國小學童正比單元不同解題策略與數學表現之探討

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所碩士論文. 指導教授:郭伯臣 博士. 國小學童正比單元不同解題策略與數學 表現之探討. 研究生:呂家慧 撰. 中. 華. 民. 國. 一. 零. 三. 年. 七. 月.

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(3) 謝辭 「呀呼~~~我畢業了!」,這是修改論文完的第一個歡呼,回頭細想這 兩年研究所的進修生涯,真是自己生命中重要的轉捩點,第一年是最嚴峻 及黑暗的代課時期,除了白天教課,晚上進修,還得偷時間準備教師徵試, 休學的念頭更是三不五時浮現在腦海中,但是堅持是有回報的,不僅考上 了正式教師,也認識了一輩子的好姊妹們,感謝這兩年來從旁協助的家人、 師長及熱情的伙伴們。 感謝帥氣的指導教授郭伯臣老師,幽默風趣的話語總是能減低自尋煩 惱的焦慮感,給予前進的動力;感謝智為學長與俊彥學長,總是維持著清 晰的思緒,耐心的說明與鼓勵;芳宜你是我生命中的貴人,在教師甄試的 漩渦中伸手拉了我一把,讓我脫離流浪教師的身分;怡旭有了你的陪伴, 讓平靜的生活步調多了歡笑和瘋狂;感謝明俊主任以捨身為人的慈悲心, 共享創意更抵擋前方的狂風暴雨;桂綾老師更從你的求學態度中學習到認 真負責的特質;測統金城武、小黑豹謝謝你們技術上的相挺,有了你們, 鬱悶的心霎時綻放出朵朵的花兒。 能夠順利地完成學業,更要感謝家人的支持,幫忙打理生活瑣事,還需要 忍受三不五時的任性與脾氣,讓我專心在課業上,再多感謝的話語也不及 萬分之一的真誠,願以此篇論文與眾多相助好友及家人們共享。同時本研 究感謝國科會之經費補助,計畫編號 NSC 102-2511-S-142-008-MY3。. 呂家慧 謹誌 中華民國一○三年七月.

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(5) 摘要 本研究以國小南一版數學六年級「正比」單元為範圍,分析該單元主 要概念以及參考文獻、專家意見列舉常見錯誤類型,並以建構反應題型為 主,選擇題型為輔,編製試題與進行施測,透過建構反應試題所提供的學 生作答歷程訊息與呈現的多重解題策略來分析歸納與其數學表現之相關, 並探討學生之解題策略組型情形,再與此份試卷之數學成績進行統計考 驗。 研究結果為: 一、若為判定「正比」定義,則使用比值法的人數居多,為選出在正比情 形下,相等的比例,則以倍數法人數居多。在語意問題方面,與數字 結構有極大之相關,當數字為整數或整數倍時,以使用倍數法的人數 居多,若題目訊息為非整數或分數倍數,則使用公式法的人數增加, 發生之錯誤類型以能算出兩前(後)項的倍數,但無法判斷該以乘法 或是除法來求未知數為最多。 二、多重解題策略可分為「比值法」、「倍數法」、「公式法」與「單價 法」四種方式。從考驗結果得知解題策略單一型「公式法」之受試者 數學成績顯著優於「倍數法」以及混合策略之受試者,表示公式法確 實能提升數學成績,但是可能無法驗證學生是否具備解比例問題所需 的推理思考能力,這是教師在教學時應特別留意之處。 三、解題策略組型的差異能顯現出學生概念的熟練程度,當學生解題失敗 時,教師可先分析學生是使用何者策略,再針對其缺乏之概念進行補 強。 四、解題策略組型與錯誤類型的交互關係,使用混合策略之受試者所產生 的錯誤類型較為廣泛,表示受試者雖具備較多元的概念,但會因概念 的精熟程度不同相互干擾,也伴隨更多的錯誤類型。而受試者在比例 關係式容易受數字結構影響,雖然能找出兩前(後)項之倍數,但卻 I.

(6) 無法判斷該以乘法或除法來解未知數,因此,教師在之後的補救教學 活動中,便可專注於此種逆運算概念之講解,不僅節省時間,也更能 提高成效。. 關鍵字:比例問題、正比、解題策略、錯誤類型. II.

(7) The Discussion of Problem-Solving Strategies and Math Performance in the Direct Proportion Unit of the Grade School Students. Abstract The study aims to discuss the interactions of the multiple problem-solving strategies, the concepts and the error patterns. Try to figure out the relations between the strategies and the math performance of the sixth grade students in “direct proportion” unit. The researcher used the self-developed “The Direct Proportion of Mathematical Concept Test” composed of the constructed-response items. It can provide abundant information to realize the situation of the students’ inner concepts and fixed misconception through the constructed-response items. Based on the results, the major findings of the study were summarized as follows: A、There are four strategies to solve the proportion problems by examining the process of the students’ response. They are ratio(A)、B(multiple)、C(math formula) and D(unit). Furthermore, The researcher divided the students in three groups:one is using B(multiple) consistently, another is using C(math formula) consistently and the last one is using M (mixed strategy). B、The study shows that there is a significant correlation between habitual strategies and the math performance. The students using C (math formula) consistently have better performance than those who use B (multiple) habitually and M (mixed-strategies). C、The students used the certain strategy represent that they possess these concepts of the strategy. Therefore, teachers can reteach these concepts when students fail to solve the problems by the single habitual strategy. III.

(8) D、The students using mixed strategy have more error patterns due to their incomplete concepts. Moreover, the students who used B strategy habitually tend to equip the certain error pattern. It means that students have troubles to decide multiplication or division when they wants to figure out the unknown quantity. According to this, teachers can correct this error pattern directly to save more time.. Key words: direct proportion, multiple problem-solving strategies, error pattern. IV.

(9) 目錄 摘要 ...................................................................................................................... I Abstract ............................................................................................................. III 目錄 .................................................................................................................... V 圖目錄 ............................................................................................................... VI 表目錄 .............................................................................................................. VII 第一章 緒論 ....................................................................................................... 1 第一節 研究動機 ....................................................................................... 1 第二節 研究目的 ....................................................................................... 3 第三節 名詞解釋 ....................................................................................... 3 第四節 研究範圍與限制........................................................................... 4 第二章 文獻探討 ............................................................................................... 5 第一節 正比相關研究............................................................................... 5 第二節 正比單元解題概念與錯誤類型 ................................................ 10 第三節 正比問題之多重解題策略......................................................... 19 第三章 研究方法 ............................................................................................. 23 第一節 研究流程 ..................................................................................... 23 第二節 研究對象 ..................................................................................... 30 第三節 研究工具 ..................................................................................... 30 第四章 研究結果 ............................................................................................. 35 第一節 各題解題策略對概念及錯誤類型之分析 ................................ 35 第二節 解題策略組型對數學成績之關係探討 .................................... 63 第三節 正比解題策略對概念/技能之關係探討 ................................... 69 第四節 正比解題策略對錯誤類型之關係探討 .................................... 73 第五章 結論與建議 ......................................................................................... 79 第一節 結論 ............................................................................................. 79 第二節 建議 ............................................................................................. 83. V.

(10) 參考文獻 ........................................................................................................... 84 壹、中文部分 ........................................................................................... 84 貳、英文部分 ........................................................................................... 87 附錄一 自編正比單元診斷測驗命題卡......................................................... 90 附錄二 正比單元正式施測試卷................................................................... 125. VI.

(11) 圖目錄 圖 2-1 圖 3-1 圖 4-1 圖 4-2. 「正比」單元的教材地位 ................................................................. 9 研究流程圖 ....................................................................................... 24 正比概念發生比例分布圖 ............................................................... 70 錯誤類型發生比例分布圖 ............................................................... 74. VI.

(12) 表目錄 表 2-1 表 2-2 表 2-3 表 3-1 表 3-2 表 3-3 表 3-4 表 3-5 表 4-1 表 4-2 表 4-3 表 4-4 表 4-5 表 4-6 表 4-7 表 4-8 表 4-9 表 4-10 表 4-11 表 4-12 表 4-13 表 4-14 表 4-15 表 4-16 表 4-17 表 4-18 表 4-19 表 4-20 表 4-21 表 4-22 表 4-23 表 4-24 表 4-25 表 4-26. 97 年課程綱要「正比」相關的能力指標 .................................. 11 比例問題類型 ................................................................................ 14 「比例問題」錯誤類型文獻探討 ................................................ 15 正比解題概念 ................................................................................ 25 「正比」之錯誤類型 .................................................................... 26 專家判讀規則 ................................................................................ 28 專家判讀過程說明 ........................................................................ 29 「正比」試題 5 命題卡 ................................................................ 31 試題 1 實際作答情形說明 ......................................................... 36 試題 1 策略對概念技能和錯誤類型之關係 ............................. 37 試題 2 策略對概念技能和錯誤類型之關係 ............................. 38 試題 3 實際作答情形說明 ......................................................... 39 試題 3 策略對概念技能和錯誤類型之關係 ............................. 40 試題 14 策略對概念技能和錯誤類型之關係 ............................. 41 試題 4 實際作答情形說明 ......................................................... 42 試題 4 策略對概念技能和錯誤類型之關係 ............................. 42 試題 4 實際作答情形說明 ......................................................... 44 試題 12 策略對概念技能和錯誤類型之關係 ............................. 45 試題 15 策略對概念技能和錯誤類型之關係 ............................. 45 試題 5 實際作答情形說明 ......................................................... 47 試題 5 策略對概念技能和錯誤類型之關係 ............................. 48 試題 6 實際作答情形說明 ......................................................... 49 試題 6 策略對概念技能和錯誤類型之關係 ............................. 50 試題 7 實際作答情形說明 ......................................................... 52 試題 7 策略對概念技能和錯誤類型之關係 ............................. 53 試題 9 策略對概念技能和錯誤類型之關係 ............................. 54 試題 11 實際作答情形說明 ......................................................... 55 試題 11 策略對概念技能和錯誤類型之關係 ............................. 56 試題 8 實際作答情形說明 ......................................................... 58 試題 8 策略對概念技能和錯誤類型之關係 ............................. 59 試題 10 策略對概念技能和錯誤類型之關係 ............................. 60 試題 13 策略對概念技能和錯誤類型之關係 ............................. 61 策略、概念錯誤類型與對應試題關聯表 .................................... 63 解題策略分析與對應試題及其說明 ............................................ 64 VII.

