第四章 研究結果
第一節 各題解題策略對概念及錯誤類型之分析
為瞭解學生在正比單元所使用的解題策略、概念與錯誤類型三者之關 係，研究者以各試題所呈現的解題策略探討其涵蓋之概念，以及當概念不 熟練時、不完備時，可能發生之錯誤類型，將其結果分別敘述如下：
壹、非語意問題試題分析
一、正比定義概念題：
試題 1 與試題 2 皆在評量學生對於正比定義的概念掌握，下表 4-1 為 試題 1 之實際作答情形。策略 1（M1）是能從兩變量以相同倍數變化判斷 為正比例關係，策略 2（M2）則是由兩變量的比值相等來判定是否為正比 例關係，表 4-2 與表 4-3 顯示出使用 M2 的人數較多，答對率也較高，表 示學生易以 M2 來判斷正比例關係；使用 M1 的受試者則對於 S1（對於某 一個量呈現倍數變化時，另一個量以相同的倍數隨之改變，此兩數量即是 成正比）之概念較難掌握，且發生錯誤類型 B1（加法策略，兩數量同時增 減固定數值即為正比）、B2「認為兩數量有倍數變化關係（非固定倍數）
即為正比」之比率也較高，因此學生對於判定兩變量之倍數關係是較困難 的，此外，當學生有能力將題目訊息轉換成圖表方式呈現，表示能完全掌 握 S9（判別正比關係圖是一條會通過原點的直線），因此使用 M4 在試題
36
2 之答題率為 100%。
表 4-1
試題 1 實際作答情形說明
試題 1 題目
M1（S1） S419
M2（S2）
S418
表 4-2
試題 1 策略對概念技能和錯誤類型之關係
試題 1
策略編號 M1 M2 其他 總和
策略使用人數 141 275 81 497 缺乏
的概 念技 能
S1
個數 7 81 88
百分率 (5.0%) (100%) (17.7%)
S2
個數 2 80 82
百分率 (0.7%) (98.8%) (16.5%)
錯誤 類型
B1
個數 10 3 0 13
百分率 (7.1%) (1.1%) (0%) (2.6%)
B2
個數 14 19 0 33
百分率 (10%) (7.0%) (0%) (6.6%)
B3
個數 0 8 0 8
百分率 (0%) (2.9%) (0%) (1.6%)
答對率
個數 114 226 47 387 百分率 (80.9%) (82.2%) (58%) (77.9%) 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白
2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總
人數
38
二、正比計算題
試題 3 與試題 14 主要探究學生在已知正比關係時，運用比例式相等 與比值相同此兩策略使用情形，以試題 3 為例，如表 4-4。M5 是利用比例 式相等求解，而 M6 則是以比值相同之角度求解，從表 4-5 與表 4-6 發現 大多數受試者使用 M5 進行解題，但進一步探討，發現使用 M5 容易發生 B5（比值轉換成比的前後項錯置）、B8（將整數比取倒數後視為相等的比）
兩種錯誤類型，顯示受試者對於找出兩變量之間的倍數關係是不熟練的，
反觀使用 M6 的受試者，在概念上的完整性是較好的，但是在處理有理數 的計算能力需要補強，才能減低 B8 的錯誤類型。
表 4-4
試題 3 實際作答情形說明
試題 3 題目
策略 作答情形 受試者代號
M5 S472
M6
S435
40
表 4-6
試題 14 策略對概念技能和錯誤類型之關係
三、正比計算題-逆溯活動
試題 4 主要評量學生在比例問題中的逆溯活動表現情形，文獻指出未 知數之位置會影響解題成功率，尤以未知數在前項比例式時，困難度最高，
時作答情形如表 4-7，因此研究者欲藉由試題 4 探究學生作答情形，將結 果整理成表 4-8，M3 為公式法，M8 為倍數法，發現使用 M3 的使用人數 多、答對率高、缺乏概念之比率少，但會發生錯誤類型 B10 （相等的比中，
內外項與前後項混淆）。M8 相較之下，答對率低，受試者較容易缺少 S6
（運用相等的比其固定的倍數變化關係，解出未知數），表示比例問題的 試題 14 策略編號 M5 M6 其他 總和
策略使用人數 378 54 65 497
缺乏 的概 念技 能
S2 個數 0 65 65
百分率 (0%) (100%) (13.1%)
S3 個數 1 65 6
百分率 (1.9%) (100%) (13.3%)
S4 個數 24 65 89
百分率 (6.3%) (100%) (17.9%)
S5 個數 33 65 98
百分率 (8.7%) (100%) (19.7%) 錯誤
