思考與推理

一 、 思 考 與 推 理

Gardner（ 1983） 透 過 對 人 類 能 力 的 研 究 ， 認 為 人 類 的 能 力 應 可 包 括 邏 輯 － 數 學 智 能 （ logical-mathematical intelligence）－ 有 效 地 運 用 邏 輯 和 推 理 的 能 力。這 項 智 能 包 括 對 運 用 邏 輯 的 方 式 、 關 係 、 陳 述 、 主 張 、 功 能 及 對 其 它 相 關 抽 象 概 念 的 敏 感 性。用 於 邏 輯 -數 學 智 能 的 各 種 步 驟 包 括 分 類、分 等 、 推 論 、 概 括 、 計 算 和 假 設 檢 定 （ Campbell ＆ Martin,1995） 。

一 些 教 育 學 者 將 解 決 問 題 看 作 是 一 種 高 階 思 考 能 力 （ high order thinking） ， 並 主 張 透 過 問 題 解 決 之 思 考 歷 程 培 養 學 生 的 創 造 力 （ Sternberg & Lubart,1995） 。 英 國 牛 津 技 巧 教 學 計 劃

（ The Oxford shire Skill Program， 1988） 是 以 促 進 兒 童 思 考 能 力 為 目 的。把 思 考 定 義 為 個 體 從 事 解 決 問 題 時 的 心 智 活 動，其 內 涵 包 括 批 判 思 考、創 造 思 考、推 理 思 考 和 問 題 解 決。Guilford

（ 1967）視 推 理 是 一 種 心 理 能 力，認 為 推 理 與 收 斂 思 考 有 關，此 種 思 考 形 式 是 個 體 在 思 考 解 決 問 題 時，根 據 已 有 知 識，循 邏 輯 規 則 去 尋 求 唯 一 的 正 確 答 案 。

Krulik 和 Rudnick（ 1993） 中 提 出 思 考 （ thinking） 定 義 是「 從 給 予 的 一 組 資 訊 中 ， 推 斷 出 一 個 合 理 的 結 論 」， 兒 童 必 須

在 問 題 的 情 境 中 ， 從 抽 象 的 個 別 元 素 來 臆 測 多 種 可 能 的 解 決 方

（ Garfield & Gal,1999； Burrill & Romberg,1998） 。 這 樣 經 驗 可 促 使 學 生 把 自 己 當 作 數 學 問 題 內 的 主 角，讓 他 們 可 以 真 實 世

緻 且 複 雜 的 思 考 能 力 。 此 技 能 包 含 綜 合 概 念 （ synthesizing ideas）、產 生 概 念（ generating ideas）和 應 用 概 念（ applying ideas） 。

Coles 和 Robinson（ 1989） 認 為 推 理 思 考 兼 具 批 判 性 思 考 和 創 造 性 思 考 的 思 考 模 式，批 判 性 思 考 是 指 能 檢 核、連 結 和 評 鑑 某 一 情 境 或 問 題 的 各 個 面 相 ， 且 能 集 中 問 題 的 焦 點 ， 以 及 能 蒐 集、組 識 和 分 析 資 訊。另 外 能 連 結 先 前 已 學 過 的 經 驗，決 定 答 案 的 合 理 性 ， 以 及 能 提 出 有 效 的 結 論 。 創 造 性 思 考 是 指 一 個 想 法 ， 具 有 原 創 性 和 有 效 性 ， 並 善 於 發 明 ， 能 產 生 精 緻 複 雜 之 思 考 方 式 。 具 有 創 造 性 思 考 的 人 ， 能 夠 綜 合 其 想 法 ， 產 生 創 意 ， 以 及 運 用 概 念 ， 以 解 決 問 題 。 而 所 謂「 解 決 問 題 」， 並 不 是 指 解 決 類 似 數 學 問 題 中「 文 字 題 」或「 應 用 問 題 」而 已 ， 文 字 題 只 是 練 習 題

（ exercise）或 是 習 題，用 以 解 釋 已 教 過 的 觀 念、技 巧 或 是 計 算 的 過 程 。 Coles 和 Robinson（ 1989） 則 進 一 步 解 釋 ， 批 判 思 考 屬 於 分 析 性 質，而 創 造 思 考 則 偏 重 發 散 歧 異 性，兩 者 所 示 均 為 推 理 思 考 ， 且 為 完 成 問 題 解 決 所 必 須 。 其 關 係 如 圖 2-2 所 示 。