(13) 表 4-27 表 4-28 表 4-29 表 4-30 表 4-31 表 4-32 表 4-33 表 4-34 表 4-35. 解題策略組型比例 ........................................................................ 67 均等平均數的 Robust 檢定 .......................................................... 67 解題策略組型差異比較表 ............................................................ 68 正比概念/技能分析表 ................................................................... 69 解題策略組型與概念分析表 ........................................................ 71 錯誤類型分析表 ............................................................................ 73 解題策略組型與錯誤類型分析表 ................................................ 75 學生錯誤類型 B10 態樣 ............................................................... 76 學生作答反應比較 ........................................................................ 77. VIII.

(14) 第一章 緒論 本研究期望能透過學生在建構反應題型的作答歷程所提供詳細豐富的 心智運作訊息,了解國小六年級學生在解決正比問題能夠採取的解題策略, 並精確分析不同的解題策略下所使用的概念技能以及應運而生的錯誤類 型,希望研究結果以利教師在教學現場及對學習者的補救教學上以最少的 人力、資源做出最有效果的教學計畫,以達事半功倍。本章分為研究動機、 研究目的、研究問題與假設、名詞釋義與研究限制等章節分述說明。. 第一節 研究動機 數學這一門學科對於許多學生都有難以跨越的高牆阻擋,也許是認知 能力的不足,亦或是先前失敗經驗的遺留,對於「數學」總是心生畏懼, 欲解決數學問題須具備資料分析、問題假設、實際驗證與判斷真偽的能力, 因此在第一線的教師應具備檢視學生的學習歷程發現其潛藏的迷思概念, 立即給予改正,以避免持續的挫敗經驗累積,進而培養數學核心概念以及 精熟的演算能力進行有意義的學習,讓學生在數學領域裡有「帶著走」的 能力(教育部,2002)。美國科學促進學會(American Association for the Advancement of Science)在1994年時亦提出,學校教育的主要目標是促使 學習者成為一位好的問題解決者,因此,數學教育應以養成學生解決問題 的能力為主要目標,期望學生能有獨立思考解題的能力,以備未來生活所 需。 每位學習者個人的先前經驗、思考歷程以及學習風格的差異,加上學 習的速度的不同,若要達到成功的數學解題,更需對文本的理解、策略的 運用、概念的熟練等多方連結與相輔相成(林芳月,2006)。然而題意的 釐清、解題所需的概念、如何選擇適切的解題策略以及解題信心等都會影 1.

(15) 響數學解題成功與否,每個因素都有其必要的重要地位,缺少其一都有可 能造成無法正確解題(陳慧娟,2008)。因此在同一數學題目中,不同的 文本理解就會呈現多樣化的解題策略,因此教學者面對學習者採用多重的 方法來解題應加以肯定與支持,對於師生之間的知識交流傳達更能無所障 礙,也能讓學生更有自信地學習新的課程單元。 學習者運用不同的解題策略也代表其具備相異的數學概念,因而延伸 出對應造成的錯誤類型(error pattern)更能反應出學習者所缺乏的觀念或 隱伏其中的迷思概念(misconception),Schwarzenberger 於1984年擔任英 國數學學會會長時也提到:在數學解題歷程中,錯誤與正確答案的重要性 是不分軒輊,錯誤能讓學習者回顧檢視自身的學習歷程,並擁有重新學習 改正的機會,錯誤反應的結果,也顯示出學習者在此數學單元時所遭遇的 困擾與障礙,提供教學者從中了解學生的認知現狀,進而提供未來為補救 教學的依據(莊淑貞,2007)。綜合上述,現場教師若能依據學習者的解 題策略從其可能缺乏的概念或是已發生錯誤類型,給予適切的概念重整以 及迷思矯正,對於學習者不僅能減低認知負荷,更容易及快速地改正認知 的缺失,發揮補救教學之成效。 本研究使用101學年度南一版第十一冊「正比」為施測單元,正比單 元實為「比與比值」之延伸,需有推理、判斷與預測能力,因此對於國小 學童是個複雜且包含許多應用的課題(呂宜玲,2001),而比例的概念是 個生活實用性高的主題,在實際情境中衍生出速率問題、單位換算、錢幣 兌換、濃度調配等,與我們生活息息相關,證實正比在解決生活中問題的 重要性。. 2.

(16) 第二節 研究目的 依據上述研究動機,研究者為深入了解國小六年級學生在學習正比單 元後,所內化發展不同的解題策略、具備的概念與錯誤類型,期盼透過認 知診斷測驗評估能精確指出學習者能力現況。為此,本研究目的為: 一、探究學生在正比單元使用的解題策略、概念與錯誤類型之分析 二、探討在正比單元中解題策略組型與數學表現之差異 三、探討在正比單元中解題策略組型與錯誤類型之關係 四、探究在正比單元中解題策略組型與概念之關係. 第三節 名詞解釋 壹、多重解題策略 本研究的多重解題策略意指在單一題數學題目中,不同的受試者對於 題意的理解與先備知識的連結都會有個別差異,而採取的解題策略也大不 相同,因此呈現出多樣化且正確的解題歷程,在正式施測前,研究者根據 學科專家、自身教學經驗與預試樣本,分析出每一試題的不同策略,例如: 試題 1 能以概念 1、概念 3、概念 5 或是概念 2、概念 4、概念 6 兩種不同 的概念順序解題成功,則將概念 1−概念 3−概念 5 此順序命名為策略 1, 而 S2−S4−S6 命名為策略 2。. 貳、 解題策略組型-單一型 本研究的解題策略-單一型是指試卷施測後,分析受試者在各個試題 中所呈現解題策略是成一致性,意即受試者在不同的試題中,習慣以同一 種解題策略來進行解題。. 參、 解題策略組型-混合型 本研究的解題策略-混合型是指受試者在各個試題中所呈現解題策略 3.

(17) 會因題目情境的差異,而採用不同的解題策略,即受試者在不同的試題中, 應用了不同的解題策略來進行解題。. 肆、 數學表現 本研究的「數學表現」是從此份正比施測卷(共 15 題),挑選出擁 有相同解題策略的題目(試題 5、6、8、9、10、11、13,共 7 題)所答對 之建構反應題題數,若答對題數越多,則得分越高,代表數學成績較佳; 反之,答對題數少,表示數學成績較不佳。. 第四節 研究範圍與限制 壹、研究範圍 本研究目的主要是探討國小數學正比單元,為教育部在民國97年國民 中小學九年一貫課程綱要(100學年度實施)中,六年級數學領域「比、比 值與成正比」能力指標:N-3-05 能理解比、比例、比值與正、反比的意義, 並解決生活中的問題。因此,除上述以外之其他因素均不在本研究探討之 範圍。. 貳、研究限制 由於考量到本研究因礙於有限的人力、時間與資源,因此,研究樣本 採取立意取樣,主要是以中部地區台中市以及彰化市四所學校,十九個班 級,一共497名學生為研究樣本,因此,實驗的結果可能會受到取樣的影 響,造成本研究結果推論上的偏差。. 4.

(18) 第二章 文獻探討 本研究主要目的是透過學生在正比這一單元的解題歷程,透過認知診 斷模式的分析探討其多重解題策略以及所需概念技能與可能發生的錯誤 類型三者之間的關係,因此本章主要分為正比單元分析、解題概念與錯誤 類型之關係、多重解題策略,等三節詳述說明之。. 第一節 正比相關研究 壹、正比的意義與研究 「正比」在實際生活中是廣泛使用到的概念,如單位換算、不同國家 幣值的兌換、調配相同口味、濃度但大小容量不同的食材或是不同尺寸的 產品或是地圖的繪製與應用等,應用相當廣泛,是極為重要的解決問題概 念(林福來,1984)。而此單元「正比」實為比例問題的延伸,包含著比、 比值與比例式三者之應用關係。比例(proportion)概念實為連接初階數學 與高階數學的橋樑(Lesh, Behr, & Post, 1988;Lamon, 1993),亦是培養 問題解決的一個重要概念(傅宗聖,2007)。 對數學概念的發展中,比例問題不僅含有整數、分數乘除計算、分數意義, 而正比概念更是轉化為代數學習的關鍵點(張瑜容,2010)。 在南一版數學課程裡將「正比」從「比與比值」中分離成另一獨立單 元,因此若要成功學習正比概念,必先從探討先前的比例概念為始。關於 比例之定義,許多國內外學者皆有著許多的看法,Hoffer(1992)、Lamon (1995)與國內學者沈明勳與劉祥通(2002)認為比例概念即為「兩個比 或比值成等價關係」,意即呈現「a:b=c:d」,a、b 兩數量間之關係與 c、 a. c. b. d. d 兩數量之關係相同,若以比值來表示則為「 = 」,為等值分數之形式 (Levin, 2002)。 5.