類型
B5 個數 24 1 14 39
百分率 (6.3%) (1.9%) (21.5%) (7.8%)
B7 個數 32 4 19 55
百分率 (8.5%) (7.4%) (29.2%) (11.1%)
答對率 個數 329 50 13 392
百分率 (87%) (92.6%) (20.0%) (78.9%) 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白
2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總
人數
42
逆溯活動中，對於學生來說，如何利用已知的倍數正確判斷而解出未知數 之過程，是較為困難的。
表 4-7
試題 4 實際作答情形說明
試題 3 題目
策略 作答情形 受試者代號
M3 S188
M8
S103
表 4-8
試題 4 策略對概念技能和錯誤類型之關係
（續下頁）
試題 4 策略編號 M3 M8 其他 總和
策略使用人數 236 212 49 497 缺乏
的概 念技 能
S6 個數 45 47 92
百分率 (21.2%) (95.9%) (18.5%)
S8 個數 23 47 70
百分率 (9.7%) (95.9%) (14.1%)
四、正比圖形
試題 12 與試題 14 為，評量學生對於正比圖形的概念掌握，是否能從 表格判斷正比例關係，進而選出對應正比圖形，受試者在試題 12 實際作 答情形如表 4-9，並將策略對概念與錯誤類型整理成表 4-10、4-11，主要 分為三種策略 M4（畫圖法）、M14（倍數法）與 M15（比值法），使用 M4 能直接掌握正比圖型概念，答對率高，使用 M15 人數最多，但也容易 受數字影響，而忽略正比圖形定義。
試題 4 策略編號 M3 M8 其他 總和
策略使用人數 236 212 49 497
錯誤 類型
B6 個數 1 1 2 4
百分率 (0.4%) (0.5%) (4.1%) (0.8%)
B9 個數 0 13 0 13
百分率 (0%) (6.1%) (0%) (2.6%)
B10 個數 12 16 1 29
百分率 (5.1%) (7.5%) (2.0%) (5.8%)
答對率 個數 208 162 2 372
百分率 (88.1%) (76.4%) (4.1%) (74.8%) 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白
2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總
人數
44
表 4-9
試題 4 實際作答情形說明
試題 12 題目
策略 作答情形 受試者代號
M4 S114
M14 S211
M15 S116
表 4-10
46
貳、語意問題試題分析
正比語意問題中可使用之解題策略較多元，且語意問題的類型同時也 影響著學生解題情形，因此將針對各題不同語意問題分析如下：
一、組合問題
研究者配合數字結構第一種：a:b=c:d，c是a和b的整數倍，如3：5＝12：
d，設計成試題5，實際作答情形如表4-12，欲了解學生在此種類型問題之 解題情形，依據表4-13得知，使用M9、M10、M11三種策略，缺乏S5（能 依據兩數量成正比，寫成相等的比）比率雖高，但因S5為單純列式，不影 響解題答對率。而在四種策略的主要解題概念S7（運用兩數量比值為固定 數，來求出未知數）、S6（運用相等的比其固定的倍數變化關係，解出未 知數）、S8（運用內項乘積等於外項乘積，來求出未知數）、S10（求出 單位量，再乘以單位數）裡，以S10缺乏率最高，加上發生錯誤類型B9比 率也最高，造成M12的答對率最低。
備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白
2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總
人數
表 4-12
試題 5 實際作答情形說明
試題 5 題目
策略 作答情形 受試者代號
M9 S333
M10 S335
M11 S341
M12 S378
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二、交換問題
