模式建立

上 下 文 章 脈 絡 的 模 式 建 立 本 質 對 學 生 的 理 解 發 展 有 一 重 大 影 響 （ Burrill & Romberg ,1998； Mokros & Russell ,1995 ; Watson & Moritz,2000） 。 在 此 模 式 建 立 不 是 以 看 到 一 個 對 一 個 指 定 的 問 題 的 解 決 辦 法，而 是 寧 可 以 發 展 過 去 學 習 的 舊 經 驗、思 維 和 運 用 已 產 生 的 問 題，顯 現 出 的 新 概 念，而 產 生 相 關 的 問 題 系 統 （ Helen ＆ Lyn , 2003） 。 模 式 建 立 意 義 包 含 兩 個 標 準 ： ㄧ 是 要 以 學 生 身 歷 其 境 的 真 實 經 驗 而 產 生 的 問 題，而 不 是 由 不 相 干 的 成 人 設 計 出 與 生 活 無 關 的 任 務。二 是 此 模 式 必 須 可 讓 學 生 發 展 出 具 有 潛 在 意 義 的 數 學 概 念 。

學 生 可 用 描 述（ describe）、闡 明（ explain）、臆 測（ predict）

或 其 他 類 似 的 系 統 的 方 法 ， 發 展 模 式 建 立 （ Doerr,1997； Lesh &

Doerr,2000 ） 。 面 對 學 生 開 發 問 題 系 統 的 過 程 須 從 引 起 興 趣 開 始，特 別 建 造 此 模 式 結 構 是 基 於 學 生 對 數 學 的 興 趣 所 開 發 的 一 系 列 相 關 問 題，此 相 關 問 題 可 提 供 我 們 去 瞭 解 學 生 在 實 際 生 活 事 件

（ 如 ： 日 常 生 活 中 的 購 物 、 餐 飲 、 電 影 票 、 搭 車 、 折 扣 … … 等 日 常 消 費 過 程 ）的 數 學 推 理 和 解 決 問 題 情 境 的 能 力 ， 他（ 她 ）們 的 推 理 包 括 發 展 相 關 問 題 系 統、選 擇 解 釋 問 題 的 方 法 和 數 學 式 表 示 法 ， 並 且 形 成 多 樣 的 詮 釋 循 環 （ cycles of interpretation ）

（ Helen ＆ Lyn , 2003） 。

每 一 個 模 式 建 立 發 展 過 程，包 含 多 樣 化 的 詮 釋 循 環，學 習 者 可 能 在 與 同 儕 交 互 作 用 反 覆 精 練 和 重 建 下 ， 可 以 描 述

（ descriptions）、預 測 （ conjectures）、說 明（ explanations）

和 辯 解 （ justifications） ， 並 與 同 組 組 員 相 處 愉 快 （ Lesh ＆ Hoover & Kelly,1992） 。 小 組 所 建 立 的 模 式 ， 是 以 多 階 段 的 詮 釋 循 環 來 增 加 學 生 對 任 務 的 穩 定 性 和 分 辨 學 生 的 雜 亂 的 反 應，每