(19) 正比依據101學年度南一版國小數學教科書的定義,成正比的核心概 念為當一變量隨著另一變量以相同的倍數改變,此兩量即為「正比例關係」, 與學者沈明勳、劉祥通(2002)說明正比例關係之定義一致:將兩相同量 做不同等分除的分割,而產生多個不同的等值分數,且可將等值分數以數 個比例式來呈現,如:「a:b=c:d=e:f」。亦可以採用列表的方式統整 記錄。 因此正比例關係包含於比例關係內,同樣都具備著緊密且相互依存的 「共變性」(covariance)與「不變性」(invariance)之特質(Lamon, 1995)。 例如:「1個橡皮擦8元,那麼3個橡皮擦就是24元」,依據題目可以將橡 皮擦的數量與價格之關係寫作1:8與3:24,此兩比例關係的比值皆為. 1 8. 是. 「不變」的;而當橡皮擦的個數從1個變為3個時,為了維持比例關係的比 值不變,所以價格會從8元變為為24元,亦即「24」隨著「3」來「變動」, 因此這種在相同的情況下,比的前、後項有相關且會伴隨著改變,就是前 後項的「共變性」。. 貳、比例推理基本能力 那麼若想解決比例問題前,需考慮學生本身的先備知識與其基本能力, 應具備那些能力呢?國內外許多學者皆有著多樣的看法,研究者根據學者 楊錦連(1999)、劉祥通與周立勳(1999)、沈明勳與劉祥通(2002)、 魏宗明與劉祥通(2003)之看法整理出學習者應具備下列五項能力: 一、 因數與倍數概念的能力 學習者常利用因數與倍數的概念來解出比例問題,而因數與倍數概 念的運用也往往是解決比例問題的重要關鍵(Lo & Watanabe, 1997),例如: 「20 元可買8 顆糖果,15元可買幾顆糖果?」,學生可先將20元分成4 份,一份為5元,再把8顆糖果也分成4份,一份是2顆,所以5元能買到2 顆糖果,由此解出15元是3份,可以買到6顆糖果。但若學生已經具備公 6.

(20) 因數概念便能縮短解題時間,快速找出答案,由此可知,欲想解出正比 問題,能否順利找出兩前項公因數便是解題之基礎。 二、 了解乘法與除法問題情境 比與比例問題實質上是內嵌於乘法概念裡,當學習者未完全了解乘除 法之情境,常常會受到直觀的解題方法影響,如大數除以小數、先除後乘 固著以及數字大小等,以「20 元可買 8 顆糖果,10 元可買幾顆糖果?」 為例,學生解題會習慣以大數除以小數 20÷10=2,先算出倍數,再受到先 除後乘之觀念影響將 8×2=16,算出不合邏輯的答案,若數字放大,此種 錯誤情形更容易發生,顯示學生對於乘除情境之理解混淆。 三、 有理數概念的能力 比與比例其實內含有分數的概念,若將分數分為五種範疇,則比就 是其中一個(Kieren, 1980),在國小數學領域中,學生對於分數的意義大多 為部分-全體之概念,對於其他定義如:商數(quotient)、比率(ratio)、 運算子(operator)不甚了解,造成學生解比例問題時無法以分數表示兩 量之倍數關係,遭遇無法除盡時,往往就放棄解題(沈明勳、劉祥通, 2002)。因此,有理數概念的完備,對於學生對於比例問題的解題歷程 是有巨大影響的。 四、 相對思考的能力 比例在實質意義上表示兩數量間的關係,不只是單單一個量的改變 (Lamon, 1995),而「相對」正是「比例」中最重要的成分(鄭英豪,1990)。 解決比例問題需要相對思考能力,但是學生通常會採取熟悉的絕對思考 模式,而較少選擇相對思考模式,因此要讓學生能常接觸相對性情境, 使其理解情境中兩數量的相對性,例如:兩位孩童,一位體重30公斤, 另一位體重40公斤,一年後,兩人體重各變為35公斤與45公斤,以絕對 的觀點角度來分析,這兩位孩童的生長量是一樣的,皆增重了5公斤,但 7.

(21) 1. 是從相對的角度來看,一位增加了原來體重的 ,而另一位則增加了原來 6. 1. 體重的 ,由此可知兩人的生長量是有差異的。 8. 五、 單位化與基準化的能力 單位化意即在比例問題中,先求單位量,再利用單位量解題,舉例說 5. 明:10元買4顆糖果,那麼6顆糖果是多少元呢?可先求出1顆糖果是 元 2. 5. 5. 2. 2. (10÷4= ) ,算出單位量,在以此單位量求出6顆糖果是15元( ×6=15), 這也是比值的單位化;而以一個單位架構來推論到其他情境的方式,即為 「基準化」的過程,在數學思考時,是經常使用到的能力(Freudenthal, 1983)。 比例問題中透過單位化與基準化,能重新詮釋題目訊息,並且化繁為簡, 進而發展比例推理能力。. 參、正比單元的教材分析 美國全國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics) 2000 年提出,無論是在數與計算、測量或代數等主題領域,6 至 8 年級階 段的課程中須強調比例概念的重要性。我國教育部(2003)在九年一貫課 程綱要中在第三階段(國小五、六年級)即有比例相關教材,期望能提早 養成學生的比例推理能力,進而發展對未知數問題之各種解題策略。 因此比例概念廣泛的出現在小學的數學主題中,例如:學習整數與分 數的加減乘除計算、兩數量的(公)因(倍)數,皆屬於數學領域「數與 量」的範疇;在「圖形與空間」的主題中,需要應用於圖形放大、縮小的 比例尺概念;而為了解出比例關係中的未知數,也隱含著「代數」的概念; 皆顯示出正比問題內的多樣性、複雜性及重要性,而往後國中數學的相似 三角形以及高中數學的黃金比例分割與三角函數都需要有著「正比」的基 礎概念,是進入高等數學的敲門磚(沈明勳、劉祥通,2002),因此能清 楚理解正比意義更是國小階段的重要學習任務。 8.

(22) 97 課綱九年一貫數學科能力指標明列出:N-3-05 能理解比、比例、 比值與正、反比的意義,並解決生活中的問題。分年細目並詳細列舉: 6-n-07 能認識比和比值,並解決生活中的問題。 6-n-09 能理解正比的現象,並發展正比的概念,解決生活問題 6-a-04 能在比例的情境或幾何公式中,透過列表的方式認識變數(教育部, 2008) 。從能力指標裡清楚顯示若要學習正比概念,首要先具備比與比值、 基礎代數的觀念。下圖 2-1 是「正比」單元在國小數學領域中連結的相關 單元。. 前備經驗. 正比單元教學重點. 發展教材. 第十冊 第十一單元. 第十一冊 第七單元. 第十二冊 第四單元. ◎能以繪製折線圖。. ◎認識兩個數量呈正比的. ◎了解比例尺的意. 第十一冊 第四單元 ◎能在情境中認識 比和比值。. 關係。. 義及表示法。. ◎了解兩個數量正比例和 非正比例的關係。 ◎能以繪製正比關係圖。 ◎能理解正比現象,並發 展正比概念,解決生活 中的問題。. 圖2-1 「正比」單元的教材地位(引自南一出版社國小數學六上備課用書). 9.

(23) 第二節 正比單元解題概念與錯誤類型 壹、「正比」單元概念分析 南一版數學課程裡,是將「正比」從「比與比值」中分離而成另一獨 立單元,因此欲期望能清楚學習正比概念,則與先前的比例概念支建立密 不可分。「比與比值」單元中聚焦基本「比例」觀念的建立,例如:比的 概念、比值的定義、如何轉換成簡單整數比以及比例關係等,但在「正比」 單元中,核心概念轉為比例關係之應用居多,以及透過正比定義判斷何者 為正比關係,而正比定義是:當一變量隨著另一變量以相同的倍數改變, 此兩量即為「正比例關係」,由此亦可定義成:兩量的比值為固定數值, 進而依據兩量固定倍數或比值相等的變化關係,培養解決問題的能力與辨 別正比圖形。可知,「比與比值」與「正比」兩單元實為上下位概念之關 係,所以本研究將比、比值與比例概念作為學習者的先備知識,著重探討 正比問題在實際生活中的應用與問題解決,依據教育部 2003 年頒布的九 年一貫課程綱要針對正比一單元之能力指標整理如下:. 10.

