第八章 边值问题 141
8.2 泛定方程与定解问题
8.2.2 定解条件与定解问题
上述三类方程反映了系统的一般规律，这样的方程称为泛定方程。为确定一 个完整的物理状态，仍需要另外的约束条件，称为定解条件。泛定方程配以适当 的定解条件构成一个偏微分方程的定解问题。
定解条件包括初始条件（Cauchy条件）、边界条件两大类。定解问题又相应的 分为初值问题（Cauchy问题）、边值问题、混合问题（初边值问题，同时包含初始 条件和边界条件）。
（一）全空间上发展方程的初始条件与初值问题：对于随时间变化的物理过 程，即发展方程，通常需考虑初始条件。
【例】全空间上的热传导方程的初值问题
ut= a2△u + f(t, x), u|t=0 = φ(x), x∈ Rn. 全空间上的波动方程的初值问题
utt= a2△u + f(t, x), u|t=0= φ(x), ut|t=0= ψ(x), x∈ Rn.
初始条件给出未知函数u及其关于t的各阶偏导数在t = t0时刻的值。如果方程中关 于t的最高阶导数是m阶的，则应给出u,∂u∂t,· · · ,∂∂tmm−1−1u 在t = t0时刻的值。
（二）边界条件与边值问题：考虑稳态问题，若该问题所在的区域带有边界，
通常要考虑边界条件。常见的边界条件由如下形式给出 (αu + β∂u
∂ν)|∂U = φ(x),
其中α, β, φ为给定的定义在∂U上的函数。φ = 0时所对应的边界条件称为齐次的。
Definition 8.2.1.（1）β = 0, α̸= 0，称为第一类边界条件或Dirichilet条件。
（2）α = 0, β ̸= 0，称为第二类边界条件或Neumann条件。
（3）α̸= 0, β ̸= 0，称为第三类边界条件或Robin条件。
【例】给定边界温度（或电势）的稳恒温度场（或静电场）对应泊松方程第一 类边值问题（Dirichlet边值问题）
△u = f(x), x ∈ U; u|∂U = φ(y), y ∈ ∂U.
边界绝热的稳恒温度场对应（如下面热传导问题的讨论）第二类齐次边值问题
（Neumann边值问题）
△u = f(x), x ∈ U; ∂u
∂ν|∂U = 0.
（三）混合问题：对于带边界区域上的发展方程（波动方程、热传导方程），所 加的定解条件包含初始条件和边界条件，这样的定解问题称为混合问题（初边值 问题）。
（1）热传导方程：ut= a2△u + f(t, x)，此时需要初始条件：
u|t=0= φ(x), x∈ U.
此外还需要附加边界条件。常见的有如下几类边界条件：
第一类：u|∂U = g(t, y), y∈ ∂U。即已知边界在各时刻的温度。
第二类：已知∂U上向外流出热量的热流密度q(t, y)，则由Fourier热传导定律
∂u
∂ν|∂U =−q(t, y)
k , t > 0, y∈ ∂U,
其中k为介质的热传导系数。特别表面绝热时，对应第二类齐次边界条件
∂u
∂ν|∂U = 0.
第三类：内边界温度为u(t, x)，外边界温度为θ(t, x)。因此由牛顿冷却定理，热 流密度
q(t, x) = h(x)(u(t, x)− θ(t, x)), 其中h(x) > 0为热交换系数。另一方面由Fourier热传导定律
∂u
∂ν =−q k 因此有边界条件
h(x)u + k(x)∂u
∂ν = h(x)θ(t, x), x∈ ∂U.
如果第一类边界条件中g ≡ 0，第二类边界条件中q ≡ 0，第三类边界条件 中θ≡ 0，此时分别对应齐次边界条件。
【例】设均匀细杆长为l，侧表面与周围介质无热交换，内部有热源g(t, x)。初 始温度为φ(x)，杆右端绝热，左端与周围介质有热交换，则对应的定解问题为
ut= cρkuxx+cρ1g(t, x), 0 < x < l, t > 0;
u(0, x) = φ(x),
∂u
∂x|x=l = 0, (hu− k∂u∂x)|x=0 = h(0)θ(t, 0).
类似可考虑弦振动方程的混合问题，初始条件由u(0, x) = φ(x), ut(0, x) = ψ(x)如 同初始条件的讨论。接下来分析弦振动过程的几类边界条件。
§8.2 泛定方程与定解问题 153
（2）弦振动方程的边界条件：
第一类：已知各时刻端点位置
u(t, 0) = µ(t), u(t, l) = ν(t),
µ = ν = 0时称为第一类齐次边界条件。
第二类：已知端点在u轴方向所受力，在x = 0处为µ(t)，x = l处为ν(t)。则由牛 顿第二定律（此时微元所受外力∫0δg(t, x)dx，以及惯性力∫0δρuttdx都是δ的一阶无穷 小量，因此不出现）
T ux(t, 0) + µ(t) = 0, −T ux(t, l) + ν(t) = 0 因此有边界条件
ux(t, 0) =−µ(t)
T , ux(t, l) = ν(t) T .
如果其中某端点（设x = 0）在u方向不受其他外力，则该端点在u方向自由滑动，称 为自由端，此时
µ(t) = 0, ux(t, 0) = 0, 称为第二类齐次边界条件。
第三类：弦端点固定在u方向（上方）的弹簧上，并受u方向其他外力，此时
T ux(t, 0) + µ(t)− ku(t, 0) = 0, −T ux(t, l) + ν(t)− ku(t, l) = 0.
因此有第三类边界条件
(T ux− ku)|x=0=−µ(t), (T ux+ ku)|x=l = ν(t).
如果µ = ν = 0，称为第三类齐次边界条件。
定解问题的适定性：泛定方程加上适当的定解条件构成一个定解问题，它可 描述完整的物理状态。一个定解问题是适定的包括存在性、唯一性和稳定性几方 面。这里稳定性指的是定解条件的偏差在一定的小范围之内时，相应的定解问题 的解的偏差可以控制在任意事先给定的小范围内。之前根据实际情形给出的定解 问题的例子一般是适定的。
但如果对定解问题的提法不合适，就可能导致问题的不适定性。Hadamard曾 给出一个著名的例子，说明对调和方程提初边值问题是不适定的。
【例（Hadamard，1917）】调和方程初边值问题
uxx+ uyy= 0, 0 < x < π, y > 0 u(x, 0) = 0, uy(x, 0) = n1ksin nx, n∈ N u(0, y) = u(π, y) = 0.
该初边值问题存在唯一解
u(x, y) = 1
nk+1 sin(nx) sinh(ny), n∈ N.
但此解不稳定:n→ ∞时，初始条件一致趋于零。另一方面对任意给定y0 > 0, u(x, y0) =
1
nk+1sin(nx) sinh(ny)无界。与齐次初边值问题的解u≡ 0相比较可知，解在连续函数 空间范数下是不稳定的。从而该定解问题是不适定的，即调和方程的初边值问题
（及初值问题）不是适定的。
习题：1. 设r =√
x2+ y2, r̸= 0 (1)△2u = 0，求特解u = u(r)
(2)△2u + k2u = 0，k为常数，求u = u(r)所满足的常微分方程。
2. 设r =√
x2+ y2+ z2, r̸= 0 (1)△3u = 0，求特解u = u(r)
(2) ∂∂t22u− a2△3u = 0，设u = eiωtR(r)，求R(r)所满足的方程。