國小高年級學生進行生活推理之研究－以網際網路為工具

國立台中師範學院進修推廣部數學教育系在職進修

教學碩士論文

指導教授：馬秀蘭 博士

國小高年級學生進行生活推理之研究

－以網際網路為工具

研 究 生：林杜燕 撰

中 華 民 國 九 十 四 年 七 月

誌 謝

本 研 究 用 以 分 析 的 資 料，乃 採 用 馬 秀 蘭（ 2003）國 家 科 學 委 員 會 補 助 專 案 計 畫（ 計 畫 名 稱：九 年 一 貫 數 學 課 程 中 連 結 主 題 的 推 理 研 究，計 畫 編 號：NSC-92-2521-S-275-001）所 蒐 集 之 資 料 。 本 文 乃 為 該 計 畫 之 部 分 成 果，由 於 研 究 者 本 身 亦 為 該 項 專 案 研 究 計 畫 之 助 理 研 究 員，故 本 文 使 用 分 析 的 資 料，乃 經 由 該 專 案 計 畫 主 持 人 同 意 之 後 使 用 。

誌 謝

論 文 完 成 時，回 首 整 個 學 習 過 程，感 謝 台 中 師 範 學 院 給 予 在 職 教 師，一 個 開 拓 廣 闊 視 野 及 見 解 的 學 習 天 地，使 我 人 生 的 增 添 了 許 多 色 彩 ， 求 學 期 間 的 酸 甜 苦 辣 ， 在 這 一 刻 都 值 得 了 。 最 感 謝 指 導 教 授 馬 秀 蘭 博 士 與 吳 德 邦 博 士 於 修 業 期 間 的 悉 心 教 誨，不 厭 其 煩 地 督 促 與 指 導，在 每 次 討 論 後 都 能 有 所 突 破 與 進 展 ， 終 使 得 本 篇 論 文 得 以 順 利 完 成 。 感 謝 口 試 委 員 嘉 義 大 學 劉 祥 通 教 授 與 本 校 數 學 教 育 學 系 易 正 明 教 授，謝 謝 你 們 在 百 忙 之 中，撥 冗 指 正 學 生 的 論 文 並 給 予 諸 多 建 議 與 肯 定，使 得 本 論 文 觀 念 更 充 實 完 備，疏 漏 與 謬 誤 得 以 改 正 。 同 時 感 謝 研 究 所 三 年 來 給 予 指 導 的 師 長 們，以 及 同 窗 好 友 於 求 學 期 間 在 工 作 上、課 業 上 的 諸 多 幫 助 與 關 心，特 別 感 謝 鄭 佳 昇 學 長 在 網 路 上 架 設 電 子 佈 告 欄「 推 理 天 地 」，使 得 本 研 究 得 以 順 利 完 成 。 另 外 要 感 謝 我 任 教 學 校 長 官 與 同 事 們 諸 多 包 容 與 體 諒，在 求 學 時，同 事 們 隨 時 伸 出 援 手 不 時 給 予 課 業 上 的 鼓 勵 與 工 作 上 的 協 助，使 得 我 在 工 作 與 課 業 得 以 兼 顧，特 別 感 謝 純 如、一 華 和 雪 燕 老 師 對 研 究 對 象 給 予 支 持 與 督 促，也 要 謝 謝 所 有 參 與 活 動 且 表 現 優 異 的 小 朋 友 們 。 此 外，更 感 謝 我 的 家 人，謝 謝 你 們 長 久 以 來 的 對 我 的 關 懷 與 諒 解，相 信 若 沒 有 你 們 的 支 持、包 容 與 體 諒，我 將 無 法 有 今 天 的 些 許 收 穫 。 謝 謝 你 們 ！ 謹 誌 九 十 四 年 七 月

摘 要

本 研 究 的 目 的 在 運 用 網 際 網 路 對 學 生 的 吸 引 力，去 上 網 討 論 「 生 活 中 的 數 學 」，探 討 五 段 式 推 理 的 捷 思 策 略、分 析 協 商 討 論 類 型、探 究 學 生 模 式 建 立 的 詮 釋 循 環 並 探 究 學 生 以 網 際 網 路 運 用 在 推 理 活 動 中 的 表 現，試 著 經 由 在 非 課 堂 上 的 學 習 樂 趣，轉 化 學 生 對 數 學 的 刻 板 印 象，將 學 習 樂 趣 持 續 帶 回 課 堂。為 達 成 研 究 目 的 ， 在 網 路 上 開 闢「 推 理 天 地 」網 站 ， 以 電 子 佈 告 欄 為 工 具 ， 利 用 午 休 時 間 ， 讓 學 生 透 過 網 路 發 表 自 己 的 推 理 歷 程 。 根 據 研 究 結 果 發 現 ： 一 、 本 研 究 發 現 學 生 在 五 段 式 推 理 的 捷 思 中 ，「 反 射 」步 驟 引 出 多 樣 化 的 子 題，可 讓 學 生 的 推 理 從 更 多 角 度 去 作 思 考；並 且 其 推 理 的 捷 思 步 驟 符 合 每 一 段 並 非 獨 立、非 固 定、非 固 定 連 續 程 序 ， 而 是 來 來 回 回 、 斷 斷 續 續 出 現 ， 可 在 同 一 步 驟 重 複 出 現 ， 或 是 再 回 到 同 一 步 驟 。 二、學 生 根 據 主 題，經 由 協 商 討 論，在 網 路 上 用 文 章 代 替 口 頭 交 談，學 生 容 易 從 日 常 生 活 經 驗 開 始 進 行 討 論，發 現 生 活 中 數 學 無 所 不 在；在 研 究 中 學 生 透 過 討 論、溝 通 等 社 會 協 調 過 程，讓 學 生 的 推 理 能 力 可 以 有 效 的 運 用 在 現 實 生 活 中 。 三、本 研 究 貼 近 學 生 的 生 活 經 驗，在 學 生 不 拘 形 式 的 推 理 和 臆 測 下，激 發 出 許 多 有 意 義 的 模 式 建 立，其 模 式 意 義 包 含 兩 個 標 準：ㄧ 是 要 以 學 生 提 供 感 覺 和 經 驗 真 實 的 情 況 而 產 生 的 問 題，不 是 由 成 人 設 計 出 與 生 活 不 相 關 情 境 的 任 務。二 是 此 模 式 必 須 可 發 展 出 潛 在 有 意 義 數 學 概 念，而 產 出 相 關 的 數 學 概 念。學 生 以 非 例

擴 展、探 索 和 應 用 已 發 展 的 結 構 在 其 它 相 關 類 型 的 問 題，或 利 用 已 產 生 的 問 題 ， 在 上 下 文 章 脈 絡 推 展 一 系 列 的 問 題 系 統 。 四、本 研 究 發 現，透 過 網 路 匿 名 發 表，學 生 能 毫 無 畏 懼 說 他 們 想 說 的、問 他 們 想 問 的 問 題，真 實 的 呈 現 他 們 的 推 理 過 程，同 時 可 改 善 在 教 室 中 進 行 討 論，學 生 會 因 為 受 到 團 體 規 範、學 生 不 平 等 位 階、同 儕 互 動 認 知 的 依 賴 性 及 不 平 等 性，而 影 響 溝 通 協 商 的 公 平 性 。 關 鍵 詞 ： 推 理 的 捷 思 、 協 商 討 論 、 網 際 網 路 、 模 式 建 立

Abstract

With students＇ interests in internet outside of the classroom, the purposes of this research are to discuss Mathematics about Livelihood, to transfer students＇

typical image about mathematics, to motivate

students＇ learning interests and to continue their learning in class. In order to fulfill the purposes of this research, we use internet as a media to set up a “ Reasoning Area＂ and Bulletin Board System as a tool for students to publish their reasoning race during lunch recess.

Based on the result of this analysis, the researcher concludes:

1. This research discovers that students tend to come up with more variety of subquestions in the phase of reflection through heuristics of reasoning. The “ seed＂ of next problem is planted while trying to solve the last problem. Also, the reasoning process is not dependent and nonstable but coordinated with each reasoning phase. The process is continuous and repeated. It can be traced back and forth.

2. Assigned by a topic, students write to discuss with each other instead of oral discussion. Students tend to start their discussion easier by applying their real live

experiences. Through discussion, students have discovered that math is everywhere in our life. In the research, communication and negotiation. The social processes help students efficiently apply their reasoning ability into real live experiences.

3. This research is very close to students＇ real live experiences. Students＇ reasoning and conjecture are restricted to any certain modes, which arouse lots of meaningful model building. The meaning of model building covers two standards: （ 1） Students are asked to provide their sense and experiences to mathematics related to their real-life situations instead of trying to solve the problems and tasks designed by adults.（ 2） This mode should help students develop latent meaningful math concepts and come up with further math concepts related. Students use non-routine problems to guide meaningful math structure and then, construct, expand, explore and apply developed structure in other types of problems. On the other hand, students can utilize developed-problems to further develop a series of problem system in the context.

4. This research discovers that through anonymous publication, students can be free from all inhibitions. They can express their own opinions and ask any questions as they want. The process can be carried out naturally as students＇ discussion takes place. This research also

help improve the flow of students＇ discussion in class. The fairness of communication is influenced by students＇ group norm, class, peer pressure and recognition of interaction.

Keyword: heuristics of reasoning, transactive , internet, model building

目 次

摘 要---I

ABSTRACT---III

目 次---VI

表 次---IX

第一章 緒論---1

第一節 研究動機 ... 1

第二節 研究目的 ... 6

第三節 研究限制 ... 6

第二章 文獻探討---7

第一節 思考與推理 ... 7

第二節 協商討論 ... 16

第三節 模式建立 ... 23

第四節 網際網路 ... 27

第三章、研究方法與流程---34

第一節 研究方法 ... 34

第二節 研究流程 ... 39

第三節 研究對象 ... 40

第四節 實施方式 ... 43

第四章 研究結果與討論---47

第一節 學生推理的捷思策略 ... 47

第二節 學生的協商討論類型 ... 76

第三節 模式建立的詮釋循環 ... 87

第四節 學生運用網際網路的能力... 108

第五章 研究結論與建議---121

第一節 結論... 121

第二節 建議... 127

參考文獻---129

圖 次

圖 2-1 思考層次的階級圖 --- 8

圖 2-2 問題解決與思考之關係（Coles & Robinson,1989） --- 9

圖 2-3 五段式推理捷思與其子技能（Krulik & Rudnick1993：28） --- 15 圖 3-1 推理天地登陸版面 --- 37 圖 3-2 文脈環境－文字表現 --- 37 圖 3-3 文脈環境－繪圖表現 --- 38 圖 3-2 文脈環境－文字、繪圖、表格表現 --- 38 圖 3-5 研究流程 --- 40 圖 4-1 「推理天地」之子題發展 --- 49 圖 4-2 「礦泉水」子題協商討論 --- 86 圖 4-3 「登山健行」之模式建立 --- 89 圖 4-4「登山步道」模式建立之詮釋循環 --- 107 圖 4-5 學生發表文章 --- 111