(24) 表 2-1 97 年課程綱要「正比」相關的能力指標 對照 指標 N-3-05 說明:. 分年細 目編號. 內 容 說 明 能認識比和比值,並解決生活中的問題。. 6-n-07. ●從日常問題中,可發現許多需要用到比的關係來問題的解決,此細目中, 介紹比的意義與記法以及比的相等關係,最終目的是讓學生能理解比的 關係與「除」的關係二者相同。 ●相等的比即為兩數並置時的比與另兩數並置時的比,最後皆可簡化為相 同的最簡單整數比。例如:綠豆 1 斤 32 元,2 斤綠豆 64 元,3 斤 96 元…, 可運用列表的方式: 綠豆重量(斤) 1. 2. 3. 價錢(元). 64. 96. 32. 4. 5. 可記為 1:32=2:64=3:96=…,亦可以列成 32:1=64:2=96: 3=….,能推理出接續之比為 4:128=5:160,藉此引導學童理解前項除 以後項的不變性,並說明這些數對具有共同的商,就是比值,因此「一斤 1. 綠豆 32 元」與「1 元可買 斤麵粉」是一樣的。 32. 1. ●在離散量情境時,有時會出現比值為「1 元可買 罐飲料」的情況,雖然 18. 不符合實際具體意義,但卻有解題上的意義。 (續下頁). 11.

(25) 對照 指標 N-3-05. 分年細 目編號. 內 容 說 明. 6-n-09. 能理解正比的現象,並發展正比的概念,解決生活中的 問題。. 說明: ●正比關係與 6-n-08(能理解速度的概念與應用,認識速度的普遍單位及 換算,並處理相關的計算問題。)擁有極高的相關性係。例如:速度固 定時,距離與時間成正比;正方形的周長與邊長成正比。比的相等關係 強調將相比的兩類量寫在一起,直覺上較簡單。例如:1:15=2:30,而 正比則是兩類量關係的延伸,採用列表的方式紀錄與統整,並強調比值 為正比關係中兩者間的關係。 ●與 6-n-07 的例子比較,正比強調綠豆每斤固定為 32 元,斤數與價格成正 比,且可記錄為「價格=32 ×斤數」,所以 4 斤為 128 元,5 斤為 160 元。 ●理解使用不同長度單位去測量時,兩種記法的量呈現正比關係,且其比 值就是單位換算的值。進一步延伸至面積的放大縮小關係。 ●同時讓學生清楚明白何為正比關係,當一量增加,另一量也跟著增加的 現象,不全都是正比關係。例如:年齡問題,哥哥與弟弟的年齡,雖然 都會增加,但非倍數關係,所以不是正比。另外,正方形的面積與邊長 的關係雖有倍數變化關係,但非固定倍數,因此也不是正比關係。 (續下頁). 12.

(26) 對照 指標 A-3-07. 分年細 目編號 6-a-04. 內 容 說 明 能在比例的情境或幾何公式中,透過列表的方式認識 變數。. 說明: ●例題:若小明 5 秒跑 20 公尺,10 秒跑 40 公尺,15 秒跑 60 公尺,20 秒 跑 80 公尺,可用表格紀錄,如下表,能清楚呈現時間與距離之關係。 時間(秒). 5. 10. 15. 20. 距離(公尺) 20. 40. 60. 80. 30. 40. 50. 160. 60 240. 讓學生推理思考其中空白處答案為何,在思考過程中能理解這兩變化 的量是有一個固定的關係,此關係即為正比。 資料來源:國教專業社群網. 貳、影響正比解題因素 許多研究顯示出,學習者解比例問題時,會受到語意的差異、未知數 的位置、數字結構等因素,影響解題成功與否(沈明勳、劉祥通,2002; 魏宗明、劉祥通,2003;馬秀蘭,2005),研究者將其三種因素詳細說明 如下: 一、 語意問題類型 依據學者沈明勳、劉祥通(2002)歸納外國學者Lamon以及國內數學 實驗課程教師手冊之內容,將比例問題分為五類,如下表所示,而不同類 型的語意問題對學童的難易程度有差別,會影響其解題表現;楊錦連(1999) 研究發現,國小六年級學生在這五種類型的比例問題的表現是,交換和組 合問題顯著優於密度和母子問題,而伸縮問題最為困難。. 13.

(27) 表 2-2 比例問題類型 類型 交換問題. 定義 問題情境為以物易物. 密度問題. 由兩個外延量(可直接 計算之量)所形成另一 的內涵量之關係。 兩量中,一為全體量, 一盒軟糖裡,每15顆中就有6顆是芒 另一為部分量。 果口味的,若這一盒軟糖共有現在有 60顆,那麼芒果口味的軟糖有幾顆? 兩量本無關係,但經由 一組餐具需要5個瓷碗與6個餐盤,請 問題陳述而使其有關 問30個餐盤需要搭配幾個瓷碗呢? 連。 若一個量放大,另外一 A、B兩個相似三角形,A的底是12 個量也增隨之放大;反 公分,高是10公分﹔B的底是60公 之,一個量縮小,另外 分,請問B的高是多少公分? 一量數也縮小,且兩量 之比值固定。. 母子問題. 組合問題. 伸縮問題. 二、. 舉例 書局舉辦點數折抵現金活動,50個點 數折抵3元,那麼200個點數可折抵幾 元呢? 16公升的油可行駛44公里,那麼24 公升的油可行駛幾公里呢?. 數字結構. 學生解比例問題時,會依據題目訊息,選用適當策略來完成解題,但 是不同情境的題目給予的不同數字結構,皆會影響學生解提成功率,研究 顯示學生對於整數比例問題較容易理解,而非整數比之問題常感到棘手 (沈明勳、劉祥通,2002) ,學者魏宗明與劉祥通(2003)融合Noelting(1980) 和林福來(1984)的看法,將數字型式分為四種如下所示,在「a:b=c:d」 比例式中: (一)第一種:c是a和b的整數倍。如2:3=6:d。 (二)第二種:只有b是a的整數倍。如2:4=3:d。 (三)第三種:只有c是a的整數倍。如3:5=12:d。 (四)第四種:c不是a與b的整數倍。如2:3=5:d。 14.

(28) 在四種比例式中難易程度分別是第一種最簡單、接著是第二種、第三種, 第四種非整數倍最為困難(楊錦連,1999)。 三、未知數的位置 當比例問題中含有未知數時,此未知數之位置會影響學生解題的困難 度,當未知數是在後項比例式中,表示前項比例式之關係已知,此為「正 向活動」;反之,若未知數放於前項比例式裡,則稱為「逆溯活動」(李 凱雯,2013),必須先有正向活動之經驗累積,才可能發展逆溯活動,因 此,學生在正向活動之解題表現顯著優於逆溯活動(傅宗聖,2007)。 研究者即依照上述三點影響正比解題因素設計自編正比單元診斷測 驗,期望透過多面向試題,來瞭解學習者在正比單元解題情形。. 參、正比單元錯誤類型 錯誤類型的產生意即學習者對於此單元之概念是有缺陷或不完備的, 若依此狀態進行解題時,就會產生錯誤類型。運用不同概念代表著解題策 略的差異,而所對應的錯誤類型亦會有差別,因此,研究者將國內外學者 深究比例問題解題失敗之錯誤類型做以下整理與說明: 表 2-3 「比例問題」錯誤類型文獻探討 研究者 江南青(1984). 錯誤類型 國中生的比例推理發展時,其中有1/3 的學生,會習 慣使用以前所學過的來解題 (續下頁). 15.

(29) 研究者. 錯誤類型. 林福來、郭汾派、. 1.加法策略. 林光賢(1986). 2.資訊誤留 3.忽略資訊 4.加減法(數型) 5.比例前後項錯置. 何意中(1988). 1.任意將題目中的數字加減乘除運算。 2.將題目中的文字、數字錯置為另一類的文字或數字. 魏金財(1994). 1.加法策略 2.同差加減法 3.等倍同差法 4.自定關係 5.忽略資訊 6.比例項倒置 7.圖形概念的差錯 8.資訊保留. 楊錦連(1999). 以絕對思考方式解題,未具備比例概念. 翁宜青(2003). 1.任意的運算 2.誤解題意 3.數字計算錯 4.加法策略 (續下頁). 16.

(30) 研究者 黃寶彰(2003). 錯誤類型 1.比例項錯置 2誤解題意、比與比例概念混淆 4.求比值的概念錯誤(大數除以小數) 5.後項或後項的倒數當作是比值 7.不瞭解比值的意義 8.減法策略 9. 未等量除 10.未考慮題目對後項的指定值 11.倍數關係 12.加法策略 13.資料誤留 14.不具備比例的概念 15.基本量錯亂. 陳曉琪(2006). 1.比和比值混淆 2.最簡單整數比認知不足未化至最簡 3.比值分母和分子錯置 4.比和比值混淆 5.語意轉譯困難 6.解題過程厭惡思考直接作答 7.解題能力不足造成錯誤 8.文字題受多餘訊息影響 9.計算錯誤 10.不當逆轉及運算 (續下頁) 17.

