協商討論

對 大 部 分 的 人 而 言，數 學 語 言 只 是 一 種 人 與 人 之 間 互 相 溝 通 的 工 具，例 如：雞 排「 3」塊「 100」元、電 動 玩 具 要「 2580」元 、 捷 運「 還 要 5 分 鐘 」才 會 來 、 文 具 店「 全 面 七 五 折 」、 百 貨 公 司

「 清 倉 三 折 」、 便 利 超 商「 第 二 件 八 折 」、 從 台 中 到 台 北 開 車 大 約 要 「 一 個 半 小 時 」、 桌 子 的 形 狀 是 「 長 方 形 」、 … … 。 這 些 是 我 們 生 活 中 經 常 交 談 用 語，都 是 以 數 學 語 言 為 傳 達 的 媒 介。學 生 只 要 能 夠 用 簡 單 的 數 學 語 言 清 楚 地 表 達 他 們 想 要 表 達 的 事 情，能 夠 懂 得 他 人 用 數 學 語 言 所 要 陳 述 的 事 實 ， 就 達 到 傳 達 的 功 用 。 所 以 交 談 是 日 常 生 活 中 極 其 尋 常 的 經 驗，而 交 談 的 過 程 中 會 涉 及 到「 討 論 」，而 有 許 多 的 理 論 指 出「 討 論 」的 重 要 性，例 如 ： Piaget 和 Inhelder（ 1969） 便 指 出 成 熟 （ maturation） 、 物 理 世 界 經 驗 （ physical experience ） 、 社 會 互 動 （ social interaction）以 及 平 衡（ equilibration）是 影 響 人 類 認 知 發 展 的 因 素。其 中 前 三 個 因 素，最 後 需 要 透 過 個 體 的 同 化 與 調 適 的 心 理 平 衡 作 用，才 能 達 到 認 知 發 展 的 功 能，因 此 平 衡 作 用 可 說 是 四 個 因 素 中 最 重 要 的。而 同 化 與 調 適 的 心 理 需 求 則 是 起 源 於 個 體 與 外 界 互 動 過 程 中 新、舊 知 識 產 生 衝 突 造 成 的 不 平 衡 狀 態，個 體 需 要 經 由 同 化 或 調 適 重 新 產 生 平 衡 。

Piaget 主 張 社 會 專 屬 知 識 （ social-arbitrary knowledge）

包 括 語 言 、 價 值 、 規 則 、 道 德 及 符 號 系 統 ， 這 些 能 力 只 有 在 與 他 人 互 動 中 才 可 學 到（ 周 立 勳，1994）。甚 至 在 數 學 邏 輯 的 思 考 上 ， 促 使 兒 童 自 我 中 心 概 念 失 衡 以 及 提 供 回 饋 兒 童 有 效 邏 輯 觀 念，同 儕 互 動 亦 顯 得 十 分 的 重 要。同 時 相 信 如 果 同 伴 可 以 擁 有 相 似 共 同 智 能 價 值 （ intellectual values） 的 用 語 ， 而 且 能 保 留 彼 此 的 論 點（ propositions）進 行 溝 通 討 論，則 可 藉 由 同 伴 的 思 考 互 動

而 產 生 認 知 上 的 衝 突 ， 以 增 進 彼 此 的 認 知 成 長 （ Tudge &

Rogoff,1989） 。

由 上 可 知，認 知 與 互 動 是 並 行 出 現 的，個 體 內 的 認 知 活 動 與 外 在 的 互 動 是 一 體 兩 面，是 故 在 學 生 認 知 過 程 中，鼓 勵 其 從 事 思 考 與 互 相 討 論 將 有 助 於 發 展 較 高 層 次 的 認 知（ 劉 錫 麒 ， 1993）。

Mercer（ 1985）將 研 究 重 心 放 在 教 室 中 的「 討 論 」對 兒 童 運 用 舊 經 驗 及 形 成 意 義 方 式 的 影 響，結 果 發 現 兒 童 能 夠 記 憶 和 理 解 的 重 要 原 因，和 教 室 中 師 生 溝 通 的 動 機、能 否 分 享 彼 此 的 理 解 內 容 有 密 切 關 係。各 式 各 樣 的 意 見，對 形 成 高 層 次 的 認 知，最 具 發 展 潛 力，據 此，在 數 學 教 學 情 境 上，教 師 應 可 安 排 學 生 進 行 思 考 與 相 互 討 論 的 活 動 ， 提 供 某 種 困 難 問 題 ， 讓 學 生 先 產 生 認 知 失 調，以 激 發 學 生 的 思 考 活 動，並 引 導 學 生 進 行 討 論 互 動，尋 求 認 知 的 平 衡 ， 促 進 認 知 的 發 展 。

