第二章 文獻探討
第二節 正比單元解題概念與錯誤類型
壹、「正比」單元概念分析
南一版數學課程裡，是將「正比」從「比與比值」中分離而成另一獨 立單元，因此欲期望能清楚學習正比概念，則與先前的比例概念支建立密 不可分。「比與比值」單元中聚焦基本「比例」觀念的建立，例如：比的 概念、比值的定義、如何轉換成簡單整數比以及比例關係等，但在「正比」
單元中，核心概念轉為比例關係之應用居多，以及透過正比定義判斷何者 為正比關係，而正比定義是：當一變量隨著另一變量以相同的倍數改變，
此兩量即為「正比例關係」，由此亦可定義成：兩量的比值為固定數值，
進而依據兩量固定倍數或比值相等的變化關係，培養解決問題的能力與辨 別正比圖形。可知，「比與比值」與「正比」兩單元實為上下位概念之關 係，所以本研究將比、比值與比例概念作為學習者的先備知識，著重探討 正比問題在實際生活中的應用與問題解決，依據教育部 2003 年頒布的九 年一貫課程綱要針對正比一單元之能力指標整理如下：
表 2-1
97 年課程綱要「正比」相關的能力指標 對照
指標
分年細
目編號 內 容 說 明
N-3-05 6-n-07 能認識比和比值，並解決生活中的問題。
說明：
●從日常問題中，可發現許多需要用到比的關係來問題的解決，此細目中，
介紹比的意義與記法以及比的相等關係，最終目的是讓學生能理解比的 關係與「除」的關係二者相同。
●相等的比即為兩數並置時的比與另兩數並置時的比，最後皆可簡化為相 同的最簡單整數比。例如：綠豆 1 斤 32 元，2 斤綠豆 64 元，3 斤 96 元…，
可運用列表的方式：
綠豆重量（斤） 1 2 3 4 5 價錢（元） 32 64 96
可記為 1：32＝2：64＝3：96＝…，亦可以列成 32：1＝64：2＝96：
3＝….，能推理出接續之比為 4：128=5：160，藉此引導學童理解前項除 以後項的不變性，並說明這些數對具有共同的商，就是比值，因此「一斤 綠豆 32 元」與「1 元可買1
32斤麵粉」是一樣的。
●在離散量情境時，有時會出現比值為「1 元可買1
18罐飲料」的情況，雖然 不符合實際具體意義，但卻有解題上的意義。
（續下頁）
12
對照 指標
分年細
目編號 內 容 說 明
N-3-05 6-n-09 能理解正比的現象，並發展正比的概念，解決生活中的 問題。
說明：
●正比關係與 6-n-08（能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位及 換算，並處理相關的計算問題。）擁有極高的相關性係。例如：速度固 定時，距離與時間成正比；正方形的周長與邊長成正比。比的相等關係 強調將相比的兩類量寫在一起，直覺上較簡單。例如：1：15=2：30，而 正比則是兩類量關係的延伸，採用列表的方式紀錄與統整，並強調比值 為正比關係中兩者間的關係。
●與 6-n-07 的例子比較，正比強調綠豆每斤固定為 32 元，斤數與價格成正 比，且可記錄為「價格＝32 ×斤數」，所以 4 斤為 128 元，5 斤為 160 元。
●理解使用不同長度單位去測量時，兩種記法的量呈現正比關係，且其比 值就是單位換算的值。進一步延伸至面積的放大縮小關係。
●同時讓學生清楚明白何為正比關係，當一量增加，另一量也跟著增加的 現象，不全都是正比關係。例如：年齡問題，哥哥與弟弟的年齡，雖然 都會增加，但非倍數關係，所以不是正比。另外，正方形的面積與邊長 的關係雖有倍數變化關係，但非固定倍數，因此也不是正比關係。
（續下頁）
對照 指標
分年細
目編號 內 容 說 明
A-3-07 6-a-04 能在比例的情境或幾何公式中，透過列表的方式認識 變數。
說明：
●例題：若小明 5 秒跑 20 公尺，10 秒跑 40 公尺，15 秒跑 60 公尺，20 秒 跑 80 公尺，可用表格紀錄，如下表，能清楚呈現時間與距離之關係。
時間（秒） 5 10 15 20 30 40 50 60 距離（公尺） 20 40 60 80 160 240
讓學生推理思考其中空白處答案為何，在思考過程中能理解這兩變化 的量是有一個固定的關係，此關係即為正比。
資料來源：國教專業社群網
貳、影響正比解題因素