表 次

表 2-1 協商討論類型及說明 --- 22 表 3-1 學生分組 --- 41 表 3-2 學生帳號編碼格式 --- 42 表 3-3 「古蹟之旅」小組提出換組 --- 42 表 3-4 「古蹟之旅」小組意願 --- 42 表 3-5 學生意見反應區 --- 44 表 3-6 學生不雅發言 --- 45 表 3-7 學生複製文章 --- 45 表 3-8 學生上傳學會的技巧 --- 46 表 3-9 「美食之旅」小組建議更改地點 --- 47 表 3-10 「美食之旅」小組提出新地點 --- 47 表 4-1 學生日常用語在「協商的討論」類型分類 --- 84 表 4-2 「文化之旅」小組－多樣化題目 --- 111 表 4-3 學生合作解題－文化之旅行程規劃 --- 114 表 4-4 學生合作解題－文化之旅票價計算 --- 115 表 4-5 學生合作解題－文化之旅加油問題 --- 115 表 4-6 學生合作解題－文化之旅恐龍卡與家庭卡問題 --- 115

第 一 章 緒 論

本 章 共 分 成 研 究 動 機、研 究 目 的 及 研 究 限 制 等 三 節，分 述 如 下 ：

第 一 節 研 究 動 機

在 國 內 數 學 科 一 直 是 最 容 易 引 起 國 小 學 童 焦 慮 的 學 科，也 是 最 感 到 困 難 的 科 目（ 詹 志 禹 ， 1997）。 的 確 在 許 多 課 堂 上 ， 只 有 數 學 教 師 專 注 於 講 台 上，不 斷 的 做 公 式 推 演，坐 在 下 面 的 學 生 則 ㄧ 臉 事 不 關 己 地 應 付 性 聽 著，結 果 學 生 學 到 的 數 學 只 是 課 本 上 重 複 計 算 和 公 式 推 演，數 學 彷 彿 只 是 存 在 教 科 書 中，卻 與 現 實 的 生 活 完 全 脫 節。這 樣 的 數 學，怎 能 引 起 學 生 主 動 學 習 的 興 趣。加 上 本 國 數 學 教 育 一 直 是 考 試 領 導 教 學 ， 因 此 ， 數 學 教 學 只 重 視 結 果，而 忽 略 學 習 的 過 程，偏 重 計 算 以 及 公 式 的 熟 練 性，讓 學 生 產 生 一 種 數 學 能 力 等 於 數 學 知 識（ 公 式 ）的 記 憶 與 計 算 過 程，而 且， 一 般 學 生 只 會 用 老 師 教 過 的 方 法 解 題，缺 乏 自 己 的 想 法 與 分 析 複 雜 問 題 的 能 力 ， 更 甚 者 無 法 將 學 校 所 學 的 知 識 活 用 到 日 常 生 活 中，也 就 是 說，學 生 所 學 到 的 這 種 知 識 即 為 Whitehead 所 言 的「 僵 化 知 識 （ inter knowledge） 」 （ 引 自 徐 新 逸 ， 1998） 。

Schoenfeld（ 2002） 、 Moss 和 Case（ 1999） 、 Markovits 和 Sowder（ 1994） 、 Wearne 和 Hiebert（ 1988） 的 研 究 顯 示 ： 由 於 傳 統 的 數 學 教 學 重 視 結 果，為 了 讓 學 生 獲 得 較 高 的 成 績，因 此 數 學 的 教 學 ， 特 別 強 調 計 算 速 度 的 快 、 狠 、 準 ， 以 及 背 誦 、 熟 稔 定 理、公 式 的 重 要 性。這 類 教 師 講 述、學 生 練 習 的 單 向 傳 輸 教 學，雖 然 可 以 立 見 功 效，但 學 生 往 往 是 知 其 然，而 不 知 其 所 以 然。 在 如 此 的 情 境 下，學 生 是 否 真 正 具 備 創 新 思 維 與 順 應 世 界 潮 流 的 能 力 是 值 得 懷 疑 ？

Piaget 最 感 興 趣 的 問 題 就 是 去 了 解 個 體 如 何 認 識 周 遭 的 世 界，他 認 為 個 體 是 主 動 去 認 識 外 在 的 世 界，而 不 是 被 動 的 吸 收 知 識 （ 陳 淑 娟 和 劉 祥 通 ， 2002） 。 Dewey（ 1933） 提 出 ： 「 教 育 即 生 活 」、「 生 活 即 教 育 」的 學 習 型 態，當 孩 子 生 活 在 多 樣、多 變 、 生 動、具 體 的 世 界 關 係 中，他 的 學 習 與 世 界 自 然 結 合 為 一 體；換 言 之，學 生 在 學 校 的 學 習 中 若 能 與 生 活 聯 繫 起 來，所 學 習 的 教 材 與 日 常 生 活 有 所 關 連 而 貼 切，那 麼 學 生 的 學 習 才 有 意 義。在 教 育 目 標 上 ， Resnick （ 1987 ） 則 提 出 教 會 學 生 如 何 去 思 考 （ thinking），無 論 是 多 麼 簡 單 的 學 習，學 生 都 必 須 透 過 思 考 來 解 釋 所 要 學 習 的 材 料。Kline（ 1994）則 分 析 影 響 學 生 抽 象 思 考 、 運 用 與 問 題 有 關 的 知 識 能 力，以 及 進 行 邏 輯 推 理 是 學 習 過 程 中 最 重 要 的 一 環。因 此 在 數 學 教 育 中，教 會 學 生 去 思 考 日 常 生 活 中 的 數 學 是 不 容 忽 視 的 。 ㄧ 般 認 為，學 生 的 數 學 計 算 經 驗，應 該 以 能 處 理 真 實 情 境 的 所 發 生 的 數 學 問 題 ， 才 能 真 正 瞭 解 數 學 概 念 （ Garfield & Gal,1999； Burrill & Romberg,1998） 。 這 樣 經 驗 可 促 使 學 生 把 自 己 當 作 數 學 問 題 內 的 主 角，讓 他 們 以 考 慮 真 實 世 界 給 予 的 問 題 條 件 做 數 學（ Greer,2000； Moore,1998）。 傳 統 上 ， 推 理 是 指 用 數 字 來 處 理 數 學 問 題，而 不 考 慮 根 據 特 殊 情 境 的 條 件 下 所 做 出 的 解 題 策 略 （ Cobb,1999） 。 但 是 有 時 可 以 依 靠 直 覺 和 天 性 會 有 更 好 的 解 題 策 略，甚 至 運 用 電 腦 可 以 更 方 便 或 更 真 實 地 加 以 模 擬 情 境，這 時 經 驗 法 則 或 捷 思 法 則 是 非 常 需 要 的。在 問 題 情 境 中，採 用 類 比、與 他 人 討 論 並 由 不 同 的 角 度 看 待 問 題、建 立 模 式 解 釋 所 研 究 系 統 的 行 為 等 捷 思 法 解 決 所 遇 到 的 問 題，這 些 策 略 有 時 確 實 可 以 立 即 找 到 解 決 策 略 ， 但 有 時 卻 無 法 成 功 解 答 。 所 以 NCTM（ 2000）明 白 揭 示「 數 學 推 理 是 經 由 溝 通 來 組 織 ， 溝 通 可 使 老 師 及 學 生 的 數 學 條 理 更 清 晰，使 用 數 學 語 言 能 更 精 確

地 表 達 數 學 概 念 … … 」，在 ㄧ 般 協 商 交 談 中，參 與 者 經 由 討 論 而 願 意 用 另 ㄧ 新 的 角 度 去 看 待 事 物，並 且 樂 於 提 出 疑 問，同 時 接 受 不 同 意 見 的 質 問 （ Berkowitz & Gibbs,1983） 。 馬 秀 蘭 （ 2005） 研 究 證 實 ， 學 生 在 教 師 的 引 導 下 ， 用 匿 名 方 式 在 網 路 討 論 板 上 ， 可 經 由「 小 組 」討 論 激 發 出 多 元 的 解 題 及 豐 富 的 推 理 過 程，並 能 說 明 小 組 合 作 推 理 時，同 儕 之 間 的 認 知 產 生 衝 突 或 贊 同 時 所 呈 現 的 「 協 商 交 談 」 類 型 。 學 校 課 程 越 來 越 強 調 學 生 對 資 料 蒐 集、資 料 分 析 後 的 數 學 推 理，以 及 對 解 決 問 題 的 推 理 能 力、處 理 資 訊 以 及 解 釋 資 料、量 化 和 結 果 （ English,Charles & Cudmore,2000 ； Greer,2000 ； NCTM,2000； Lajoie1998； Moore,1998； Shaughnessy, Garfield & Greer,1996） 。 我 們 生 活 在 數 學 世 界 ， 無 論 什 麼 時 候 購 物 或 填 寫 表 格，我 們 都 需 要 依 靠 數 學 理 解 能 力。當 學 生 若 能 將 所 學 得 的 數 學 概 念 相 互 連 結 ， 那 麼 他 們 就 能 對 數 學 知 識 有 更 深 一 層 的 理 解 ， 以 及 有 較 長 久 的 概 念 保 留 與 應 用 。 教 育 部 （ 2003 ） 在 學 校 教 育 的 課 程 及 教 學 法 有 著 顯 著 的 改 變。在 落 實 以 兒 童 為 本 位 的 觀 點 之 下，只 有 在 學 童 主 動 參 與 教 學 活 動，學 習 才 會 發 生；有 意 義 的 學 習，課 程 內 容 一 定 要 根 據 學 生 具 體 的 感 覺 經 驗 和 日 常 生 活 情 境，並 且 配 合 其 認 知 發 展，由 其 自 然 的 想 法 開 始 ， 逐 步 聯 結 到 形 式 的 知 識 ，

是 故 解 題 （ problem solving） 和 推 理 （ reasoning） 是 當 今 教 育 的 主 流。針 對 教 育 改 革 的 一 個 關 鍵 因 素 是 有 目 的 解 決 問 題 ， 瞭 解 問 題 的 上 下 脈 絡 ， 來 促 進 學 生 進 行 與 資 料 相 關 的 數 學 推 理 （ Watson & Moritz,2000 ; Burrill & Romberg,1998） 。 如 同 Mokros 和 Russell（ 1995）指 出 平 均 數 是 沒 有 意 義，除 非 運 用 在 真 實 的 數 據 中 。 學 生 需 要 瞭 解 若 沒 有 根 據 上 下 文 章 脈 絡 相 關 情 境，寫 下 數 學 算 式 或 數 字 是 沒 有 任 何 意 義。經 常 學 生 課 堂 上 學 到