個 循 環 代 表 學 生 思 考 的 轉 移，提 供 具 影 響 力 的 資 料 類 型，幫 助 學 生 數 學 思 考 的 成 長 。

Doerr（ 1997） 研 究 指 出 學 生 從 問 題 概 念 的 發 展 是 非 線 性 的

（ a nonlinear） ， 而 是 以 循 環 方 式 來 建 造 模 式 ， 這 項 研 究 包 括 創 造 大 量 數 學 問 題 來 塑 造 模 式 建 立 的 活 動，最 後 達 到 衍 伸 說 明 問 題 和 推 理 預 測 的 關 係 。 因 而 ， 此 類 活 動 學 生 以 非 例 行 性 （ non routine） 的 問 題 情 境 ， 開 始 去 誘 導 出 有 意 義 的 數 學 結 構 ， 然 後 修 建 、 擴 展 、 探 索 和 應 用 已 發 展 的 結 構 在 其 它 相 關 類 型 的 問 題 ， 或 利 用 已 產 生 的 問 題，在 上 下 文 章 脈 絡 推 展 一 系 列 的 問 題 系 統 。 這 些 活 動 是 需 要 學 生 受 過 數 學 基 本 概 念 訓 練，例 如 先 學 會 學 校 數 學 課 程 內 的 計 數 、 測 量 、 比 率 、 比 例 、 幾 何 形 狀 和 基 本 數 的 四 則 運 算 操 作 後，學 生 可 以 解 決 學 校 一 步 或 二 步 的 算 術 過 程 之 數 學 問 題 （ English & Halford,1995） 。 然 後 再 利 用 此 舊 經 驗 ， 促 使 學 生 建 造 有 感 覺 的 情 境 ， 用 對 他（ 她 ）們 自 己 有 意 義 的 方 式 ， 在 循 環 過 程 中 不 斷 地 選 擇 切 題 的 解 題 步 驟 來 引 出 一 系 列 的 問 題 系 統 。

研 究 的 證 據 和 經 驗 智 慧 的 建 議，學 生 能 靠 著 回 憶 和 推 論 數 學 的 事 實 來 獲 得 更 多 理 解 的 進 展 （ Askew & Dylan ,1995） 。 此 設 計 培 養 學 生 的 陳 述 能 力、歸 納、不 拘 形 式 的 理 解、推 斷 和 臆 測 的 能 力，任 務 聚 焦 在 以 數 學 為 核 心 的，學 生 連 續 性 建 造、不 斷 操 作 和 轉 移 問 題 的 活 動 ， 最 後 可 產 生 推 理 和 臆 測 出 來 的 相 關 問 題 系 統 。 Gravemeijer 、 Cobb 、 Bowers 和 Whitenack （ 2000 ） 以 及 Stevens（ 2000） 的 研 究 基 本 特 色 是 與 真 實 環 境 相 關 的 上 下 文 章 脈 絡 （ context） ， 提 供 學 生 熟 練 數 學 技 巧 的 一 個 平 台 ， 讓 學 生 使 用 生 活 中 的 資 源 來 做 數 學 運 算 。 Helen 和 Lyn（ 2003） 研 究 中 則 提 出 推 理 包 含 了 非 數 學 化 產 物 （ nonmathematically generative） 和 數 學 化 產 物 （ mathematically generative） 。

幾 個 世 紀 以 來 教 育 家 知 道，主 動 學 習 會 增 長 理 解。這 引 導 數

學 教 育 家 普 遍 相 信 ， 學 生 建 構 他 們 自 己 的 理 解 （ Davis, Carolyn

＆ Nel Noddings, 1990； Hiebert＆ Thomas , 1992） 。 在 這 個 看 法 裡 ， 我 們 瞭 解 無 論 多 麼 有 技 巧 的 教 師 ， 都 無 法 將 此 傳 授 給 學 生 ， 必 須 由 學 生 自 己 的 在 腦 中 產 生 。

建 構 主 義（ constructivist）斷 定，學 生 在 當 他 們 試 圖 解 決 意 味 深 長 的 問 題 時 ， 可 學 會 經 由 反 射 問 題 來 加 速 學 生 的 理 解

（ Campbell ＆ Martin 1995） 。 老 師 主 要 角 色 不 是 指 示 學 生 ， 而 是 提 出 問 題 並 且 誘 導 學 生 反 射 在 他 們 的 任 務 上，以 及 幫 助 學 生 辯 解 他 們 的 問 題 推 理 ， 譬 如 ： 解 釋 （ explaining ） 、 辯 解

（ justifying）和 舉 例（ exemplifying）， 不 僅 可 證 明 學 生 瞭 解 問 題 程 度，同 時 可 幫 助 創 造 新 的 問 題。事 實 上，沒 有 問 題 就 沒 有 解 答 ， 也 就 沒 有 思 考 。 愛 因 斯 坦 說 得 好 ：「 問 題 的 構 成 比 其 解 答 更 為 重 要，後 者 可 能 只 是 一 種 數 學 或 實 驗 的 技 能 而 已。用 一 種 新 角 度 對 舊 的 問 題 提 出 新 的 問 題 或 新 的 可 能，需 要 創 造 的 想 像。它 建 立 了 創 造 的 里 程 碑 。 」 （ 引 自 郭 有 遹 ， 1994） 。 Einstein 和 Infeld 經 常 提 到 ： 「 提 出 問 題 通 常 比 解 決 問 題 更 加 重 要 。 提 出 新 的 問 題、新 的 可 能 性 以 及 從 新 的 角 度 去 考 慮 舊 的 問 題，需 要 豐 富 的 想 像 力，同 時 也 顯 出 科 學 真 正 的 進 步。」（ 引 自 Runco & Chand, 1994） 。