(31) 研究者 林瑋詩(2006). 錯誤類型 1.自訂關係 2.加法策略 3.比例項錯置 4.無規則:數字任意做運算. 李凱雯(2013). 1.加法策略(常數策略) 2.忽略問題部分資訊 3.任意運算 4.誤解題意 5.計算錯誤 6.母子問題類型不清楚 7.個數與重量的平衡觀念不清楚 8.不熟公式解題方法 9.公式前後項位置錯置 10.未完成計算 11.僅列式未計算 12.空白. 18.

(32) 第三節 正比問題之多重解題策略 解題策略是指同一數學題目裡,不同的學習者由於先備知識、題意理 解、思考模式會受到舊有的學習經驗影響,因此採取的解題途徑必然大不 相同,因此在解題歷程裡會呈現出多種正確且合理的解題策略,而非單一 策略能呈現出的多種正確的數學解題方法。 正比解題為比例問題之應用,因此研究者從比例問題之解題策略進行 深究與歸納,從文獻整理出四種解題策略,分別是單價法(Cramer, Post, & Currier, 1993;Hoffer, 1992;Noelting, 1980)、疊加(累加)法(Hart, 1981)、 倍數法(Noelting, 1980;Tourniaire & Pulos, 1985)、公式法(Lamon, 1999), 茲分列說明如下:. 壹、單價法 單價法是無關比例概念,學習者先依據題意先算出單位量,再乘以單 位數(何意中,1988;陳英傑,1992),此解題法內含有 Lamon 在 1994 所提出的單位化(unitizing)觀點,由單一的聚集單位逐漸建立為多重的 聚集單位,能發展更複雜的推理機制。由例題來看「4 罐飲料 56 元,6 罐 飲料要多少錢?」,算出單一罐飲料之價格,56÷ 4 = 14,再計算 6 罐飲 料總額,14 × 6 = 84,得知 6 罐飲料為 84 元,完成解題。若以比例式 4: 56=6:□來剖析,單價法實為囊括「比值單位化」概念,利用左邊比例式 得知比值為. 1 14. (4 ÷ 56 =. 1 14. ),又兩比例式比值不變,因此6 ÷ □ =. 1. ,. 14. 則□=6× 14=84,亦為單元所教授的正比例定義之一。解比例問題的思考 解題過程為:. ×14 4:56=6:□ ×14 19.

(33) 而國內外研究也顯示出,單價法有助於學習者成功解題(劉祥通,2004; Cramer et al., 1993;Hart, 1981;Lamon, 1993)。. 貳、疊加法 疊加法對於低能力學習者的認知負擔輕,他們通常不擅長乘法、不了 解比值定義亦或不會使用分數乘法,就常使用此解題策略(Hart,1981),在 特定數值簡單或是整數倍的比例問題中,能成功解題,但兩量關係若非整 數倍,則運用此法極少數人能正確解題(傅宗聖,2007)。例如:「3 顆 糖果賣 10 元,請問 9 顆糖果賣多少錢?」,學習者會以 3 顆糖果 10 元推 算 6 顆 20 元直到 9 顆 30 元為止,但若數字過大、非整數倍關係則容易解 題失敗。. 參、倍數法 高年級學習者使用倍數法來解決正比問題是較為駕輕就熟且易於理 解的方法,能輕而易舉地掌握倍的概念與使用時機(李凱雯,2013),當 比例式中,兩前(後)項的倍數關係能類比至兩後(前)項並求出未知數, 即是倍數法,如:「4 罐飲料 56 元,8 罐飲料要多少錢?」,學習者能知 道 8 罐飲料是 4 罐飲料的 2 倍(8÷4=2)所以價錢也會是 2 倍,算式為 56× 2 = 112,算出答案是 112 元。解比例問題的思考解題過程為: ×2 4:56=8:□ ×2 此種解題方式能與正比例定義「當一變量隨著另一變量以相同的倍數改變」 相互連結,因此剛學習正比問題時,會採用此策略進行解題。. 20.

(34) 肆、公式法 在教學現場中,教學者會以倍數法先進行正比概念之建立,但若比例 式中兩前(後)項之倍數非整數時,或是未知數的位置在前項比例式,需要 使用逆溯活動解出未知數時,易造成學生解題的障礙與困難,因此,教學 者為了讓學習者成功解答比例問題,並計算出正確的答案,而教授內項乘 積和等於外項乘積之公式解題,即 a:b=c:□,a× □ =b×c,求得□= b×c÷a, 這種解題策略雖然能提升答題成功率,但完全是以數字的計算來解題,失 去學習正比題目的推理、分析及探究,反而流於套公式的計算練習(沈明 勳、劉祥通,2002)。. 21.

(35) 22.

(36) 第三章 研究方法 第一節 研究流程 本研究因欲探究多重解題策略之面向,思索現行的數學課程中能符合 多重解題策略之單元,選定在日常生活中擁有多方面應用的「正比」單元 後,進行相關文獻探討,並且配合數學能力指標、課本教材,首先列舉出 該單元所包含之概念、預先設想解題策略與錯誤類型,並學科專家討論後 建立概念、策略與錯誤類型,依此編製試題,實施預試,而後由預試資料 與專家教師共同修編,完成正式施測卷,正式施測後,回收資料將學生作 答歷程依據判讀規則分析學生概念、策略與錯誤類型,進行結果分析與歸 納,並完成撰寫研究報告,研究流程如圖 3-1,分點敘述如後:. 23.

(37) 確定研究主題. 分析教材與能力指標. 收集與探討相關文獻. 建立試題策略與解題概念、錯誤類型 Q 矩陣. 編製正比診斷測驗. 請資深教師和專家修審題. 預試 修正編製成正式試卷. 正式施測 回收施測資料. 專家判讀解題策略 概念、錯誤類型 撰寫報告 圖 3-1 研究流程圖. 24.

(38) 壹、 「正比」單元認知概念與錯誤類型設計 一、「正比」單元概念分析 依據九年一貫能力數學領域六年級正比之分年細目: 6-n-07 能認識比和比值,並解決生活中的問題。 6-n-09 能理解正比的現象,並發展正比的概念,解決生活中的問題。 將教學目標粗略分為以下三點: 1. 認識兩個數量呈正比的關係。 2. 會繪製正比關係圖。 3. 能理解正比現象,並發展正比概念,解決生活中的問題。 為診斷正比單元之概念有無與不同解題策略,必須將教學目標做更明確且 精細的分析,經研究者參考相關文獻、數學教材、蒐集專家教師意見,正 比單元所需概念彙整如表 3-1,而後的試題之命題設計便根據此表進行: 表 3-1 正比解題概念 代號. 解題概念. S1. 某一個量呈現倍數變化時,另一個量以相同的倍數隨之改變,此 兩數量即是成正比。. S2. 透過兩數量的比值為一固定數,了解成正比與比值相同為等價關 係。. S3. 能將比利用前項除以後項的方式轉換成比值。. S4. 能將比值以分子:分母的方式轉換成比。. S5. 能依據兩數量成正比,寫成相等的比。. S6. 運用相等的比其固定的變化關係,解出未知數。. S7. 運用兩數量比值為固定數,來求出未知數。 (續下頁) 25.

(39) S8. 運用內項乘積等於外項乘積,來求出未知數。. S9. 判別正比關係圖是一條會通過原點的直線。. S10. 求出單位量,再乘以單位數。. 二、「正比」單元錯誤類型 本研究的「錯誤類型」(Bug)是指學生在學習概念不完備之下,進 行解題過程中,發生的固著性錯誤,且自認為是正確,經參考相關文獻、 學科專家商議與預試施測結果,分析與歸納本單元之錯誤類型如表 3-1; 研究者經由和專家教師討論新增 B1、B2、B3 三種錯誤類型,是針對正比 此一概念是否完備所設計,用以判斷學習者清楚了解兩量成正比之定義; 此外,學習者對正比問題的解未知數的思考層次會因題目類型,數字形式 而經常困惑與混淆(傅宗聖,2007),因此透過 B9、B10 能顯示出學習者 是否能清楚認知解題的過程,列表如下: 表 3-2 「正比」之錯誤類型 代. 錯誤類型. 文獻出處. 號 B1. 兩數量同時增減固定數值即為正比 認為兩數量有倍數變化關係(非固定. B2. 倍數)即為正比 認為兩數量相乘為一固定數值即成. B3. 正比. 陳曉琪(2006) 陳曉琪(2006). 研究者設計 何意中(1988)、黃寶彰(2003)、. B4. 無法依照題意列出正確算式. 翁宜青(2003)、Tourniaire & Pulos(1985) (續下頁) 26.

(40) 林福來、郭汾派、林光賢(1985)魏. B5. 比值轉換成比的前後項錯置. B6. 列出相等的比時,前項、後項錯置. B7. 相等的比,前後項未等量乘除. 黃寶彰(2003). B8. 將整數比取倒數後視為相等的比. 研究者設計. 金財(1994) 林福來、郭汾派、林光賢(1985) 魏金財(1994). 能算出兩前(後)項的倍數,但無法 B9. 陳曉琪(2006) 判斷該以乘法或是除法來求未知數. B10 相等的比中,內外項與前後項混淆. 曹秀如(2011). 貳、修審試卷 研究者編制正比試題後,為避免因題目語句混淆、題意不清內容或是 圖片不清楚等,造成受試者的困惑,影響正式施測之作答情形,特請四位 學科專家與四名現職教師一同相互審題,刪減與修正試題,以提升試卷之 內容效度,以利正式施測。. 肆、專家資料判讀效標 回收 497 份有效試卷,依據學生作答歷程,進行專家人工判讀,再輸 入成資料,輸入類別分為選擇題對錯、建構反應題對錯、概念有無、錯誤 類型有無以及使用的解題策略等五大類。若答對或是有概念(錯誤類型), 則輸入 1;答錯或是沒有概念(錯誤類型),則輸入 0,如空白則以 99 為 代號,無法判別則是 88,判讀規則整理如表 3-3,為仔細說明專家判讀歷 程,以表 3-4 舉例解釋。. 27.