的 例 子 是 教 科 書 編 輯 委 員 設 計，而 且 和 生 活 區 隔 的，同 時 學 生 很 少 被 要 求 開 發 解 題 模 式 和 組 織 、 瞭 解 資 料 的 能 力 （ Lehrer & Romberg,1996）。若 能 在 數 學 課 程 內 訓 練 學 生 培 養 推 理 技 能，在 日 後 的 生 活 中，此 技 能 將 提 供 給 學 生 基 本 面 對 問 題 與 解 決 問 題 的 能 力 ， 讓 他（ 她 ）們 能 做 出 合 理 的 判 斷 及 決 定 ， 因 此 他（ 她 ）們 就 擁 有 無 價 的 答 辯 能 力，並 且 能 對 錯 誤 的 主 張 加 以 正 確 無 誤 地 駁 斥 （ California State Board of Education,2000） 。 故 在 認 知 過 程 中 ， 鼓 勵 思 考 與 討 論 有 助 於 發 展 較 高 層 次 的 認 知（ 劉 錫 麒 ， 1993） 。 Doerr（ 1997） 的 研 究 則 指 出 學 生 以 循 環 方 式 來 建 造 模 式 ， 以 取 代 線 性 發 展 的 問 題 概 念，這 項 研 究 包 括 學 生 創 造 了 大 量 數 學 問 題 與 解 題 活 動，來 塑 造 模 式 之 建 立，最 後 可 衍 伸 說 明 提 出 問 題 的 經 過 和 預 測 推 理 策 略 的 關 係。此 類 活 動 可 以 誘 導 出 學 生 建 造 有 意 義 的 數 學 結 構 ， 然 後 修 建 、 擴 展 、 探 索 和 利 用 已 產 生 的 問 題 ， 在 上 下 文 章 脈 絡 推 展 一 系 列 的 問 題 系 統 。 現 今 電 子 媒 體 所 散 播 多 量 的 資 訊，使 得 數 學 思 考 和 問 題 解 決 更 強 烈 的 被 需 要 （ NCTM,2000） 。 如 何 建 立 一 個 學 習 環 境 ， 去 激 發 學 生 數 學 推 理 的 潛 力 ， 一 直 是 所 有 數 學 教 育 工 作 者 的 努 力 目 標。因 此 九 年 一 貫 課 程 的 數 學 目 標 提 出「 數 學 學 習 活 動 應 讓 所 有 學 生 都 能 積 極 參 與 討 論，激 盪 各 種 想 法，激 發 創 造 力，明 確 表 達 想 法，強 化 合 理 判 斷 的 思 維 與 理 性 溝 通 能 力，其 在 社 會 的 互 動 過 程 中 建 立 數 學 知 識 」（ 教 育 部，2000）。然 而，若 只 是 純 粹 以「 做 數 學 」的 形 式 去 要 求 學 生 ， 每 天 都 花 一 些 時 間 去 發 展 數 學 題 目 ， 繼 而 解 決 數 學 問 題 ， 很 容 易 就 會 覺 得 枯 躁 乏 味 ， 而 無 法 繼 續 下 去 。 因 此 為 了 誘 發 學 生 保 持「 做 數 學 」的 興 趣 ， 找 出 一 個 吸 引 他 們 願 意 從 事 活 動 的 門 路 是 需 要 的（ 馬 秀 蘭 ， 2003）。 在 此 為 了 要 吸 引 學 生 可 持 續 不 斷 進 行 推 理 解 題，可 利 用 受 多 數 學 子 喜 愛 的 網

際 網 路 ， 尤 其 學 生 喜 歡 上 電 子 佈 告 欄 去 發 表 、 MSN 聊 天 是 大 家 眾 所 皆 知 的，故 教 師 可 擅 用 此 優 勢，以 電 子 佈 告 欄 為 管 道，來 誘 發 學 生 上 網 去 進 行 數 學 活 動 ， 藉 此 減 少「 做 數 學 」的 枯 躁 及 壓 力 ， 讓 學 生 感 覺 是 在 「 玩 電 腦 」、「 上 網 路 」， 藉 此 提 昇 他 們 「 做 數 學 」 的 意 願 （ 馬 秀 蘭 ， 2004）。 馬 秀 蘭 和 林 杜 燕 （ 2004） 的 研 究 指 出 學 生 可 藉 由 網 路 蒐 集 資 料 開 始，透 過 溝 通 去 進 行 推 理 解 題 。 試 著 經 由 在 非 課 堂 上 的 學 習 樂 趣，轉 化 學 生 對 數 學 領 域 刻 板 的 印 象 ， 將 學 習 樂 趣 持 續 帶 回 課 堂 上 ， 從 中 獲 得 生 活 推 理 的 經 驗 。 基 於 以 上 眾 多 理 由，本 研 究 結 合「 生 活 經 驗 」與「 數 學 推 理 」 兩 方 面 ， 透 過 （ 1991 ） 描 述 的 「 生 活 推 理 （ practical reasoning） 」 ， 透 過 「 週 休 二 日 任 我 行 」 活 動 ， 去 探 討 國 小 高 年 級 學 童 運 用 網 際 網 路 之 協 商 溝 通，經 由 本 身 生 活 體 驗 的 休 閒 活 動，從 網 站 蒐 集 資 料、尋 找 捷 思 策 略、參 與 協 商 討 論、模 式 建 立 ， 發 表 在 電 子 佈 告 欄 上 ， 完 成 生 活 推 理 。

第 二 節 研 究 目 的

本 研 究 的 主 要 目 的 包 括 ： ㄧ 、 探 討 國 小 高 年 級 學 生 五 段 式 推 理 的 捷 思 策 略 。 二 、 探 討 學 生 的 協 商 討 論 類 型 。 三 、 探 究 學 生 模 式 建 立 的 詮 釋 循 環 。 四 、 探 究 國 小 高 年 級 學 生 運 用 網 際 網 路 的 能 力 。

第 三 節 研 究 限 制

一 、 研 究 對 象

本 研 究 樣 本 來 自 台 中 縣 大 雅 鄉 智 類 （ 78 班 ） ㄧ 所 國 民 小 學 五 年 級 學 生，其 處 於 城 鄉 交 界 處，學 生 在 校 受 過 電 腦 操 作 的 基 本 訓 練，打 字 及 上 網 蒐 集 資 料 的 能 力 尚 可 應 付 本 研 究 需 求，但 在 需 要 將 推 理 方 式 以 繪 圖 、 製 表 呈 現 時 ， 還 有 待 加 強 。

二 、 硬 體 設 備

本 校 電 腦 教 室，當 二、三 十 個 學 生 同 時 上 網 時，受 限 於 學 校 網 路 頻 寬，在 網 站 搜 尋 時 需 要 等 待 較 久 的 時 間，所 以 學 生 容 易 出 現 不 耐 煩 等 待 的 現 象，因 此 會 降 低 學 生 運 用 網 路 的 頻 率。又 因 電 腦 教 室 的 使 用 者 眾 多，學 生 存 取 相 關 資 料 時，會 有 部 份 資 料 被 其 他 使 用 者 不 小 心 刪 除，所 以 造 成 學 生 需 要 花 更 多 時 間 重 新 輸 入 。 再 者，家 長 為 顧 及 學 生 課 業 以 及 避 免 學 生 沉 迷 於 網 路 與 電 動 遊 戲，雖 然 家 裡 都 有 電 腦 及 上 網 設 備，但 家 長 會 限 制 學 生 在 家 上 網 的 時 間，無 法 隨 時 有 想 法 就 上 網 發 表，以 至 於 多 數 學 生 在 網 路 上 的 發 表 幾 乎 都 是 利 用 午 休 片 段 時 間 。

第 二 章 文 獻 探 討

本 研 究 是 利 用 網 際 網 路 來 探 討 國 小 高 年 級 學 生 進 行 生 活 推 理 之 研 究，本 章 共 分 成 四 節 討 論。第 一 節 為 思 考 與 推 理；第 二 節 為 協 商 討 論；第 三 節 為 模 式 建 立；第 四 節 為 學 生 運 用 網 際 網 路 的 能 力 。

第 一 節 思 考 與 推 理

一 、 思 考 與 推 理

Gardner（ 1983） 透 過 對 人 類 能 力 的 研 究 ， 認 為 人 類 的 能 力 應 可 包 括 邏 輯 － 數 學 智 能 （ logical-mathematical intelligence）－ 有 效 地 運 用 邏 輯 和 推 理 的 能 力。這 項 智 能 包 括 對 運 用 邏 輯 的 方 式 、 關 係 、 陳 述 、 主 張 、 功 能 及 對 其 它 相 關 抽 象 概 念 的 敏 感 性。用 於 邏 輯 -數 學 智 能 的 各 種 步 驟 包 括 分 類、分 等 、 推 論 、 概 括 、 計 算 和 假 設 檢 定 （ Campbell ＆ Martin,1995） 。 一 些 教 育 學 者 將 解 決 問 題 看 作 是 一 種 高 階 思 考 能 力 （ high order thinking） ， 並 主 張 透 過 問 題 解 決 之 思 考 歷 程 培 養 學 生 的 創 造 力 （ Sternberg & Lubart,1995） 。 英 國 牛 津 技 巧 教 學 計 劃 （ The Oxford shire Skill Program， 1988） 是 以 促 進 兒 童 思 考 能 力 為 目 的。把 思 考 定 義 為 個 體 從 事 解 決 問 題 時 的 心 智 活 動，其 內 涵 包 括 批 判 思 考、創 造 思 考、推 理 思 考 和 問 題 解 決。Guilford （ 1967）視 推 理 是 一 種 心 理 能 力，認 為 推 理 與 收 斂 思 考 有 關，此 種 思 考 形 式 是 個 體 在 思 考 解 決 問 題 時，根 據 已 有 知 識，循 邏 輯 規 則 去 尋 求 唯 一 的 正 確 答 案 。

Krulik 和 Rudnick（ 1993） 中 提 出 思 考 （ thinking） 定 義 是「 從 給 予 的 一 組 資 訊 中 ， 推 斷 出 一 個 合 理 的 結 論 」， 兒 童 必 須

在 問 題 的 情 境 中 ， 從 抽 象 的 個 別 元 素 來 臆 測 多 種 可 能 的 解 決 方 案 ， 然 後 有 能 力 去 證 實 並 解 釋 他（ 她 ）所 得 到 的 結 論 ， 對 兒 童 而 言 ， 這 個 過 程 可 以 重 新 組 合 舊 知 識 ， 因 而 產 生 新 知 識 。

Krulik 和 Rudnick（ 1993） 指 出 何 謂 推 理 （ reasoning） ， 推 理 是 思 考 的 歷 程 中，高 於 回 憶 之 層 次，其 包 含 基 本 的（ basic） 思 考 、 批 判 性（ critical）思 考 ， 以 及 創 造 性（ creative）思 考 ， 茲 以 圖 2-1 說 明 。 回憶性（recall） 基本的（basic） 批判性 （critical） 創造性 （creative） 推理 （reasoning） 高層次 （Higher-order） 包含幾乎全自 動會自然反射 的思考技能。 具有原創性和有效 性，並擅於發明， 能產生精緻複雜之 思考能力。 對遭遇到的情境或問 題，具審查、欣賞或 評估的思考能力 對數學概念的理 解，可運用於問 題及日常生活中 圖 2-1 思 考 層 次 的 階 級 圖 其 中 基 本 的 思 考 包 括 對 於 數 學 概 念 的 理 解，如：加 法、減 法、 乘 法 和 除 法，不 但 能 夠 運 用 在 問 題 上，而 且 能 夠 運 用 在 學 校 或 日 常 生 活 中。一 般 認 為，學 生 的 數 學 計 算 經 驗 應 該 來 自 實 際 情 境 所 給 予 的 真 實 資 料 ， 給 予 機 會 來 瞭 解 數 學 概 念 、 統 計 呈 現 和 規 則 （ Garfield & Gal,1999； Burrill & Romberg,1998） 。 這 樣 經 驗 可 促 使 學 生 把 自 己 當 作 數 學 問 題 內 的 主 角，讓 他 們 可 以 真 實 世 界 的 問 題 來 做 數 學 （ Greer,2000； Moore,1998） 。