此 外，根 據 李 宗 薇（ 1997）在 教 學 設 計 中 歸 納 Ausubel（ 1968）

和 Vygotsky（ 1978） 論 述 ， 認 為 教 學 上 可 行 的 社 會 建 構 觀 ， 也 就 是 強 調 社 會 支 持 、 師 生 同 儕 的 協 力 合 作 ， 而 不 是 既 不 要 教 師 ， 也 不 須 學 習 目 標 ， 聽 任 學 習 者 自 行 構 建 的 個 人 建 構 論 。 換 言 之 ， 建 構 論 是 師 生、同 儕 互 動 的 結 果，而 不 是 聽 任 學 生 自 行 摸 索，在 此 過 程 中 仍 需 教 師 隨 時 的 啟 發 、 協 助 、 指 引 。 Ma（ 2005b） 的 研 究 結 合 網 路 的 便 利 性 ， 老 師 扮 演 重 要 角 色 （ critical role） ， 去 引 導 學 生 在 小 組 間 如 何 距 焦 討 論 和 發 展 子 題，藉 此 發 展 學 生 實 務 推 理 （ practical reasoning） ， 並 善 用 五 段 式 捷 思 推 理 及 其 子 技 能 。

綜 而 言 之，建 構 觀 對 教 學 設 計 的 啟 示 如 下：1.強 調 主 動 參 與 的 學 習 過 程 ， 重 視 學 習 者 的 主 動 性 。 2.強 調「 學 習 伙 伴 」、「 同 儕 支 持 」 的 重 要 性 ， 鼓 勵 小 組 合 作 學 習 （ collaborative learning）， 透 過 討 論 、 溝 通 等 社 會 協 調 過 程 ， 達 到 知 識 分 享 ，

建 立 客 觀 的 學 習 成 果。3.教 師 的 角 色 由 知 識 傳 授 者，轉 為 提 供 鷹 架 與 社 會 支 持 的 學 習 督 促 者 或 教 練 ， 以 發 展 學 生 潛 能 。

Vygotsky 更 是 強 調 人 類 認 知 的 發 展 過 程 是 從 人 際 之 間

（ interlace personal ） 的 互 動 轉 化 為 個 體 之 內

（ intra-personal） 的 歷 程 （ Wertsch & Stone,1985） 。 即 使 是 在 激 進 的 建 構 主 義 的 理 論 架 構 之 下，在 個 體 建 構 其 對 世 界 的 理 解 過 程 中 ， 社 會 互 動 式 討 論 方 式 依 舊 扮 演 著 重 要 的 核 心 角 色 （ von Glaserfeld, 1995） 。

NCTM（ 1989）在 數 學 課 程 標 準 的 課 程 發 展 與 評 估 中 特 別 強 調 溝 通 的 能 力，在 數 學 課 程 指 出 數 學 溝 通 包 括 以 下 能 力：1.能 使 用 口 語 、 書 寫 、 具 體 、 圖 像 、 圖 表 及 代 數 方 法 模 式 化 情 境 。 2.能 指 出 與 數 學 想 法 相 關 的 物 理 材 料、圖 像 與 圖 表。3.能 反 思 及 闡 明 數 學 想 法 與 情 境。 4.能 指 出 日 常 語 言 與 數 學 語 言、符 號 的 相 關。 5.

瞭 解 表 徵、討 論、和 讀、寫 數 學 是 學 習 和 使 用 數 學 不 可 缺 少 的 一 部 分 。

Phillips（ 1985）針 對 九 歲 以 後 兒 童 的「 討 論 」發 展 深 入 研 究 後，極 肯 定 同 儕 間 的 對 話 討 論，將 有 助 於 兒 童 高 層 次 認 知 的 形 成，他 進 一 步 提 出 一 個 同 儕 小 組 對 話 的 模 式，此 模 式 包 含 五 種 兒 童 討 論 型 態 ： 1. 假 設 的 （ hypothetical ） ； 2. 經 驗 的

（ experiential） ； 3.推 論 的 （ argumentational） ； 4.操 作 的

（ operational） ； 5.解 說 的 （ expositional） 。 他 認 為 假 設 的 和 經 驗 的 兩 種 討 論 型 態 ， 會 促 使 兒 童 去 回 憶 自 己 的 舊 經 驗 和 觀 點 ， 並 且 重 新 組 織 產 生 討 論 新 話 題 。