問題解決 創造性思考 推理性思考 批判性思考

圖 2-2 問 題 解 決 與 思 考 之 關 係 （ Coles & Robinson,1989）

Fisher（ 1990）也 認 為 問 題 解 決 是 應 用 性 的 思 考，與 批 判 思 考 和 創 造 思 考 三 者 並 立。張 玉 成（ 1993）則 指 出 推 理 思 考 包 含「 理 解 」、「 應 用 」及「 分 析 」等 三 項 能 力 為 主 要 內 涵。其 中「 理 解 」

技 巧 共 分 成 ： 分 類 思 考 、 歸 納 思 考 、 演 繹 思 考 、 預 測 思 考 和 預 測 結 果 意 義。解 題 的 思 考 過 程 當 中，解 題 者 應 建 立 其 論 點，並 可 以 提 出 支 持 的 論 據。學 童 應 該 有 能 力 以 系 統 化 地 處 理 解 決 問 題，並 能 養 成 有 條 理 的 推 理 思 考 習 慣，獨 立 思 考 就 是 解 題 者 本 身 獨 自 去 做 推 理 及 解 決 問 題 的 歷 程 。

近 年 美 國 國 家 研 究 院 (The National Academies ,2001)的 研 究 報 告 指 出，學 生 的 數 學 能 力 就 如 同 五 股 相 互 交 織 的 繩 索，五 種 能 力 必 須 同 時 地、統 整 地 發 展，方 能 成 就 其 功 能，五 股 數 學 能 力 包 括 ： 1.概 念 的 理 解 ： 理 解 數 學 概 念 、 運 算 及 關 係 。 2.流 暢 的 運 算 能 力 ： 彈 性 地 、 準 確 地 、 有 效 地 及 適 當 地 執 行 程 序 技 巧 。 3.

選 擇 策 略 的 能 力：能 形 成、表 徵 及 解 決 數 學 問 題。 4.適 當 的 推 理 能 力 ： 邏 輯 思 維 、 反 思 、 解 釋 及 辯 證 的 能 力 。 5.具 生 產 力 的 數 學 性 向：習 慣 性 的 傾 向 視 數 學 是 有 知 覺 的 及 有 價 值 的。這 五 股 能 力 在 數 學 能 力 的 發 展 中 是 同 等 重 要 的 ， 且 其 間 的 關 係 並 不 是 獨 立 的，而 是 相 互 依 賴 的，它 們 表 徵 了 一 個 複 雜 全 體 的 不 同 面 向，形 成 數 學 能 力 的 定 義。首 先，有 能 力 的 學 生 應 能 瞭 解 和 應 用 重 要 的 概 念，他 們 也 能 從 容 地 計 算、形 成 問 題 和 解 決 問 題，並 能 解 釋 他 們 的 推 理 過 程。最 後，他 們 能 對 自 己 的 數 學 推 理 能 力 有 信 心，並 視 數 學 為 有 知 覺 的 及 有 價 值 的 學 科，如 此 才 能 使 這 樣 的 數 學 知 識 具 有 生 產 力 （ 引 自 黃 志 賢 ， 2003） 。

數 學 推 理 就 是 數 學 的 核 心，也 就 是 數 學 的 基 礎，需 要 發 展 仔 細、簡 潔 且 可 理 解 的 證 明。學 生 先 要 明 白 在 獲 得 結 論 之 前，必 須 先 有 假 設 ， 而 他（ 她 ）們 必 須 要 有 能 力 確 認 假 設 是 否 獲 得 證 實 ， 學 生 必 須 發 展 出 邏 輯 思 考 的 習 慣，並 且 能 理 解 和 質 疑 所 有 的 假 設

（ California State Board of Education,2000） 。

傳 統 上 ， 推 理 是 指 將 資 料 察 覺 像 「 用 數 字 處 理 事 件 」

（ Cobb,1999） ， 資 料 不 被 看 做 是 根 據 特 殊 情 境 下 所 做 的 決 定 。

有 時 直 覺 和 天 性 可 提 供 更 好 的 指 南，有 時 電 腦 可 以 將 問 題 更 方 便 或 更 加 可 靠 地 模 擬，有 時 經 驗 法 則 或 捷 思 法 則 是 非 常 是 需 要 的 。 人 們 使 用 二 種 相 當 不 同 的 數 學 推 理：在 一 般 情 況 下 運 用 已 知 慣 例 或 規 則 解 決 標 準 問 題；面 對 特 殊 問 題 時 會 使 用 數 學 策 略，例 如 轉 譯 成 其 他 方 式 、 尋 找 樣 式 、 類 化 推 理 、 歸 納 、 簡 化 、 探 索 具 體 案 件 、 提 取 去 除 毫 不 相 關 的 細 節 去 解 題 （ Forman & Lynn ,1995） 。