批 判 性 思 考：是 對 所 遭 遇 到 的 問 題 或 情 境，具 審 查、欣 賞 或 評 估 的 思 考 能 力 。 此 層 次 所 包 含 的 技 能 是 ： 聚 焦（ focusing）、 蒐 集（ gathering）、確 認（ validating）、分 析（ analyzing）、 回 憶 （ remembering） 和 結 合 （ associating） 。

緻 且 複 雜 的 思 考 能 力 。 此 技 能 包 含 綜 合 概 念 （ synthesizing ideas）、產 生 概 念（ generating ideas）和 應 用 概 念（ applying ideas） 。 Coles 和 Robinson（ 1989） 認 為 推 理 思 考 兼 具 批 判 性 思 考 和 創 造 性 思 考 的 思 考 模 式，批 判 性 思 考 是 指 能 檢 核、連 結 和 評 鑑 某 一 情 境 或 問 題 的 各 個 面 相 ， 且 能 集 中 問 題 的 焦 點 ， 以 及 能 蒐 集、組 識 和 分 析 資 訊。另 外 能 連 結 先 前 已 學 過 的 經 驗，決 定 答 案 的 合 理 性 ， 以 及 能 提 出 有 效 的 結 論 。 創 造 性 思 考 是 指 一 個 想 法 ， 具 有 原 創 性 和 有 效 性 ， 並 善 於 發 明 ， 能 產 生 精 緻 複 雜 之 思 考 方 式 。 具 有 創 造 性 思 考 的 人 ， 能 夠 綜 合 其 想 法 ， 產 生 創 意 ， 以 及 運 用 概 念 ， 以 解 決 問 題 。 而 所 謂「 解 決 問 題 」， 並 不 是 指 解 決 類 似 數 學 問 題 中「 文 字 題 」或「 應 用 問 題 」而 已 ， 文 字 題 只 是 練 習 題 （ exercise）或 是 習 題，用 以 解 釋 已 教 過 的 觀 念、技 巧 或 是 計 算 的 過 程 。 Coles 和 Robinson（ 1989） 則 進 一 步 解 釋 ， 批 判 思 考 屬 於 分 析 性 質，而 創 造 思 考 則 偏 重 發 散 歧 異 性，兩 者 所 示 均 為 推 理 思 考 ， 且 為 完 成 問 題 解 決 所 必 須 。 其 關 係 如 圖 2-2 所 示 。 問題解決 創造性思考 推理性思考 批判性思考

圖 2-2 問 題 解 決 與 思 考 之 關 係 （ Coles & Robinson,1989） Fisher（ 1990）也 認 為 問 題 解 決 是 應 用 性 的 思 考，與 批 判 思 考 和 創 造 思 考 三 者 並 立。張 玉 成（ 1993）則 指 出 推 理 思 考 包 含「 理 解 」、「 應 用 」及「 分 析 」等 三 項 能 力 為 主 要 內 涵。其 中「 理 解 」

技 巧 共 分 成 ： 分 類 思 考 、 歸 納 思 考 、 演 繹 思 考 、 預 測 思 考 和 預 測 結 果 意 義。解 題 的 思 考 過 程 當 中，解 題 者 應 建 立 其 論 點，並 可 以 提 出 支 持 的 論 據。學 童 應 該 有 能 力 以 系 統 化 地 處 理 解 決 問 題，並 能 養 成 有 條 理 的 推 理 思 考 習 慣，獨 立 思 考 就 是 解 題 者 本 身 獨 自 去 做 推 理 及 解 決 問 題 的 歷 程 。

近 年 美 國 國 家 研 究 院 (The National Academies ,2001)的 研 究 報 告 指 出，學 生 的 數 學 能 力 就 如 同 五 股 相 互 交 織 的 繩 索，五 種 能 力 必 須 同 時 地、統 整 地 發 展，方 能 成 就 其 功 能，五 股 數 學 能 力 包 括 ： 1.概 念 的 理 解 ： 理 解 數 學 概 念 、 運 算 及 關 係 。 2.流 暢 的 運 算 能 力 ： 彈 性 地 、 準 確 地 、 有 效 地 及 適 當 地 執 行 程 序 技 巧 。 3. 選 擇 策 略 的 能 力：能 形 成、表 徵 及 解 決 數 學 問 題。 4.適 當 的 推 理 能 力 ： 邏 輯 思 維 、 反 思 、 解 釋 及 辯 證 的 能 力 。 5.具 生 產 力 的 數 學 性 向：習 慣 性 的 傾 向 視 數 學 是 有 知 覺 的 及 有 價 值 的。這 五 股 能 力 在 數 學 能 力 的 發 展 中 是 同 等 重 要 的 ， 且 其 間 的 關 係 並 不 是 獨 立 的，而 是 相 互 依 賴 的，它 們 表 徵 了 一 個 複 雜 全 體 的 不 同 面 向，形 成 數 學 能 力 的 定 義。首 先，有 能 力 的 學 生 應 能 瞭 解 和 應 用 重 要 的 概 念，他 們 也 能 從 容 地 計 算、形 成 問 題 和 解 決 問 題，並 能 解 釋 他 們 的 推 理 過 程。最 後，他 們 能 對 自 己 的 數 學 推 理 能 力 有 信 心，並 視 數 學 為 有 知 覺 的 及 有 價 值 的 學 科，如 此 才 能 使 這 樣 的 數 學 知 識 具 有 生 產 力 （ 引 自 黃 志 賢 ， 2003） 。 數 學 推 理 就 是 數 學 的 核 心，也 就 是 數 學 的 基 礎，需 要 發 展 仔 細、簡 潔 且 可 理 解 的 證 明。學 生 先 要 明 白 在 獲 得 結 論 之 前，必 須 先 有 假 設 ， 而 他（ 她 ）們 必 須 要 有 能 力 確 認 假 設 是 否 獲 得 證 實 ， 學 生 必 須 發 展 出 邏 輯 思 考 的 習 慣，並 且 能 理 解 和 質 疑 所 有 的 假 設 （ California State Board of Education,2000） 。

傳 統 上 ， 推 理 是 指 將 資 料 察 覺 像 「 用 數 字 處 理 事 件 」 （ Cobb,1999） ， 資 料 不 被 看 做 是 根 據 特 殊 情 境 下 所 做 的 決 定 。

有 時 直 覺 和 天 性 可 提 供 更 好 的 指 南，有 時 電 腦 可 以 將 問 題 更 方 便 或 更 加 可 靠 地 模 擬，有 時 經 驗 法 則 或 捷 思 法 則 是 非 常 是 需 要 的 。 人 們 使 用 二 種 相 當 不 同 的 數 學 推 理：在 一 般 情 況 下 運 用 已 知 慣 例 或 規 則 解 決 標 準 問 題；面 對 特 殊 問 題 時 會 使 用 數 學 策 略，例 如 轉 譯 成 其 他 方 式 、 尋 找 樣 式 、 類 化 推 理 、 歸 納 、 簡 化 、 探 索 具 體 案 件 、 提 取 去 除 毫 不 相 關 的 細 節 去 解 題 （ Forman & Lynn ,1995） 。

二 、 推 理 的 捷 思

推 理 策 略，在 認 知 心 理 學 上，一 般 認 為 有 兩 種 主 要 策 略，即 演 算 法（ algorithm）和 捷 思 法（ heuristic）（ Sternberg,1999）。 以 下 就 此 兩 種 策 略 ， 分 別 說 明 如 下 ：

（ 一 ） 演 算 法 （ algorithm）

演 算 法 是 一 種 隨 機 需 求，途 徑 的 選 擇 不 需 任 何 特 殊 知 識，將 所 有 可 能 解 決 的 方 法 一 一 列 出，直 到 找 出 正 確 答 案 為 止，雖 然 一 定 能 找 到 正 確 答 案 ， 但 其 效 率 非 常 低 。 在 韋 氏 辭 典 定 義 為：「 在 有 限 步 驟 內 解 決 數 學 問 題 的 程 序 」。 例 如：算 出 兩 個 自 然 數 的 最 大 公 因 數 的 演 算 法，稱 為 歐 幾 里 得 演 算 法，或 是 排 列 資 料 順 序 的 演 算 法，統 稱 為 排 序 演 算 法。一 般 而 言 ， 演 算 法 具 有 下 列 五 個 特 性 （ Cormen,Leiserson & Rivest, 2002） ： 1.準 確 描 述 的 輸 入 （ input） ： 演 算 法 通 常 是 接 受 一 些 輸 入 值，加 以 處 理 或 運 算，而 產 生 一 些 輸 出 值，這 些 輸 入 必 須 有 清 楚 的 型 別 和 個 數 描 述，例 如：前 面 提 到 的 歐 幾 里 得 演 算 法，需 要 兩 個 自 然 數 作 為 輸 入 。 2. 每 一 指 令 必 須 具 有 明 確 性 （ definiteness） 及 有 效 性 （ effectiveness） ， 且 要 求 清 楚 而 不 造 成 混 淆 ， 並 且 能 讓 人 們 用 紙 筆 來 執 行 。 3. 正 確 性 (correctness)： 演 算 法 既 是 以 解 題 為 目 的 ， 所 以 我 們 必 須 能 夠

證 明 演 算 法 可 以 正 確 地 解 決 問 題 。 4.有 限 性（ finiteness）： 演 算 法 必 須 在 有 限 步 驟 內 結 束。通 常 我 們 不 需 要 知 道 執 行 步 驟 的 確 實 數 目，而 是 它 的 上 限，也 就 是 說，我 們 比 較 想 知 道 執 行 此 演 算 法 的 步 驟（ 或 時 間 ）不 會 超 過 某 個 上 限，這 對 我 們 了 解 並 評 估 演 算 法 相 當 重 要 。 5.結 果 的 描 述 和 輸 出（ output）： 例 如 歐 幾 里 得 演 算 法 的 輸 出 ， 是 兩 個 自 然 數 的 最 大 公 因 數 ， 也 是 自 然 數 。