英 國 數 學 教 育 界 深 具 影 響 力 的 Brissenden（ 1988） ， 提 出 教 室 中 師 生 及 同 儕 間 的「 討 論 」，是 任 何 年 級 數 學 課 程 的 根 本 重 點 後，為 數 學 課 程 帶 來 ㄧ 大 轉 變，運 用 語 言 去 表 達 思 想 是 很 自 然 的 反 應 ， 對 兒 童 來 說「 討 論 」是 數 學 學 習 上 的 重 要 價 值 。 談 話 是

他 們 認 識 世 界 的 方 法，兒 童 的 非 正 式 學 習，常 是 伴 隨 著 不 斷 的 談 話 而 產 生 的（ Andrews,1997）。「 討 論 」活 動 更 可 提 供 學 生 擴 展 數 學 概 念 的 機 會 ， 以 促 進 數 學 概 念 的 發 展 （ Andrews,1997 ； Vetter,1994； Cockcroft,1982）。 Clement 和 Battista（ 1990）

指 出 兒 童 在 與 他 人 的 討 論 辯 證 過 程 中，慢 慢 相 信 別 人 的 方 法 是 對 的，而 開 始 懷 疑 自 己 的 答 案，同 時 在 這 討 論 的 過 程 中，可 以 經 由 其 他 同 學 提 出 質 疑，激 盪 出 更 多 的 解 題 策 略，延 伸 他 們 的 解 題 活 動，更 在 此 分 享 思 考 的 過 程 中，無 形 中 增 加 兒 童 擴 展 數 學 概 念 的 學 習 機 會 ， 進 而 調 整 謬 誤 的 概 念 ， 這 是 在 傳 統 教 學 中 較 少 發 生 的 。 陸 續 有 許 多 位 學 者 分 別 從 不 同 的 面 向 去 探 討 數 學 教 室 中 的

「 討 論 」活 動 ， 對 於「 討 論 」在 數 學 學 習 上 的 價 值 也 獲 得 了 實 徵 證 明 （ 如 ： Andrew,1997 ； Vetter,1994 ； Mercer,1985 ; Phillips,1985） 。

Yackel & Cobb（ 1996） 指 出 ， 社 會 數 學 常 規 是 以 建 構 論 、 符 號 互 動 論 為 其 基 礎 架 構，一 般 社 會 常 規 提 供 學 生 參 與 概 念 探 索 的 機 會，並 且 促 進 學 生 在 課 室 中 進 行 有 效 的 討 論，然 而 社 會 數 學 常 規 則 是 特 別 關 於 數 學 學 習 的 社 會 常 規。透 過 社 會 數 學 常 規 的 建 立，將 促 進 學 生 數 學 概 念 的 思 考 與 提 升 討 論 的 品 質，並 且 增 進 有 意 義 的 數 學 協 商。國 外 學 者（ Kazemi & Stipek,2001；Pang,2001；

Rasmussen & King,1998； McClain & Cobb,1997） 等 人 的 相 關 實 證 研 究 顯 示，透 過 社 會 數 學 常 規 的 建 構 與 再 協 商，可 以 提 高 學 生 主 動 探 討 問 題 的 意 願，並 且 幫 助 學 生 發 展 數 學 解 題 能 力，同 時 尋 求 不 同 解 題 策 略，願 嘗 試 採 用 各 種 解 題 策 略；在 社 會 數 學 常 規 的 發 展 上，教 室 裡 的 教 師 經 常 扮 演 著 積 極 的 引 導 角 色，針 對 不 同 的 情 境 而 有 不 同 的 引 導 策 略 。

另 外， Vetter（ 1994）也 強 調 兒 童 同 儕 小 組 間 的 討 論 有 助 於 學 生 建 立 學 習 的 連 結 脈 絡 ， 讓 兒 童 能 更 有 效 能 的 理 解 數 學 ， 而

Davis、Carolyn 和 Nel （ 1990）的 研 究 結 果，顯 示 透 過 小 組 運 作 對 於 提 高 學 生 的 解 題 能 力 有 驚 人 的 效 果 。 國 內 學 者 馬 秀 蘭