許多研究顯示出，學習者解比例問題時，會受到語意的差異、未知數 的位置、數字結構等因素，影響解題成功與否（沈明勳、劉祥通，2002；
魏宗明、劉祥通，2003；馬秀蘭，2005），研究者將其三種因素詳細說明 如下：
一、 語意問題類型
依據學者沈明勳、劉祥通（2002）歸納外國學者Lamon以及國內數學 實驗課程教師手冊之內容，將比例問題分為五類，如下表所示，而不同類 型的語意問題對學童的難易程度有差別，會影響其解題表現；楊錦連（1999）
研究發現，國小六年級學生在這五種類型的比例問題的表現是，交換和組 合問題顯著優於密度和母子問題，而伸縮問題最為困難。
14
（沈明勳、劉祥通，2002），學者魏宗明與劉祥通（2003）融合Noelting(1980) 和林福來（1984）的看法，將數字型式分為四種如下所示，在｢a：b=c：d」
比例式中：
（一）第一種：c是a和b的整數倍。如2：3＝6：d。
（二）第二種：只有b是a的整數倍。如2：4＝3：d。
（三）第三種：只有c是a的整數倍。如3：5＝12：d。
（四）第四種：c不是a與b的整數倍。如2：3＝5：d。
在四種比例式中難易程度分別是第一種最簡單、接著是第二種、第三種，
第四種非整數倍最為困難（楊錦連，1999）。
三、未知數的位置
當比例問題中含有未知數時，此未知數之位置會影響學生解題的困難 度，當未知數是在後項比例式中，表示前項比例式之關係已知，此為｢正 向活動」；反之，若未知數放於前項比例式裡，則稱為｢逆溯活動」（李 凱雯，2013），必須先有正向活動之經驗累積，才可能發展逆溯活動，因 此，學生在正向活動之解題表現顯著優於逆溯活動（傅宗聖，2007）。
研究者即依照上述三點影響正比解題因素設計自編正比單元診斷測 驗，期望透過多面向試題，來瞭解學習者在正比單元解題情形。
參、正比單元錯誤類型
錯誤類型的產生意即學習者對於此單元之概念是有缺陷或不完備的，
若依此狀態進行解題時，就會產生錯誤類型。運用不同概念代表著解題策 略的差異，而所對應的錯誤類型亦會有差別，因此，研究者將國內外學者 深究比例問題解題失敗之錯誤類型做以下整理與說明：
表 2-3
「比例問題」錯誤類型文獻探討
研究者 錯誤類型
江南青（1984） 國中生的比例推理發展時，其中有1/3 的學生，會習 慣使用以前所學過的來解題
（續下頁）
16
研究者 錯誤類型
林福來、郭汾派、
林光賢（1986)
1.加法策略 2.資訊誤留 3.忽略資訊
4.加減法（數型）
5.比例前後項錯置
何意中（1988） 1.任意將題目中的數字加減乘除運算。
2.將題目中的文字、數字錯置為另一類的文字或數字
魏金財（1994） 1.加法策略 2.同差加減法 3.等倍同差法 4.自定關係 5.忽略資訊 6.比例項倒置 7.圖形概念的差錯 8.資訊保留
楊錦連（1999） 以絕對思考方式解題，未具備比例概念 翁宜青（2003） 1.任意的運算
2.誤解題意 3.數字計算錯 4.加法策略
（續下頁）
研究者 錯誤類型 黃寶彰（2003） 1.比例項錯置
2誤解題意、比與比例概念混淆
4.求比值的概念錯誤（大數除以小數）
5.後項或後項的倒數當作是比值 7.不瞭解比值的意義
8.減法策略 9. 未等量除
10.未考慮題目對後項的指定值 11.倍數關係
12.加法策略 13.資料誤留
14.不具備比例的概念 15.基本量錯亂
陳曉琪（2006） 1.比和比值混淆
2.最簡單整數比認知不足未化至最簡 3.比值分母和分子錯置
4.比和比值混淆 5.語意轉譯困難
6.解題過程厭惡思考直接作答 7.解題能力不足造成錯誤 8.文字題受多餘訊息影響 9.計算錯誤
10.不當逆轉及運算
（續下頁）
18
研究者 錯誤類型
林瑋詩（2006） 1.自訂關係 2.加法策略 3.比例項錯置
4.無規則：數字任意做運算 李凱雯（2013） 1.加法策略（常數策略）
2.忽略問題部分資訊 3.任意運算
4.誤解題意 5.計算錯誤
6.母子問題類型不清楚
7.個數與重量的平衡觀念不清楚 8.不熟公式解題方法
9.公式前後項位置錯置 10.未完成計算
11.僅列式未計算 12.空白
×14
×14 4：56=6：□