（ 二 ） 捷 思 法 （ heuristics）

問 題 推 理 過 程 所 需 的 處 理 技 巧，來 自 於 最 初 問 題 所 給 予 的 一 些 隱 含 資 訊。每 個 處 理 過 程 包 含 一 連 串 心 智 活 動 和 實 務 活 動，將 不 相 關 的 資 訊 連 結 成 完 整 模 式，稱 之 為 推 理 的 捷 思 或 捷 思 樣 式 。 捷 思 法 是 一 種 心 理 的 捷 徑，可 幫 助 我 們 突 破 工 作 記 憶 的 限 制，同 時 運 作 許 多 工 作，推 理 的 捷 思 包 含 了 非 正 式 的、直 覺 的、推 測 的 策 略，這 些 策 略 有 時 確 實 可 以 引 導 我 們 找 到 有 效 的 解 答，但 有 時 卻 未 必 如 此 （ Schoenfeld , 1985） 。 以 下 列 出 學 者 們 對 解 決 問 題 所 提 出 的 各 種 捷 思 法 則 。 根 據 Dunbar（ 1998）、 Nickerson（ 1994）、 Larkin 和 Simon（ 1987） 舉 出 問 題 解 決 的 捷 思 法 為：1.任 意 選 擇 下 一 個 步 驟。2.分 解 問 題 或 建 立 次 目 標 （ problem decomposition or subgoaling） 。 3. 倒 向 解 題 法 （ working backwards ） 。 4. 爬 山 解 題 法 （ ｈ ill climbing） 。 5.方 法 － 目 的 分 析 法 （ means-end analysis） 。 6. 順 向 解 題 法 （ forward chaining） 。 7.藉 由 圖 表 來 解 決 問 題 。 8. 類 比 （ analogy） 。 9.混 合 的 策 略 （ mixing strategies） 。

Sternberg（ 1999） 提 出 解 決 問 題 的 四 步 驟 捷 思 法 則 是 ： 1. 方 法 － 目 的 分 析 （ means-end analysis） ： 其 常 被 用 來 在 問 題 解 決 中 ， 去 縮 短 問 題 現 況 與 終 點 目 標 之 距 離 。 2.倒 推 法 （ working backwards）：通 常 的 問 題 解 決 方 法 是 順 向 問 題 解 決 法（ working

forwards），但 有 些 問 題 卻 適 合 於 從 目 標 倒 向 問 題 解 決，如 數 學 證 明 題 ， 其 方 法 是 從 未 知 推 算 到 已 知 ， 可 以 避 免 走 進 死 巷 的 機 會 ， 若 能 與 順 向 問 題 解 決 法 並 用 ， 效 果 更 佳 。 3. 類 比 法 （ analogy） ： 指 利 用 一 個 舊 問 題 的 解 決 方 法 與 經 驗 ， 去 解 決 另 一 個 有 類 比 關 係 的 問 題。如 將 停 車 位 類 比 成 升 降 電 梯，則 停 車 位 可 以 立 體 化 ， 突 破 土 地 恆 定 之 特 性 ， 順 利 解 決 停 車 位 不 足 之 問 題 。 4.繪 圖 （ diagram） ： 視 覺 符 號 有 助 於 顯 示 整 個 關 係 的 外 貌 與 問 題 結 構 的 關 係，可 以 傳 達 很 多 概 念，因 此 繪 圖 有 助 於 問 題 解 決 。 其 他 學 者 宣 稱 與 上 述 類 似 的 捷 思 法 尚 有 Kellogg（ 1995） 的 方 法 － 目 的 分 析 法 （ means-end analysis） 、 Reed（ 1992） 的 的 倒 推 法 （ working backward） 、 Anderson（ 1990） 的 個 別 差 異 降 低 法（ difference reduction method）， 其 為 選 擇 適 當 的 操 作 ， 以 降 低 目 前 狀 態 與 目 標 狀 態 間 的 差 異，與 前 述 手 段 － 目 的 分 析 法 有 異 曲 同 工 之 妙。解 決 問 題 的 策 略 都 在 於 找 出 並 減 少 已 知 與 目 標 間 的 差 異 性 ， 以 致 獲 得 問 題 的 解 法 。 而 Krulik 和 Rudnick（ 1993） 特 別 強 調 推 理 的 捷 思 ， 他 們 主 張 發 現 問 題 尋 求 解 決 途 徑 時，會 有 以 下 的 五 段 式 推 理 的 捷 思 ， 即 ： 1.定 焦 （ focus）： 意 義 超 過 僅 僅 確 認 手 邊 資 訊 ， 而 是 觀 察 其 資 訊 ， 澄 清 其 來 源 、 屬 性 、 術 語 ， 然 後 讓 問 題 的 關 鍵 更 加 清 楚 。 2. 分 析（ analyze）： 為 了 讓 資 料 有 意 義 ，我 們 開 始 組 織 資 料，依 資 料 屬 性 分 類 對 照，要 適 當 的 組 織 技 巧 如 公 式、表 格 或 畫 圖 ， 以 回 憶 其 舊 經 驗 來 推 測 結 果 。 3. 解 答（ resolve）： 學 生 組 織 和 分 析 情 況 後 ， 能 勾 勒 出 結 果 和 決 定 最 後 答 案 。 4. 證 實（ validate）：當 答 案 出 現 時，並 不 代 表 活 動 結 束 。

答 案 必 須 經 過 測 試 其 正 確 性，最 後 學 生 必 須 有 勇 氣 去 解 釋 他 得 到 的 結 論 ， 允 許 變 換 結 論 ， 同 時 協 助 建 立 溝 通 技 巧 。

5. 反 射（ reflect）： 達 到 證 實 的 答 案 和 解 釋 結 論 後 ， 還 有 可 以 擴 展 思 考 的 空 間 ， 學 生 可 以 有 新 的 創 造 性 思 考 。

五 段 式 推 理 的 捷 思 過 程 非 固 定 連 續 程 序，而 是 來 來 回 回、斷 斷 續 續 出 現 （ Krulik & Rudnick,1993 ; Ma, 2005b） ， 在 解 題 的 五 個 階 段，各 有 各 的 目 標，同 時 需 要 培 養 其 相 關 的 子 技 能。五 段 式 推 理 的 捷 思 過 程 與 其 子 技 能 如 圖 2-3 所 示 ： 1. 定 焦 （focus） 2. 分 析 （analyze） 3. 解答 （resolve） 4. 證 實 （validate） 5. 反 射 （reflect） 1a.確認(identify)手邊資訊 1b 觀察(observe)蒐集資訊 1c.澄清(clarify)來源、屬性、術語 2a.組織(organize)資訊 2b.依屬性分類(classify) 2c.回憶(recall)適當資訊 2d.公式化連接(formulate linkages) 2e.以適當符號呈現 (represent) 2f.推測(conjecture)結果

3a.勾勒出結果(draw final conclude) 3b.決定答案(determine) 4a.測試(test)結論 4b.解釋(explain)結論 4c.陳述(verbalize)結論 5a.產生(generate)新問題 5b.綜合(synthesize)情境 5c.遷移(apply)情境

5d.發現另ㄧ趨近(discover alternate approaches)

郭 有 遹（ 1994）也 提 出 問 題 解 決 的 五 個 步 驟：1.瞭 解 與 思 考。 2.探 索 與 計 畫 。 3.選 擇 策 略 。 4.尋 找 答 案 。 5.省 思 與 擴 展 問 題 。 它 們 並 不 是 獨 立 的 ， 也 不 是 接 連 依 序 完 成 的 ， 當 學 生 解 決 問 題 時，常 常 在 這 些 階 段 或 步 驟 徘 徊，來 來 回 回 隨 時 修 正 他 的 想 法 或 計 畫 ， 有 時 候 無 法 查 覺 其 行 動 之 改 變 。 其 與 上 述 Krulik 和 Rudnick（ 1993） 所 強 調 的 五 段 式 推 理 的 捷 思 有 其 相 似 共 通 處 。 因 此 本 研 究 將 採 用 Krulik 和 Rudnick （ 1993） 的 五 段 式 推 理 的 捷 思 ， 分 析 學 生 的 推 理 過 程 。

第 二 節 協 商 討 論

對 大 部 分 的 人 而 言，數 學 語 言 只 是 一 種 人 與 人 之 間 互 相 溝 通 的 工 具，例 如：雞 排「 3」塊「 100」元、電 動 玩 具 要「 2580」元 、 捷 運「 還 要 5 分 鐘 」才 會 來 、 文 具 店「 全 面 七 五 折 」、 百 貨 公 司 「 清 倉 三 折 」、 便 利 超 商「 第 二 件 八 折 」、 從 台 中 到 台 北 開 車 大 約 要 「 一 個 半 小 時 」、 桌 子 的 形 狀 是 「 長 方 形 」、 … … 。 這 些 是 我 們 生 活 中 經 常 交 談 用 語，都 是 以 數 學 語 言 為 傳 達 的 媒 介。學 生 只 要 能 夠 用 簡 單 的 數 學 語 言 清 楚 地 表 達 他 們 想 要 表 達 的 事 情，能 夠 懂 得 他 人 用 數 學 語 言 所 要 陳 述 的 事 實 ， 就 達 到 傳 達 的 功 用 。 所 以 交 談 是 日 常 生 活 中 極 其 尋 常 的 經 驗，而 交 談 的 過 程 中 會 涉 及 到「 討 論 」，而 有 許 多 的 理 論 指 出「 討 論 」的 重 要 性，例 如 ： Piaget 和 Inhelder（ 1969） 便 指 出 成 熟 （ maturation） 、 物 理 世 界 經 驗 （ physical experience ） 、 社 會 互 動 （ social interaction）以 及 平 衡（ equilibration）是 影 響 人 類 認 知 發 展 的 因 素。其 中 前 三 個 因 素，最 後 需 要 透 過 個 體 的 同 化 與 調 適 的 心 理 平 衡 作 用，才 能 達 到 認 知 發 展 的 功 能，因 此 平 衡 作 用 可 說 是 四 個 因 素 中 最 重 要 的。而 同 化 與 調 適 的 心 理 需 求 則 是 起 源 於 個 體 與 外 界 互 動 過 程 中 新、舊 知 識 產 生 衝 突 造 成 的 不 平 衡 狀 態，個 體 需 要 經 由 同 化 或 調 適 重 新 產 生 平 衡 。

Piaget 主 張 社 會 專 屬 知 識 （ social-arbitrary knowledge） 包 括 語 言 、 價 值 、 規 則 、 道 德 及 符 號 系 統 ， 這 些 能 力 只 有 在 與 他 人 互 動 中 才 可 學 到（ 周 立 勳，1994）。甚 至 在 數 學 邏 輯 的 思 考 上 ， 促 使 兒 童 自 我 中 心 概 念 失 衡 以 及 提 供 回 饋 兒 童 有 效 邏 輯 觀 念，同 儕 互 動 亦 顯 得 十 分 的 重 要。同 時 相 信 如 果 同 伴 可 以 擁 有 相 似 共 同 智 能 價 值 （ intellectual values） 的 用 語 ， 而 且 能 保 留 彼 此 的 論 點（ propositions）進 行 溝 通 討 論，則 可 藉 由 同 伴 的 思 考 互 動