（ 2005b） 的 研 究 也 指 出 經 過 小 組 協 商 討 論 後 ， 可 產 生 易 讓 人 瞭 解 與 有 效 之 合 作 成 果 。

單 獨 一 次 的 交 談 是 不 會 有 學 習 效 果。協 商 討 論 的 類 型 是 有 助 於 提 升 學 習 效 果 （ Wegerif, 1996； Fisher,1992） 。 在 成 功 的 協 商 交 談 中，參 與 者 可 能 產 生 釋 義、證 實 需 求 和 澄 清，並 願 意 用 一 種 新 的 方 式 去 看 事 物，提 出 質 疑，開 闊 胸 襟 去 看 待 與 他 們 自 己 衝 突 的 看 法，且 樂 於 他 人 的 提 問；並 且 不 逃 避 質 問 和 尊 重 其 它 批 評 的 想 法 （ Berkowitz & Gibbs,1983） ， 典 型 的 措 辭 例 如 ： 「 我 進 一 步 想 … … 」、「 我 能 瞭 解 你 的 意 思 … … 」、「 我 能 區 分 兩 者 之 間 … … 」、「 進 一 步 思 考 … … 」、「 你 想 說 的 是 … … 」、「 我 同 意 … 也 是 一 種 結 論 」 、 「 你 錯 過 一 個 重 點 … … 」 。

Teasley （ 1991 ） 提 出 學 生 在 討 論 板 上 的 進 行 「 協 商 的

（ transactive） 討 論 」 ， 如 表 2-1 所 示 ： 表 2-1 協 商 討 論 類 型 及 說 明

類型 協商的進行、活動（move）

回饋需求

（feedback request） 你瞭解或同意我的立場（position）

釋義

（paraphrases） 我能瞭解及解釋你的立場或推理 證實需求

（justification request） 為甚麼你那樣說?

並置

（juxtaposition） 你的立場是…，我的立場是……

完成

（completion） 我能完成或繼續你未完成的推理

類型 協商的進行、活動（move）

澄清

（clarification） 不!我正設法完成的是下列……

精煉、改善

（refine） 我能努力或質化我的立場去辯護你的批評

擴展

（extension） 這裡是我進一步的思想或努力

批評

（critique）

你的推理缺少了一個重要的區分或涉及到一個不 可靠的假設

整合一體

（integration） 我們能結合我們的立場到一個相同的觀點

近 來 在 發 展 學 生 協 商 討 論 交 談 相 關 研 究 中，則 有 越 來 越 多 的 學 者 將 興 趣 投 注 在 同 儕 間 互 動 的 學 習 之 上 （ Webb, 1989 ； Hertz-Lazarowitz,1992） 。 從 教 育 心 理 學 的 角 度 而 言 ， 同 儕 之 間 的 互 動 能 提 供 一 個 互 相 支 援 的 環 境，此 環 境 可 以 鼓 勵 學 生 去 重 新 經 驗 及 檢 視 新 的 想 法 ， 批 判 性 地 重 新 解 釋 他 們 自 己 原 本 的 概 念。當 同 學 們 可 以 一 起 進 行 工 作，用 同 儕 之 間 特 殊 的 用 語 來 進 行 問 題 解 決 ， 可 使 學 生 能 夠 藉 此 明 瞭 組 員 哪 裡 出 錯 了 ？ 哪 裡 不 瞭 解 ？ 哪 裡 不 清 楚 ？ 並 能 對 困 難 的 詞 彙 進 行 轉 譯 來 傳 達 給 其 他 組 員 （ Damon & Phelps,1989） 。

所 以 要 藉 著 進 行「 解 題 活 動 」， 由 具 體 活 動 到 抽 象 思 考 ， 由 粗 糙 想 法 到 精 緻 解 法，由 解 題 草 稿 到 算 式 記 錄，由 兒 童 格 式 到 成 人 格 式，這 些 發 展 的 促 進 和 提 升，則 需 藉「 群 體 討 論 」來 達 成（ 黃 敏 晃，1997）。Ian、Janise、Joseph、HÄuseyin 和 Wenye （ 1998）

指 出：傳 統 的 數 學 教 學 往 往 只 提 供 學 生 如 何 演 算 與 執 行，受 制 於 情 境 ， 因 此 侷 限 了 學 生 交 互 討 論 數 學 的 機 會 。

可 知 當 進 行 數 學「 討 論 」， 在 學 生 提 出 自 己 想 法 的 說 明 、 解

釋，並 接 受 同 儕 質 疑、挑 戰 時，一 方 面 學 習 如 何 將 別 人 的 意 見 意

釋，並 接 受 同 儕 質 疑、挑 戰 時，一 方 面 學 習 如 何 將 別 人 的 意 見 意