(41) 表 3-3 專家判讀規則 概念 選擇題答案. 建構反應歷程. 錯誤類型有無. 解題策略. 有無 對(1). 對(1). 1. 0. M1~M15. 錯(0). 對(1). 1. 0. M1~M15. 對(1). 錯(0). 0/1. 0/1. M1~M15. 錯(0). 錯(0). 0/1. 0/1. M1~M15. 空白(99). 空白(99). 99. 99. 99. 無法判別(88). 無法判別(88). 0. 0. 88. 備註:從作答過程若有證據顯示有概念或錯誤類型則判為 1,沒有則判 0; 而從做答歷程無法判別時,判為 88;作答空白時判為 99。. 28.

(42) 表 3- 4 專家判讀過程說明 (. )8. 當固定三角形的高時,三角形的 選擇題型作答. 2 ,受試者選答為 底和面積成正比,若底是 12 公分, 正確答案為○ 面積是 72 平方公分,那麼面積是 48. ○ 3 ,故錯誤,判 0。. 平方公分時,則底是幾公分呢?. ○ 1 6 ○ 2 8 ○ 3 18 ○ 4 288 公分 建構反應題型作答 概念判讀: (1)12:72=□:48 具概念 S5(能能依據兩數量成 正比,寫成相等的比) (2)72÷48=1.5 具有概念 S6(用 相等的比其固定的變化關係, 解出未知數)前半部,但後半 部出現錯誤類型,因此判無 S6 錯誤類型判讀: 12×1.5=18,發生 B9(能算出 兩前(後)項的倍數,但無法判斷 該以乘法或是除法來求未知數 策略部分: 雖然受試者發生 B7,但專家認 定其應運用概念為 S5、S6 所發 生之錯誤類型,故策略判讀 M10。. 29.

(43) 第二節 研究對象 壹、 預試樣本 研究者以台中市一所國小六年級學生為預試施測對象,人數約 60 人, 根據回收的試卷審視試題,修改、淘汰並增加、概念技能、錯誤類型與事 先未設想的解題策略,再進行編製成正式試卷。. 貳、 正式施測樣本 本研究對象以台中市市區、海線以及彰化縣市區等四所學校,共十九 個班級,實際施測人數約 509 人,有效樣本為 497 名六年級學生。. 第三節 研究工具 透過紙本施測後,研究者將回收之資料,先以 Microsoft Office Excel 軟體登錄受試者的作答反應訊息,並整理歸納後,再利用 SPSS 軟體進行 資料分析。. 壹、SPSS 統計套裝軟體 SPSS 統計套裝軟體(Statistical Package for Social Science),用以基 礎統計分析,可用於大量資料之分析,常為「社會科學」所用之統計分析 軟體,其統計方法包括了總計、計算、交叉表、分群、描述性統計量、因 子分析、迴歸與群集分析,並且擁有用互動式條形圖與線性圖形,可以比 較輕易不同群組之間的分析結果。. 貳、試題命題卡 本研究施測試題分為選擇題與建構反應題兩種題型來收集學生作答 資料,而此命題卡也因此包含選項、所需概念、可能發生的錯誤類型以及 使用的策略,分別詳細規畫成表,回收作答資料後即以此命題卡進行人工 30.

(44) 分析,以試題 5 為例如下: 表 3-5 「正比」試題 5 命題卡 題目 5 選項. (. )5. 已知 3 袋糖果可以分裝成 12 包,按照此種分法,宗 唐買了 24 袋糖果,請問可以分裝成幾包? 選項 1 選項 2 選項 3 選項 4 6包 8包 96 包 1 1 包 2. 錯誤類型. 所需概念. 正確 B6 直接將數字 列出相等的比時,前 能算出兩量變 答案 進行計算 項、後項錯置 化的關係,但未 3×12÷24= 完成解題 B10 相等的比中,內外項 3:12=24:□ 1 1 2 與前後項混淆 24÷3=8 3:12=24:□ 3×24÷12=6 or 3:12=24:□ 24÷12=2 3×2=6 B9 能算出兩前(後)項 的倍數,但無法判斷 該以乘法或是除法 來求未知數 12÷3=4 24÷4=6 S3 能將比利用前項除以後項的方式轉換成比值 S5 能依據兩數量成正比,寫成相等的比之算式 S6 運用相等的比其固定的變化關係,解出未知數 S7 運用兩數量比值為固定數,來求出未知數 S8 運用內項乘積等於外項乘積,來求出未知數 S10 求出單位量,再乘以單位數 (續下頁). 31.

(45) 策略 9 作答歷程. S5. S3. 3:12=24:□. S7. 3÷12= 1. 4. 24÷□= 1. 4. □=24÷ 1. 4. 錯誤類型. 策略 10 作答歷程. B6 列出相等的 比時,前 項、後項錯 置. B7 相等的比, 前後項未等 量乘除. S5 3:12=24:□. □=24×4=96 B9 能算出兩量 能算出兩前(後)項 變化的關 的倍數,但無法判 係,但未完成 斷該以乘法或是除 解題 法來求未知數 S6 ×8 3:12=24:□ ×8. 錯誤類型. 策略 11 作答歷程. 錯誤類型. B6 列出相等的 比時,前 項、後項錯 置. B7 相等的比, 前後項未等 量乘除. S5 3:12=24:□. B6 列出相等的 比時,前 項、後項錯 置. 24÷3=8 □=12×8 □=96. B10 能算出兩量 相等的比中,內外 變化的關 項與前後項混淆 係,但未完成 B9 解題 能算出兩前(後)項 的倍數,但無法判 斷該以乘法或是除 法來求未知數 S8 12×24=3×□ □=288÷3 □=96. B7 相等的比, 前後項未等 量乘除. B10 相等的比中,內外項與前後項混淆. (續下頁). 32.

(46) 策略 12. S10 12÷ 3 = 4 作答歷程 24 × 4 = 96 B9 能算出兩前(後)項的倍數,但無法判斷該以乘法或是除法來求 錯誤類型 未知數 12÷ 3 = 4 24÷4=6 無同時具 skill 與 bug 情形. 參、 正比試卷分析 本試卷為自編診斷測驗,施測試題共有 15 題,根據單元目標而預先 設計的 10 個概念(S1~S10)為主要命題內容,題型同時兼具選擇題與建 構反應題兩種題型來收集學生作答資料,因此各題選項也配合 10 個錯誤 類型(B1~B10)來設計,依據收回之試卷資料,進行統計分析,此份試卷 信度為 0.8,可知本測驗具有良好的信度。. 33.

(47) 34.

(48) 第四章 研究結果 本研究主要為探討學生在解題過程中所選用的策略及其包含之概念 與產生錯誤類型對數學成就的關係,透過建構題呈現的訊息分析,再藉由 認知診斷模式分析單一解題策略與多重解題策略之成效,依研究計畫整理 成四節說明如下:. 第一節 各題解題策略對概念及錯誤類型之分析 為瞭解學生在正比單元所使用的解題策略、概念與錯誤類型三者之關 係,研究者以各試題所呈現的解題策略探討其涵蓋之概念,以及當概念不 熟練時、不完備時,可能發生之錯誤類型,將其結果分別敘述如下:. 壹、非語意問題試題分析 一、正比定義概念題: 試題 1 與試題 2 皆在評量學生對於正比定義的概念掌握,下表 4-1 為 試題 1 之實際作答情形。策略 1(M1)是能從兩變量以相同倍數變化判斷 為正比例關係,策略 2(M2)則是由兩變量的比值相等來判定是否為正比 例關係,表 4-2 與表 4-3 顯示出使用 M2 的人數較多,答對率也較高,表 示學生易以 M2 來判斷正比例關係;使用 M1 的受試者則對於 S1(對於某 一個量呈現倍數變化時,另一個量以相同的倍數隨之改變,此兩數量即是 成正比)之概念較難掌握,且發生錯誤類型 B1(加法策略,兩數量同時增 減固定數值即為正比)、B2「認為兩數量有倍數變化關係(非固定倍數) 即為正比」之比率也較高,因此學生對於判定兩變量之倍數關係是較困難 的,此外,當學生有能力將題目訊息轉換成圖表方式呈現,表示能完全掌 握 S9(判別正比關係圖是一條會通過原點的直線),因此使用 M4 在試題 35.

(49) 2 之答題率為 100%。 表 4-1 試題 1 實際作答情形說明. 試題 1 題目. M1(S1). S419. M2(S2). S418. 36.