而 產 生 認 知 上 的 衝 突 ， 以 增 進 彼 此 的 認 知 成 長 （ Tudge & Rogoff,1989） 。 由 上 可 知，認 知 與 互 動 是 並 行 出 現 的，個 體 內 的 認 知 活 動 與 外 在 的 互 動 是 一 體 兩 面，是 故 在 學 生 認 知 過 程 中，鼓 勵 其 從 事 思 考 與 互 相 討 論 將 有 助 於 發 展 較 高 層 次 的 認 知（ 劉 錫 麒 ， 1993）。 Mercer（ 1985）將 研 究 重 心 放 在 教 室 中 的「 討 論 」對 兒 童 運 用 舊 經 驗 及 形 成 意 義 方 式 的 影 響，結 果 發 現 兒 童 能 夠 記 憶 和 理 解 的 重 要 原 因，和 教 室 中 師 生 溝 通 的 動 機、能 否 分 享 彼 此 的 理 解 內 容 有 密 切 關 係。各 式 各 樣 的 意 見，對 形 成 高 層 次 的 認 知，最 具 發 展 潛 力，據 此，在 數 學 教 學 情 境 上，教 師 應 可 安 排 學 生 進 行 思 考 與 相 互 討 論 的 活 動 ， 提 供 某 種 困 難 問 題 ， 讓 學 生 先 產 生 認 知 失 調，以 激 發 學 生 的 思 考 活 動，並 引 導 學 生 進 行 討 論 互 動，尋 求 認 知 的 平 衡 ， 促 進 認 知 的 發 展 。 此 外，根 據 李 宗 薇（ 1997）在 教 學 設 計 中 歸 納 Ausubel（ 1968） 和 Vygotsky（ 1978） 論 述 ， 認 為 教 學 上 可 行 的 社 會 建 構 觀 ， 也 就 是 強 調 社 會 支 持 、 師 生 同 儕 的 協 力 合 作 ， 而 不 是 既 不 要 教 師 ， 也 不 須 學 習 目 標 ， 聽 任 學 習 者 自 行 構 建 的 個 人 建 構 論 。 換 言 之 ， 建 構 論 是 師 生、同 儕 互 動 的 結 果，而 不 是 聽 任 學 生 自 行 摸 索，在 此 過 程 中 仍 需 教 師 隨 時 的 啟 發 、 協 助 、 指 引 。 Ma（ 2005b） 的 研 究 結 合 網 路 的 便 利 性 ， 老 師 扮 演 重 要 角 色 （ critical role） ， 去 引 導 學 生 在 小 組 間 如 何 距 焦 討 論 和 發 展 子 題，藉 此 發 展 學 生 實 務 推 理 （ practical reasoning） ， 並 善 用 五 段 式 捷 思 推 理 及 其 子 技 能 。 綜 而 言 之，建 構 觀 對 教 學 設 計 的 啟 示 如 下：1.強 調 主 動 參 與 的 學 習 過 程 ， 重 視 學 習 者 的 主 動 性 。 2.強 調「 學 習 伙 伴 」、「 同 儕 支 持 」 的 重 要 性 ， 鼓 勵 小 組 合 作 學 習 （ collaborative learning）， 透 過 討 論 、 溝 通 等 社 會 協 調 過 程 ， 達 到 知 識 分 享 ，

建 立 客 觀 的 學 習 成 果。3.教 師 的 角 色 由 知 識 傳 授 者，轉 為 提 供 鷹 架 與 社 會 支 持 的 學 習 督 促 者 或 教 練 ， 以 發 展 學 生 潛 能 。

Vygotsky 更 是 強 調 人 類 認 知 的 發 展 過 程 是 從 人 際 之 間 （ interlace personal ） 的 互 動 轉 化 為 個 體 之 內 （ intra-personal） 的 歷 程 （ Wertsch & Stone,1985） 。 即 使 是 在 激 進 的 建 構 主 義 的 理 論 架 構 之 下，在 個 體 建 構 其 對 世 界 的 理 解 過 程 中 ， 社 會 互 動 式 討 論 方 式 依 舊 扮 演 著 重 要 的 核 心 角 色 （ von Glaserfeld, 1995） 。 NCTM（ 1989）在 數 學 課 程 標 準 的 課 程 發 展 與 評 估 中 特 別 強 調 溝 通 的 能 力，在 數 學 課 程 指 出 數 學 溝 通 包 括 以 下 能 力：1.能 使 用 口 語 、 書 寫 、 具 體 、 圖 像 、 圖 表 及 代 數 方 法 模 式 化 情 境 。 2.能 指 出 與 數 學 想 法 相 關 的 物 理 材 料、圖 像 與 圖 表。3.能 反 思 及 闡 明 數 學 想 法 與 情 境。 4.能 指 出 日 常 語 言 與 數 學 語 言、符 號 的 相 關。 5. 瞭 解 表 徵、討 論、和 讀、寫 數 學 是 學 習 和 使 用 數 學 不 可 缺 少 的 一 部 分 。 Phillips（ 1985）針 對 九 歲 以 後 兒 童 的「 討 論 」發 展 深 入 研 究 後，極 肯 定 同 儕 間 的 對 話 討 論，將 有 助 於 兒 童 高 層 次 認 知 的 形 成，他 進 一 步 提 出 一 個 同 儕 小 組 對 話 的 模 式，此 模 式 包 含 五 種 兒 童 討 論 型 態 ： 1. 假 設 的 （ hypothetical ） ； 2. 經 驗 的 （ experiential） ； 3.推 論 的 （ argumentational） ； 4.操 作 的 （ operational） ； 5.解 說 的 （ expositional） 。 他 認 為 假 設 的 和 經 驗 的 兩 種 討 論 型 態 ， 會 促 使 兒 童 去 回 憶 自 己 的 舊 經 驗 和 觀 點 ， 並 且 重 新 組 織 產 生 討 論 新 話 題 。 英 國 數 學 教 育 界 深 具 影 響 力 的 Brissenden（ 1988） ， 提 出 教 室 中 師 生 及 同 儕 間 的「 討 論 」，是 任 何 年 級 數 學 課 程 的 根 本 重 點 後，為 數 學 課 程 帶 來 ㄧ 大 轉 變，運 用 語 言 去 表 達 思 想 是 很 自 然 的 反 應 ， 對 兒 童 來 說「 討 論 」是 數 學 學 習 上 的 重 要 價 值 。 談 話 是

他 們 認 識 世 界 的 方 法，兒 童 的 非 正 式 學 習，常 是 伴 隨 著 不 斷 的 談 話 而 產 生 的（ Andrews,1997）。「 討 論 」活 動 更 可 提 供 學 生 擴 展 數 學 概 念 的 機 會 ， 以 促 進 數 學 概 念 的 發 展 （ Andrews,1997 ； Vetter,1994； Cockcroft,1982）。 Clement 和 Battista（ 1990） 指 出 兒 童 在 與 他 人 的 討 論 辯 證 過 程 中，慢 慢 相 信 別 人 的 方 法 是 對 的，而 開 始 懷 疑 自 己 的 答 案，同 時 在 這 討 論 的 過 程 中，可 以 經 由 其 他 同 學 提 出 質 疑，激 盪 出 更 多 的 解 題 策 略，延 伸 他 們 的 解 題 活 動，更 在 此 分 享 思 考 的 過 程 中，無 形 中 增 加 兒 童 擴 展 數 學 概 念 的 學 習 機 會 ， 進 而 調 整 謬 誤 的 概 念 ， 這 是 在 傳 統 教 學 中 較 少 發 生 的 。 陸 續 有 許 多 位 學 者 分 別 從 不 同 的 面 向 去 探 討 數 學 教 室 中 的 「 討 論 」活 動 ， 對 於「 討 論 」在 數 學 學 習 上 的 價 值 也 獲 得 了 實 徵 證 明 （ 如 ： Andrew,1997 ； Vetter,1994 ； Mercer,1985 ; Phillips,1985） 。

Yackel & Cobb（ 1996） 指 出 ， 社 會 數 學 常 規 是 以 建 構 論 、 符 號 互 動 論 為 其 基 礎 架 構，一 般 社 會 常 規 提 供 學 生 參 與 概 念 探 索 的 機 會，並 且 促 進 學 生 在 課 室 中 進 行 有 效 的 討 論，然 而 社 會 數 學 常 規 則 是 特 別 關 於 數 學 學 習 的 社 會 常 規。透 過 社 會 數 學 常 規 的 建 立，將 促 進 學 生 數 學 概 念 的 思 考 與 提 升 討 論 的 品 質，並 且 增 進 有 意 義 的 數 學 協 商。國 外 學 者（ Kazemi & Stipek,2001；Pang,2001； Rasmussen & King,1998； McClain & Cobb,1997） 等 人 的 相 關 實 證 研 究 顯 示，透 過 社 會 數 學 常 規 的 建 構 與 再 協 商，可 以 提 高 學 生 主 動 探 討 問 題 的 意 願，並 且 幫 助 學 生 發 展 數 學 解 題 能 力，同 時 尋 求 不 同 解 題 策 略，願 嘗 試 採 用 各 種 解 題 策 略；在 社 會 數 學 常 規 的 發 展 上，教 室 裡 的 教 師 經 常 扮 演 著 積 極 的 引 導 角 色，針 對 不 同 的 情 境 而 有 不 同 的 引 導 策 略 。 另 外， Vetter（ 1994）也 強 調 兒 童 同 儕 小 組 間 的 討 論 有 助 於 學 生 建 立 學 習 的 連 結 脈 絡 ， 讓 兒 童 能 更 有 效 能 的 理 解 數 學 ， 而

Davis、Carolyn 和 Nel （ 1990）的 研 究 結 果，顯 示 透 過 小 組 運 作 對 於 提 高 學 生 的 解 題 能 力 有 驚 人 的 效 果 。 國 內 學 者 馬 秀 蘭 （ 2005b） 的 研 究 也 指 出 經 過 小 組 協 商 討 論 後 ， 可 產 生 易 讓 人 瞭 解 與 有 效 之 合 作 成 果 。 單 獨 一 次 的 交 談 是 不 會 有 學 習 效 果。協 商 討 論 的 類 型 是 有 助 於 提 升 學 習 效 果 （ Wegerif, 1996； Fisher,1992） 。 在 成 功 的 協 商 交 談 中，參 與 者 可 能 產 生 釋 義、證 實 需 求 和 澄 清，並 願 意 用 一 種 新 的 方 式 去 看 事 物，提 出 質 疑，開 闊 胸 襟 去 看 待 與 他 們 自 己 衝 突 的 看 法，且 樂 於 他 人 的 提 問；並 且 不 逃 避 質 問 和 尊 重 其 它 批 評 的 想 法 （ Berkowitz & Gibbs,1983） ， 典 型 的 措 辭 例 如 ： 「 我 進 一 步 想 … … 」、「 我 能 瞭 解 你 的 意 思 … … 」、「 我 能 區 分 兩 者 之 間 … … 」、「 進 一 步 思 考 … … 」、「 你 想 說 的 是 … … 」、「 我 同 意 … 也 是 一 種 結 論 」 、 「 你 錯 過 一 個 重 點 … … 」 。 Teasley （ 1991 ） 提 出 學 生 在 討 論 板 上 的 進 行 「 協 商 的 （ transactive） 討 論 」 ， 如 表 2-1 所 示 ： 表 2-1 協 商 討 論 類 型 及 說 明 類型 協商的進行、活動（move） 回饋需求

