0。令正数M为∥f(x, y, λ)∥在区域G的一个上界，而且令 h = min{a, b
M}.
则初值问题(Eλ)存在唯一解，并且解y = φ(x, λ)在区域 D :|x| ≤ h, ∥λ − λ0∥ ≤ c 上是连续的。
证明：由于这证明与第三章中Picard定理的证明非常类似，我们只列出要点：
（1）初值问题(Eλ)等价于积分方程 y =
∫ x
0
f (x, y, λ)dx. (5.43) 即
ya(x) =
∫ x
0
fa(s, y(s), λ)ds, a = 1,· · · , n.
（2）由此可以作Picard序列 yk+1(x, λ) =
∫ x
0
f (x, yk(x, λ), λ)dx, k = 0, 1, 2,· · · (5.44)
其中y0(x, λ) = y0= 0和(x, λ)∈ D。
§5.3 解对初值和参数的连续依赖性 95
|y3a(x, λ)− y2a(x, λ)| = |
∫ x
0
[fa(s, y2(s, λ), λ)− fa(s, y1(s, λ), λ)]ds|
≤ |
∫ x
0
L∥y2(s)− y1(s)∥ds|
≤ ML2|
∫ x
0
|s|2 2 ds|
= M L2|x|3 6 .
因此，Picard序列ya= yak(x, λ)在D上一致收敛。则极限函数 φa(x, λ) := lim
k→∞yak(x, λ), (x, λ)∈ D
在D上连续。利用fa(x, y, λ)的连续性以及Picard序列yka(x, λ)的一致收敛性，在 yk+1(x, λ) =
∫ x
0
f (x, yk(x, λ), λ)dx, k = 0, 1, 2,· · · (5.44) 中令k→ ∞就得到
φ(x, λ) =
∫ x
0
f (s, φ(s, λ), λ)ds.
因此y = φ(x, λ)是(Eλ)的解。并且同样可证明是唯一解。定理5.1由此得证。 2
Corollary 5.3.2. 推论：设n维向量值函数f (x, y)在区域 R :|x − x0| ≤ a, ∥y − y0∥ ≤ b 上连续，而且对y满足李氏条件。则微分方程初值问题
dy
dx = f (x, y), y(x0) = η 的解y = φ(x, η)在区域
Q :|x − x0| ≤ h
2, |η − y0| ≤ b 2 上是连续的，其中
h = min(a, b M), 而正数M为∥f(x, y)∥在区域R上的一个上界。
我们知道，解的存在性可以从局部延伸到大范围。同样，解对初值（或参数）
的连续性也有类似的如下结论。
Theorem 5.3.3. 定理5.2. 设n维向量值函数f (x, y)在(x, y)空间内的某个开区域G上 是连续的，而且对y满足局部李氏条件。假设y = ξ(x)是微分方程
dy
dx = f (x, y) (5.46)
的一个解，令它的存在区间为J。现在，在区间J内任取一个有界闭区间a≤ x ≤ b， 则存在常数δ > 0，使得对任何初值(x0, y0)，
a≤ x0≤ b, ∥y0− ξ(x0)∥ ≤ δ, 柯西问题
(E) : dy
dx = f (x, y), y(x0) = y0
的解y = φ(x; x0, y0)也至少在区间a≤ x ≤ b上存在，并且它在闭区间 Dδ: a≤ x ≤ b, a ≤ x0≤ b, ∥y0− ξ(x0)∥ ≤ δ 上是连续的。
证明：我们仍利用Picard序列逼近来证明这个定理。仅指出其中不同于局部情 形的地方，省略细节推导。
注意到积分曲线段
Γ ={(x, y)|y = ξ(x), a ≤ x ≤ b}
是G内的一个有界闭集。因此，利用有限覆盖定理可知，存在σ > 0，使得以Γ为中 心线的闭管状邻域
Σσ : a≤ x ≤ b, ∥y − ξ(x)∥ ≤ σ 坐落在开区域G内；并且f (x, y)在Σσ内有整体李氏常数L。
设(x0, y0)∈ Σσ。我们可以构造（E）的Picard序列：
φk+1(x; x0, y0) = y0+
∫ x
x0
f (x, φk(x; x0, y0))dx, (5.47) 这里不同之处是我们选取（它是y = ξ(x)的平移）
φ0(x; x0, y0) = y0+ ξ(x)− ξ(x0). (5.48) 然后，要证明
∥φk(x; x0, y0)− ξ(x)∥ < σ (5.49)
§5.3 解对初值和参数的连续依赖性 97