二 、 推 理 的 捷 思

推 理 策 略，在 認 知 心 理 學 上，一 般 認 為 有 兩 種 主 要 策 略，即 演 算 法（ algorithm）和 捷 思 法（ heuristic）（ Sternberg,1999）。

以 下 就 此 兩 種 策 略 ， 分 別 說 明 如 下 ：

（ 一 ） 演 算 法 （ algorithm）

演 算 法 是 一 種 隨 機 需 求，途 徑 的 選 擇 不 需 任 何 特 殊 知 識，將 所 有 可 能 解 決 的 方 法 一 一 列 出，直 到 找 出 正 確 答 案 為 止，雖 然 一 定 能 找 到 正 確 答 案 ， 但 其 效 率 非 常 低 。

在 韋 氏 辭 典 定 義 為：「 在 有 限 步 驟 內 解 決 數 學 問 題 的 程 序 」。

例 如：算 出 兩 個 自 然 數 的 最 大 公 因 數 的 演 算 法，稱 為 歐 幾 里 得 演 算 法，或 是 排 列 資 料 順 序 的 演 算 法，統 稱 為 排 序 演 算 法。一 般 而 言 ， 演 算 法 具 有 下 列 五 個 特 性 （ Cormen,Leiserson & Rivest, 2002） ： 1.準 確 描 述 的 輸 入 （ input） ： 演 算 法 通 常 是 接 受 一 些 輸 入 值，加 以 處 理 或 運 算，而 產 生 一 些 輸 出 值，這 些 輸 入 必 須 有 清 楚 的 型 別 和 個 數 描 述，例 如：前 面 提 到 的 歐 幾 里 得 演 算 法，需 要 兩 個 自 然 數 作 為 輸 入 。 2. 每 一 指 令 必 須 具 有 明 確 性

（ definiteness） 及 有 效 性 （ effectiveness） ， 且 要 求 清 楚 而 不 造 成 混 淆 ， 並 且 能 讓 人 們 用 紙 筆 來 執 行 。 3. 正 確 性 (correctness)： 演 算 法 既 是 以 解 題 為 目 的 ， 所 以 我 們 必 須 能 夠

證 明 演 算 法 可 以 正 確 地 解 決 問 題 。 4.有 限 性（ finiteness）： 演 算 法 必 須 在 有 限 步 驟 內 結 束。通 常 我 們 不 需 要 知 道 執 行 步 驟 的 確 實 數 目，而 是 它 的 上 限，也 就 是 說，我 們 比 較 想 知 道 執 行 此 演 算 法 的 步 驟（ 或 時 間 ）不 會 超 過 某 個 上 限，這 對 我 們 了 解 並 評 估 演 算 法 相 當 重 要 。 5.結 果 的 描 述 和 輸 出（ output）： 例 如 歐 幾 里 得 演 算 法 的 輸 出 ， 是 兩 個 自 然 數 的 最 大 公 因 數 ， 也 是 自 然 數 。

（ 二 ） 捷 思 法 （ heuristics）

問 題 推 理 過 程 所 需 的 處 理 技 巧，來 自 於 最 初 問 題 所 給 予 的 一 些 隱 含 資 訊。每 個 處 理 過 程 包 含 一 連 串 心 智 活 動 和 實 務 活 動，將 不 相 關 的 資 訊 連 結 成 完 整 模 式，稱 之 為 推 理 的 捷 思 或 捷 思 樣 式 。 捷 思 法 是 一 種 心 理 的 捷 徑，可 幫 助 我 們 突 破 工 作 記 憶 的 限 制，同 時 運 作 許 多 工 作，推 理 的 捷 思 包 含 了 非 正 式 的、直 覺 的、推 測 的 策 略，這 些 策 略 有 時 確 實 可 以 引 導 我 們 找 到 有 效 的 解 答，但 有 時 卻 未 必 如 此 （ Schoenfeld , 1985） 。

以 下 列 出 學 者 們 對 解 決 問 題 所 提 出 的 各 種 捷 思 法 則 。 根 據 Dunbar（ 1998）、 Nickerson（ 1994）、 Larkin 和 Simon（ 1987）

舉 出 問 題 解 決 的 捷 思 法 為：1.任 意 選 擇 下 一 個 步 驟。2.分 解 問 題 或 建 立 次 目 標 （ problem decomposition or subgoaling） 。 3.

倒 向 解 題 法 （ working backwards ） 。 4. 爬 山 解 題 法 （ ｈ ill climbing） 。 5.方 法 － 目 的 分 析 法 （ means-end analysis） 。 6.

順 向 解 題 法 （ forward chaining） 。 7.藉 由 圖 表 來 解 決 問 題 。 8.

類 比 （ analogy） 。 9.混 合 的 策 略 （ mixing strategies） 。 Sternberg（ 1999） 提 出 解 決 問 題 的 四 步 驟 捷 思 法 則 是 ： 1.