（feedback request） 你瞭解或同意我的立場（position） 釋義 （paraphrases） 我能瞭解及解釋你的立場或推理 證實需求 （justification request） 為甚麼你那樣說? 並置 （juxtaposition） 你的立場是…，我的立場是…… 完成 （completion） 我能完成或繼續你未完成的推理

類型 協商的進行、活動（move） 澄清 （clarification） 不!我正設法完成的是下列…… 精煉、改善 （refine） 我能努力或質化我的立場去辯護你的批評 擴展 （extension） 這裡是我進一步的思想或努力 批評 （critique） 你的推理缺少了一個重要的區分或涉及到一個不 可靠的假設 整合一體 （integration） 我們能結合我們的立場到一個相同的觀點 近 來 在 發 展 學 生 協 商 討 論 交 談 相 關 研 究 中，則 有 越 來 越 多 的 學 者 將 興 趣 投 注 在 同 儕 間 互 動 的 學 習 之 上 （ Webb, 1989 ； Hertz-Lazarowitz,1992） 。 從 教 育 心 理 學 的 角 度 而 言 ， 同 儕 之 間 的 互 動 能 提 供 一 個 互 相 支 援 的 環 境，此 環 境 可 以 鼓 勵 學 生 去 重 新 經 驗 及 檢 視 新 的 想 法 ， 批 判 性 地 重 新 解 釋 他 們 自 己 原 本 的 概 念。當 同 學 們 可 以 一 起 進 行 工 作，用 同 儕 之 間 特 殊 的 用 語 來 進 行 問 題 解 決 ， 可 使 學 生 能 夠 藉 此 明 瞭 組 員 哪 裡 出 錯 了 ？ 哪 裡 不 瞭 解 ？ 哪 裡 不 清 楚 ？ 並 能 對 困 難 的 詞 彙 進 行 轉 譯 來 傳 達 給 其 他 組 員 （ Damon & Phelps,1989） 。

所 以 要 藉 著 進 行「 解 題 活 動 」， 由 具 體 活 動 到 抽 象 思 考 ， 由 粗 糙 想 法 到 精 緻 解 法，由 解 題 草 稿 到 算 式 記 錄，由 兒 童 格 式 到 成 人 格 式，這 些 發 展 的 促 進 和 提 升，則 需 藉「 群 體 討 論 」來 達 成（ 黃 敏 晃，1997）。Ian、Janise、Joseph、HÄuseyin 和 Wenye （ 1998） 指 出：傳 統 的 數 學 教 學 往 往 只 提 供 學 生 如 何 演 算 與 執 行，受 制 於 情 境 ， 因 此 侷 限 了 學 生 交 互 討 論 數 學 的 機 會 。 可 知 當 進 行 數 學「 討 論 」， 在 學 生 提 出 自 己 想 法 的 說 明 、 解

釋，並 接 受 同 儕 質 疑、挑 戰 時，一 方 面 學 習 如 何 將 別 人 的 意 見 意 義 化，重 新 檢 視 自 己 原 來 的 想 法，使 自 己 的 考 量 更 加 周 密；另 一 方 面 則 可 相 互 激 盪，誘 發 多 樣 化 的 解 題 途 徑，延 伸 學 生 下 一 個 問 題 的 產 生，可 增 加 多 方 面 的 觀 點，協 助 認 知 發 展，這 是 由 教 師 直 接 講 述 的 教 學 中，無 法 獲 得 的 學 習 歷 程。綜 上 所 言，協 商 討 論 在 兒 童 的 認 知 發 展 過 程 中 確 實 有 其 重 要 性，但 同 時 也 有 其 不 足 的 地 方，在 教 室 裡 的 討 論 無 可 避 免 的 學 生 會 受 到 同 儕 壓 力 或 教 師 權 威 的 影 響，所 以 討 論 的 場 地 可 移 到 不 受 時 空 限 制，不 受 他 人 影 響 的 網 路 上 進 行 。

第 三 節 模 式 建 立

上 下 文 章 脈 絡 的 模 式 建 立 本 質 對 學 生 的 理 解 發 展 有 一 重 大 影 響 （ Burrill & Romberg ,1998； Mokros & Russell ,1995 ; Watson & Moritz,2000） 。 在 此 模 式 建 立 不 是 以 看 到 一 個 對 一 個 指 定 的 問 題 的 解 決 辦 法，而 是 寧 可 以 發 展 過 去 學 習 的 舊 經 驗、思 維 和 運 用 已 產 生 的 問 題，顯 現 出 的 新 概 念，而 產 生 相 關 的 問 題 系 統 （ Helen ＆ Lyn , 2003） 。 模 式 建 立 意 義 包 含 兩 個 標 準 ： ㄧ 是 要 以 學 生 身 歷 其 境 的 真 實 經 驗 而 產 生 的 問 題，而 不 是 由 不 相 干 的 成 人 設 計 出 與 生 活 無 關 的 任 務。二 是 此 模 式 必 須 可 讓 學 生 發 展 出 具 有 潛 在 意 義 的 數 學 概 念 。

學 生 可 用 描 述（ describe）、闡 明（ explain）、臆 測（ predict）

或 其 他 類 似 的 系 統 的 方 法 ， 發 展 模 式 建 立 （ Doerr,1997； Lesh & Doerr,2000 ） 。 面 對 學 生 開 發 問 題 系 統 的 過 程 須 從 引 起 興 趣 開 始，特 別 建 造 此 模 式 結 構 是 基 於 學 生 對 數 學 的 興 趣 所 開 發 的 一 系 列 相 關 問 題，此 相 關 問 題 可 提 供 我 們 去 瞭 解 學 生 在 實 際 生 活 事 件 （ 如 ： 日 常 生 活 中 的 購 物 、 餐 飲 、 電 影 票 、 搭 車 、 折 扣 … … 等 日 常 消 費 過 程 ）的 數 學 推 理 和 解 決 問 題 情 境 的 能 力 ， 他（ 她 ）們 的 推 理 包 括 發 展 相 關 問 題 系 統、選 擇 解 釋 問 題 的 方 法 和 數 學 式 表 示 法 ， 並 且 形 成 多 樣 的 詮 釋 循 環 （ cycles of interpretation ） （ Helen ＆ Lyn , 2003） 。 每 一 個 模 式 建 立 發 展 過 程，包 含 多 樣 化 的 詮 釋 循 環，學 習 者 可 能 在 與 同 儕 交 互 作 用 反 覆 精 練 和 重 建 下 ， 可 以 描 述 （ descriptions）、預 測 （ conjectures）、說 明（ explanations） 和 辯 解 （ justifications） ， 並 與 同 組 組 員 相 處 愉 快 （ Lesh ＆ Hoover & Kelly,1992） 。 小 組 所 建 立 的 模 式 ， 是 以 多 階 段 的 詮 釋 循 環 來 增 加 學 生 對 任 務 的 穩 定 性 和 分 辨 學 生 的 雜 亂 的 反 應，每

個 循 環 代 表 學 生 思 考 的 轉 移，提 供 具 影 響 力 的 資 料 類 型，幫 助 學 生 數 學 思 考 的 成 長 。 Doerr（ 1997） 研 究 指 出 學 生 從 問 題 概 念 的 發 展 是 非 線 性 的 （ a nonlinear） ， 而 是 以 循 環 方 式 來 建 造 模 式 ， 這 項 研 究 包 括 創 造 大 量 數 學 問 題 來 塑 造 模 式 建 立 的 活 動，最 後 達 到 衍 伸 說 明 問 題 和 推 理 預 測 的 關 係 。 因 而 ， 此 類 活 動 學 生 以 非 例 行 性 （ non routine） 的 問 題 情 境 ， 開 始 去 誘 導 出 有 意 義 的 數 學 結 構 ， 然 後 修 建 、 擴 展 、 探 索 和 應 用 已 發 展 的 結 構 在 其 它 相 關 類 型 的 問 題 ， 或 利 用 已 產 生 的 問 題，在 上 下 文 章 脈 絡 推 展 一 系 列 的 問 題 系 統 。 這 些 活 動 是 需 要 學 生 受 過 數 學 基 本 概 念 訓 練，例 如 先 學 會 學 校 數 學 課 程 內 的 計 數 、 測 量 、 比 率 、 比 例 、 幾 何 形 狀 和 基 本 數 的 四 則 運 算 操 作 後，學 生 可 以 解 決 學 校 一 步 或 二 步 的 算 術 過 程 之 數 學 問 題 （ English & Halford,1995） 。 然 後 再 利 用 此 舊 經 驗 ， 促 使 學 生 建 造 有 感 覺 的 情 境 ， 用 對 他（ 她 ）們 自 己 有 意 義 的 方 式 ， 在 循 環 過 程 中 不 斷 地 選 擇 切 題 的 解 題 步 驟 來 引 出 一 系 列 的 問 題 系 統 。

研 究 的 證 據 和 經 驗 智 慧 的 建 議，學 生 能 靠 著 回 憶 和 推 論 數 學 的 事 實 來 獲 得 更 多 理 解 的 進 展 （ Askew & Dylan ,1995） 。 此 設 計 培 養 學 生 的 陳 述 能 力、歸 納、不 拘 形 式 的 理 解、推 斷 和 臆 測 的 能 力，任 務 聚 焦 在 以 數 學 為 核 心 的，學 生 連 續 性 建 造、不 斷 操 作 和 轉 移 問 題 的 活 動 ， 最 後 可 產 生 推 理 和 臆 測 出 來 的 相 關 問 題 系 統 。 Gravemeijer 、 Cobb 、 Bowers 和 Whitenack （ 2000 ） 以 及 Stevens（ 2000） 的 研 究 基 本 特 色 是 與 真 實 環 境 相 關 的 上 下 文 章 脈 絡 （ context） ， 提 供 學 生 熟 練 數 學 技 巧 的 一 個 平 台 ， 讓 學 生 使 用 生 活 中 的 資 源 來 做 數 學 運 算 。 Helen 和 Lyn（ 2003） 研 究 中 則 提 出 推 理 包 含 了 非 數 學 化 產 物 （ nonmathematically generative） 和 數 學 化 產 物 （ mathematically generative） 。