(50) 表 4-2 試題 1 策略對概念技能和錯誤類型之關係 策略編號. M1. M2. 其他. 總和. 策略使用人數. 141. 275. 81. 497. 個數. 7. 81. 88. 的概. 百分率. (5.0%). (100%). (17.7%). 念技. 個數. 2. 80. 82. 百分率. (0.7%). (98.8%). (16.5%). 試題 1. 缺乏 S1. 能. S2 個數. 10. 3. 0. 13. 百分率. (7.1%). (1.1%). (0%). (2.6%). 個數. 14. 19. 0. 33. 百分率. (10%). (7.0%). (0%). (6.6%). 個數. 0. 8. 0. 8. 百分率. (0%). (2.9%). (0%). (1.6%). 個數. 114. 226. 47. 387. 百分率. (80.9%). (82.2%). (58%). (77.9%). B1 錯誤 類型. B2. B3. 答對率 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總 人數. 37.

(51) 表 4-3 試題 2 策略與概念技能和錯誤類型之關係 策略編號. M1. M2. M4. 其他. 總和. 策略使用人數. 46. 195. 5. 251. 497. 個數. 3. 251. 254. 百分率. (6.5%). (100%). (51.1%). 試題 2 缺 乏. S1. 的 概. 個數. 2. 250. 239. 百分率. (1.0%). (99.6%). (50.7%). S2. 念. 個數. 0. 251. 251. 百分率. (0%). (100%). (50.5%). 技 S9 能. 個數. 1. 1. 0. 0. 2. 誤. 百分率. (2.2%). (0.5%). (0%). (0%). (0.4%). 類. 個數. 0. 1. 0. 0. 1. 百分率. (0%). (0.5%). (0%). (0%). (0.2%). 個數. 37. 172. 5. 191. 405. 百分率. (80.4%). (88.2%). (100%). (76.1%). (81.5%). 錯 B1. 型. B2. 答對率 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總 人數. 38.

(52) 二、正比計算題 試題 3 與試題 14 主要探究學生在已知正比關係時,運用比例式相等 與比值相同此兩策略使用情形,以試題 3 為例,如表 4-4。M5 是利用比例 式相等求解,而 M6 則是以比值相同之角度求解,從表 4-5 與表 4-6 發現 大多數受試者使用 M5 進行解題,但進一步探討,發現使用 M5 容易發生 B5(比值轉換成比的前後項錯置) 、B8(將整數比取倒數後視為相等的比) 兩種錯誤類型,顯示受試者對於找出兩變量之間的倍數關係是不熟練的, 反觀使用 M6 的受試者,在概念上的完整性是較好的,但是在處理有理數 的計算能力需要補強,才能減低 B8 的錯誤類型。 表 4-4 試題 3 實際作答情形說明. 試題 3 題目. 策略. 作答情形. 受試者代號. M5. S472. M6. S435. 39.

(53) 表 4-5 試題 3 策略對概念技能和錯誤類型之關係 策略編號. M5. M6. 其他. 總和. 策略使用人數. 370. 75. 52. 497. 個數. 0. 48. 48. 百分率. (0%). (92.3%). (9.7%). 個數. 10. 48. 58. 的概. 百分率. (13.3%). (92.3%). (11.7%). 念技. 個數. 56. 50. 106. 百分率. (15.1%). (96.2%). (21.3%). 個數. 60. 51. 111. 百分率. (16.2%). (98.1%). (22.3%). 個數. 56. 10. 0. 66. 百分率. (15.1%). (13.3%). (0%). (13.3%). 個數. 15. 1. 0. 16. 百分率. (4.1%). (1.3%). (0%). (3.2%). 個數. 45. 11. 1. 57. 百分率. (12.2%). (14.7%). (1.9%). (11.5%). 個數. 239. 52. 19. 309. 百分率. (64.6%). (69.3%). (36.5%). (62.2%). 試題 3. S2 缺乏 S3. 能. S4. S5. B5 錯誤 類型. B7. B8. 答對率 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總 人數 40.

(54) 表 4-6 試題 14 策略對概念技能和錯誤類型之關係 試題 14. 策略編號. M5. M6. 其他. 總和. 策略使用人數. 378. 54. 65. 497. 0. 65 (13.1%) 6 (13.3%) 89 (17.9%) 98 (19.7%) 39 (7.8%) 55 (11.1%). S2 缺乏 S3 的概 念技 能 S4 S5. 錯誤 類型. B5 B7. 答對率. 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率. 24 (6.3%) 33 (8.7%) 24 (6.3%) 32 (8.5%). 1 (1.9%) 4 (7.4%). 65 (100%) 65 (100%) 65 (100%) 65 (100%) 14 (21.5%) 19 (29.2%). 個數. 329. 50. 13. 392. (20.0%). (78.9%). (0%) 1 (1.9%). 百分率 (87%) (92.6%) 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白. 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總 人數 三、正比計算題-逆溯活動 試題 4 主要評量學生在比例問題中的逆溯活動表現情形,文獻指出未 知數之位置會影響解題成功率,尤以未知數在前項比例式時,困難度最高, 時作答情形如表 4-7,因此研究者欲藉由試題 4 探究學生作答情形,將結 果整理成表 4-8,M3 為公式法,M8 為倍數法,發現使用 M3 的使用人數 多、答對率高、缺乏概念之比率少,但會發生錯誤類型 B10 (相等的比中, 內外項與前後項混淆)。M8 相較之下,答對率低,受試者較容易缺少 S6 (運用相等的比其固定的倍數變化關係,解出未知數),表示比例問題的 41.

(55) 逆溯活動中,對於學生來說,如何利用已知的倍數正確判斷而解出未知數 之過程,是較為困難的。 表 4-7 試題 4 實際作答情形說明. 試題 3 題目. 策略. 作答情形. 受試者代號. M3. S188. M8. S103. 表 4-8 試題 4 策略對概念技能和錯誤類型之關係 試題 4 缺乏 S6 的概 念技 能 S8. 策略編號. M3. M8. 其他. 總和. 策略使用人數. 236. 212. 49. 497. 個數. 45. 47. 92. 百分率. (21.2%). (95.9%). (18.5%). 個數. 23. 47. 70. 百分率. (9.7%). (95.9%). (14.1%) (續下頁). 42.

(56) 試題 4. 策略編號. M3. M8. 其他. 總和. 策略使用人數. 236. 212. 49. 497. 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率. 1 (0.4%) 0 (0%) 12 (5.1%). 1 (0.5%) 13 (6.1%) 16 (7.5%). 2 (4.1%) 0 (0%) 1 (2.0%). 4 (0.8%) 13 (2.6%) 29 (5.8%). 個數. 208. 162. 2. 372. (4.1%). (74.8%). B6 錯誤 B9 類型 B10 答對率. 百分率 (88.1%) (76.4%) 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白. 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總 人數. 四、正比圖形 試題 12 與試題 14 為,評量學生對於正比圖形的概念掌握,是否能從 表格判斷正比例關係,進而選出對應正比圖形,受試者在試題 12 實際作 答情形如表 4-9,並將策略對概念與錯誤類型整理成表 4-10、4-11,主要 分為三種策略 M4(畫圖法)、M14(倍數法)與 M15(比值法),使用 M4 能直接掌握正比圖型概念,答對率高,使用 M15 人數最多,但也容易 受數字影響,而忽略正比圖形定義。. 43.

(57) 表 4-9 試題 4 實際作答情形說明. 試題 12 題目. 策略. 作答情形. 受試者代號. M4. S114. M14. S211. M15. S116. 44.

(58) 表 4-10 試題 12 策略對概念技能和錯誤類型之關係 試題 12 缺 乏 的 概 念 技 能. 策略編號. M4. M14. M15. 其他. 總和. 策略使用人數. 35. 21. 240. 201. 497. 19 (7.9%) 33. 201 (100%) 201 (100%) 126. 202 (40.6%) 220 (44.3%) 167. S1 S2 S9. 答對率. 個數 百分率 個數 百分率 個數. 2. 百分率. (5.7%). 個數. 31. 1 (4.8%). 6. (28.6%) (13.8%) (62.7%) (33.6%) 14. 191. 91. 327. 百分率 (88.6%) (66.7%) (79.6%) (45.3%) (65.8%) 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總 人數. 表 4-11 試題 15 策略與概念技能和錯誤類型之關係 試題 15 缺 乏 的 概 念 技 能. S1 S2 S9. 答對率. 策略編號. M4. M14. M15. 其他. 總和. 策略使用人數. 311. 45. 118. 23. 497. 23 (100%) 23 (100%) 17. 24 (4.8%) 25 (5.0%) 27. 個數 百分率 個數 百分率 個數. 6. 0. 2 (1.7%) 4. 百分率. (1.9%). (0%). (3.4%). (73.9%). (5.4%). 個數. 304. 44. 110. 10. 468. 百分率. 1 (2.2%). (97.7%) (97.8%) (93.2%) (43.5%) (94.2%) (續下頁). 45.