試題6實際作答情形如表4-14，從表4-15可知，在交換問題中使用M1 表現最好，無缺乏之概念和發生的錯誤類型，M10、M11兩種策略答對率 無差異，但M10缺乏主要解題概念S6的比率高於M11的S8，M10易發生錯 誤類型B9，而M11則是易發生B6，在此題中使用M9的答對率遠低於其他 策略，與數字結構為非整數倍數有關，受試者因有理數的計算能力不足，
而造成答對率降低。
表 4-14
試題 6 實際作答情形說明
試題 6 題目
策略 作答情形 受試者代號
M9 S344
M10 S097
M11 S123
（續下頁）
50
三、密度問題
試題7與試題9皆為密度問題，但試題7以表格方式呈現題目訊息，因 此兩題的解題策略與使用概念會略有差異，以試題7為說明，作答情形如 下表4-16，將結果整理如表4-17、4-18，發現以S5的差異最為明顯，表格 能直接呈現兩變量關係，受試者可以直接提取所要的前後項倍數關係，而 無須列式，因此缺乏S5的比率達42.6%，但不影響答對率，也因題目是以 表格方式，所以使用M13（比值法）的人數也增加許多。試題9是以文字方 式敘述，修正數字結構第三種變為a：b=c：d，只有d是a的整數倍，如3：5
＝c：12，因此使用M10、M11之受試者容易將兩前項倍數關係，錯置為兩 外項倍數關係，發生錯誤類型B9「能算出兩前(後)項的倍數，但無法判斷 該以乘法或是除法來求未知數」與B10（相等的比中，內外項與前後項混 淆），而此題數字結構為非整數倍數，因此使用M9、M12的人數大幅下降。
備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白
2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總
人數
52
表 4-16
試題 7 實際作答情形說明
試題 7 題目
策略 作答情形 受試者代號
M10 S344
M11 S308
M12 S211
M13 S425
表 4-17
54
四、子母問題
將受試者在試題11作答情形如表4-19，從作答反應來看，子母問題若 以分數形式呈現，對學生最大的挑戰應是理解題意，許多受試者都以直觀 作答將題目中有的數字直接相乘作答發生錯誤類型B4（無法依照題意列出 正確算式），而能了解題意正確列式之受試者又會侷限於分數計算能力的 不熟練發生錯誤類型B9、B10，如表4-20造成此題總答對率僅有45.3%。當 受試者能以M9（比值法）為使用的解題策略，表示具備較完整的分數計算 能力，答對率為最高；除此之外，當受試者使用M11（公式法），在數字 推理的認知負荷量來說，是小於M10(倍數法)，因此較少概念缺乏及錯誤 類型的產生。
表 4-19
試題 11 實際作答情形說明
試題 11 題目
策略 作答情形 受試者代號
M9 S247
M10 S427
（續下頁）
56
五、伸縮問題
試題8、試題10與試題13皆為伸縮問題，試題8之作答情形如表4-21，
從表4-22、4-23與4-24可發現使用M10（倍數法）的答對率為四種策略中最 低，探究原因認為題目數字結構皆是非整數倍數，造成使用M10受試者推 論困難，發生錯誤類型B9比率提高，使用M11的人數也增多，答對率都能 維持九成，而使用M9的受試者，表示能處理分數數值的計算，因此答對率 也都維持極高的水平。
試題 11
策略編號 M9 M10 M11 M12 其他 總和 策略使用人
數 2 67 122 79 227 497 錯
誤 類 型
B9 個數 0 5 2 0 1 8
百分率 (0%) (7.5%) (1.6%) (0%) (0.4%) (1.6%) B10 個數 0 0 3 1 0 4
百分率 (0%) (0%) (2.5%) (1.3%) (0%) (0.8%) 答對率 個數 2 48 107 65 3 225
百分率 (100%) (71.6%) (87.7%) (82.3%) (1.3%) (45.3%) 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白
2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總
人數
58
表 4-21
試題 8 實際作答情形說明
試題 8 題目
策略 作答情形 受試者代號
M9 S331
M10 S159
M11 S160
M12 S078
表 4-22
60
表 4-24
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參、本節結果與說明
總結試卷各題數據分析，受試者會因為使用的解題策略不同，缺乏
總結試卷各題數據分析，受試者會因為使用的解題策略不同，缺乏