學 教 育 家 普 遍 相 信 ， 學 生 建 構 他 們 自 己 的 理 解 （ Davis, Carolyn ＆ Nel Noddings, 1990； Hiebert＆ Thomas , 1992） 。 在 這 個 看 法 裡 ， 我 們 瞭 解 無 論 多 麼 有 技 巧 的 教 師 ， 都 無 法 將 此 傳 授 給 學 生 ， 必 須 由 學 生 自 己 的 在 腦 中 產 生 。 建 構 主 義（ constructivist）斷 定，學 生 在 當 他 們 試 圖 解 決 意 味 深 長 的 問 題 時 ， 可 學 會 經 由 反 射 問 題 來 加 速 學 生 的 理 解 （ Campbell ＆ Martin 1995） 。 老 師 主 要 角 色 不 是 指 示 學 生 ， 而 是 提 出 問 題 並 且 誘 導 學 生 反 射 在 他 們 的 任 務 上，以 及 幫 助 學 生 辯 解 他 們 的 問 題 推 理 ， 譬 如 ： 解 釋 （ explaining ） 、 辯 解 （ justifying）和 舉 例（ exemplifying）， 不 僅 可 證 明 學 生 瞭 解 問 題 程 度，同 時 可 幫 助 創 造 新 的 問 題。事 實 上，沒 有 問 題 就 沒 有 解 答 ， 也 就 沒 有 思 考 。 愛 因 斯 坦 說 得 好 ：「 問 題 的 構 成 比 其 解 答 更 為 重 要，後 者 可 能 只 是 一 種 數 學 或 實 驗 的 技 能 而 已。用 一 種 新 角 度 對 舊 的 問 題 提 出 新 的 問 題 或 新 的 可 能，需 要 創 造 的 想 像。它 建 立 了 創 造 的 里 程 碑 。 」 （ 引 自 郭 有 遹 ， 1994） 。 Einstein 和 Infeld 經 常 提 到 ： 「 提 出 問 題 通 常 比 解 決 問 題 更 加 重 要 。 提 出 新 的 問 題、新 的 可 能 性 以 及 從 新 的 角 度 去 考 慮 舊 的 問 題，需 要 豐 富 的 想 像 力，同 時 也 顯 出 科 學 真 正 的 進 步。」（ 引 自 Runco & Chand, 1994） 。 在 Helen 和 Lyn（ 2003） 的 研 究 ， 學 生 依 照 教 師 給 的 資 料 ， 逐 一 在 教 室 內 提 出 討 論，用 紙 筆 做 紀 錄，或 錄 影、訪 談 後 加 以 分 析 ， 每 個 子 題 包 含 二 到 五 個 詮 釋 循 環 的 模 式 建 立 ， 如 下 ： （ 一 ） 「 買 運 動 鞋 」 ： 提 供 10 個 廠 牌 的 運 動 鞋 資 料 ， 請 學 生 排 出 想 買 運 動 鞋 的 順 序，並 說 明 理 由。學 生 發 展 的 循 環 為：循 環 ㄧ ： 非 數 學 化 等 第 （ nonmathematical rankings Cycle） ； 循 環 二：頻 率 等 級（ frequency rankings）；循 環 三：成 對 比 較（ pair wise comparisons） 。

（ 二 ）「 餐 館 問 題 」： 根 據 點 餐 排 行 榜 ， 為 餐 館 規 劃 一 套 完 整 的 組 合 式 套 餐 菜 單。學 生 發 展 的 循 環 為：循 環 ㄧ：可 用 量 表 格 化（ from ranks as labels to ranks as operable quantities）； 循 環 二 ： 等 第 不 變 性 （ the invariance of ranking） ； 循 環 三 ： 發 展 分 裂 系 統 （ developing the mean-split system） 。

（ 三 ）「 天 氣 問 題 」： 旅 行 社 需 要 您 的 幫 助 開 發 一 個 系 統 ， 為 客 戶 選 擇 居 住 地 方 。 學 生 發 展 循 環 ： 循 環 ㄧ ： 匹 配 與 排 除 （ matching and eliminating ） ； 循 環 二 ： 尋 找 一 個 廣 義 系 統 （ searching for a generalized system） ； 循 環 三 ： 發 展 分 裂 子 系 統 （ developing the mean-split system） ； 循 環 四 ： 實 施 排 除 策 略（ implementing elimination strategies）； 循 環 五 ： 修 改 意 義 分 裂 子 系 統 （ refining the mean-split rating system） 。

（ 四 ）「 犯 罪 問 題 」： 排 出 最 安 全 的 城 市 ， 提 供 可 利 用 各 個 城 市 最 新 的 五 年 的 六 種 嚴 重 犯 罪 率 ： 謀 殺 、 盜 案 、 攻 擊 、 搶 劫 、 偷 竊 和 汽 車 偷 竊 資 料 。 學 生 發 展 循 環 ： 循 環 ㄧ ： 應 用 刪 除 系 統 （ applying the mean-split system） ； 循 環 二 ： 進 ㄧ 步 修 改 意 義 分 裂 子 系 統 （ further refining the mean-split system） 。

在 Helen 和 Lyn（ 2003） 的 研 究 ， 首 先 可 追 蹤 學 生 的 思 考 發 展，當 他 們 創 造 能 被 使 用 描 述 資 料 和 而 做 出 問 題 決 定 的 系 統。根 據 上 面 理 論 的 描 述，可 解 釋 多 個 詮 釋 循 環 會 顯 露 與 學 生 的 任 務 互 相 契 合。其 次，研 究 所 提 供 的 任 務 可 作 為 學 生 的 不 同 的 思 維 方 式 的 改 變，並 且 期 望 學 生 可 以 在 週 期 中 學 會 以 不 同 方 式 呈 現 其 思 考 過 程 。 因 此 本 研 究 依 據 Helen 和 Lyn（ 2003） 的 研 究 方 法 ， 去 分 析 學 生 推 理 中 的 模 式 建 立 所 產 生 的 多 個 詮 釋 循 環 。

第 四 節 網 際 網 路

應 用 網 際 網 路 為 溝 通 工 具 已 漸 漸 成 為 學 習 新 趨 勢，本 節 由 網 際 網 路 與 學 習 的 關 係 談 起 ， 最 後 再 探 討 網 際 網 路 的 溝 通 活 動 。

ㄧ 、 網 際 網 路 與 學 習

近 年 來，網 際 網 路 已 成 為 本 世 紀 最 熱 門 的 話 題。由 於 網 際 網 路 的 普 及 與 電 腦 設 備 價 格 的 降 低，使 得 全 球 資 訊 網 的 使 用 蔚 為 風 潮 。 全 球 資 訊 網 擁 有 具 超 連 結 的 超 媒 體（ hypermedia）， 包 括 文 字 、 聲 音 、 影 像 、 動 畫 等 多 媒 體 資 訊 ， 同 時 兼 具 同 步 與 非 同 步 教 學 的 功 能，提 供 了 另 一 種 遠 距 教 學 途 徑，全 球 資 訊 網 的 這 些 功 能 也 促 使 了 主 動 學 習 在 遠 距 學 習 裡 成 為 可 能 （ Hill,1997 ） 。 Jonassen（ 1996） 將 電 腦 學 習 環 境 視 為 「 認 知 工 具 （ cognitive tools ） 」 。 而 「 以 電 腦 為 媒 介 的 溝 通 （ Computer Mediated Communication， CMC）」環 境 ， 是 用 來 達 到 相 互 溝 通 的 ， 用 文 字 來 顯 示 參 與 者 的 意 念 和 社 會 活 動 中 的 關 係 （ 林 洸 亨 ， 2001） 。 美 國 數 學 教 師 協 會 在 其 所 提 出 之「 學 校 數 學 課 程 之 原 則 與 標 準 」（ NCTM，2000）中，將「 教 」（ teaching）、「 學 」（ learning）、 「 科 技 」 （ technology ） 、 「 平 等 」 （ equity ） 、 「 課 程 」 （ curriculum）和「 評 量 」（ assessment）並 列 為 數 學 教 育 的 六 大 原 則 。「 科 技 」的 運 用 對 於 數 學 教 育 是 不 可 或 缺 的 ， 它 可 提 升 學 生 的 學 習 成 效（ NCTM， 2000）。 近 年 來 由 於 電 腦 與 網 路 設 備 的 日 益 普 及，電 腦 在 數 學 教 育 上 的 應 用 也 隨 之 受 到 重 視。上 述 之「 學 校 數 學 課 程 之 原 則 與 標 準 」指 出 了 諸 多 以 科 技 工 具 輔 助 數 學 教 學 的 好 處：1.具 有 繪 圖 功 能 的 計 算 機 和 電 腦 可 將 抽 象 的 數 學 概 念 視 覺 化，不 僅 有 助 於 學 生 了 解 這 些 概 念，亦 使 師 生 或 同 儕 之 間 可 針

對 螢 幕 上 具 象 化 的 物 件 進 行 數 學 概 念 的 觀 察 與 討 論。2.科 技 工 具 所 提 供 的「 隨 做、隨 現 」功 能 使 學 生 可 藉 由 任 意 操 弄 數 據 或 螢 幕 上 的 圖 形，以 觀 察 其 立 即 的 變 化。3.科 技 工 具 所 具 備 的 運 算 能 力 使 學 生 可 進 行 大 量 資 料 的 收 集、分 析 與 呈 現。4.網 際 網 路 上 豐 富 的 資 源 使 學 生 得 以 接 觸 廣 泛 而 多 樣 化 的 題 目 。 Harris （ 1996 ） 則 將 網 路 上 的 「 學 習 型 態 」 分 類 如 下 ： 1. 合 作 解 決 問 題 （ collaborative problem-solving project） ： 讓 網 上 學 習 者 能 利 用 網 際 網 路 便 利 性，一 起 分 享 多 元 解 題 方 式 和 策 略。2.資 訊 蒐 集（ information collection）：利 用 網 路 蒐 集 、 組 織 與 分 享 資 訊 。 3.人 際 交 流 （ interpersonal exchanges） ： 利 用 網 路 工 具 ， 例 如 ： 電 子 郵 件 、 新 聞 群 組 、 電 子 佈 告 欄 或 即 時 線 上 聊 天 室，做 同 步 或 非 同 步、公 開 或 隱 密 的 溝 通，進 行 人 與 人 之 間 的 互 動 交 流 。 從 以 上 學 習 理 論 與 資 訊 科 技 來 看，唯 有 將 網 際 網 路 建 構 成 一 個 和 傳 統 學 校 教 育 情 境 不 同 的 學 習 環 境，網 際 網 路 才 能 提 昇 學 習 效 能。網 路 提 供 學 習 者 建 立 自 我 導 引 及 探 索 性 的 自 發 學 習，並 將 所 學 新 的 知 識 融 入 既 有 的 認 知 架 構 中，建 立 有 效 概 念，而 能 運 用 於 真 實 的 社 會 情 境 中，網 路 上 將 教 學 科 技 和 學 習 方 式 帶 到 另 一 種 新 的 境 界 （ Resmer， Obling & Mingle,1995） ， 培 養 學 習 者 互 動 性 及 持 續 性 的 學 習 態 度，在 面 對 現 在 教 育 改 革 風 潮 中，是 建 構 下 一 代 學 習 環 境 的 一 種 可 行 方 案 。 全 球 資 訊 網 的 盛 行，在 網 路 蓬 勃 之 際，應 用 網 路 教 學 或 學 習 已 勢 不 可 免，學 習 不 再 限 於 課 堂 上 共 同 學 習 的 模 式，網 際 網 路 上 提 供 無 窮 的 資 源，使 用 者 可 以 檢 索 或 搜 尋 所 需 的 資 訊，除 了 單 向 的 資 訊 查 詢，學 習 者 也 可 在 網 上 進 行 雙 向 溝 通，互 相 交 流 學 習 心 得 和 意 見 ， 如 此 可 以 超 越 了 時 間 和 空 間 的 限 制 。