(59) 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總 人數. 貳、語意問題試題分析 正比語意問題中可使用之解題策略較多元,且語意問題的類型同時也 影響著學生解題情形,因此將針對各題不同語意問題分析如下: 一、組合問題 研究者配合數字結構第一種:a:b=c:d,c是a和b的整數倍,如3:5=12: d,設計成試題5,實際作答情形如表4-12,欲了解學生在此種類型問題之 解題情形,依據表4-13得知,使用M9、M10、M11三種策略,缺乏S5(能 依據兩數量成正比,寫成相等的比)比率雖高,但因S5為單純列式,不影 響解題答對率。而在四種策略的主要解題概念S7(運用兩數量比值為固定 數,來求出未知數)、S6(運用相等的比其固定的倍數變化關係,解出未 知數)、S8(運用內項乘積等於外項乘積,來求出未知數)、S10(求出 單位量,再乘以單位數)裡,以S10缺乏率最高,加上發生錯誤類型B9比 率也最高,造成M12的答對率最低。. 46.

(60) 表 4-12 試題 5 實際作答情形說明. 試題 5 題目. 策略. 作答情形. 受試者代號. M9. S333. M10. S335. M11. S341. M12. S378. 47.

(61) 表 4-13 試題 5 策略對概念技能和錯誤類型之關係 策略編號 試題 5. 策略使用人 數. S3 缺 乏 的 概 念 技 能. S5 S6 S7 S8 S10 B4. 錯 B6 誤 類 B9 型 B10 答對率. 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數. M9. M10. M11. M12. 其他. 總和. 4. 279. 151. 35. 28. 497. 2 (50%) 2 73 11 (50%) (26.2%) (7.3%) 24 (8.6%) 0 (0%) 2 (1.3%). 0 (0%) 0 (0%) 0 (0%) 0 (0%) 4. 28 (100%) 24 (85.7%) 28 (100%) 28 (100%) 28 (100%) 9 28 (25.7%) (100%) 0 0 0 2 (0%) (0%) (0%) (7.1%) 18 9 0 0 (6.5%) (6.0%) (0%) (.0%) 9 0 7 1 (3.2%) (.0%) (20.0%) (3.6%) 1 1 0 0 (0.4%) (0.7%) (0%) (0%) 243. 141. 28. 5. 30 (6%) 110 (22.1%) 52 (10.5%) 28 (5.6%) 30 (6%) 37 (7.4%) 2 (0.4%) 27 (5.4%) 17 (3.4%) 2 (0.4%) 421. 百分率 (100%) (87.1%) (93.4%) (80.0%) (17.9%) (84.7%) 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總 人數. 48.

(62) 二、交換問題 試題6實際作答情形如表4-14,從表4-15可知,在交換問題中使用M1 表現最好,無缺乏之概念和發生的錯誤類型,M10、M11兩種策略答對率 無差異,但M10缺乏主要解題概念S6的比率高於M11的S8,M10易發生錯 誤類型B9,而M11則是易發生B6,在此題中使用M9的答對率遠低於其他 策略,與數字結構為非整數倍數有關,受試者因有理數的計算能力不足, 而造成答對率降低。 表 4-14 試題 6 實際作答情形說明. 試題 6 題目. 策略. 作答情形. 受試者代號. M9. S344. M10. S097. M11. S123. (續下頁) 49.

(63) 策略. 作答情形. 受試者代號. M12. S302. 表 4-15 試題 6 策略與概念技能和錯誤類型之關係 策略編號 試題 6. S3 缺 乏 的 概 念 技 能. S5 S6 S7 S8 S10. 錯 B6 誤 類 B9 型 答對率. 策略使用人 數 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率. M9. M10. M11. M12. 其他. 總和. 4. 303. 150. 6. 34. 497. 0 (0%) 0 (0%) 0 (0%). 34 (100%) 29 (85.3%) 33 (97.1%) 34 (100%) 28 (100%) 34 (100%) 0 (.0%) 0 (0%). 34 (6.8%) 125 (25.2%) 53 (10.7%) 35 (7.0%) 33 (6.6%) 34 (6.8%) 9 (1.8%) 10 (2.0%). 6. 4. 439. 0 (0%) 1 86 9 (25%) (28.4%) (6.0%) 20 (6.6%) 1 (25%) 5 (3.3%). 1 (25%) 1 (25%) 2. 3 5 (1.0%) (3.3%) 9 0 (3%) (0%) 285. 142. (50%) (94.1%) (94.7%) (100%) (11.8%) (88.3%) (續下頁). 50.

(64) 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總 人數. 三、密度問題 試題7與試題9皆為密度問題,但試題7以表格方式呈現題目訊息,因 此兩題的解題策略與使用概念會略有差異,以試題7為說明,作答情形如 下表4-16,將結果整理如表4-17、4-18,發現以S5的差異最為明顯,表格 能直接呈現兩變量關係,受試者可以直接提取所要的前後項倍數關係,而 無須列式,因此缺乏S5的比率達42.6%,但不影響答對率,也因題目是以 表格方式,所以使用M13(比值法)的人數也增加許多。試題9是以文字方 式敘述,修正數字結構第三種變為a:b=c:d,只有d是a的整數倍,如3:5 =c:12,因此使用M10、M11之受試者容易將兩前項倍數關係,錯置為兩 外項倍數關係,發生錯誤類型B9「能算出兩前(後)項的倍數,但無法判斷 該以乘法或是除法來求未知數」與B10(相等的比中,內外項與前後項混 淆),而此題數字結構為非整數倍數,因此使用M9、M12的人數大幅下降。. 51.

(65) 表 4-16 試題 7 實際作答情形說明. 試題 7 題目. 策略. 作答情形. 受試者代號. M10. S344. M11. S308. M12. S211. M13. S425. 52.

(66) 表 4-17 試題 7 策略對概念技能和錯誤類型之關係 試題 7. 策略編號. M10. M11. M12. M13. 其他. 總和. 策略使用人數. 235. 88. 9. 64. 101. 497. S3 缺 乏 的 概 念 技 能. S5 S6 S7 S8 S10 B1. 錯 B2 誤 類 B9 型 B10 答對率. 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數. 8 100 (12.5%) (99%) 100 2 98 (42.6%) (3.4%) (97%) 26 101 (11.1%) (100%) 11 101 (17.2%) (100%) 1 101 (1.1%) (100%) 1 101 (11.1%) (100%) 26 0 0 0 34 (11.1%) (0%) (0%) (0%) (33.7%) 0 0 0 0 6 (0%) (0%) (0%) (0%) (5.9%) 0 0 0 8 0 (0%) (0%) (0 %) (12.5%) (0%) 0 1 0 0 0 (0%) (1.1%) (0%) (0%) (0%) 209. 87. 8. 52. 8. 108 (21.7%) 200 (40.2%) 127 (25.6%) 112 (22.5%) 103 (20.7%) 102 (20.5%) 60 (12.1%) 6 (1.2%) 8 (1.6%) 1 (0.2%) 364. 百分率 (88.9%) (98.9%) (88.9%) (81.3%) (7.9%) (73.2%) 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總 人數. 53.

(67) 表 4-18 試題 9 策略對概念技能和錯誤類型之關係 策略編號 試題 9. 策略使用人 數. S3 缺 乏 的 概 念 技 能. S5 S6 S7 S8 S10 B4. 錯 B6 誤 類 B9 型 B10 答對率. M9. M10. M11. M12. 其他. 總和. 2. 169. 240. 5. 81. 497. 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率. 0 (0%) 1 (50%). 個數. 1. 27 10 (16%) (4.2%) 58 (34.3%). 1 (50%) 14 (5.8%). 0 2 2 (0%) (1.2%) (0.8%) 0 8 7 (0%) (4.7%) (2.9%) 1 23 0 (50%) (13.6%) (0%) 0 12 7 (0%) (7.1%) (2.9%) 109. 215. 81 (100%) 70 (86.4%) 81 (100%) 80 (98.8%) 81 (100%) 3 81 (60%) (100%) 0 3 (0%) (3.7%) 0 3 (0%) (3.7%) 3 0 (60.0%) (0%) 0 0 (0%) (0%) 2. 百分率 (50%) (64.5%) (89.6%) (40%) 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白. 0. 81 (16.3%) 108 (21.7%) 139 (28.0%) 81 (16.3%) 95 (14.5%) 84 (14.1%) 7 (1.4%) 18 (3.6%) 27 (5.4%) 19 (3.8%) 327. (4.9%) (65.8%). 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總 人數. 54.

(68) 四、子母問題 將受試者在試題11作答情形如表4-19,從作答反應來看,子母問題若 以分數形式呈現,對學生最大的挑戰應是理解題意,許多受試者都以直觀 作答將題目中有的數字直接相乘作答發生錯誤類型B4(無法依照題意列出 正確算式),而能了解題意正確列式之受試者又會侷限於分數計算能力的 不熟練發生錯誤類型B9、B10,如表4-20造成此題總答對率僅有45.3%。當 受試者能以M9(比值法)為使用的解題策略,表示具備較完整的分數計算 能力,答對率為最高;除此之外,當受試者使用M11(公式法),在數字 推理的認知負荷量來說,是小於M10(倍數法),因此較少概念缺乏及錯誤 類型的產生。 表 4-19 試題 11 實際作答情形說明. 試題 11 題目. 策略. 作答情形. 受試者代號. M9. S247. M10. S427. (續下頁) 55.

數據

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參考文獻

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