方 法 － 目 的 分 析 （ means-end analysis） ： 其 常 被 用 來 在 問 題 解 決 中 ， 去 縮 短 問 題 現 況 與 終 點 目 標 之 距 離 。 2.倒 推 法 （ working backwards）：通 常 的 問 題 解 決 方 法 是 順 向 問 題 解 決 法（ working

forwards），但 有 些 問 題 卻 適 合 於 從 目 標 倒 向 問 題 解 決，如 數 學 證 明 題 ， 其 方 法 是 從 未 知 推 算 到 已 知 ， 可 以 避 免 走 進 死 巷 的 機 會 ， 若 能 與 順 向 問 題 解 決 法 並 用 ， 效 果 更 佳 。 3. 類 比 法

（ analogy） ： 指 利 用 一 個 舊 問 題 的 解 決 方 法 與 經 驗 ， 去 解 決 另 一 個 有 類 比 關 係 的 問 題。如 將 停 車 位 類 比 成 升 降 電 梯，則 停 車 位 可 以 立 體 化 ， 突 破 土 地 恆 定 之 特 性 ， 順 利 解 決 停 車 位 不 足 之 問 題 。 4.繪 圖 （ diagram） ： 視 覺 符 號 有 助 於 顯 示 整 個 關 係 的 外 貌 與 問 題 結 構 的 關 係，可 以 傳 達 很 多 概 念，因 此 繪 圖 有 助 於 問 題 解 決 。

其 他 學 者 宣 稱 與 上 述 類 似 的 捷 思 法 尚 有 Kellogg（ 1995） 的 方 法 － 目 的 分 析 法 （ means-end analysis） 、 Reed（ 1992） 的 的 倒 推 法 （ working backward） 、 Anderson（ 1990） 的 個 別 差 異 降 低 法（ difference reduction method）， 其 為 選 擇 適 當 的 操 作 ， 以 降 低 目 前 狀 態 與 目 標 狀 態 間 的 差 異，與 前 述 手 段 － 目 的 分 析 法 有 異 曲 同 工 之 妙。解 決 問 題 的 策 略 都 在 於 找 出 並 減 少 已 知 與 目 標 間 的 差 異 性 ， 以 致 獲 得 問 題 的 解 法 。

而 Krulik 和 Rudnick（ 1993） 特 別 強 調 推 理 的 捷 思 ， 他 們 主 張 發 現 問 題 尋 求 解 決 途 徑 時，會 有 以 下 的 五 段 式 推 理 的 捷 思 ， 即 ：

1.定 焦 （ focus）： 意 義 超 過 僅 僅 確 認 手 邊 資 訊 ， 而 是 觀 察 其 資 訊 ， 澄 清 其 來 源 、 屬 性 、 術 語 ， 然 後 讓 問 題 的 關 鍵 更 加 清 楚 。

2. 分 析（ analyze）： 為 了 讓 資 料 有 意 義 ，我 們 開 始 組 織 資 料，依 資 料 屬 性 分 類 對 照，要 適 當 的 組 織 技 巧 如 公 式、表 格 或 畫 圖 ， 以 回 憶 其 舊 經 驗 來 推 測 結 果 。

3. 解 答（ resolve）： 學 生 組 織 和 分 析 情 況 後 ， 能 勾 勒 出 結 果 和 決 定 最 後 答 案 。

4. 證 實（ validate）：當 答 案 出 現 時，並 不 代 表 活 動 結 束 。

答 案 必 須 經 過 測 試 其 正 確 性，最 後 學 生 必 須 有 勇 氣 去 解 釋 他 得 到

郭 有 遹（ 1994）也 提 出 問 題 解 決 的 五 個 步 驟：1.瞭 解 與 思 考。

2.探 索 與 計 畫 。 3.選 擇 策 略 。 4.尋 找 答 案 。 5.省 思 與 擴 展 問 題 。 它 們 並 不 是 獨 立 的 ， 也 不 是 接 連 依 序 完 成 的 ， 當 學 生 解 決 問 題 時，常 常 在 這 些 階 段 或 步 驟 徘 徊，來 來 回 回 隨 時 修 正 他 的 想 法 或

2.探 索 與 計 畫 。 3.選 擇 策 略 。 4.尋 找 答 案 。 5.省 思 與 擴 展 問 題 。 它 們 並 不 是 獨 立 的 ， 也 不 是 接 連 依 序 完 成 的 ， 當 學 生 解 決 問 題 時，常 常 在 這 些 階 段 或 步 驟 徘 徊，來 來 回 回 隨 時 修 正 他 的 想 法 或