在 Helen 和 Lyn（ 2003） 的 研 究 ， 學 生 依 照 教 師 給 的 資 料 ， 逐 一 在 教 室 內 提 出 討 論，用 紙 筆 做 紀 錄，或 錄 影、訪 談 後 加 以 分 析 ， 每 個 子 題 包 含 二 到 五 個 詮 釋 循 環 的 模 式 建 立 ， 如 下 ：

（ 一 ） 「 買 運 動 鞋 」 ： 提 供 10 個 廠 牌 的 運 動 鞋 資 料 ， 請 學 生 排 出 想 買 運 動 鞋 的 順 序，並 說 明 理 由。學 生 發 展 的 循 環 為：循 環 ㄧ ： 非 數 學 化 等 第 （ nonmathematical rankings Cycle） ； 循 環 二：頻 率 等 級（ frequency rankings）；循 環 三：成 對 比 較（ pair wise comparisons） 。

（ 二 ）「 餐 館 問 題 」： 根 據 點 餐 排 行 榜 ， 為 餐 館 規 劃 一 套 完 整 的 組 合 式 套 餐 菜 單。學 生 發 展 的 循 環 為：循 環 ㄧ：可 用 量 表 格 化（ from ranks as labels to ranks as operable quantities）；

循 環 二 ： 等 第 不 變 性 （ the invariance of ranking） ； 循 環 三 ： 發 展 分 裂 系 統 （ developing the mean-split system） 。

（ 三 ）「 天 氣 問 題 」： 旅 行 社 需 要 您 的 幫 助 開 發 一 個 系 統 ， 為 客 戶 選 擇 居 住 地 方 。 學 生 發 展 循 環 ： 循 環 ㄧ ： 匹 配 與 排 除

（ matching and eliminating ） ； 循 環 二 ： 尋 找 一 個 廣 義 系 統

（ searching for a generalized system） ； 循 環 三 ： 發 展 分 裂 子 系 統 （ developing the mean-split system） ； 循 環 四 ： 實 施 排 除 策 略（ implementing elimination strategies）； 循 環 五 ： 修 改 意 義 分 裂 子 系 統 （ refining the mean-split rating system） 。

（ 四 ）「 犯 罪 問 題 」： 排 出 最 安 全 的 城 市 ， 提 供 可 利 用 各 個 城 市 最 新 的 五 年 的 六 種 嚴 重 犯 罪 率 ： 謀 殺 、 盜 案 、 攻 擊 、 搶 劫 、 偷 竊 和 汽 車 偷 竊 資 料 。 學 生 發 展 循 環 ： 循 環 ㄧ ： 應 用 刪 除 系 統

（ applying the mean-split system） ； 循 環 二 ： 進 ㄧ 步 修 改 意 義 分 裂 子 系 統 （ further refining the mean-split system） 。

在 Helen 和 Lyn（ 2003） 的 研 究 ， 首 先 可 追 蹤 學 生 的 思 考 發 展，當 他 們 創 造 能 被 使 用 描 述 資 料 和 而 做 出 問 題 決 定 的 系 統。根 據 上 面 理 論 的 描 述，可 解 釋 多 個 詮 釋 循 環 會 顯 露 與 學 生 的 任 務 互 相 契 合。其 次，研 究 所 提 供 的 任 務 可 作 為 學 生 的 不 同 的 思 維 方 式 的 改 變，並 且 期 望 學 生 可 以 在 週 期 中 學 會 以 不 同 方 式 呈 現 其 思 考 過 程 。

因 此 本 研 究 依 據 Helen 和 Lyn（ 2003） 的 研 究 方 法 ， 去 分 析 學 生 推 理 中 的 模 式 建 立 所 產 生 的 多 個 詮 釋 循 環 。